全國中考數(shù)學百卷壓軸題分類解析匯編：專題04_三角形四邊形存在性問題

1、. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 1 頁 共 47 頁精品資料2012 年全國中考數(shù)學百卷壓軸題分類解析匯編 ，在對 100 套中考數(shù)學試卷解析的基礎上將押軸題單獨匯編構(gòu)成 10 個專題。每條題目給出了：1.原始題目（對照掃描試卷逐條檢驗，力求無差錯） ；2.完整解答（解答全面，完整繪圖，對網(wǎng)上流傳的錯誤答題進行了更正） ；3.歸納考點；4.詳細分析；5.考題出處；6.考題分值。10 個專題為：專題 1：動點問題；專題 2：函數(shù)問題；專題 3：面積問題；專題 4：三角形四邊形存在性問題；專題 5：定值問題；專題 6：由運動產(chǎn)生的線段和差問題；專題 7：幾何三大變換相關問題；專題

2、 8：實踐操作、探究類問題；專題 9：幾何綜合問題；專題 10：代數(shù)綜合問題。精品打造，助 2013 屆學子步步登高！專題專題 4 4：三角形四邊形存在性問題：三角形四邊形存在性問題1.1. （20122012 海南省海南省 I13I13 分）分）如圖，頂點為 P（4，4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點（0，0） ，點A 在該圖象上，OA 交其對稱軸l于點 M，點 M、N 關于點 P 對稱，連接 AN、ON（1）求該二次函數(shù)的關系式.（2）若點 A 的坐標是（6，3） ，求ANO 的面積.（3）當點 A 在對稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動，請解答下列問題：證明：ANM=ONMANO 能否為直角三角形？

3、如果能，請求出所有符合條件的點 A 的坐標，如果不能，請說明理由.【答案】【答案】解： （1）二次函數(shù)圖象的頂點為 P（4，4） ，設二次函數(shù)的關系式為2y=a x44。. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 2 頁 共 47 頁又二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點（0，0） ，20=a 044，解得1a=4。二次函數(shù)的關系式為21y=x444，即21y=x2x4。（2）設直線 OA 的解析式為y=kx，將 A（6，3）代入得3=6k，解得1k=2。直線 OA 的解析式為1y=-x2。把x=4代入1y=x2得y=2。M（4，2） 。又點 M、N 關于點 P 對稱，N（4，6） ，MN=4。ANO1

4、S6 4122 。（3）證明：過點 A 作 AHl于點 H， ，l與 x 軸交于點 D。則設 A（20001xx2x4 ，）,則直線 OA 的解析式為200001x2x14y=x=x2 xx4。則 M（04 x8，） ，N（04 x，） ，H（20014x2x4 ，） 。OD=4，ND=0 x，HA=0 x4，NH=2001xx4。00022000000004 x44 x4x4OD4HA4tan ONM=tan ANM=1NDxNHx x4xx4x +64xx4 ，。tanONM=tanANM。ANM=ONM。能。理由如下：分三種情況討論：情況 1，若ONA 是直角，由，得ANM=ONM=45

5、0，AHN 是等腰直角三角形。HA=NH，即20001x4=xx4。整理，得200 x8x +16=0，解得0 x =4。此時，點 A 與點 P 重合。故此時不存在點 A，使ONA 是直角。情況 2，若AON 是直角，則222 OA +ON =AN。222222222220000000011 OA =x +x2xON =4 +xAN = x4+x2x +x44，. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 3 頁 共 47 頁222222220000000011 x+x2x+4 +x= x4+x2x +x44。整理，得32000 x8x16x =0，解得0 x =0，0 x =44 2。舍

6、去0 x =0，0 x =44 2（在l左側(cè)） 。當0 x =4+4 2時，0 y =4。此時存在點 A（ 4+4 2 4 ，） ，使AON 是直角。情況 3，若NAO 是直角，則AMNDMODON，MDODODND。OD=4，MD=08x，ND=0 x，008x44x。整理，得200 x8x +16=0，解得0 x =4。此時，點 A 與點 P 重合。故此時不存在點 A，使ONA 是直角。綜上所述，當點 A 在對稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動時，存在點 A（ 4+4 2 4 ，） ，使AON 是直角，即ANO 為直角三角形?！究键c【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系

7、，對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程?！痉治觥痉治觥?（1）由二次函數(shù)圖象的頂點為 P（4，4）和經(jīng)過原點，設頂點式關系式，用待定系數(shù)法即可求。（2）求出直線 OA 的解析式，從而得到點 M 的坐標，根據(jù)對稱性點 N 坐標，從而求得 MN 的長，從而求得ANO 的面積。（3）根據(jù)正切函數(shù)定義，分別求出ANM 和ONM 即可證明。分ONA 是直角，AON 是直角，NAO 是直角三種情況討論即可得出結(jié)論。當AON 是直角時，還可在 RtOMNK 中用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解：OP=PN=PM，OP=224 +4

8、 =4 2 PN=0 x4 ， 4 2=0 x4 。 0 x =4+4 2。. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 4 頁 共 47 頁2.2. （20122012 山西省山西省 1414 分）分）綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y=x2+2x+3與 x 軸交于 AB 兩點，與 y 軸交于點 C，點 D 是該拋物線的頂點（1）求直線 AC 的解析式及 BD 兩點的坐標；（2）點 P 是 x 軸上一個動點，過 P 作直線 lAC 交拋物線于點 Q，試探究：隨著 P 點的運動，在拋物線上是否存在點 Q，使以點 AP、Q、C 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合

9、條件的點 Q 的坐標；若不存在，請說明理由（3）請在直線 AC 上找一點 M，使BDM 的周長最小，求出 M 點的坐標【答案】【答案】解： （1）當 y=0 時，x2+2x+3=0，解得 x1=1，x2=3。點 A 在點 B 的左側(cè)，AB 的坐標分別為（1，0） ， （3，0） 。當 x=0 時，y=3。C 點的坐標為（0，3） 。設直線 AC 的解析式為 y=k1x+b1（k10） ，則111b =3k +b =0，解得11k =3b =3。直線 AC 的解析式為 y=3x+3。y=x2+2x+3=（x1）2+4，頂點 D 的坐標為（1，4） 。（2）拋物線上有三個這樣的點 Q。如圖，當點

10、Q 在 Q1位置時，Q1的縱坐標為 3，代入拋物線可得點 Q1的坐標為（2，3） ；當點 Q 在點 Q2位置時， 點 Q2的縱坐標為3，代入拋物線可得點 Q2坐標為（1+7，3） ；當點 Q 在 Q3位置時，點 Q3的縱坐標為3，代入拋物線解析式可得，點 Q3的坐標為（17，3） 。. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 5 頁 共 47 頁綜上可得滿足題意的點 Q 有三個，分別為：Q1（2，3） ，Q2（1+7，3） ，Q3（17，3） 。（3）點 B 作 BBAC 于點 F，使 BF=BF，則 B為點 B 關于直線 AC 的對稱點連接 BD 交直線 AC 與點 M，則點 M 為所

11、求。過點 B作 BEx 軸于點 E。1 和2 都是3 的余角，1=2。RtAOCRtAFB。COCA=BFAB。由 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）得 OA=1，OB=3，OC=3，AC=10，AB=4。310=BF4，解得6 10BF=5。BB=2BF=12 105，由1=2 可得 RtAOCRtBEB，AOCOCA=B EBEBB。1310=B EBE12 105。BE=125，BE=365。OE=BEOB=3653=215B點的坐標為（215，125） 。設直線 BD 的解析式為 y=k2x+b2（k20） ，則2222k +b =42112k +b =55，解得224k =

12、1348b =13。直線 BD 的解析式為：448y=x+1313。聯(lián)立 BD 與 AC 的直線解析式可得：y3x3448y=x+1313，解得9x=35132y=35。M 點的坐標為（91323535 ，） ?！究键c】【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)， 軸對稱的性質(zhì)， 直角三角形兩銳角的關系， 三角形三邊關系， 勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解二元一次方程組。. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 6 頁 共 47 頁【分析【分析】 （1）根據(jù)點在曲線上，點的坐標滿足方程的關系，由拋物線 y=x2+2x+3 與 x

13、 軸交于 AB 兩點可求得 AB 兩點的坐標，同樣，由由拋物線 y=x2+2x+3 與 y 軸交于點 C 可求得 C 點的坐標。用待定系數(shù)法，可求得直線 AC 的解析式。由 y=x2+2x+3=（x1）2+4可求得頂點 D 的坐標。（2）由于點 P 在 x 軸上運動，故由平行四邊形對邊平行的性質(zhì)求得點 Q 的坐標。（3） 點 B 作 BBAC 于點 F， 使 BF=BF， 則 B為點 B 關于直線 AC 的對稱點 連接 BD 交直線 AC 與點 M，則根據(jù)軸對稱和三角形三邊關系，知點 M 為所求。因此，由勾股定理求得 AC=10，AB=4。由 RtAOCRtAFB 求得6 10BF=5，從而得

14、到 BB=2BF=12 105。由 RtAOCRtBEB 得到 BE=125，BE=365，OE=BEOB=3653=215，從而得到點 B的坐標。用待定系數(shù)法求出線 BD 的解析式，與直線 AC的解析式即可求得點 M 的坐標。3.3. （20122012 陜西省陜西省 1010 分分）如果一條拋物線2y=ax +bx+c a0與 x 軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”（1）“拋物線三角形”一定是三角形；（2）若拋物線2y=x +bx(b0)的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求 b 的值；（3）如圖，OAB 是拋物線2y=x +bx(

15、b0)的“拋物線三角形”，是否存在以原點 O 為對稱中心的矩形 ABCD？若存在，求出過 O、C、D 三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由【答案】【答案】解： （1）等腰。（2）拋物線2y=x +bx(b0)的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，該拋物線的頂點2b b24，滿足2bb=24（b0） 。b=2。. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 7 頁 共 47 頁（3）存在。如圖，作OCD 與OAB 關于原點 O 中心對稱，則四邊形 ABCD 為平行四邊形。當 OA=OB 時，平行四邊形 ABCD 為矩形。又AO=AB， OAB 為等邊三角形。作 AEOB，垂足為 E，AE3O

16、E，即2bb= 3b042，b=2 3A3 3B 2 3 0C33D2 3 0 - ， ， ，。設過點 O、C、D 三點的拋物線2y=mx +nx，則12m2 3n=03m3n=3，解得，m=1n=2 3。所求拋物線的表達式為2y=x +2 3x?！究键c【考點】二次函數(shù)綜合題，新定義，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，中心對稱的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥痉治觥?（1）拋物線的頂點必在拋物線與 x 軸兩交點連線的垂直平分線上，因此這個“拋物線三角形”一定是等腰三角形。（2）觀察拋物線的解析式，它的開口向下且經(jīng)過原點，由于 b0，那么其頂點在第一象限，而這個“拋

17、物線三角形”是等腰直角三角形，必須滿足頂點坐標的橫、縱坐標相等，以此作為等量關系來列方程解出 b 的值。（3）由于矩形的對角線相等且互相平分，所以若存在以原點 O 為對稱中心的矩形ABCD，那么必須滿足 OA=OB，結(jié)合（1）的結(jié)論，這個“拋物線三角形”必須是等邊三角形，首先用 b表示出 AE、OE 的長，通過OAB 這個等邊三角形來列等量關系求出 b的值，進而確定 A、B 的坐標，即可確定 C、D 的坐標，利用待定系數(shù)即可求出過 O、C、D 的拋物線的解析式。4.4. （20122012 重慶市重慶市 1212 分分） 已知： 如圖， 在直角梯形 ABCD 中， ADBC， B=90， AD

18、=2， BC=6，AB=3E 為 BC 邊上一點，以 BE 為邊作正方形 BEFG，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同側(cè)（1）當正方形的頂點 F 恰好落在對角線 AC 上時，求 BE 的長；. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 8 頁 共 47 頁（2）將（1）問中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移，記平移中的正方形 BEFC 為正方形 BEFG，當點 E 與點 C 重合時停止平移設平移的距離為 t，正方形 BEFG 的邊 EF 與 AC 交于點 M，連接 BD，BM，DM，是否存在這樣的 t，使BDM 是直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，請說明理

19、由；（3）在（2）問的平移過程中，設正方形 BEFG 與ADC 重疊部分的面積為 S，請直接寫出S 與 t 之間的函數(shù)關系式以及自變量 t 的取值范圍【答案】【答案】解： （1）如圖，設正方形 BEFG 的邊長為 x，則 BE=FG=BG=x。AB=3，BC=6，AG=ABBG=3x。GFBE，AGFABC。AGGF=ABBC，即3xx=36。解得：x=2，即 BE=2。（2）存在滿足條件的 t，理由如下：如圖，過點 D 作 DHBC 于 H，則 BH=AD=2，DH=AB=3，由題意得：BB=HE=t，HB=|t2|，EC=4t，EFAB，MECABC。MEEC=ABBC，即ME4t=36。

20、ME=212t。在 RtBME 中，BM2=ME2+BE2=22+（212t）2=14t22t+8。在 RtDHB中，BD2=DH2+BH2=32+（t2）2=t24t+13。過點 M 作 MNDH 于 N，則 MN=HE=t，NH=ME=212t，DN=DHNH=3（212t）=12t+1。. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 9 頁 共 47 頁在 RtDMN 中，DM2=DN2+MN2=（12t+1）2+ t2=54t2+t+1。（）若DBM=90，則 DM2=BM2+BD2，即54t2+t+1=（14t22t+8）+（t24t+13） ，解得：t=207。（）若BMD=90

21、，則 BD2=BM2+DM2，即 t24t+13=（14t22t+8）+（54t2+t+1） ，解得：t1=3+17，t2=317（舍去） 。t=3+17。（）若BDM=90，則 BM2=BD2+DM2，即14t22t+8=（t24t+13）+（54t2+t+1） ，此方程無解。綜上所述，當 t=207或3+17時，BDM 是直角三角形；（3）22214t0t4312 4ttt283 3S3510t2t2t83315 10tt4223 ?！究键c】【考點】相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理和逆定理，正方形的性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)。【分析【分析】 （1）首先設正方形 BEFG 的邊長為 x

22、，易得AGFABC，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得 BE 的長。（2）首先由MECABC 與勾股定理，求得 BM，DM 與 BD 的平方，然后分別從若DBM、DBM 和BDM 分別是直角，列方程求解即可。（3）分別從40t3 ，4t23，102t3和10t43時去分析求解即可求得答案：如圖，當 F 在 CD 上時，EF：DH=CE：CH，. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 10 頁 共 47 頁即 2：3=CE：4，CE=83。t=BB=BCBEEC=6284=33。ME=212t，F(xiàn)M=12t，當40t3 時，S=SFMN=12t12t=14t2。如圖，當 G 在 AC

23、 上時，t=2，EK=ECtanDCB=DH33EC4t =3tCH44，F(xiàn)K=2EK=3t41。NL=24AD=33，F(xiàn)L=t43，當4t23時， S=SFMNSFKL=14t212（t43）（3t41）=212tt83 。如圖，當 G 在 CD 上時，BC：CH=BG：DH，即 BC：4=2：3，解得：BC=83，EC=4t=BC2=23。t=103。BN=12BC=12（6t）=312t，GN=GBBN=12t1。當102t3時，S=S梯形 GNMFSFKL=122（12t1+12t）12（t43） （3t41）=235t2t83。如圖，當10t43時，BL=34BC=34（6t） ，E

24、K=34EC=34（4t） ，BN=12BC=12（6t）EM=12EC=12（4t） ，S=S梯形 MNLK=S梯形 BEKLS梯形 BEMN=15t22。. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 11 頁 共 47 頁綜上所述：22214t0t4312 4ttt283 3S3510t2t2t83315 10tt4223 。5.5. （20122012 甘肅白銀甘肅白銀 1212 分）分）已知，在 RtOAB 中，OAB=90，BOA=30，AB=2若以O 為坐標原點， OA 所在直線為 x 軸， 建立如圖所示的平面直角坐標系， 點 B 在第一象限內(nèi) 將RtOAB 沿 OB 折疊后，

25、點 A 落在第一象限內(nèi)的點 C 處（1）求點 C 的坐標；（2）若拋物線2yaxbx(a0)經(jīng)過 C、A 兩點，求此拋物線的解析式；（3）若上述拋物線的對稱軸與 OB 交于點 D，點 P 為線段 DB 上一動點，過 P 作 y 軸的平行線，交拋物線于點 M，問：是否存在這樣的點 P，使得四邊形 CDPM 為等腰梯形？若存在，請求出此時點 P 的坐標；若不存在，請說明理由【答案】【答案】解： （1）過 C 作 CHOA 于 H，在 RtOAB 中，OAB=90，BOA=30，AB=2，OA=2 3。將 RtOAB 沿 OB 折疊后，點 A 落在第一象限內(nèi)的點 C 處，OC=OA=2 3，AOC=

26、60。OH=3，CH=3 。C 的坐標是（3，3） 。（2）拋物線2yaxbx(a0)經(jīng)過 C（3，3） 、A（2 3，0）兩點，. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 12 頁 共 47 頁3=3a+ 3b0=12a+2 3b，解得a=1b=2 3。此拋物線的解析式為2y=x +2 3x（3）存在。2y=x +2 3x的頂點坐標為（3，3） ，即為點 C。MPx 軸，設垂足為 N，PNt，BOA300，所以 ON3tP（3t, t ）作 PQCD，垂足為 Q，MECD，垂足為 E。把x3t代入2y=x +2 3x得：2y3t6t 。 M（3t，23t6t） ，E（3，23t6t）

27、。同理：Q（3，t） ，D（3，1） 。要使四邊形 CDPM 為等腰梯形，只需 CEQD，即233t6tt1 ，解得：14t3，2t1（舍去） 。 P 點坐標為（433，43） 。 存在滿足條件的點 P，使得四邊形 CDPM 為等腰梯形，此時 P 點的坐為（433，43） ?！究键c】【考點】二次函數(shù)綜合題，翻折變換（折疊問題） ，折疊對稱的，解二元一次方程和一元二次方程，曲線上點的坐標與方程的關系，含 30 度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰梯形的判定。【分析【分析】 （1）過 C 作 CHOA 于 H，根據(jù)折疊得到 OC=OA=4，A0C=60，求出 OH 和 CH 即可。（2）把 C（

28、3，3） 、A（2 3，0）代入2yaxbx得到方程組，求出方程組的解即可。（3）如圖，根據(jù)等腰梯形的判定，只要 CEQD 即可，據(jù)此列式求解。6.6. （20122012 廣東湛江廣東湛江 1212 分分）如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形 AOB 的頂點 A、B 分別落在坐標軸上O 為原點，點 A 的坐標為（6，0） ，點 B 的坐標為（0，8） 動點 M 從點 O 出發(fā)沿 OA 向終點 A 以每秒 1 個單位的速度運動，同時動點 N 從點 A 出發(fā)，沿 AB 向終點 B. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 13 頁 共 47 頁以每秒 個單位的速度運動當一個動點到達終點時，

29、另一個動點也隨之停止運動，設動點M、N 運動的時間為 t 秒（t0） （1）當 t=3 秒時直接寫出點 N 的坐標，并求出經(jīng)過 O、A、N 三點的拋物線的解析式；（2）在此運動的過程中，MNA 的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；（3）當 t 為何值時，MNA 是一個等腰三角形？【答案】【答案】解： （1）N（3，4） 。A（6，0）可設經(jīng)過 O、A、N 三點的拋物線的解析式為：y=ax（x6） ，則將 N（3，4）代入得4=3a（36） ，解得 a=49。拋物線的解析式：2448yxx6x +x993 （）。（2）存在。過點 N 作 NCOA 于 C，由題意，A

30、N=53t，AM=OAOM=6t，NC=NAsinBAO=544t=t353。2MNA1142SAM NC6ttt362233 （）（）。MNA 的面積有最大值，且最大值為 6。（3）在 RtNCA 中，AN=53t，NC=ANsinBAO=544t=t353，AC=ANcosBAO=t。OC=OAAC=6t。N（6t，4t3） 。222452NM6tt+tt24t+3639 。又 AM=6t 且 0t6，. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 14 頁 共 47 頁當 MN=AN 時，2525t24t+36=t93，即 t28t+12=0，解得 t1=2，t2=6（舍去） 。當 M

31、N=MA 時，252t24t+36=6t9，即243t12t=09，解得 t1=0（舍去） ，t2=10843。當 AM=AN 時，6t=53t，即 t=94。綜上所述，當 t 的值取 2 或10843或94時，MAN 是等腰三角形?！究键c【考點】二次函數(shù)綜合題，動點問題，勾股定理，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，銳角三角函數(shù)定義，二次函數(shù)的最值，等腰三角形的性質(zhì)。【分析】【分析】（1）由 A、B 的坐標，可得到 OA=6，OB=8，根據(jù)勾股定理可得 AB=10。當 t=3 時， AN=53t=5=12AB， 即 N 是 AB 的中點， 由此得到點 N 的坐標 N （3， 4） 。利用

32、待定系數(shù)法，設交點式求出拋物線的解析式。（2）MNA 中，過 N 作 MA 邊上的高 NC，先由BAO 的正弦值求出 NC 的表達式，而 AM=OA-OM，由三角形的面積公式可得到關于 SMNA關于 t 的函數(shù)關系式，由二次函數(shù)的最值原理即可求出MNA 的最大面積。（3）首先求出 N 點的坐標，然后表示出 AM、MN、AN 三邊的長。由于MNA 的腰和底不確定，若該三角形是等腰三角形，可分三種情況討論：MN=NA、MN=MA、NA=MA；直接根據(jù)等量關系列方程求解即可。7.7. （20122012 貴州貴陽貴州貴陽 1212 分分）如圖，二次函數(shù) y=12x2x+c 的圖象與 x 軸分別交于

33、A、B 兩點，頂點 M 關于 x 軸的對稱點是 M（1）若 A（4，0） ，求二次函數(shù)的關系式；（2）在（1）的條件下，求四邊形 AMBM的面積；（3）是否存在拋物線 y=12x2x+c，使得四邊形 AMBM為正方形？若存在，請求出此拋物線的函數(shù)關系式；若不存在，請說明理由. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 15 頁 共 47 頁【答案】【答案】解： （1）A（4，0）在二次函數(shù) y=12x2x+c 的圖象上，12（4）2（4）+c=0，解得 c=12。二次函數(shù)的關系式為21yxx122。（2）2221125125yxx12x2x+1x122222（），頂點 M 的坐標為（1，2

34、52） 。A（4，0） ，對稱軸為 x=1，點 B 的坐標為（6，0） 。AB=6（4）=6+4=10。SABM=12512510=222。頂點 M 關于 x 軸的對稱點是 M，S四邊形 AMBM=2SABM=21252=125。（3）存在拋物線213yxx22，使得四邊形 AMBM為正方形。理由如下：在 y=12x2x+c 中，令 y=0，則12x2x+c=0，設點 AB 的坐標分別為 A（x1，0）B（x2，0） ，則 x1+x2=1=212，x1x2=c=2c12。221221211212ABx + xxxxxx +x4x x = 48c。點 M 的縱坐標為：14c12c12=1242

35、。頂點 M 關于 x 軸的對稱點是 M，四邊形 AMBM為正方形，-2c148c=22，整理得，4c2+4c3=0，解得 c1=12，c2=32。又拋物線與 x 軸有兩個交點，. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 16 頁 共 47 頁=b24ac=（1）2412c0，解得 c12。c 的值為32。存在拋物線213yxx22，使得四邊形 AMBM為正方形?！究键c【考點】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關系和根的判別式，解一元二次方程，軸對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)?！痉治觥痉治觥?（1）把點 A 的坐標代入二次函數(shù)解析式，計算求出 c

36、的值，即可得解。（2）把二次函數(shù)解析式整理成頂點式解析式，根據(jù)對稱性求出點 B 的坐標，求出AB 的長。根據(jù)頂點坐標求出點 M 到 x 軸的距離，然后求出ABM 的面積，根據(jù)對稱性可得 S四邊形 AMBM=2SABM，計算即可得解。（3）令 y=0，得到關于 x 的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系求出 AB 的長度，根據(jù)拋物線解析式求出頂點 M 的縱坐標， 然后根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分且相等列式求解，如果關于 c 的方程有解，則存在，否則不存在。8.8. （20122012 貴州六盤水貴州六盤水 1616 分）分）如圖 1，已知ABC 中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm如果點

37、P 由 B 出發(fā)沿 BA 方向點 A 勻速運動，同時點 Q 由 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動，它們的速度均為 2cm/s連接 PQ，設運動的時間為 t（單位：s） （0t4） 解答下列問題：（1）當 t 為何值時，PQBC（2）設AQP 面積為 S（單位：cm2） ，當 t 為何值時，S 取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某時刻 t，使線段 PQ 恰好把ABC 的面積平分？若存在，求出此時 t 的值；若不存在，請說明理由（4）如圖 2，把AQP 沿 AP 翻折，得到四邊形 AQPQ那么是否存在某時刻 t，使四邊形AQPQ為菱形？若存在，求出此時菱形的面積；若不存在，請說明理由【

38、答案】【答案】解：AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，由勾股定理逆定理得ABC 為直角三角形，C 為直角。（1）BP=2t，則 AP=102t若 PQBC， 則APAQABAC， 即102t2t108， 解得20t9。當20t9s 時，PQBC。（2）如圖 1 所示，過 P 點作 PDAC 于點 D。. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 17 頁 共 47 頁則 PDBC，APDABC。APPDABBC，即102tPD106，解得6PD6t5。S=12AQPD=122t（66t5）2266515t +6tt+5522 。當 t=52s 時，S 取得最大值，最大值為152cm

39、2。（3）不存在。理由如下：假設存在某時刻 t，使線段 PQ 恰好把ABC 的面積平分，則有 SAQP=12SABC，而 SABC=12ACBC=24，此時 SAQP=12。由（2）可知，SAQP=26t +6t5，26t +6t5=12，化簡得：t25t+10=0。=（5）24110=150，此方程無解，不存在某時刻 t，使線段 PQ 恰好把ABC 的面積平分。（4）存在。假設存在時刻 t，使四邊形 AQPQ為菱形，則有 AQ=PQ=BP=2t。如圖 2 所示，過 P 點作 PDAC 于點 D，則有 PDBC，APDABC。APPDADABBCAC，即102tPDAD1068。解得：PD=6

40、6t5，AD=88t5，QD=ADAQ=8188t2t=8t55。在 RtPQD 中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（188t5）2+（66t5）2=（2t）2，化簡得：13t290t+125=0，解得：t1=5，t2=2513。t=5s 時，AQ=10cmAC，不符合題意，舍去，t=2513。由（2）可知，SAQP=26t +6t5. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 18 頁 共 47 頁S菱形 AQPQ=2SAQP=2（26t +6t5）=2=2400169。存在時刻 t=2513，使四邊形 AQPQ為菱形，此時菱形的面積為2400169cm2?！究键c【考點】動點問

41、題，勾股定理和逆定理，平行的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程和一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的最值，菱形的性質(zhì)?！痉治觥痉治觥?（1）由 PQBC 時的比例線段關系，列一元一次方程求解。（2）如圖 1 所示，過 P 點作 PDAC 于點 D，得APDABC，由比例線段，求得PD，從而可以得到 S 的表達式，然后利用二次函數(shù)的極值求得 S 的最大值。（3）利用（2）中求得的AQP 的面積表達式，再由線段 PQ 恰好把ABC 的面積平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判別式小于 0，則可以得出結(jié)論：不存在這樣的某時刻 t，使線段 PQ 恰好把ABC 的面積平分。（4）根據(jù)菱形

42、的性質(zhì)及相似三角形比例線段關系，求得 PQ、QD 和 PD 的長度；然后在 RtPQD 中，求得時間 t 的值；最后求菱形的面積，值得注意的是菱形的面積等于AQP面積的 2 倍，從而可以利用（2）中AQP 面積的表達式，這樣可以化簡計算。9.9. （20122012 湖南常德湖南常德 1010 分分） 如圖， 已知二次函數(shù)1y(x2)(axb)48的圖像過點 A(4， 3） ，B(4，4).（1）求二次函數(shù)的解析式：（2）求證：ACB 是直角三角形；（3）若點 P 在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點 P 作 PH 垂直 x 軸于點 H，是否存在以 P、H、D、為頂點的三角形與ABC 相似？

43、若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由。【答案】【答案】解： （1）將 A(4，3） ，B(4，4)代人1y(x2)(axb)48中，. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 19 頁 共 47 頁13(42)(4ab)4814(42)(4ab)48， 整理得：4ab724ab32解得a13b20 二 次 函 數(shù) 的 解 析 式 為 ：1y(x2)(13x20)48， 即 ：21315yxx4886。（ 2 ） 由21315xx04886整 理 得213x6x400， 解 得1220 x =2x =13 ，。C （2，0） ，D20013 ，。AC2=4+9 ，BC2=36+

44、16，AC2+ BC2=13+52=65，AB2=64+1=65， AC2+ BC2=AB2。ACB 是直角三角形。（3）設21315P(xxx)4886 ，（x0） ，則 PH=21315xx4886， HD=20 x13。又AC=13， BC=2 13，當PHDACB 時有：PHHDACCB，即：2131520 xxx488613132 13，整理得2135125xx024439， 解得125020 xx1313 ，（舍去） ， 此時，135y13。15035P (1313 ，）。當DHPACB 時有：DHPHACBC， 即：2201315xxx134886132 13，整理2131730

45、5xx048878，解得1212220 xx1313 ，（舍去） ，此時，1284y13。2122284P (1313 ，）。綜上所述，滿足條件的點有兩個即15035P (1313 ，），2122284P (1313 ，）。【考點【考點】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，勾股定理和逆定理的應用，相似三角形的判定性質(zhì)，坐標系中點的坐標的特征，拋物線與 x 軸的交點，解一元二次方程和二. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 20 頁 共 47 頁元一次方程組?！痉治觥痉治觥?（1）求二次函數(shù)的解析式，也就是要求1y(x2)(axb)48中 a、b 的值，只要把A(-4，3） ，

46、B(4，4)代人即可。（2）求證ACB 是直角三角形，只要求出 AC，BC，AB 的長度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。（3）分兩種情況進行討論，DHPBCA，PHDBCA，然后分別利用相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)求出點 P 的坐標。10.10. （20122012 江蘇揚州江蘇揚州 1212 分分）已知拋物線 yax2bxc 經(jīng)過 A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點，直線 l 是拋物線的對稱軸(1)求拋物線的函數(shù)關系式；(2)設點 P 是直線 l 上的一個動點，當PAC 的周長最小時，求點 P 的坐標；(3)在直線 l 上是否存在點 M， 使MAC 為等腰三角形？若存在， 直接寫

47、出所有符合條件的點M 的坐標；若不存在，請說明理由【答案】【答案】解： （1）A(1，0)、B(3，0)經(jīng)過拋物線 yax2bxc，可設拋物線為 ya（x1） （x3） 。又C(0，3) 經(jīng)過拋物線，代入，得 3a（01） （03） ，即 a=1。拋物線的解析式為 y（x1） （x3） ，即 yx22x3。（2）連接 BC，直線 BC 與直線 l 的交點為 P。則此時的點 P，使PAC 的周長最小。設直線 BC 的解析式為 ykxb，將 B(3，0)，C(0，3)代入，得：. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 21 頁 共 47 頁3k+b=0b=3，解得：k=1b=3。直線 BC

48、 的函數(shù)關系式 yx3。當 x1 時，y2，即 P 的坐標(1，2)。（3）存在。點 M 的坐標為(1，6)，(1，6)，(1，1)，(1，0)?！究键c【考點】 二次函數(shù)綜合題， 待定系數(shù)法， 曲線上點的坐標與方程的關系， 線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關系，等腰三角形的性質(zhì)?！痉治觥痉治觥?（1）可設交點式，用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)即可。（2）由圖知：A、B 點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接 BC，那么 BC 與直線 l 的交點即為符合條件的 P 點。（3）由于MAC 的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：MAAC、MAMC、ACMC；可先設

49、出 M 點的坐標，然后用 M 點縱坐標表示MAC 的三邊長，再按上面的三種情況列式求解：拋物線的對稱軸為： x=1，設 M(1，m)。A(1，0)、C(0，3)，MA2m24，MC2m26m10，AC210。若 MAMC，則 MA2MC2，得：m24m26m10，得：m1。若 MAAC，則 MA2AC2，得：m2410，得：m6。若 MCAC，則 MC2AC2，得：m26m1010，得：m0，m6，當 m6 時，M、A、C 三點共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去。綜上可知，符合條件的 M 點，且坐標為(1，6)，(1，6)，(1，1)，(1，0)。11.11. （20122012 四川宜賓四

50、川宜賓 1212 分）分）如圖，在ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，將DEF 與ABC 重合在一起，ABC 不動，ABC 不動，DEF 運動，并滿足：點 E 在邊 BC上沿 B 到 C 的方向運動，且 DE、始終經(jīng)過點 A，EF 與 AC 交于 M 點（1）求證：ABEECM；（2）探究：在DEF 運動過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出 BE 的長；若不能，請說明理由；（3）當線段 AM 最短時，求重疊部分的面積. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 22 頁 共 47 頁【答案【答案】 （1）證明：AB=AC，B=C。ABCDEF，AEF=B。

51、又AEF+CEM=AEC=B+BAE，CEM=BAE。ABEECM。（2）解：能。AEF=B=C，且AMEC，AMEAEF。AEAM。當 AE=EM 時，則ABEECM（SAS） 。CE=AB=5。BE=BCEC=65=1。當 AM=EM 時，則MAE=MEA。MAE+BAE=MEA+CEM，即CAB=CEA。又C=C，CAECBA，CEACACCB，2AC25CECB6。BE= BCEC =62511=66。綜上所述，當 BE=1 或116時，重疊部分能構(gòu)成等腰三角形。（3）解：設 BE=x，則 CE=6xABEECM，CMCEBEAB，即：CM6xx5，216CMx +x55 。22161

52、16AM5CMxx+5=x3+5555。當 x=3 時，AM 最短為165。又當 BE=x=3=12BC 時，點 E 為 BC 的中點，AEBC。2222AE= ABBE534。此時，EFAC，22221612EM= AEAM455。AEM11 16 1296S=AM EM225525。. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 23 頁 共 47 頁當線段 AM 最短時，重疊部分的面積為9625?！究键c】【考點】全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理?！痉治觥痉治觥?（1）由 AB=AC，根據(jù)等邊對等角，可得B

53、=C，又由ABCDEF 與三角形外角的性質(zhì)，易證得CEM=BAE，則可證得：ABEECM。（2）由AEF=B=C，且AMEC，可得 AEAM，然后分別從 AE=EM 與 AM=EM去分析，應用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案。（3）設 BE=x，由ABEECM，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，易得216CMx +x55 ，從而求得 AM 的值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段 AM 的最小值，從而求得重疊部分的面積。12.12. （20122012 四川四川綿陽綿陽 1414 分）分）如圖 1，在直角坐標系中，O 是坐標原點，點 A 在 y 軸正半軸上，二次函數(shù) y=ax2+16x

54、+c 的圖象 F 交 x 軸于 B、C 兩點，交 y 軸于 M 點，其中 B（-3，0） ，M（0，-1） 。已知 AM=BC。（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）證明：在拋物線 F 上存在點 D，使 A、B、C、D 四點連接而成的四邊形恰好是平行四邊形，并請求出直線 BD 的解析式；（3）在（2）的條件下，設直線 l 過 D 且分別交直線 BA、BC 于不同的 P、Q 兩點，AC、BD相交于 N。若直線 lBD，如圖 1 所示，試求11BPBQ的值；若 l 為滿足條件的任意直線。 如圖 2 所示， 中的結(jié)論還成立嗎？若成立， 證明你的猜想；若不成立，請舉出反例。. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研

55、您的好幫手;第 24 頁 共 47 頁【答案】【答案】解：（1）二次函數(shù) y=ax2+16x +c 的圖象經(jīng)過點 B（-3，0），M（0，-1），19a3c0 6c1 ，解得1a6c1 。二次函數(shù)的解析式為：211yxx166。（2）證明：在211yxx166中，令 y=0，得211xx1066 ，解得 x1=3，x2=2。C（2，0），BC=5。令 x=0，得 y=-1，M（0，1），OM=1。又 AM=BC，OA=AMOM=4。A（0，4）。設 ADx 軸，交拋物線于點 D，如圖 1 所示，則2D11yxx1=OA=466， 解得 x1=5，x2=6 （位于第二象限，舍去）。D 點坐標為（

56、5，4）。AD=BC=5。又ADBC， 四邊形 ABCD 為平行四邊形， 即在拋物線 F 上存在點 D，使 A、B、C、D 四點連接而成的四邊形恰好是平行四邊形。設直線 BD 解析式為：y=kx+b，B（3，0），D（5，4），3kb0 5kb4，解得：1k23b2。. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 25 頁 共 47 頁直線 BD 解析式為：13y x22。（3）在 RtAOB 中，22ABOAOB5，又 AD=BC=5， ABCD 是菱形。若直線 lBD，如圖 1 所示， 四 邊 形 ABCD 是 菱 形 ， ACBD 。 AC 直 線 l 。BABCBN1BPBQBD2。

57、BA=BC=5，BP=BQ=10。11111BPBQ10105。若 l 為滿足條件的任意直線，如圖 2 所示，此時中的結(jié)論依然成立，理由如下：ADBC，CDAB，PADDCQ。APADCDCQ。APCQ=ADCD=55=25。1111115CQ5APBPBQ ABAPBCCQ 5AP5CQ5AP5CQ10APCQ10APCQ10APCQ125+5 APCQ +AP CQ25+5 APCQ +2550+5 APCQ5?！究键c【考點】 二次函數(shù)綜合題， 曲線上點的坐標與方程的關系， 平行四邊形、 菱形的判定和性質(zhì)，平行線間的比例線段關系，相似三角形的判定和性質(zhì)，分式化簡?！痉治觥俊痉治觥浚?）利用

58、待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式。（2）首先求出 D 點的坐標，可得 AD=BC 且 ADBC，所以四邊形 ABCD 是平行四邊形；再根據(jù) B、D 點的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線 BD 的解析式。（3）本問的關鍵是判定平行四邊形 ABCD 是菱形。推出 AC直線 l， 從而根據(jù)平行線間的比例線段關系， 求出 BP、 CQ 的長度，計算出111BPBQ5。. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 26 頁 共 47 頁判定PADDCQ，得到 APCQ=25，利用這個關系式對11BPBQ進行分式的化簡求值，結(jié)論為111BPBQ5不變。13.13. （20122012 四川四川涼山?jīng)錾?12

59、12 分分）如圖，在平面直角坐標系中，直線 y=x4 與 x 軸、y 軸分別交于 A、B 兩點，拋物線 y=x2bxc 經(jīng)過 A、B 兩點，并與 x 軸交于另一點 C（點 C 點 A的右側(cè)） ，點 P 是拋物線上一動點（1）求拋物線的解析式及點 C 的坐標；（2）若點 P 在第二象限內(nèi)，過點 P 作 PD軸于 D，交 AB 于點 E當點 P 運動到什么位置時，線段 PE 最長？此時 PE 等于多少？（3） 如果平行于 x 軸的動直線 l 與拋物線交于點 Q， 與直線 AB 交于點 N， 點 M 為 OA 的中點，那么是否存在這樣的直線 l，使得MON 是等腰三角形？若存在，請求出點 Q 的坐標

60、；若不存在，請說明理由【答案【答案】解： （1）直線 y=x+4 與 x 軸、y 軸分別交于 A、B 兩點，A（4，0） ，B（0，4） 。拋物線 y=x2bxc 經(jīng)過 A、B 兩點， 164bc0 c4，解得 b3 c4 。拋物線解析式為 y=x23x4。令 y=0，得x23x4=0，解得 x1=4，x2=1，C（1，0） 。（2）如圖 1，設 D（t，0） 。OA=OB，BAO=45。. .文理文理教研網(wǎng)教研網(wǎng)文理教研您的好幫手;第 27 頁 共 47 頁E（t，t4） ，P（t，t23t4） 。PE=yPyE=t23t4t4=t24t=（t+2）2+4。當 t=-2 時，線段 PE 的長