直接證明與間接證明

1、三好高中生（ID：sanhao-youke），為高中生提供名師公開課和精品資料。直接證明與間接證明 編稿：趙雷 審稿：李霞【學習目標】1. 掌握用綜合法證題的思路和特點。2. 掌握用分析法證題的思路和敘述方式3掌握間接證明中的常用方法反證法的思維過程和特點【要點梳理】要點一、綜合法證題1定義：一般地，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法.2綜合法的的基本思路：執(zhí)因索果綜合法又叫“順推證法”或“由因?qū)Чā?它是由已知走向求證，即從數(shù)學題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后導出待證結論或需求的問題綜合法

2、這種由因?qū)Ч淖C明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法3綜合法的思維框圖：用表示已知條件，為定義、定理、公理等，表示所要證明的結論，則綜合法可用框圖表示為：（已知） （逐步推導結論成立的必要條件） （結論）要點詮釋（1）從“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因?qū)Ч?，其逐步推理實際上是尋找它的必要條件； （2）用綜合法證明不等式，證明步驟嚴謹，逐層遞進，步步為營，條理清晰，形式簡潔，宜于表達推理的思維軌跡； （3）因用綜合法證明命題“若A則D”的思考過程可表示為： 故要從A推理到D，由A推演出的中間結論未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2進一步推演出的中間結論則可能更多，如C

3、、C1、C2、C3、C4等等 所以如何找到“切入點”和有效的推理途徑是有效利用綜合法證明問題的“瓶頸”4綜合法證明不等式時常用的不等式（1）a2+b22ab（當且僅當a=b時取“=”號）；（2）（a，bR*，當且僅當a=b時取“=”號）；（3）a20，|a|0，(ab)20；（4）（a，b同號）；（a，b異號）；（5）a，bR，（6）不等式的性質(zhì)定理1 對稱性：abba。定理2 傳遞性：。定理3 加法性質(zhì)：。推論 。定理4 乘法性質(zhì)：。推論1 。推論2 。定理5 開方性質(zhì)：。要點二、分析法證題1定義：一般地，從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個命題成立的充分條件，逐步尋找使命題成立的充分條件，直至

4、所尋求的充分條件顯然成立（已知條件、定理、定義、公理等），或由已知證明成立，從而確定所證的命題成立的一種證明方法，叫做分析法.2分析法的基本思路：執(zhí)果索因分析法又叫“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”.它是從要證明的結論出發(fā)，分析使之成立的條件，即尋求使每一步成立的充分條件，直到最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.分析法這種執(zhí)果索因的證明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法。3分析法的思維框圖：用表示已知條件和已有的定義、公理、公式、定理等，所要證明的結論，則用分析法證明可用框圖表示為：（結論） （逐步尋找使結論成立的充分條件） （已知）4分析法的

5、格式：要證，只需證，只需證，因為成立，所以原不等式得證。要點詮釋： （1）分析法是綜合法的逆過程，即從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋找它的充分條件 （2）由于分析法是逆推證明，故在利用分析法證明時應注意邏輯性與規(guī)范性，即分析法有獨特的表述5綜合法與分析法的橫向聯(lián)系（1） 綜合法是把整個不等式看做一個整體，通過對欲證不等式的分析、觀察，選擇恰當不等式作為證題的出發(fā)點，其難點在于到底從哪個不等式出發(fā)合適，這就要求我們不僅要熟悉、正確運用作為定理性質(zhì)的不等式，還要注意這些不等式進行恰當變形后的利用分析法的優(yōu)點是利于思考，因為它方向明確，思路自然，易于掌握，而綜

6、合法的優(yōu)點是宜于表述，條理清晰，形式簡潔我們在證明不等式時，常用分析法尋找解題思路，即從結論出發(fā)，逐步縮小范圍，進而確定我們所需要的“因”，再用綜合法有條理地表述證題過程分析法一般用于綜合法難以實施的時候（2） 有些不等式的證明，需要把綜合法和分析法聯(lián)合起來使用：根據(jù)條件的結構特點去轉(zhuǎn)化結論，得到中間結論Q；根據(jù)結論的結構特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結論P若由P可以推出Q成立，就可以證明結論成立，這種邊分析邊綜合的證明方法，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠法”分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關系，分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點 命題“若

7、P則Q”的推演過程可表示為： 要點三、反證法證題間接證明不是從正面確定命題的真實性，而是證明它的反面為假，或改證它的等價命題為真，間接地達到目的，反證法是間接證明的一種基本方法1反證法定義：一般地，首先假設要證明的命題結論不正確，即結論的反面成立，然后利用公理，已知的定義、定理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件或公理、定理、定義及明顯成立的事實等矛盾的結論，以此說明假設的結論不成立，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.2反證法的基本思路：假設矛盾肯定” 分清命題的條件和結論 做出與命題結論相矛盾的假設 由假設出發(fā)，結合已知條件，應用演繹推理方法，推出矛盾的結果 斷定產(chǎn)生矛盾結果

8、的原因，在于開始所做的假定不真，于是原結論成立，從而間接地證明原命題為真3反證法的格式：用反證法證明命題“若p則q”時，它的全部過程和邏輯根據(jù)可以表示如下： 要點詮釋：（1）反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設要證的命題不成立，即結論的反面成立，在已知條件和“假設”這個新條件下，通過邏輯推理，得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時假設等相矛盾的結論，從而判定結論的反面不能成立，即證明了命題的結論一定是正確的.(2) 反證法的優(yōu)點：對原結論否定的假定的提出，相當于增加了一個已知條件.4反證法的一般步驟： （1）反設：假設所要證明的結論不成立，假設結論的反面成立； （2）歸謬：由“反設”出發(fā)

9、，通過正確的推理，導出矛盾與已知條件、已知的公理、定義、定理、反設及明顯的事實矛盾或自相矛盾；（3）結論：因為推理正確，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設”的謬誤，既然結論的反面不成立，從而肯定了結論成立 要點詮釋：（1）結論的反面即結論的否定，要特別注意：“都是”的反面為“不都是”，即“至少有一個不是”，不是“都不是”；“都有”的反面為“不都有”，即“至少有一個沒有”，不是“都沒有”；“都不是”的反面是“部分是或全部是”，即“至少有一個是”，不是“都是”；“都沒有”的反面為“部分有或全部有”，即“至少有一個有”，不是“都有”（2）歸謬的主要類型： 與已知條件矛盾； 與假設矛盾（自相矛盾）；與定義、定理

10、、公理、事實矛盾 5宜用反證法證明的題型： 要證的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰；比如“存在性問題、唯一性問題”等； 如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只要研究一種或很少的幾種情形.比如帶有“至少有一個”或“至多有一個”等字樣的數(shù)學問題. 要點詮釋： 反證法體現(xiàn)出正難則反的思維策略（補集的思想）和以退為進的思維策略，故在解決某些正面思考難度較大和探索型命題時，有獨特的效果【典型例題】類型一、利用綜合法證明有關命題例1已知，試用綜合法證明： .【解析】 因為， 所以；又因為，；所以. 因此.【總結升華】 利用綜合法時，從已知出發(fā)，進行運

11、算和推理得到要證明的結論，并且在用均值定理證明不等式時，一要注意均值定理運用的條件，二要運用定理對式子作適當?shù)淖冃?，把式分成若干部分，對每部分運用均值定理后，再把它們相加或相減。舉一反三：【變式1】求證：【答案】待證不等式的左端是3個數(shù)和的形式，右端是一常數(shù)的形式，而左端3個分母的真數(shù)相同，由此可聯(lián)想到公式，轉(zhuǎn)化成能直接利用對數(shù)的運算性質(zhì)進行化簡的形式. ，左邊，.【變式2】設、是互不相等的正數(shù)，且，試用綜合法證明：【答案】因為，所以.例2. 已知數(shù)列滿足, ，求證：是等比數(shù)列； 【思路點撥】根據(jù)等比數(shù)列的定義變形?！窘馕觥坑蒩n1an6an1，an12an3(an2an1) (n2)a15，

12、a25a22a115故數(shù)列an12an是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列 【總結升華】 本題從已知條件入手，分析數(shù)列間的相互關系，合理實現(xiàn)了數(shù)列間的轉(zhuǎn)化，從而使問題獲解，綜合法是直接證明中最常用的證明方法。舉一反三：【變式】已知數(shù)列an中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，），a1=1。（1）設bn=an+12an（n=1，2，），求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列。（2）設（n=1，2，），求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列?！敬鸢浮浚?）Sn+1=4an+2，Sn+2=4an+1+2，兩式相減，得Sn+2Sn+1=4an+14an（n=1，2，3，）,即an+2=4an+14an，變形

13、得an+22an+1=2(an+12an)。bn=an+12an（n=1，2，），bn+1=2bn（n=1，2，）。由此可知，數(shù)列bn是公比為2的等比數(shù)列。由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1，得a2=5，b1=a22a1=3。故bn=32n1。（2）（n=1，2，）將bn=32n1代入，得（n=1，2，）。由此可知，數(shù)列cn是公差的等差數(shù)列，它的首項，故。例3如圖，設在四面體中，是的中點.求證：垂直于所在的平面. 【思路點撥】要證垂直于所在的平面，只需在所在的平面內(nèi)找到兩條相交直線與垂直.【解析】連、因為是斜邊上的中線，所以又因為,而是、的公共邊，所以于是,而，因此，由此可知垂直于所在的

14、平面.【總結升華】 利用綜合法證明立體幾何中線線、線面和面面關系的關鍵在于熟練地運用判定定理和性質(zhì)定理。這是一例典型的綜合法證明.現(xiàn)將用綜合法證題的過程展現(xiàn)給大家，供參考：（1）由已知是斜邊上的中線，推出，記為（已知）；（2）由和已知條件，推出三個三角形全等，記為；（3）由三個三角形全等，推出，記為；（4）由推出，記為（結論）.這個證明步驟用符號表示就是（已知）（結論）.舉一反三：【變式】如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EFPB交PB于點F。求證：（1）PA平面EDB；（2）PB平面EFD?！敬鸢浮浚?）連結AC交BD于

15、O，連結EO。底面ABCD是正方形，點O是AC的中點，在PAC中，EO是中位線，PAEO。而EO平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB。（2）PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDC。由PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC上的中線，DEPC。同樣由PD底面ABCD，得PDBC。底面ABCD是正方形，DCBC，BC平面PDC。而DE平面PDC，BCDE。由和推得DE平面PBC。而PB平面PBC，DEPB。又EFPB且DEEF=E，PB平面EFD。類型二、 利用分析法證明有關命題 例4求證： 【解析】 錯證： 由不等式 ， 平方得 ， 即 ， 則1820， 因為1820

16、，所以 錯因： 由于上述分析法的流程結構是 ，因而上述書寫格式導致了邏輯錯誤正確的證法如下： 證明： 欲證不等式， 只需證成立， 即證 ， 即證1820成立 由于1820是成立的， 因此 證畢【總結升華】1.在證明過程中，若使用綜合法出現(xiàn)困難時，應及時調(diào)整思路，分析一下要證明結論成立需要怎樣的充分條件是明智之舉.從結論出發(fā)，結合已知條件，逐步反推，尋找使當前命題成立的充分條件的方法.2. 用分析法證明問題時，一定要恰當?shù)赜煤谩耙C”“只需證”“即證”“也即證”等詞語 舉一反三：【變式1】 已知、是正數(shù)，用分析法證明: .【答案】要證 成立，只需證成立，即證.即證，也就是要證,即.該式顯然成立，

17、所以.【變式2】用分析法證明：若a0，則。【答案】要證，只需證。a0，兩邊均大于零，因此只需證只需證，只需證，只需證，即證，它顯然成立。原不等式成立?！靖咔逭n堂：直接證明與間接證明401471 例題2】【變式3】已知，求證：【答案】要證只需證，只需證，即欲證，只需證，即顯然成立。欲證，只需證，即顯然成立。成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立。例5.求證：【思路點撥】由于本題所給的條件較少，且不等式中項都是根式的形式，因而用綜合法證明比較困難.這時，可從結論出發(fā)，逐步反推，尋找使命題成立的充分條件；此外，若注意到，也可用綜合法證明. 【解析】法一：分析法要證成立，只需證明，兩邊平方得，所以只需

18、證明，兩邊平方得，即，恒成立，原不等式得證.法二：綜合法，. 即原不等式成立.【總結升華】1.在證明過程中，若使用綜合法出現(xiàn)困難時，應及時調(diào)整思路，分析一下要證明結論成立需要怎樣的充分條件是明智之舉.從結論出發(fā)，結合已知條件，逐步反推，尋找使當前命題成立的充分條件的方法.2綜合法寫出的證明過程條理清晰，易于理解；但綜合法的證題思路并不容易想到，因此，在一般的證題過程中，往往是先用分析法尋找解題思路，再用綜合法書寫證明過程.舉一反三：【變式】設a、b是兩個正實數(shù)，且ab，求證：證明一：(分析法)要證+成立，只需證(a+b)( -ab+)ab(a+b)成立，即需證-ab+ab成立。(a+b0)只需

19、證-2ab+0成立，即需證0成立。而由已知條件可知，ab，有a-b0，所以0顯然成立，由此命題得證。證明二：(綜合法)ab，a-b0，0，即-2ab+0亦即-ab+ab由題設條件知，a+b0，(a+b)( -ab+)(a+b)ab即+，由此命題得證。類型三、反證法證明相關問題例6. 已知、是整數(shù)，且求證：、不可能都是奇數(shù).【思路點撥】證明含有“不”“沒有”“無”等否定性詞語的命題，應考慮反證法。【解析】 設、都是奇數(shù)，則、都是奇數(shù)，所以為偶數(shù)， 所以 ， 這與已知矛盾， 所以、不可能都是奇數(shù).【總結升華】 結論中含有“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適宜應用反證

20、法 舉一反三：【變式1】設an是公比為q的等比數(shù)列，Sn為它的前n項和（1）求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列（2）數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？【答案】假設Sn是等比數(shù)列，則，即a10，(1+q)2=1+q+q2即q=0，與等比數(shù)列中公比q0矛盾故Sn不是等比數(shù)列【高清課堂：直接證明與間接證明401471 例題5】【變式2】證明：是無理數(shù).【答案】假設不是無理數(shù).即是有理數(shù)，那么必存在整數(shù)，使得，其中為既約分數(shù)，則，所以，于是能整除，從而為偶數(shù)，設，所以，即，所以2能整除，于是m,n均為偶數(shù)，這與為既約分數(shù)矛盾，所以假設不成立。從而原命題成立，即是無理數(shù).例7. 如圖所示，已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三條直線，ac，b與c不垂直，求證：a與b必相交【解析】證法一：假設a與b不相交，則ab，所以1=2由于b與c不垂直，則290，即190，所以a與c不垂直，這與已知條件矛盾，所以a與b必相交證法二：假設a與b不相交，則a6，所以1=2因為