一元二次方程解法和配套練習(xí)答案

1、一元二次方程解法及其配套練習(xí) 一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式 解法一 直接開(kāi)方法適用圍：可解部分一元二次方程例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 解：(2)由已知，得：（x+3）2=2 直接開(kāi)平方，得：x+3=± 即x+3=，x+3=- 所以，方程的兩根x1=-3+，x2=-3- 例2市政府計(jì)劃2年將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長(zhǎng)率 解：設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x， 則：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.4

2、4 直接開(kāi)平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長(zhǎng)率應(yīng)為正的，因此，x2=-2.2應(yīng)舍去 所以，每年人均住房面積增長(zhǎng)率應(yīng)為20% 例3 如圖，在ABC中，B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒后PBQ的面積等于8cm2？ 解： 設(shè)x秒后PBQ的面積等于8cm2 則PB=x，BQ=2x 依題意，得：x·2x=8 x2=8

3、根據(jù)平方根的意義，得x=±2 即x1=2，x2=-2 可以驗(yàn)證，2和-2都是方程x·2x=8的兩根，但是移動(dòng)時(shí)間不能是負(fù)值所以2秒后PBQ的面積等于8cm2 例4某公司一月份營(yíng)業(yè)額為1萬(wàn)元，第一季度總營(yíng)業(yè)額為3.31萬(wàn)元，求該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率是多少？ 分析：設(shè)該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為x，那么二月份的營(yíng)業(yè)額就應(yīng)該是（1+x），三月份的營(yíng)業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長(zhǎng)的，應(yīng)是（1+x）2 解：設(shè)該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為x 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）當(dāng)成一個(gè)數(shù)，配方得： （1+x+）2=2.56，即（x+）2=256

4、x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6 方程的根為x1=10%，x2=-3.1 因?yàn)樵鲩L(zhǎng)率為正數(shù)， 所以該公司二、三月份營(yíng)業(yè)額平均增長(zhǎng)率為10%歸納小結(jié)：共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程我們把這種思想稱(chēng)為“降次轉(zhuǎn)化思想” 由應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形如x2=p（p0），那么x=±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=±，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的若p0則方程無(wú)解配套練習(xí)題一、選擇題 1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4

5、，q=-2 2方程3x2+9=0的根為（ ） A3 B-3 C±3 D無(wú)實(shí)數(shù)根 3用配方法解方程x2-x+1=0正確的解法是（ ） A（x-）2=，x=± B（x-）2=-，原方程無(wú)解 C（x-）2=，x1=+，x2= D（x-）2=1，x1=，x2=- 二、填空題 1若8x2-16=0，則x的值是_ 2如果方程2（x-3）2=72，那么，這個(gè)一元二次方程的兩根是_ 3如果a、b為實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_ 三、綜合提高題 1解關(guān)于x的方程（x+m）2=n 2某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)25m），另三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)40m

6、 （1）雞場(chǎng)的面積能達(dá)到180m2嗎？能達(dá)到200m嗎？ （2）雞場(chǎng)的面積能達(dá)到210m2嗎？3在一次手工制作中，某同學(xué)準(zhǔn)備了一根長(zhǎng)4米的鐵絲，由于需要，現(xiàn)在要制成一個(gè)矩形方框，并且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學(xué)制成方框，并說(shuō)明你制作的理由嗎？解法二配方法適用圍：可解全部一元二次方程 引例：要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6m，并且面積為16m2,場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各是多少？ 列出方程化簡(jiǎn)后得：x2+6x-16=0 x2+6x-16=0移項(xiàng)x2+6x=16兩邊加（6/2）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 x2+6x+32=16+9左邊寫(xiě)成平方形式 （x+3）2=25 降次x+3=±5 即

7、 x+3=5或x+3=-5 解一次方程x1=2，x2= -8可以驗(yàn)證：x1=2，x2= -8都是方程的根,但場(chǎng)地的寬不能使負(fù)值，所以場(chǎng)地的寬為2m，常為8m.像上面的解題方法，通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)現(xiàn)將已知方程化為一般形式；（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（3）常數(shù)項(xiàng)移到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-p±q；如果q0,方程無(wú)實(shí)根 用配方法解一元二次

8、方程小口訣 二次系數(shù)化為一 常數(shù)要往右邊移 一次系數(shù)一半方兩邊加上最相當(dāng) 例1用配方法解下列關(guān)于x的方程 （1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0 分析：（1）顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上 解：略例2如圖，在RtACB中，C=90°，AC=8m，CB=6m，點(diǎn)P、Q同時(shí)由A，B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動(dòng)，它們的速度都是1m/s，幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半 分析：設(shè)x秒后PCQ的面積為RtABC面積的一半，PCQ也是直角三角形根據(jù)已知列出等式 解：設(shè)x秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半 根據(jù)題

9、意，得：（8-x）（6-x）=××8×6 整理，得：x2-14x+24=0 （x-7）2=25即x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合題意，舍去 所以2秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半 例3解下列方程 （1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來(lái)完成，即配一個(gè)含有x的完全平方解：略 例4用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6 分析：因?yàn)槿绻归_(kāi)（6x+7）2，那么方程就變得很復(fù)雜，如果把（6x+

10、7）看為一個(gè)數(shù)y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就轉(zhuǎn)化為y的方程，像這樣的轉(zhuǎn)化，我們把它稱(chēng)為換元法 解：設(shè)6x+7=y 則3x+4=y+，x+1=y- 依題意，得：y2（y+）（y-）=6 去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72， y4-y2=72 （y2-）2= y2-=± y2=9或y2=-8（舍） y=±3 當(dāng)y=3時(shí)，6x+7=3 6x=-4 x=- 當(dāng)y=-3時(shí)，6x+7=-3 6x=-10 x=- 所以，原方程的根為x1=-，x2=-例5. 求證:無(wú)論y取何值時(shí),代數(shù)式-3

11、 y2+8y-6恒小于0.解：略配套練習(xí)題一、選擇題 1配方法解方程2x2-x-2=0應(yīng)把它先變形為（ ） A（x-）2= B（x-）2=0 C（x-）2= D（x-）2=2下列方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是（ ） Ax2+1=0 B（2x+1）2=0 C（2x+1）2+3=0 D（x-a）2=a 3已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（ ） A1 B2 C-1 D-24將二次三項(xiàng)式x2-4x+1配方后得（ ） A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-3 5已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（ ）

12、Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 6如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左邊是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則m等于（ ） A1 B-1 C1或9 D-1或9二、填空題1方程x2+4x-5=0的解是_ 2代數(shù)式的值為0，則x的值為_(kāi)3已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設(shè)x+y=z，則原方程可變?yōu)開(kāi)，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為_(kāi) 4如果x2+4x-5=0，則x=_ 5無(wú)論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2-2x-4y+16的值總是_數(shù) 6如果16（x-y）2+40（x-

13、y）+25=0，那么x與y的關(guān)系是_ 三、綜合提高題 1用配方法解方程（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x2已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和4，第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng) 3如果x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值4新華商場(chǎng)銷(xiāo)售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元，市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)每降50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)，商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷(xiāo)售利潤(rùn)平均每天達(dá)5000元，每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元？ 5已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值 6某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏

14、利40元，為了擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)一元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件 若商場(chǎng)平均每天贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？ 每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)平均每天贏利最多？請(qǐng)你設(shè)計(jì)銷(xiāo)售方案解法三公式法適用圍：可解全部一元二次方程首先，要通過(guò)=b2-4ac的根的判別式來(lái)判斷一元二次方程有幾個(gè)根1.當(dāng)=b2-4ac<0時(shí) x無(wú)實(shí)數(shù)根（初中）2.當(dāng)=b2-4ac=0時(shí) x有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根 即x1=x23.當(dāng)=b2-4ac>0時(shí) x有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根當(dāng)判斷完成后，若方程有根可根屬于2、3兩種情況方程有根則可根據(jù)公式：x=-b

15、±（b24ac）/2a來(lái)求得方程的根求根公式的推導(dǎo)用配方法解方程 （1） ax27x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0 (3)如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問(wèn)題 問(wèn)題：已知ax2+bx+c=0（a0），試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1=，x2=(這個(gè)方程一定有解嗎?什么情況下有解？) 分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去 解：移項(xiàng)，得：ax2+bx=-c 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）

16、2 即（x+）2= 4a2>0，4a20, 當(dāng)b2-4ac0時(shí)0 （x+）2=()2 直接開(kāi)平方，得：x+=± 即x= x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac0時(shí)，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)過(guò)的六中運(yùn)算，加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。) （2）這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解（4）由求根公式可知，一

17、元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 例1用公式法解下列方程 （1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 （4）4x2-3x+2=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可 補(bǔ):（5）（x-2）（3x-5）=0 例2某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列問(wèn)題 （1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程 （2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請(qǐng)求出 你能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？ 分析：能（1）要使它為一元二次方程，必須滿(mǎn)足m2+1=2，同時(shí)還要滿(mǎn)足（m+1）0 （2）要使它為一元一

18、次方程，必須滿(mǎn)足:或或 解：（1）存在根據(jù)題意，得：m2+1=2 m2=1 m=±1 當(dāng)m=1時(shí)，m+1=1+1=20 當(dāng)m=-1時(shí)，m+1=-1+1=0（不合題意，舍去） 當(dāng)m=1時(shí)，方程為2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 x= x1=，x2=- 因此，該方程是一元二次方程時(shí)，m=1，兩根x1=1，x2=- （2）存在根據(jù)題意，得：m2+1=1，m2=0，m=0 因?yàn)楫?dāng)m=0時(shí)，（m+1）+（m-2）=2m-1=-10 所以m=0滿(mǎn)足題意 當(dāng)m2+1=0，m不存在 當(dāng)m+1=0，即m=-1時(shí)，

19、m-2=-30 所以m=-1也滿(mǎn)足題意 當(dāng)m=0時(shí)，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 當(dāng)m=-1時(shí)，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=- 因此，當(dāng)m=0或-1時(shí)，該方程是一元一次方程，并且當(dāng)m=0時(shí)，其根為x=-1；當(dāng)m=-1時(shí)，其一元一次方程的根為x=-配套練習(xí)題 一、選擇題 1用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）Ax= Bx= Cx= Dx= 2方程x2+4x+6=0的根是（ ）Ax1=，x2= Bx1=6，x2=Cx1=2，x2= Dx1=x2=- 3（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，則m2-n2的值是（ ） A4 B-2 C4或-2 D-4或2 二、

20、填空題 1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，條件是_ 2當(dāng)x=_時(shí)，代數(shù)式x2-8x+12的值是-4 3若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_ 三、綜合提高題 1用公式法解關(guān)于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0 2設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根，（1）試推導(dǎo)x1+x2=-，x1·x2=；（2）求代數(shù)式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值 3某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶(hù)居民一個(gè)月用電量不超過(guò)A千瓦時(shí)，那么這戶(hù)居民這個(gè)月只交10元電費(fèi)，如果超過(guò)A千瓦時(shí)，那么這

21、個(gè)月除了交10元用電費(fèi)外超過(guò)部分還要按每千瓦時(shí)元收費(fèi) （1）若某戶(hù)2月份用電90千瓦時(shí)，超過(guò)規(guī)定A千瓦時(shí)，則超過(guò)部分電費(fèi)為多少元？（用A表示）（2）下表是這戶(hù)居民3月、4月的用電情況和交費(fèi)情況月份用電量（千瓦時(shí)）交電費(fèi)總金額（元） 3 80 25 4 45 10根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的A值為多少？解法四分解因式法適用圍：可解部分一元二次方程因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種）”和“十字相乘法”。因式分解法是通過(guò)將方程左邊因式分解所得，因式分解的容在八年級(jí)上學(xué)期學(xué)完。解下列方程 （1）2x2+x=0 （2）3x2+6x=0上面兩個(gè)方程中都沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)

22、；左邊都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面兩個(gè)方程都可以寫(xiě)成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因?yàn)閮蓚€(gè)因式乘積要等于0，至少其中一個(gè)因式要等于0，也就是：（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=- （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開(kāi)平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法 例1解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移項(xiàng)提取公因式x

23、；（2）等號(hào)右側(cè)移項(xiàng)到左側(cè)得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可達(dá)到分解因式；一邊為兩個(gè)一次式的乘積，另一邊為0的形式 解：（1）移項(xiàng)，得：4x2-11x=0 因式分解，得：x（4x-11）=0 于是，得：x=0或4x-11=0 x1=0，x2= （2）移項(xiàng)，得（x-2）2-2x+4=0 （x-2）2-2（x-2）=0 因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 整理，得：（x-2）（x-4）=0 于是，得x-2=0或x-4=0 x1=2，x2=4 例2已知9a2-4b2=0，求代數(shù)式的值 分析：要求的值，首先要對(duì)它進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后從已知條件入手，求出a與b的關(guān)系后

24、代入，但也可以直接代入，因計(jì)算量比較大，比較容易發(fā)生錯(cuò)誤 解：原式= 9a2-4b2=0 （3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-b或a=b 當(dāng)a=-b時(shí)，原式=-=3 當(dāng)a=b時(shí)，原式=-3 例3我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=0，請(qǐng)你用上面的方法解下列方程 （1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0 分析：二次三項(xiàng)式x2-（a+b）x+ab的最大特點(diǎn)是x2項(xiàng)是由x·x而成，常數(shù)項(xiàng)ab是由-a·（-b）而成的，而一次項(xiàng)是

25、由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的根據(jù)上面的分析，我們可以對(duì)上面的三題分解因式 解（1）x2-3x-4=（x-4）（x+1） （x-4）（x+1）=0 x-4=0或x+1=0 x1=4，x2=-1 （2）x2-7x+6=（x-6）（x-1） （x-6）（x-1）=0 x-6=0或x-1=0 x1=6，x2=1 （3）x2+4x-5=（x+5）（x-1） （x+5）（x-1）=0 x+5=0或x-1=0 x1=-5，x2=1上面這種方法，我們把它稱(chēng)為十字相乘法配套練習(xí)題 一、選擇題 1下面一元二次方程解法中，正確的是（ ） A（x-3）（x-5）=10×2，x-

26、3=10，x-5=2，x1=13，x2=7 B（2-5x）+（5x-2）2=0，（5x-2）（5x-3）=0，x1= ，x2= C（x+2）2+4x=0，x1=2，x2=-2 Dx2=x 兩邊同除以x，得x=1 2下列命題方程kx2-x-2=0是一元二次方程；x=1與方程x2=1是同解方程；方程x2=x與方程x=1是同解方程；由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正確的命題有（ ） A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè) 3如果不為零的n是關(guān)于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值為（ ） A- B-1 C D1 二、填空題 1x2-5x因式分解結(jié)果為_(kāi)；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結(jié)果是_ 2方程（2x-1）2=2x-1的根是_ 3二次三項(xiàng)式x2+20x+96分解因式的結(jié)果為_(kāi)；如果令x2+20x+96=0，那么它的兩個(gè)根是_ 三、綜合提高題 1用因式分解法