灰色關(guān)聯(lián)分析

1、設(shè)設(shè))(,)2(,)1(1111dnxdxdxXD )(,),2(),1(nxxxX nkxxkxdkx, 2 , 1, 0)1(,)1()()(1 為為則稱則稱1D,初值化算子初值化算子的的為為稱稱XXD1.初值象初值象設(shè)設(shè))(,)2(,)1(2222dnxdxdxXD )(,),2(),1(nxxxX ,)()(2Xkxdkx 為為則稱則稱1D,均值化算子均值化算子的的為為稱稱XXD1.均值象均值象 nkkxnX1)(1nk, 2 , 1 設(shè)設(shè))(,)2(,)1(3333dnxdxdxXD )(,),2(),1(nxxxX ,)(min)(max)(min)()(3kxkxkxkxdkxk

2、kk 定義定義3為為則稱則稱3D,區(qū)間值化算子區(qū)間值化算子的的為為稱稱XXD3.區(qū)間值象區(qū)間值象nk, 2 , 1 命題命題1 、D1初值化算子初值化算子2D均值化算子均值化算子3D算子算子皆可使序列無量綱化皆可使序列無量綱化.和區(qū)間值化和區(qū)間值化設(shè)設(shè))(,)2(,)1(4444dnxdxdxXD ),(,),2(),1(nxxxX ),(1)(4kxdkx 定義定義4為為則稱則稱4D,逆化算子逆化算子的的為為稱稱XXD4.逆化象逆化象nk, 2 , 1 1 , 0)( kx設(shè)設(shè))(,)2(,)1(5555dnxdxdxXD )(,),2(),1(nxxxX ,)(1)(5kxdkx 定義定義

3、5為為則稱則稱5D,倒數(shù)化算子倒數(shù)化算子的的為為稱稱XXD5.倒數(shù)化象倒數(shù)化象nk, 2 , 1 , 0)( kx命題命題2,0呈負(fù)相關(guān)關(guān)系呈負(fù)相關(guān)關(guān)系和系統(tǒng)主行為和系統(tǒng)主行為若系統(tǒng)因素若系統(tǒng)因素XXi4DXXii的逆化算子作用象的逆化算子作用象則則和倒數(shù)化算子作用和倒數(shù)化算子作用.0具具有有正正相相關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)系系與與X5DXi象象命題命題1,0為增長(zhǎng)序列為增長(zhǎng)序列設(shè)系統(tǒng)特征行為序列設(shè)系統(tǒng)特征行為序列X,為相關(guān)因素行為序列為相關(guān)因素行為序列iX則有則有:,)1(為增長(zhǎng)序列時(shí)為增長(zhǎng)序列時(shí)當(dāng)當(dāng)iX,0為正相關(guān)關(guān)系為正相關(guān)關(guān)系與與XXi,)2(為衰減序列時(shí)為衰減序列時(shí)當(dāng)當(dāng)iX.0為負(fù)相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)關(guān)

4、系與與XXi轉(zhuǎn)化為正相關(guān)關(guān)系轉(zhuǎn)化為正相關(guān)關(guān)系. 負(fù)相關(guān)關(guān)系可通過負(fù)相關(guān)關(guān)系可通過逆化算子逆化算子或或倒數(shù)化算子倒數(shù)化算子),(,),2(),1(nxxxX 設(shè)設(shè)則稱則稱, 3 , 2),1()()1(nkkxkx ;, 1上的斜率上的斜率kk 在在為為X, 2 , 1,)()()2(nkkskskxsx ;,上的斜率上的斜率在在skX為為1)1()()3( nxnx .的平均斜率的平均斜率為為XminxxxXiiii, 2 , 1),(,),2(),1( )(,),2(),1(nxxxX ),(),(0kxkxi 給定實(shí)數(shù)給定實(shí)數(shù)若若 nkiikxkxnXX100)(),(1),( 滿足滿足:

5、(1) 規(guī)范性規(guī)范性, 1),(00 iXX iiXXXX 001),( (2) 整體性整體性mjijiXXXXijji, 1 , 0,),(),( (3) 偶對(duì)稱性偶對(duì)稱性jiijjiXXXXXX,),(),(只有兩個(gè)序列只有兩個(gè)序列 (4) 接近性接近性,)()(0越小越小kxkxi 越大越大)(),(0kxkxi ),(,),2(),1(nxxxXiiii 設(shè)設(shè)mi, 1 , 0 ),1 , 0( 對(duì)于對(duì)于令令)()(maxmax)()()()(maxmax)()(minmin0000kxkxkxkxkxkxkxkxikiiikiiki )(),(0kxkxi )(, )(1),(100

6、kxkxnXXinki ,),(0滿滿足足灰灰關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)四四公公理理則則iXX .稱稱為為分分辨辨系系數(shù)數(shù) ,),(00的的灰灰色色關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)度度與與稱稱為為iiXXXX :),(0的的計(jì)計(jì)算算步步驟驟iXX 第一步第一步: 求各序列的初值象求各序列的初值象(均值象均值象):)(,),2(),1()1(nxxxxXXiiiiii mi, 1 , 0 第二步第二步: 求差序列求差序列. 記記, )()()(0kxkxkii )(,),2(),1(niiii mi, 1 第三步第三步:求兩極最大差和兩極最小差求兩極最大差和兩極最小差.記記),(maxmaxkMiki )(minminkmiki 第四步

7、第四步: 求關(guān)聯(lián)系數(shù)求關(guān)聯(lián)系數(shù),)()(0MkMmkii )1 , 0( mi, 1 nk, 2 , 1 第五步第五步:計(jì)算關(guān)聯(lián)度計(jì)算關(guān)聯(lián)度., )(1100 nkiikn mi, 1 例例1商商業(yè)業(yè)各各部部門門的的行行為為工工業(yè)業(yè)、農(nóng)農(nóng)業(yè)業(yè)、運(yùn)運(yùn)輸輸業(yè)業(yè)、)4(),3(),2(),1(11111xxxxX :數(shù)據(jù)如下數(shù)據(jù)如下工工業(yè)業(yè)：)9 .41, 3 .42, 4 .43, 8 .45( )4(),3(),2(),1(22222xxxxX 農(nóng)農(nóng)業(yè)業(yè)：)9 .44, 9 .43, 6 .41, 1 .39( )4(),3(),2(),1(33333xxxxX 運(yùn)運(yùn)輸輸業(yè)業(yè)：)5 . 3 ,

8、5 . 3 , 3 . 3 , 4 . 3( )4(),3(),2(),1(11111xxxxX 商商業(yè)業(yè)：)9 .41, 3 .42, 4 .43, 8 .45( 1先以先以 為系統(tǒng)特征序列為系統(tǒng)特征序列求關(guān)聯(lián)度求關(guān)聯(lián)度:1X第一步第一步：求初值像：求初值像),4(),3(),2(),1()1(/iiiiiiixxxxxXX 由由, 4 , 3 , 2 , 1 i)9138. 0 ,9235. 0 ,9475. 0 , 1(1 X)1483. 1 ,1227. 1 ,063. 1 , 1(2 X)0294. 1 ,0294. 1 ,97. 0 , 1(3 X)7 . 0 ,805. 0 ,0

9、148. 1 , 1(4 X第二步第二步：求差序列：求差序列, 4 , 3 , 2; )()()(1 ikxkxkii 由由得得:)2335. 0 ,1992. 0 ,1155. 0 , 0(2 )1146. 0 ,1059. 0 ,0225. 0 , 0(3 )2148. 0 ,1185. 0 ,0674. 0 , 0(4 得得第三步第三步：求兩極差：求兩極差)(maxmaxkMiki 2335. 0 )(minminkmiki 0 第四步第四步：計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)：計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)有有取取, 5 . 0 ,11675. 0)(11675. 0)(1 kkii 從而從而3333. 0)4(,3695.

10、 0)3(,503. 0)2(, 1)1(12121212 504. 0)4(,5244. 0)3(,8384. 0)2(, 1)1(13131313 352. 0)4(,4963. 0)3(,634. 0)2(, 1)1(14141414 4 , 3 , 2 i4 , 3 , 2 , 1 k第五步第五步：求灰色關(guān)聯(lián)度：求灰色關(guān)聯(lián)度551. 0)(41411212 kk 717. 0)(41411313 kk 621. 0)(41411414 kk 2對(duì)于對(duì)于 為系統(tǒng)特征序列，為系統(tǒng)特征序列，2X由由, 4 , 3 , 1, )()()(2 ikxkxkii 得得)2335. 0 ,1992.

11、 0 ,1155. 0 , 0(1 )1189. 0 ,0933. 0 ,093. 0 , 0(3 )4483. 0 ,3177. 0 ,0481. 0 , 0(4 于是于是)(maxmaxkMiki 4483. 0 )(minminkmiki 0 有有取取, 5 . 0 22415. 0)(22415. 0)(2 kkii 從而從而3333. 0)4(,3695. 0)3(,503. 0)2(, 1)1(21212121 504. 0)4(,5244. 0)3(,8384. 0)2(, 1)1(23232323 352. 0)4(,4963. 0)3(,634. 0)2(, 1)1(2424

12、2424 于是于是670. 0)(41412121 kk 766. 0)(41412323 kk 643. 0)(41412424 kk 關(guān)聯(lián)公理中的關(guān)聯(lián)公理中的整體性整體性。聯(lián)系聯(lián)系1中結(jié)果中結(jié)果 ，551. 012 顯然顯然 這正是灰色這正是灰色2112 3廣廣義義灰灰色色關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)度度一、灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度一、灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度命題命題4.1 設(shè)行為序列設(shè)行為序列)(,),2(),1(nxxxXiiii 記折線記折線)1()(,),1()2(),1()1(iiiiiixnxxxxx 令令為為),1(iixX niiidtxXs1)1(則則1當(dāng)當(dāng) 為增長(zhǎng)序列時(shí)，為增長(zhǎng)序列時(shí)，iX; 0 is2當(dāng)當(dāng)

13、為衰減序列時(shí)，為衰減序列時(shí)，iX; 0 is3當(dāng)當(dāng) 為震蕩序列時(shí)，為震蕩序列時(shí)，iX.符號(hào)不定符號(hào)不定is定義定義4.1設(shè)行為序列設(shè)行為序列),(,),2(),1(nxxxXiiii D為序列算子，且為序列算子，且)(,)2(,)1(dnxdxdxDXiiii 其中，其中，nkxkxdkxiii, 2 , 1),1()()( ，則稱，則稱D為始點(diǎn)零化算子，為始點(diǎn)零化算子，iiXDX為為的始點(diǎn)零化像，的始點(diǎn)零化像，記為記為)(,),2(),1(0000nxxxXiiii 命題命題4.2設(shè)行為序列設(shè)行為序列)(,),2(),1(nxxxXiiii )(,),2(),1(nxxxXjjjj 的始點(diǎn)零

14、化像分別為的始點(diǎn)零化像分別為)(,),2(),1(0000nxxxXiiii )(,),2(),1(0000nxxxXjjjj 令令 njijidtXXss100)(則則; 0 jiss3若若,00相交相交與與jiXX.符號(hào)不定符號(hào)不定jiss 1當(dāng)當(dāng) 恒在恒在 上方，上方，0iX0jX; 0 jiss2當(dāng)當(dāng) 恒在恒在 下方，下方，0iX0jX(4.1)定義定義4.2稱序列稱序列 各個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)間時(shí)距之和為各個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)間時(shí)距之和為iXiX的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度.定義定義4.3長(zhǎng)長(zhǎng)度度相相同同，與與設(shè)設(shè)序序列列iXX01 . 4,0如命題如命題iss所示，所示，則稱則稱iiiissssss 000011 為

15、為 與與 的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度，的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度，iX0X簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱絕對(duì)關(guān)聯(lián)度絕對(duì)關(guān)聯(lián)度。注：注： 對(duì)于長(zhǎng)度不同的序列，對(duì)于長(zhǎng)度不同的序列， 可采取刪去較長(zhǎng)序列可采取刪去較長(zhǎng)序列過剩數(shù)據(jù)過剩數(shù)據(jù)或用灰色系統(tǒng)或用灰色系統(tǒng)GM(1,1)進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)行預(yù)測(cè)，補(bǔ)齊補(bǔ)齊較短序列不足數(shù)據(jù)等措施，較短序列不足數(shù)據(jù)等措施，化成長(zhǎng)度相同的序列?；砷L(zhǎng)度相同的序列。但這樣一般會(huì)影響灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度的值。但這樣一般會(huì)影響灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度的值。定理定理4.1灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度iiiissssss 000011 滿足灰色關(guān)聯(lián)公理中規(guī)范性、滿足灰色關(guān)聯(lián)公理中規(guī)范性、偶對(duì)對(duì)稱性與接近性，偶對(duì)對(duì)稱性與接近性，但不滿足整體性。

16、但不滿足整體性。命題命題4.3的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度相相同同，與與設(shè)設(shè)序序列列iXX0令令bXXaXXii ,00為常數(shù)。為常數(shù)。其中其中ba,，的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度為的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度為與與若若iiXX00 ii00 則則定義定義4.4若序列若序列 各對(duì)相鄰觀測(cè)數(shù)據(jù)間時(shí)距相同，各對(duì)相鄰觀測(cè)數(shù)據(jù)間時(shí)距相同，X則稱則稱 為為等時(shí)距序列。等時(shí)距序列。X引理引理4.1設(shè)設(shè) 為等時(shí)距序列，為等時(shí)距序列，X，1 l若其時(shí)距若其時(shí)距則時(shí)則時(shí)間軸變換間軸變換TTt:ltt/可將可將 化為化為1-時(shí)距序列。時(shí)距序列。X引理引理4.2的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度相相同同，與與設(shè)設(shè)序序列列iXX0且皆為且皆為1-時(shí)距時(shí)距序列，而序列，而)(,)

17、,2(),1(00000000nxxxX )(,),2(),1(0000nxxxXiiii 的的始始點(diǎn)點(diǎn)零零化化像像，與與分分別別為為序序列列iXX0則則)(21)(002000nxkxsnk )(21)(0120nxkxsinkii iss 0)()(21)()(00012000nxnxkxkxinki 定理定理4.2的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度相相同同，與與設(shè)設(shè)序序列列iXX0當(dāng)它們時(shí)距不當(dāng)它們時(shí)距不同或至少有一個(gè)非等時(shí)距序列時(shí)，同或至少有一個(gè)非等時(shí)距序列時(shí)， 若通過均值生成若通過均值生成填補(bǔ)相應(yīng)空穴使之化成時(shí)距相同的等時(shí)距序列，填補(bǔ)相應(yīng)空穴使之化成時(shí)距相同的等時(shí)距序列， 則則此時(shí)灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度此時(shí)灰色絕

18、對(duì)關(guān)聯(lián)度 不變。不變。i0 注：注：對(duì)于序列中兩個(gè)行為數(shù)據(jù)之間有多個(gè)空穴的情形，對(duì)于序列中兩個(gè)行為數(shù)據(jù)之間有多個(gè)空穴的情形，可采取分層逐次進(jìn)行可采取分層逐次進(jìn)行均值生成均值生成依次填補(bǔ)空穴，依次填補(bǔ)空穴，亦可亦可通過作圖，通過作圖， 將空穴左鄰第一個(gè)數(shù)據(jù)與右鄰第一個(gè)數(shù)據(jù)將空穴左鄰第一個(gè)數(shù)據(jù)與右鄰第一個(gè)數(shù)據(jù)連成直線，連成直線，按照時(shí)序在直線上依次填補(bǔ)空穴。按照時(shí)序在直線上依次填補(bǔ)空穴。同理同理可證，可證，這樣不會(huì)改變灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度的值。這樣不會(huì)改變灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度的值。例例1設(shè)序列設(shè)序列)7(),5(),4(),3(),2(),1(0000000 xxxxxxX )98,70,46()7(),3(

19、),1(1111 xxxX)16,14,14,15, 9 ,10( .01 試求其絕對(duì)關(guān)聯(lián)度試求其絕對(duì)關(guān)聯(lián)度解：解：時(shí)時(shí)距距相相同同的的序序列列?；癁闉榕c與將將01XX1令令)7()3(21)5(11xxx1 84)9870(21 )3()1(21)2(11xxx1 58)7046(21 )5()3(21)4(11xxx1 77)8470(21 于是有于是有)7(),5(),4(),3(),2(),1(1111111xxxxxxX )98,84,77,70,58,46( 2化化為為等等時(shí)時(shí)距距序序列列。將將10,XX令令15)7()5(21)6(000 xxx91)7()5(21)6(111

20、 xxx于是有于是有)7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(00000000 xxxxxxxX )16,15,14,14,15, 9 ,10( )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(11111111xxxxxxxX )98,91,84,77,70,58,46( 已皆為已皆為1-時(shí)距序列。時(shí)距序列。3求始點(diǎn)零化像，得求始點(diǎn)零化像，得)7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(0000000000000000 xxxxxxxX )6 , 5 , 4 , 4 , 5 , 1, 0( )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(010101010101

21、0101xxxxxxxX )52,45,38,31,24,12, 0( 40110,ssss 和和求求)7(21)(0062000 xkxsk 20 )7(21)(0162011xkxsk 176 )7()7(21)()(0001620001xxkxkxk 01ss 156 5計(jì)算灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度計(jì)算灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度1010100111ssssss 353197 5581. 0 定理定理4.3 灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度 具有下列性質(zhì)：具有下列性質(zhì)：i0 1; 100 i 2，XXii的的幾幾何何形形狀狀有有關(guān)關(guān)和和只只與與00 而與其空間而與其空間相對(duì)位置無關(guān)。相對(duì)位置無關(guān)。或者說，或者說，平

22、移不改變絕對(duì)關(guān)聯(lián)度的值；平移不改變絕對(duì)關(guān)聯(lián)度的值；3 任何兩個(gè)序列都不是絕對(duì)無關(guān)的，任何兩個(gè)序列都不是絕對(duì)無關(guān)的，不為零；不為零；即即 恒恒i0 4幾幾何何上上相相似似程程度度越越大大，與與0XXi越越大大；i0 5平平行行，與與當(dāng)當(dāng)0XXi擺擺動(dòng)動(dòng)，圍圍繞繞或或000XXi在在且且0iX，之之下下部部分分的的面面積積相相等等時(shí)時(shí)在在000XXi；10 i 之上部分的面積與之上部分的面積與00X定理定理4.3 灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度 具有下列性質(zhì)：具有下列性質(zhì)：i0 67長(zhǎng)長(zhǎng)度度變變化化，iXX08, 100 9中中任任一一觀觀測(cè)測(cè)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)變變化化時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)0XXi亦亦變變；i0 將隨

23、之變化將隨之變化i0 ; 1 ii .00ii 定義定義4.5長(zhǎng)長(zhǎng)度度相相同同，與與設(shè)設(shè)序序列列iXX0且初值皆不且初值皆不等于零等于零,00的的初初值值像像分分別別為為iiXXXX iX 與與則稱則稱0X的的灰灰色色絕絕對(duì)對(duì)關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)度度為為,0的的灰灰色色相相對(duì)對(duì)關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)度度與與iXX簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱為稱為相對(duì)關(guān)聯(lián)度相對(duì)關(guān)聯(lián)度,.0ir記記為為命題命題4.4等等于于為為長(zhǎng)長(zhǎng)度度相相同同且且初初值值皆皆不不與與設(shè)設(shè)iXX0,零零的的序序列列,0,0為常數(shù)為常數(shù)其中其中若若 ccXXi. 10 ir則則命題命題4.5等等于于為為長(zhǎng)長(zhǎng)度度相相同同且且初初值值皆皆不不與與設(shè)設(shè)iXX0,零零的的序序列列則其相對(duì)

24、關(guān)聯(lián)度則其相對(duì)關(guān)聯(lián)度ir0i0 與絕對(duì)關(guān)聯(lián)度與絕對(duì)關(guān)聯(lián)度沒沒有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系,較大時(shí)，較大時(shí)，當(dāng)當(dāng)i0 可能很??；可能很?。籭r0很小時(shí)，很小時(shí)，i0 .0也可能很大也可能很大ir例例2設(shè)序列設(shè)序列)7(),5(),4(),3(),2(),1(0000000 xxxxxxX )98,70,46()7(),3(),1(1111 xxxX)16,14,14,15, 9 ,10( 試求二者的相對(duì)關(guān)聯(lián)度。試求二者的相對(duì)關(guān)聯(lián)度。解：解：1 由由例例1知，知，的的等等時(shí)時(shí)距距序序列列為為與與10XX)7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(00000000 xxxxxxxX )16,15,

25、14,14,15, 9 ,10( )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(11111111xxxxxxxX )98,91,84,77,70,58,46( 2初初值值像像與與求求10XX)6 . 1 , 5 . 1 , 4 . 1 , 4 . 1 , 5 . 1 , 9 . 0 , 1(0 X)13. 2 ,98. 1 ,83. 1 ,67. 1 ,52. 1 ,26. 1 , 1(1 X3的始點(diǎn)零化像的始點(diǎn)零化像求求10,XX )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(0000000000000000 xxxxxxxX )6 . 0 , 5 . 0 , 4 . 0 ,

26、 4 . 0 , 5 . 0 , 1 . 0, 0( )7(),6(),5(),4(),3(),2(),1(0101010101010101xxxxxxxX )13. 1 ,98. 0 ,83. 0 ,67. 0 ,52. 0 ,26. 0 , 0( 40110,ssss 和和求求)7(21)(0062000 xkxsk 6 . 0215 . 04 . 04 . 05 . 0)1 . 0( 2 )7()7(21)()(0001620001xxkxkxk 01ss 925. 1 )7(21)(0162011xkxsk 828. 3 5計(jì)算灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度計(jì)算灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度1010100111ssssssr 75. 8825. 6 78. 0 命題命題4.6等等于于為為長(zhǎng)長(zhǎng)度度相相同同且且初初值值皆皆不不與與設(shè)設(shè)iXX0,零零的的序序列列為為非非零零常常數(shù)數(shù)，ba,的相對(duì)關(guān)聯(lián)度的相對(duì)關(guān)聯(lián)度與與ibXaX0,0ir 為為.00iirr 則則或者說，或者說，數(shù)乘不改變相對(duì)關(guān)聯(lián)度數(shù)乘不改變相對(duì)關(guān)聯(lián)度。定理定理4.51; 100 ir2灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度 具有下列性質(zhì)：具有下列性質(zhì)：ir0率率的相對(duì)于始點(diǎn)的變化速的相對(duì)于始點(diǎn)的變化速和和只與只與iiXXr00有關(guān)，有關(guān)，