CH條件異方差

1、時間序列分析時間序列分析自回歸條件異方差條件異方差模型條件異方差模型l金融衍生市場，計算期權等衍生工具的價格需要了解股票的波動率l金融風險管理,度量金融風險的大小，計算VaR。l改進參數估計量的有效性，提高預測區(qū)間的精確度。llKrPxlxKrxPcttlttltt21)/ln(),()(條件異方差條件異方差l幾個主要的條件異方差模型Engle(1982)ARCHBollerslev(1986)GARCHNelson(1991)EGARCH實證經驗實證經驗l波動率聚類性l波動是連續(xù)的，沒有突然的跳躍l波動率不趨于無窮，在一定范圍內變化 l波動率有杠桿效應 l名義利率。在名義利率水平比較高時，市

2、場的波動率也比較大 條件異方差模型條件異方差模型金融資產的收益率rt，t時刻前的信息為Ft1感興趣的是收益率的條件均值和條件方差金融資產收益率的一個特征是日收益率不存在或只存在微弱的相關性，但是日收益率的平方存在相關性，即收益率序列不相關但是也不獨立。)|(),|(121ttttttFrVarFrE條件異方差模型條件異方差模型建立關于收益率的條件均值和條件方差的模型)|()|(,1111ttttpiqiitiitittttFVarFrVarrcrARCH過程過程令v1, v2是獨立高斯白噪聲過程, 標準差為1 1,.)|(0.)|(1, 1ttttvvVarvvEARCH(q)ttth2211

3、0qtqtthVt是獨立白噪聲過程0 0, j O,j=1,q1,.)|(0.)|(1, 1ttttvvVarvvEARCH過程過程t 是ARCH(1)過程ttth2110tthARCH過程的性質過程的性質該過程表明,如果t-1異常的偏離他的條件期望0,那么t的條件方差要比通常情況下大, 所以有理由預期t會比較大.這樣使得比較大,反之,如果t-1異常的小,那么條件方差要比通常情況下小,所以有理由預期t會比較小. 這樣使得比較小. 雖然方差大或小會持續(xù)一端時間,但是不會一直持續(xù)下去,會回到無條件方差上去. ARCH過程性質過程性質邊際期望和邊際方差1022110211012211)()()()|

4、()()(0)()|()(ttttttttttttEEEFEEEVarvEhEFEEEARCH過程性質過程性質邊際四階矩E( 4t |F t1)3（01 2t-1）2E(4t)=m4=320 (1+1)/(1-1)(1-321)四階矩是正的，所以必須有211/3無條件峰度= E(4t)/ E(2t)2 = 3 (1 -21)/(1-321)大于3，所以t的分布的尾巴比正態(tài)分布的尾巴厚。ARCH過程特點過程特點令帶入ARCH(1)模型可以證明t是白噪聲過程 2t的形式類似于AR(1)（因為我們沒有證明t的方差是否有界。） tttttt2110221102tttttthE2212)(ARCH過程缺

5、點總結過程缺點總結l不能反應波動率的非對稱特點l約束強，要求系數非負，如果要求高階矩存在，還有更多的約束l不能解釋為什么存在異方差，只是描述了條件異方差的行為。建立ARCH模型1）建立收益率序列的計量模型，去掉任何線性關系，使用估計的殘差檢驗ARCH效果2）估計模型3）檢驗ARCH模型，根據情況修改模型。 建立模型建立模型1）建立一個計量模型ARCH過程最常見的應用是在回歸模型。 tttXYtptpttYYcY.11建立模型建立模型檢驗殘差是否存在條件異方差 l觀察殘差平方的偏自相關函數，如果q步截尾，則階數為ql對殘差平方使用Q檢驗，判斷是否存在自相關l使用LM檢驗法LM檢驗檢驗tqtqtt

6、eee221102零假設H0：i =0， i=1,2,q，即不存在條件異方差性 檢驗統(tǒng)計量： LM=TR2 , T是樣本點個數, LM服從2(q)分布 建立模型建立模型2）估計模型ttth22110qtptthTqtttthhL1221)ln(21)2ln(21)ln(tptpttYYcY.11建立模型建立模型3）檢驗模型 計算標準化后的殘差et /ht1/2，根據定義應該獨立同分布N(0,1)使用Q-檢驗法檢驗et /ht1/2是否有自相關使用Q檢驗法檢驗e2t /ht是否有自相關預測條件方差預測條件方差 條件方差等于2q2110qttth21210.) 1 (qTqTTh221022211

7、02.) 1 ()2(.qTqTTqTqTThhhARCH模型對條件方差的預測模型對條件方差的預測)(.) 1()(10qlhlhlhTqTT時間序列分析時間序列分析其他GARCH類模型GARCH（p,q）廣義自回歸條件異方差模型廣義自回歸條件異方差模型2211110qtqtptptthhkhttth211110ttthkhGARCH(1,1)GARCH性質性質1)當p=0時,成為ARCH過程,ARCH過程是GARCH的特例，這也是該過程被稱為廣義的原因。2)GARCH過程的含義是條件方差ht是ht-1,ht-p和 t-1, t-q的函數。3）參數i , i=1,2,q和i , i=1,2,p

8、大于零是保證條件方差為正的充分條件,而不是必要條件。4)2t平穩(wěn)的條件是1+q+1+ p 0同等程度的正擾動引起條件方差的變化比負擾動要大；0同等程度的正擾動引起條件方差的變化比負擾動要小; =0同等程度的正擾動引起條件方差的變化與負擾動相等。 EGARCH模型模型1）重要特征是引入不對稱性 2）參數沒有大于0的約束，因為對求對數后的條件方差建模，可以保證方差為對數。3）可以假設t廣義誤差分布4）假設vt是正態(tài)分布時E(|vt|)= (2/)1/2TGARCH模型模型21t2211110bSqtqtptptthhkh0; 0, 11SStARCH-M模型模型tttthgXy)(g()是條件方差

9、的函數通常是ht ，ln ht ttth22110qtptthARCH-M模型的應用模型的應用條件CAPM模型11111111111)|()|()|()|()|()|()()(ittMttMtfttMttMtfttMtitfttitfMifirVarrERRErERRERRERRERRE其他異方差模型其他異方差模型lQARCH-quadratic ARCH二次自回歸條件異方差lSTARCH-structural ARCH 結構自回歸條件異方差lSWARCH-switching ARCH開關自回歸條件異方差lQTARCH-quantitative threshold ARCH定量門限自回歸條件異

10、方差lDaigonal ARCHlFactor ARCH 條件異方差模型條件異方差模型例題和演示例題例題 研究臺灣新臺幣/美圓匯率。即1美圓=-臺幣。 數據區(qū)間1994：11，161995：3，8，每5分鐘記錄一次，共1341個樣本點。問題：匯率是否是可預測的？匯率市場是否是不對稱的？是否風險越大，要求的收益率越大？例題例題要回答問題1，需要采用AR模型，檢驗是否是一個隨機游動；回答問題2和3要用到EGARCH模型；問題4用到ARCH-M模型。所以采用AR-EGARCH-M 例題例題首先介紹一些符號用St表示匯率。Rt=(ln St -ln St-1)*100是匯率的收益率 tttttthRR

11、RR3322110|)(|lnln1111110tttttEhhttth00.0080.068 H0: 0=01-0.625-3.479* H0: 1=02-0.1079-4.965* H0: 2=03-0.1055-5.37* H0: 3=0-0.0048-1.916* H0: =010.959463.266* H0: 1=0-0.3766-1.6553 H0: =000.2912-3.291* H0: 0=010.1196-2.683* H0: 1=0例題例題如何利用模型解決問題？ 匯率是否是可預測的？ H0： 1=0，2=0，3=0 匯率市場是否是不對稱的？ H0: =0 是否風險越大，

12、要求的收益率越大 H0: =0 例例2：德國馬克對美元匯率：德國馬克對美元匯率DM=US/DM0.20.30.40.50.650010001500DMDLDM弱相關弱相關-0.04-0.020.000.020.040.0650010001500DLDMDLDM2相關相關0.0000.0010.0020.0030.00450010001500DLDM_PINGFACF OF DM非平穩(wěn)非平穩(wěn)0.930.940.950.960.970.980.9911.0112345678910 11 12 13 14 15系列1ACF OF DLDM平穩(wěn)平穩(wěn)-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.

13、040.060.0812345678910 11 12 13 14 15系列1ACF OF DLDM2拖尾拖尾00.020.040.060.080.10.120.140.1612345678910 11 12 13 14 15系列1Eviews操作操作ARCH1）Objects-new-equation得到一個窗口2）Method-arch得到一個窗口，可以輸入ARCH類模型3）view-residual tests4)procs-make residual -make GARCH variance seriesARCH LM TESTlARCH(1)=21.77 0.000003lARCH(

14、6)=83.46 0.00000MAKE MODELS1)ARCH(6)2)GARCH(1,1)3)EGARCH(1,1)AR(3)-GARCH(1,1)Estimation resultsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. DLDM(-1)-0.075665 0.025038-3.0220730.0025DLDM(-2)0.046101 0.0236961.9455300.0517DLDM(-3)0.050276 0.0229632.1894870.0286 Variance EquationC 1.40E-06 3.65E-07 3.851059 0

15、.0001ARCH(1)0.1020880.0110519.2378930.0000GARCH(1)0.8793400.01358264.745270.0000Conditional stand. variance0.0000.0050.0100.0150.0200.02550010001500Some testVtQ(20)=0.177 Q(36)=0.151V2tQ(20)=0.75 Q(36)=0.39時間序列分析時間序列分析VaR和GARCH風險價值概念風險價值概念金融機構通常這樣描述： 風險價值是一定數額的貨幣，是對未來的可能損失的估計。具體說是這樣一個數額的貨幣，預期一個交易日后，

16、損失超過該數額貨幣的可能性是1% 風險價值概念風險價值概念某銀行宣布，“只有1%的可能性，該銀行的資產在一天內的損失會多于350萬元?！币兀褐眯潘?9%90； 時間長度：一天一年； 損失：用絕對損失或比率在99%的置信水平下，一天內他的資產的VaR是350萬元。資產組合損失的可能取值損失的概率密度1Barings銀行破產銀行破產VaR分析分析-2頭寸情況空頭對敲（short straddle)策略:同時賣空35000份日經指數期貨的看跌和看漲期權.如果市場穩(wěn)定,那么可以獲得巨額期權費,但是由于神戶地震,日經指數一路下跌.期貨組合:N.Leeson賭日經指數會反彈, 買入日經指數期貨,賣空1

17、0年期日本國債期貨.這兩者負相關.Barings銀行破產銀行破產VaR分析分析-395%的概率對應的VaR期權組合的VaR =8.35億美元空頭跨坐策略的VaR=2200萬美元總實際損失13億美元總VaR=8.57億美元Barings銀行內部認為風險為0 方差協(xié)方差法方差協(xié)方差法 假設一個管理者有一個資產組合，該組合只有一種金融資產。 假設該資產的收益率服從正態(tài)分布，均值20，標準差30，當前該組合的價值為100(MILLION) 風險價值的計算風險價值的計算1）一年后該資產的價值的分布2）一年后損失超過20M的概率有多大，或者說一年后資產價值小于80M的概率有多大3）1的概率下的最大損失？即

18、VaR 一年后資產價格的分布一年后資產價格的分布一年以后資產價值P1=P0(1+R)分布是正態(tài)分布均值P0(1+0.2)=1.2*100=120M標準差P0*0.3=100*0.3=30M P1N(120,302) 問題問題2損失超過20M,即P1小于80M的概率p（P180）=p(Z(80-120)/30)=p(Z-1.333)=9.12% 問題問題3p(P1?)=1%P(z?)=1%-?=-2.33P1 120+30*(-2.33)=50.1損失為10050.149.91%顯著水平下的風險價值為49.9，有1的可能性一年后的損失超過49.9M。 單個股票資產的單個股票資產的VaR 表示樣本均值s表示樣