324-9.1-垂徑定理

1、問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建造的石多年前我國隋代建造的石拱橋拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點到弧的中點到弦的距離弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 1.理解圓的對稱性；理解圓的對稱性；2.理解掌握圓的垂徑定理，并能靈活運用。理解掌握圓的垂

2、徑定理，并能靈活運用。重點：重點：理解掌握垂徑定理理解掌握垂徑定理難點：難點：靈活運用垂徑定理解決有關(guān)圓問題靈活運用垂徑定理解決有關(guān)圓問題 培養(yǎng)探索、推理、歸納、證明的能力及培養(yǎng)探索、推理、歸納、證明的能力及用用 數(shù)學語言表達數(shù)學問題的能力數(shù)學語言表達數(shù)學問題的能力. 培養(yǎng)獨立思考、敢于質(zhì)疑、善于表達培養(yǎng)獨立思考、敢于質(zhì)疑、善于表達的習慣；學會互助、合作、交流的習慣；學會互助、合作、交流.如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）

3、你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？OABCDE活活 動動 一一（1）是軸對稱圖形直徑）是軸對稱圖形直徑CD所在的直所在的直線是它的對稱軸線是它的對稱軸（2） 線段：線段： AE=BE?。?，?。?，把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時，折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，兩側(cè)的兩個半圓重合，點點A與點與點B重合，重合，AE與與BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合直徑平分弦，并且直徑平分弦，并且平分及平分及OABCDE垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧思考：思考：平分弦（

4、不是直徑）的直徑有什么性質(zhì)？平分弦（不是直徑）的直徑有什么性質(zhì)？即即，AM=BM,n由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,CDAB,n由由 CD是直徑是直徑 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧弦，并且平分弦所對的兩條弧推論：推論：平分平分弦（不是直徑）的直徑弦（不是直徑）的直徑垂垂直直于弦于弦, ,并且并且平分平分弦所對的兩條弦所對的兩條弧弧. .（1）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（2）（3）（4）討論討論（1）（3）（2）（4）（5）（1）（4）（2）（3）

5、（5）（1）過圓心（）過圓心（2）垂直于）垂直于弦弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平分弦所對優(yōu)弧分弦所對優(yōu)弧 （5）平分）平分弦所對的劣弧弦所對的劣弧（3）（5）（3）（4）（1）（2）（5）（2）（4）（1）（3）（5）（2）（5）（1）（3）（4）（1）（2）（4）（4）（5）（1）（2）（3）OABCDM根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說。如果具備一條直線來說。如果具備（1）過圓心）過圓心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。┢椒窒宜鶎Φ膬?yōu)弧 （5）平分弦所對的劣?。┢椒窒宜鶎Φ牧踊∩鲜鑫鍌€條件中的任何兩

6、個條件都可以上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論推出其他三個結(jié)論結(jié)論結(jié)論你學會了嗎？你學會了嗎？一、判斷下列說法的正誤一、判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的弦平分弧的直徑必平分弧所對的弦 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是圓的直徑 平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦 在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對的弧必平分此弦所對的弧 分別過

7、弦的三等分點作弦的垂線，將弦所對分別過弦的三等分點作弦的垂線，將弦所對的兩條弧分別三等分的兩條弧分別三等分 OABCDM3 3半徑為半徑為2cm2cm的圓中，過半徑中點且的圓中，過半徑中點且 垂直于這條半徑的弦長是垂直于這條半徑的弦長是 。A AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E1 1半徑為半徑為4cm4cm的的OO中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圓心那么圓心O O到弦到弦ABAB的距離是的距離是 。2 O的直徑為的直徑為10cm，圓心，圓心O到弦到弦AB的的 距離為距離為3cm，則弦，則弦AB的長是的長是 。二、填空：二、填空：OABCD1.兩條

8、弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)4 4、OO的半徑為的半徑為10cm10cm，弦，弦ABCDABCD，AB=16AB=16，CD=12CD=12，則，則ABAB、CDCD間的距離是間的距離是_ _ . .1如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE2：已知：如圖，在以：已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于交小圓于C，D兩點。兩點。求證：求證：ACBD。E.ACDBO3、已知：、已知： O中弦中弦ABCD。

9、求證：求證：ACBD.MCDABON你能講解你能講解嗎？嗎？你能有一句話概括一下嗎？你能有一句話概括一下嗎？小結(jié)小結(jié): 解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。.CDABOMNE.ACDBO.ABOBODACR解決求趙州橋拱半徑的問題解決求趙州橋拱半徑的問題如圖，用如圖，用 表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為半徑為R經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O 作弦作弦AB 的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與與A

10、B 相交于點相交于點D，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是是AB 的中點，的中點，C是是 的中點，的中點，CD 就是拱高就是拱高7.218.7圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形, ,經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸. .垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦, ,并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧. . 垂徑定理垂徑定理: :在解決有關(guān)圓的問題時，可以利用垂徑定理將其轉(zhuǎn)化在解決有關(guān)圓的問題時，可以利用垂徑定理將其轉(zhuǎn)化為為解直角三角形解直角三角形的問題的問題 。根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條

11、直線來說。如果具備說。如果具備（1）過圓心）過圓心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。┢椒窒宜鶎Φ膬?yōu)弧 （5）平分弦所對的劣?。┢椒窒宜鶎Φ牧踊∩鲜鑫鍌€條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論2如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的兩條弦，兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE學生練習學生練習已知：已知：AB是是 O直徑，直徑，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求證：求證：ECDF.AOBECDF 在直徑為在直徑

12、為650mm650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后油后, ,油面寬油面寬AB=600mm,AB=600mm,求油的最大深度。求油的最大深度。ABOED(1)(2)BAOED例例1 如圖，已知在如圖，已知在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8厘米，圓心厘米，圓心O到到AB的距離為的距離為3厘米，求厘米，求 O的半徑的半徑.AEBO講解講解判斷判斷（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧弧.( )（2）弦所對的兩弧中點的連線，垂直于弦，并且）弦所對的兩弧中點的連線，垂直于弦，并且經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心.( )（3）圓中不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平）圓中不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分分.( )（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧兩條弧( )（5）圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（