剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

1、關(guān)于剛體定軸轉(zhuǎn)動定律現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁，共36頁復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)質(zhì)點的角動量質(zhì)點的角動量力矩力矩FrM LrmvsinLrmv 角動量定理角動量定理dLMdt角動量守恒定律角動量守恒定律若若0ML常常矢矢量量sinMrF 00ttMdtLL現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁，共36頁本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容1 1 剛體的運動剛體的運動2 2 剛體的角動量剛體的角動量3 3 剛體受到的力矩剛體受到的力矩4 4 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律5 5 剛體的動能定理剛體的動能定理6 6 剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁，共36頁6.1 6.1 剛體的運動與描述剛體的運動與描述 質(zhì)點的運動只代表

2、物體的平動，物體實際上是有形質(zhì)點的運動只代表物體的平動，物體實際上是有形狀、大小的，它可以平動、轉(zhuǎn)動，甚至更復(fù)雜的運動。狀、大小的，它可以平動、轉(zhuǎn)動，甚至更復(fù)雜的運動。因此，對于機械運動的研究，只限于質(zhì)點的情況是不夠因此，對于機械運動的研究，只限于質(zhì)點的情況是不夠的。的。 剛體是一種特殊的質(zhì)點系，無論在多大外力作用下，剛體是一種特殊的質(zhì)點系，無論在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離始終保持不變。即物體的形狀、系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離始終保持不變。即物體的形狀、大小都不變的固體稱為剛體（大小都不變的固體稱為剛體（rigid body ）。）。 剛體考慮了物體的形狀和大小，但不考慮它的形變，

3、剛體考慮了物體的形狀和大小，但不考慮它的形變，剛體同質(zhì)點一樣，也是一個理想化模型。剛體同質(zhì)點一樣，也是一個理想化模型?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁，共36頁一、剛體的運動一、剛體的運動 固聯(lián)在剛體上的任一條固聯(lián)在剛體上的任一條直線，在各個時刻的位置始直線，在各個時刻的位置始終保持彼此平行的運動，叫終保持彼此平行的運動，叫做剛體的平動。做剛體的平動。 1.平動平動 剛才的動畫演示了一個圓柱體的平動。在運動過剛才的動畫演示了一個圓柱體的平動。在運動過程中，我們看到，剛體中所有質(zhì)點的位移都是相同的。程中，我們看到，剛體中所有質(zhì)點的位移都是相同的。 而且在任何時刻，各個質(zhì)點的速度和加速度也都而且在任何時刻，各個

4、質(zhì)點的速度和加速度也都相同。這時我們可以選取剛體上任一點的運動來代表相同。這時我們可以選取剛體上任一點的運動來代表剛體的運動。剛體的運動。 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁，共36頁2.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 如果剛體上所有各點繞同一如果剛體上所有各點繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運動，則稱直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運動，則稱為剛體的轉(zhuǎn)動。為剛體的轉(zhuǎn)動。 轉(zhuǎn)動時，軸外各點轉(zhuǎn)動時，軸外各點在同一時間間隔內(nèi)走過在同一時間間隔內(nèi)走過的弧長雖然不一樣，但的弧長雖然不一樣，但角位移全同。角位移全同?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁，共36頁固定轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸不隨時間變化固定轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸不隨時間變化 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動瞬時轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸隨時間變化瞬時轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸隨時

5、間變化 一般轉(zhuǎn)動一般轉(zhuǎn)動現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁，共36頁3.剛體的一般運動剛體的一般運動 例如，一個車輪的滾動，例如，一個車輪的滾動，可以分解為車輪隨著轉(zhuǎn)軸的可以分解為車輪隨著轉(zhuǎn)軸的平動和整個車輪繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)平動和整個車輪繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動。動。 在研究剛體一般運動時，我們一般將它分解為質(zhì)在研究剛體一般運動時，我們一般將它分解為質(zhì)心的平動（應(yīng)用質(zhì)心運動定理）和剛體繞過質(zhì)心軸的心的平動（應(yīng)用質(zhì)心運動定理）和剛體繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動（應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律）。轉(zhuǎn)動（應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律）。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁，共36頁一個汽車輪子在一個汽車輪子在地上的滾動地上的滾動A、B、C、各點的運各點的運動都不相同動都不相同繞過o 軸的轉(zhuǎn)動oA

6、BCo o輪子的平動ABCoABCoABABCCo剛體的運動平動轉(zhuǎn)動剛體的運動平動轉(zhuǎn)動平動：剛體上所有點運動狀態(tài)都相同平動：剛體上所有點運動狀態(tài)都相同轉(zhuǎn)動：各質(zhì)元均作圓周運動轉(zhuǎn)動：各質(zhì)元均作圓周運動現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁，共36頁二二. 剛體平動的描述剛體平動的描述 剛體的平動剛體的平動可用質(zhì)心運動來代表整體的運動可用質(zhì)心運動來代表整體的運動1。質(zhì)心的位矢。質(zhì)心的位矢設(shè)設(shè)N N個質(zhì)點個質(zhì)點m m1 1, ,m m2 2, , ,m mN N， 對應(yīng)的位矢對應(yīng)的位矢Nrrr21, iiicmrmr iicxmMx1定義定義：質(zhì)心的位矢質(zhì)心的位矢 iicymMy1 iiczmMz1 xdmMxc1 y

7、dmMyc1 zdmMzc1質(zhì)心質(zhì)心 重心重心現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁，共36頁2。質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理質(zhì)心的速度質(zhì)心的速度：dtrdVcc )1(iirmMdtd dtrdmMii 1iivmM 1質(zhì)心的加速度質(zhì)心的加速度：dtVdacc )1(iivmMdtd dtvdmMii 1iiamM 1設(shè)設(shè)m mi i 受力受力內(nèi)內(nèi)外外、iifF則：則：iiiifFam 對所有質(zhì)點求和對所有質(zhì)點求和： iiiifFam0合外合外F MMcaMF 合合外外 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理即：質(zhì)心運動如同一質(zhì)點，只是將質(zhì)量全部集中于該點，即：質(zhì)心運動如同一質(zhì)點，只是將質(zhì)量全部集中于該點， 所受的力是質(zhì)點系受的

8、所有外力。所受的力是質(zhì)點系受的所有外力。注：注：質(zhì)心上可能既無質(zhì)量，又未受力。質(zhì)心上可能既無質(zhì)量，又未受力。 iiicmrmr2現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁，共36頁角位置角位置角速度角速度dtdtt lim0角加速度角加速度220limtddtdtdt pro轉(zhuǎn) 動 平轉(zhuǎn) 動 平面面三三. 剛體（定軸）轉(zhuǎn)動的角量描述剛體（定軸）轉(zhuǎn)動的角量描述現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁，共36頁6.2 6.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律一一. 剛體定軸轉(zhuǎn)動所受力矩剛體定軸轉(zhuǎn)動所受力矩 力矩力矩一般定義一般定義：FrM M此處此處即可是對某點也可是對某軸而言即可是對某點也可是對某軸而言當剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，力矩就當剛

9、體作定軸轉(zhuǎn)動時，力矩就可以用標量來表示?？梢杂脴肆縼肀硎尽 o 習(xí)慣上習(xí)慣上把定軸用把定軸用z表示表示力矩力矩表示為表示為zM現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁，共36頁o o .P1） 在垂直在垂直o o o o 的平面內(nèi)的平面內(nèi)FF sinMrF2） 不在垂直不在垂直o o o o 的平面內(nèi)的平面內(nèi)Fo o .PrrFF/F/FFF對剛體繞對剛體繞o o 軸軸轉(zhuǎn)動無貢獻轉(zhuǎn)動無貢獻計算力矩時只需考慮計算力矩時只需考慮 的力矩的力矩F 總可分解成兩個分量總可分解成兩個分量：FFroor5zziMM合外力矩合外力矩現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁，共36頁o o FFF r1 。一個質(zhì)點的情況。一個質(zhì)點的情況 F nF

10、法向力法向力nF對軸的矩為零對軸的矩為零切向力切向力Fmamr 對軸的矩對軸的矩2zMrFmr 二二. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律見右下平面圖見右下平面圖現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁，共36頁（剛體類似于多質(zhì)點系剛體類似于多質(zhì)點系）設(shè)某剛體繞固定軸設(shè)某剛體繞固定軸Z Z軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動Zmi取質(zhì)量元取質(zhì)量元m mi i，其到轉(zhuǎn)軸的距離其到轉(zhuǎn)軸的距離 r ri iiriFifi i 受力如圖示受力如圖示， 根據(jù)牛頓定律根據(jù)牛頓定律：iiiiamfF各質(zhì)元加速度不同各質(zhì)元加速度不同，但角加速度相同但角加速度相同 iiiiiiamfFsinsin用用 r ri i乘以上式：乘以上式： iiiiiiiiia

11、rmfrFrsinsin ra 2sinsiniiiiiiiirmfrFr將所有質(zhì)元相加：將所有質(zhì)元相加： 2sinsiniiiiiiiirmfrFrfifj0|iiFr )(2iirmM 合合外外ro2。連續(xù)質(zhì)量分布剛體的情況。連續(xù)質(zhì)量分布剛體的情況現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁，共36頁定義定義2iirmJM合合外外 )(2iirm剛體對定軸（剛體對定軸（z z 軸）的軸）的 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量則有則有zdMJJdt 定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律由由zMJ 與牛頓定律比較與牛頓定律比較：MJ 或或amF aJ mFMm 反映質(zhì)點的平動慣性反映質(zhì)點的平動慣性J 反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性現(xiàn)在學(xué)習(xí)的

12、是第十七頁，共36頁3。理解注意。理解注意是是合外力矩合外力矩 這條定律表明，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，它的角加速度與這條定律表明，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，它的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比。量成反比。JdJdtzdLdt1nziziMM 內(nèi)力矩成對抵消，不能改變剛體的角動量，因而不內(nèi)力矩成對抵消，不能改變剛體的角動量，因而不能改變剛體的角速度。能改變剛體的角速度。這是角動量定理在剛體定軸轉(zhuǎn)動情形下的特例這是角動量定理在剛體定軸轉(zhuǎn)動情形下的特例（1）zM（2）（3）現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁，共36頁質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)

13、量離散分布質(zhì)量離散分布對剛體定義對剛體定義轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量單質(zhì)點單質(zhì)點單位：單位：kgm22Jr dm2Jr dm2i iiJm r質(zhì)量元質(zhì)量元dm第第 i 個質(zhì)點的質(zhì)量個質(zhì)點的質(zhì)量imr 到轉(zhuǎn)軸的距離到轉(zhuǎn)軸的距離dmir 到轉(zhuǎn)軸的距離到轉(zhuǎn)軸的距離im2Jmr三三. 轉(zhuǎn)動慣量及計算轉(zhuǎn)動慣量及計算現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁，共36頁質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布 、 、 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布線分布體分布體分布面分布面分布 只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分

14、布的剛體才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量。體才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量。dmdl dmdsdmdV現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁，共36頁 如圖套兩個質(zhì)點的細桿長如圖套兩個質(zhì)點的細桿長l ， 桿繞空端轉(zhuǎn)動，桿繞空端轉(zhuǎn)動，分析整個系統(tǒng)繞分析整個系統(tǒng)繞 o 點的轉(zhuǎn)動慣量。將兩質(zhì)點換位再點的轉(zhuǎn)動慣量。將兩質(zhì)點換位再作計算。作計算。解：普通物理學(xué)教案例題1 ：o 2mm由由2i iiJm r232ml( )22122lJmmlo m 2m 294ml( )22222lJmml結(jié)論：結(jié)論：21JJ現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁，共36頁 J 與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)與剛體的質(zhì)量分布有關(guān) J 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)

15、因為質(zhì)量分布是對轉(zhuǎn)軸而言的，上例也可看作因為質(zhì)量分布是對轉(zhuǎn)軸而言的，上例也可看作質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸越遠轉(zhuǎn)動慣量越大。質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸越遠轉(zhuǎn)動慣量越大。 形狀和轉(zhuǎn)軸確定后，形狀和轉(zhuǎn)軸確定后，J 與剛體的質(zhì)與剛體的質(zhì)量有關(guān)量有關(guān)AlFe討論討論影響轉(zhuǎn)動慣量的因素影響轉(zhuǎn)動慣量的因素現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十二頁，共36頁 求長為求長為L、質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的均勻細棒對端點軸和的均勻細棒對端點軸和中垂軸的轉(zhuǎn)動慣量。中垂軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題2 ：ABL/2L/2Cx取如圖坐標取如圖坐標取質(zhì)量元取質(zhì)量元dmdx ABLxdm/22103LJxdxmL /2222212LLJxdxm L 12JJ現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二

16、十三頁，共36頁 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m 、半徑為、半徑為R 的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：普通物理學(xué)教案例題3 ：取質(zhì)量元取質(zhì)量元dmdx 2mR2Rdm2JR dmORdm現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十四頁，共36頁 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m 、半徑為半徑為R 均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：普通物理學(xué)教案例題4 ：這樣的一個圓盤可以視這樣的一個圓盤可以視為半徑不等的有寬度的為半徑不等的有寬度的圓環(huán)拼接而成。圓環(huán)拼接而成。任取其中一環(huán)任取其中一環(huán)2dmrdr利用前例環(huán)的轉(zhuǎn)動慣

17、量結(jié)果利用前例環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量結(jié)果32 r dr 2dJr dm412R302Rr dr JdJ2mR 212JmRRrdr現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十五頁，共36頁 內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為 R1 外半徑為外半徑為 R2 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)的勻質(zhì)中空圓柱繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量。中空圓柱繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題5 ：1R2R()22212mrdrRR 2dmrdr ()21222212RRmJrrdrRR ()222112m RR現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十六頁，共36頁 質(zhì)量為質(zhì)量為m 半徑為半徑為R 的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題6 ：s

18、inR d 在球面取一圓環(huán)帶，在球面取一圓環(huán)帶，半徑半徑sinrR 224mdmrRdR 2Jr dmsin22302 mRd 223mR現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十七頁，共36頁 質(zhì)量為質(zhì)量為m 半徑為半徑為R 的勻質(zhì)球體繞過球心軸的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題7 ：MR把球體看作無數(shù)個同心薄球殼的組合把球體看作無數(shù)個同心薄球殼的組合 23443mdmr drR 233mr drRJdJ223dm r4302Rmr drR225mR現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十八頁，共36頁 如圖所示，滑輪半徑為如圖所示，滑輪半徑為r 。 （設(shè)繩與滑輪間（設(shè)繩與滑輪間無相對滑動）無相對滑動）若

19、若m2與桌面間的摩擦系數(shù)為與桌面間的摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速度求系統(tǒng)的加速度a 及張力及張力 T1 與與 T2；若桌面光滑，再求。若桌面光滑，再求。解：普通物理學(xué)教案例題8：2m2T1T1mJ1m g2m g 力和力矩分析、力和力矩分析、方法方法1 1 按隔離法按隔離法建坐標建坐標y0對質(zhì)點用牛頓定律對質(zhì)點用牛頓定律對剛體用轉(zhuǎn)動定律對剛體用轉(zhuǎn)動定律ar 222Tm gm a 12TrT rJ 111m gTm a限制性條件限制性條件現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十九頁，共36頁12212/mmagmmJ r 解得：解得：22211212(/)/mmJ rTm gmmJ r 21122212(/)/mmJ r

20、Tm gmmJ r 若桌面光滑，摩擦力矩為零若桌面光滑，摩擦力矩為零現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十頁，共36頁2m2T1T1mJ1m g2m g y0解法解法2由系統(tǒng)角動量定理由系統(tǒng)角動量定理取取m1 、m2 、 J 為系統(tǒng)為系統(tǒng)外力矩外力矩系統(tǒng)的角動量系統(tǒng)的角動量12 Mm grm gr 2212Lm rm rJ （任一時刻）（對滑輪轉(zhuǎn)軸）（任一時刻）（對滑輪轉(zhuǎn)軸）現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十一頁，共36頁由角動量定理由角動量定理dLMdt12 m grm gr 2212()dm rm rJdt 由由解得：解得：221212() m grm grm rm rJ /a r 12212/mmagmmJ r 再由牛頓定律可得張力。再由牛頓定律可得張力。2m2T1T1mJ1m g2m g y0這也是定軸轉(zhuǎn)動定律這也是定軸轉(zhuǎn)動定律(整體分析方法整體分析方法)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十二頁，共36頁一根一根均質(zhì)細桿（均質(zhì)細桿（ m 、L ），一端可在豎直平面內(nèi)），一端可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。桿最初靜止在水平位置，由此下擺自由轉(zhuǎn)動。桿最初靜止在水平位置，由此下擺 角角求角