模糊數(shù)學(xué)課件

1、1模糊數(shù)學(xué)緒論模糊數(shù)學(xué)緒論用數(shù)學(xué)的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為：用數(shù)學(xué)的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為：1.確定性現(xiàn)象：如水加溫到確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠經(jīng)典數(shù)學(xué)去刻畫；性靠經(jīng)典數(shù)學(xué)去刻畫； 2.隨機現(xiàn)象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律隨機現(xiàn)象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠概率統(tǒng)計去刻畫性靠概率統(tǒng)計去刻畫;3.模糊現(xiàn)象：如模糊現(xiàn)象：如 “今天天氣很熱今天天氣很熱”，“小伙子很高小伙子很高”，等等等。等。此話準確嗎？有多大的水分？靠模糊數(shù)學(xué)去刻畫。此話準確嗎？有多大的水分？靠模糊數(shù)學(xué)去刻畫。 2年

2、輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、長、短、貴、賤、強、弱、軟、硬、高、低、長、短、貴、賤、強、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨、清晨、禮品。陰天、多云、暴雨、清晨、禮品。共同特點：共同特點：模糊概念的外延不清楚。模糊概念的外延不清楚。模糊概念導(dǎo)致模糊現(xiàn)象模糊概念導(dǎo)致模糊現(xiàn)象模糊數(shù)學(xué)緒論模糊數(shù)學(xué)緒論3產(chǎn)生產(chǎn)生1965年，年，L.A. Zadeh（扎德）（扎德） 發(fā)表了文章發(fā)表了文章模糊集模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )基本思想基本思想用屬于程度代替屬于或不屬于。用屬于程度

3、代替屬于或不屬于。某個人屬于高個子的程度為某個人屬于高個子的程度為0.8, 另一個人屬于另一個人屬于高個子的程度為高個子的程度為0.3等等.模糊數(shù)學(xué)緒論模糊數(shù)學(xué)緒論4模糊代數(shù)，模糊拓撲，模糊邏輯，模糊分析，模糊代數(shù)，模糊拓撲，模糊邏輯，模糊分析，模糊概率，模糊圖論，模糊優(yōu)化等模糊數(shù)學(xué)分支模糊概率，模糊圖論，模糊優(yōu)化等模糊數(shù)學(xué)分支 涉及學(xué)科涉及學(xué)科分類、識別、評判、預(yù)測、控制、排序、選擇；分類、識別、評判、預(yù)測、控制、排序、選擇； 模糊產(chǎn)品模糊產(chǎn)品洗衣機、攝象機、照相機、電飯鍋、空調(diào)、電梯洗衣機、攝象機、照相機、電飯鍋、空調(diào)、電梯人工智能、控制、決策、專家系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)、土木、人工智能、控制、決策、

4、專家系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)、土木、農(nóng)業(yè)、氣象、信息、經(jīng)濟、文學(xué)、音樂農(nóng)業(yè)、氣象、信息、經(jīng)濟、文學(xué)、音樂模糊數(shù)學(xué)緒論模糊數(shù)學(xué)緒論5模糊數(shù)學(xué)緒論模糊數(shù)學(xué)緒論 課堂主要內(nèi)容課堂主要內(nèi)容一、基本概念一、基本概念二、主要應(yīng)用二、主要應(yīng)用1. 模糊聚類分析模糊聚類分析對所研究的事物按一定標準進行分類對所研究的事物按一定標準進行分類模糊集，隸屬函數(shù)，模糊關(guān)系與模糊矩陣模糊集，隸屬函數(shù)，模糊關(guān)系與模糊矩陣例如，給出不同地方的土壤，根據(jù)土壤中氮磷以例如，給出不同地方的土壤，根據(jù)土壤中氮磷以及有機質(zhì)含量，及有機質(zhì)含量，PH值，顏色，厚薄等不同的性值，顏色，厚薄等不同的性狀，對土壤進行分類。狀，對土壤進行分類。62.模糊模式識

5、別模糊模式識別已知某類事物的若干標準模型，已知某類事物的若干標準模型，給出一個具體的對象，確定把它歸于哪給出一個具體的對象，確定把它歸于哪 一類模型。一類模型。模糊數(shù)學(xué)緒論模糊數(shù)學(xué)緒論例如：蘋果分級問題例如：蘋果分級問題蘋果，有蘋果，有I級，級，II級，級，III級，級，IV級級四個等級。四個等級?，F(xiàn)有一個具體的蘋果，如何判斷它的級別?，F(xiàn)有一個具體的蘋果，如何判斷它的級別。73.模糊綜合評判模糊綜合評判從某一事物的多個方面進行綜合評價從某一事物的多個方面進行綜合評價模糊數(shù)學(xué)緒論模糊數(shù)學(xué)緒論例如：某班學(xué)生對于對某一教師上課進行評價例如：某班學(xué)生對于對某一教師上課進行評價從從清楚易懂，教材熟練，生

6、動有趣，板書清晰清楚易懂，教材熟練，生動有趣，板書清晰四方面四方面給出給出很好，較好，一般，不好很好，較好，一般，不好四層次的評價四層次的評價最后問該班學(xué)生對該教師的綜合評價究竟如何。最后問該班學(xué)生對該教師的綜合評價究竟如何。4.模糊線性規(guī)劃模糊線性規(guī)劃將線性規(guī)劃的約束條件或目標函數(shù)模糊將線性規(guī)劃的約束條件或目標函數(shù)模糊化，引入隸屬函數(shù)，從而導(dǎo)出一個新的線性規(guī)劃問題，其最優(yōu)化，引入隸屬函數(shù)，從而導(dǎo)出一個新的線性規(guī)劃問題，其最優(yōu)解稱為原問題的模糊最優(yōu)解解稱為原問題的模糊最優(yōu)解8模糊數(shù)學(xué)模糊數(shù)學(xué)模糊集合及其運算模糊集合及其運算模糊聚類分析模糊聚類分析模糊模式識別模糊模式識別模糊綜合評判模糊綜合評判

7、模糊線性規(guī)劃模糊線性規(guī)劃9一、經(jīng)典集合與特征函數(shù)一、經(jīng)典集合與特征函數(shù) 集合：集合：具有某種特定屬性的對象集體。具有某種特定屬性的對象集體。通常用大寫字母通常用大寫字母A、B、C等表示。等表示。論域：論域：對局限于一定范圍內(nèi)進行討論的對象的全體。對局限于一定范圍內(nèi)進行討論的對象的全體。通常用大寫字母通常用大寫字母U、V、X、Y等表示。等表示。論域論域U中的每個對象中的每個對象u稱為稱為U的的元素元素。模糊集合及其運算模糊集合及其運算10. uAA. uAuAu模糊集合及其運算模糊集合及其運算11在論域在論域U中任意給定一個元素中任意給定一個元素u及任意給定一個及任意給定一個經(jīng)典集合經(jīng)典集合A，

8、則必有，則必有 或者或者 ，用函數(shù)表示為：，用函數(shù)表示為：Au Au ),( 1 , 0:uuUAA 其中其中 AuAuuA , 0 , 1)( 函數(shù)函數(shù) 稱為集合稱為集合A的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。A 模糊集合及其運算模糊集合及其運算非此即彼非此即彼12模糊集合及其運算模糊集合及其運算亦此亦彼亦此亦彼UA模糊集合模糊集合 ,A元素元素 x若若 x 位于位于 A 的內(nèi)部，的內(nèi)部， 則用則用1來記錄，來記錄，若若 x 位于位于 A 的外部，的外部， 則用則用0來記錄，來記錄，若若 x 一部分位于一部分位于 A 的內(nèi)部，一部分位于的內(nèi)部，一部分位于 A 的外部，的外部，則用則用 x 位于位于 A 內(nèi)

9、部的長度來表示內(nèi)部的長度來表示 x 對于對于 A 的隸屬程度。的隸屬程度。13 0, 1 0, 1 特征函數(shù)特征函數(shù)隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)二、模糊子集二、模糊子集定義：定義：設(shè)設(shè)U是論域，稱映射是論域，稱映射1 , 0)( ,1 , 0: xxUAA 確定了一個確定了一個U上的上的模糊子集模糊子集 。映射。映射 稱為稱為 的的隸屬函隸屬函AA A數(shù)數(shù)， 稱為稱為 對對 的隸屬程度，簡稱的隸屬程度，簡稱隸屬度隸屬度。)(xA xA14模糊子集模糊子集 由隸屬函數(shù)由隸屬函數(shù) 唯一確定，故認為二者唯一確定，故認為二者AA 是等同的。為簡單見，通常用是等同的。為簡單見，通常用A來表示來表示 和和 。AA 模

10、糊集合及其運算模糊集合及其運算)(xA 越接近于越接近于0, 表示表示 x 隸屬于隸屬于A 的程度越小；的程度越??；)(xA 越接近于越接近于1, 表示表示 x 隸屬于隸屬于A 的程度越大；的程度越大；)(xA 0.5, 最具有模糊性，過渡點最具有模糊性，過渡點15模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211 這里這里 表示表示 對模糊集對模糊集A的隸屬度是的隸屬度是 。iixxA)(ix)(ixA如如“將一將一1,2,3,4組成一個小數(shù)的集合組成一個小數(shù)的集合”可表示為可表示為4032 .

11、 028 . 011 A可省略可省略模糊集合及其運算模糊集合及其運算16表示方法表示方法1的說明的說明v不是分式求和，只是一個符號不是分式求和，只是一個符號v“分母分母”是論域是論域X的元素的元素v“分子分子”是相應(yīng)元素的隸屬度是相應(yīng)元素的隸屬度v當隸屬度為當隸屬度為0時，該項可以不寫入時，該項可以不寫入nnxxAxxAxxAA)()()(2211 17（3）向量表示法）向量表示法)(,),(),(21nxAxAxAA （2）序偶表示法）序偶表示法)(,( ,),(,(),(,(2211nnxAxxAxxAxA 若論域若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：為無限集，其上的模糊集表示為： Uxx

12、xAA)(模糊集合及其運算模糊集合及其運算18例例1. 有有100名消費者，對名消費者，對5種商品種商品 評價，評價，結(jié)果為：結(jié)果為：54321,xxxxx81人認為人認為x1 質(zhì)量好，質(zhì)量好，53人認為人認為x2 質(zhì)量好，質(zhì)量好，所有人認為所有人認為x3 質(zhì)量好，沒有人認為質(zhì)量好，沒有人認為x4 質(zhì)量好，質(zhì)量好，24人人認為認為x5 質(zhì)量好質(zhì)量好則模糊集則模糊集A（質(zhì)量好）（質(zhì)量好）5432124. 00153. 081. 0 xxxxxA19 例例2：考慮年齡集：考慮年齡集U=0,100，O=“年老年老”，O也是一個年齡集，也是一個年齡集，u = 20 O，40 呢？呢？札德給出了札德給出

13、了 “ “年老年老” ” 集函數(shù)刻畫集函數(shù)刻畫: :10050)550(1 (5000)(12uuuuO10U5010020再如，再如，Y= “= “年輕年輕”也是也是U的一個子集，只是不同的年齡段隸屬的一個子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，札德給出它的隸屬函數(shù)：于這一集合的程度不一樣，札德給出它的隸屬函數(shù)：10025)525(1 (2501)(12uuuuY102550UB（u）21則模糊集則模糊集O（年老）（年老）1005012500)550(1 (0uuuuuO1002512250)525(1 (1uuuuuY模糊集模糊集Y（年輕）（年輕）222、模糊集的運算、模糊集的運

14、算定義：定義：設(shè)設(shè)A，B是論域是論域U的兩個模糊子集，定義的兩個模糊子集，定義相等：相等：UxxBxABA ),()(包含：包含：UxxBxABA ),()(并：并：UxxBxAxBA),()()( 交：交：UxxBxAxBA ),()()(余：余：UxxAxAc ),(1)( 表示取大；表示取大； 表示取小。表示取小。 模糊集合及其運算模糊集合及其運算23例例3.模糊集合及其運算模糊集合及其運算543215 . 08 . 019 . 03 . 0 xxxxxA543216 . 03 . 08 . 01 . 02 . 0 xxxxxB則：則：BA54321xxxxx0.30.910.80.6B

15、A54321xxxxx0.20.10.80.30.524模糊集合及其運算模糊集合及其運算并交余計算的性質(zhì)并交余計算的性質(zhì)1. 冪等律冪等律,AAAAAA2. 交換律交換律,ABBAABBA3. 結(jié)合律結(jié)合律CBACBACBACBA)()(,)()(4. 吸收律吸收律ABAAABAA)(,)(25模糊集合及其運算模糊集合及其運算6. 0-1律律AUAUUAAAA,7. 還原律還原律,)(AAcc8. 對偶律對偶律,)( ,)(ccccccABBABABA5. 分配律分配律)()()(),()()(CABACBACABACBA26幾個常用的算子：幾個常用的算子：（1）Zadeh算子算子),( ,m

16、in,maxbabababa （2）取大、乘積算子）取大、乘積算子),( abbababa ,max（3）環(huán)和、乘積算子）環(huán)和、乘積算子), ( abbaabbaba ,模糊集合及其運算模糊集合及其運算27（4）有界和、取小算子）有界和、取小算子),( ,min),(1babababa （5）有界和、乘積算子）有界和、乘積算子),( abbababa ),(1（6）Einstain算子算子),( )1)(1(1,1baabbaabbaba 模糊集合及其運算模糊集合及其運算28三、隸屬函數(shù)的確定三、隸屬函數(shù)的確定1、模糊統(tǒng)計法、模糊統(tǒng)計法模糊統(tǒng)計試驗的四個要素：模糊統(tǒng)計試驗的四個要素：（1）論域

17、）論域U；（2）U中的一個固定元素中的一個固定元素;0u（3）U中的一個隨機運動集合中的一個隨機運動集合;*A（4）U中的一個以中的一個以 作為彈性邊界的模糊子集作為彈性邊界的模糊子集A，*A制約著制約著 的運動。的運動。 可以覆蓋可以覆蓋 也可以不覆蓋也可以不覆蓋*A*A,0u,0u致使致使 對對A的隸屬關(guān)系是不確定的。的隸屬關(guān)系是不確定的。0u模糊集合及其運算模糊集合及其運算29特點：在各次試驗中，特點：在各次試驗中， 是固定的，而是固定的，而 在隨機變動。在隨機變動。0u*A模糊統(tǒng)計試驗過程：模糊統(tǒng)計試驗過程：（1）做）做n次試驗，計算出次試驗，計算出nAuAu的的次次數(shù)數(shù)的的隸隸屬屬頻

18、頻率率對對*00 （2）隨著）隨著n的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為nAuuAn的的次次數(shù)數(shù)*00lim)( 0u對對A的隸屬度：的隸屬度：模糊集合及其運算模糊集合及其運算30模糊集合及其運算模糊集合及其運算對對129人進行調(diào)查人進行調(diào)查, 讓他們給出讓他們給出“青年人青年人”的年齡區(qū)間，的年齡區(qū)間，18-25 17-30 17-28 18-25 16-3514-25 18-30 18-35 18-35 16-2515-30 18-35 17-30 18-25 18-3515-30 18-30 17-25 18-29 18-28問年齡問年齡 27屬于模糊集屬

19、于模糊集A（青年人）的隸屬度。（青年人）的隸屬度。 0u31對年齡對年齡27作出如下的統(tǒng)計處理：作出如下的統(tǒng)計處理：A(27) = 0.78(變動的圈是否蓋住不動的點變動的圈是否蓋住不動的點)n10203040506070隸屬次數(shù)6142331394753隸屬頻率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隸屬次數(shù)6268768595101 隸屬頻率0.780.760.760.750.790.78 322、指派方法、指派方法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式

20、的模方法。它是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。模糊集合及其運算模糊集合及其運算 一般會有一些大致的選擇方向：偏大型，偏小一般會有一些大致的選擇方向：偏大型，偏小型，中間型。型，中間型。例如：例如：在論域在論域 中，確定中，確定A=“靠近靠近5的的數(shù)數(shù)”的隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù)9 , 2 , 1 U中間型中間型33模糊集合及其運算模糊集合及其運算可以選取柯西分布中間類型的隸屬函數(shù)可以選取柯西分布中間類型的隸屬函數(shù) )(11)(axxA 先確定一個簡單的，比如先確定一個簡單的，比如,)5(11)(2 xxA

21、此時有此時有,906. 081 . 072 . 065 . 05145 . 032 . 021 . 0106. 0 A，5 . 0)6()4( AA不太合理，故改變不太合理，故改變34模糊集合及其運算模糊集合及其運算取取,)5(5111)(2 xxA此時有此時有,924. 0836. 0756. 0683. 051483. 0356. 0236. 0124. 0 A)()(xAxA比比 有所改善。有所改善。353、其它方法、其它方法德爾菲法：專家評分法；德爾菲法：專家評分法；二元對比排序法：把事物兩兩相比，從而確定順序，二元對比排序法：把事物兩兩相比，從而確定順序，由此決定隸屬函數(shù)的大致形狀。

22、主要有以下方法：由此決定隸屬函數(shù)的大致形狀。主要有以下方法：相對比較法、擇優(yōu)比較法和對比平均法等。相對比較法、擇優(yōu)比較法和對比平均法等。模糊集合及其運算模糊集合及其運算36模糊集合及其運算模糊集合及其運算四、模糊矩陣四、模糊矩陣定義：定義：設(shè)設(shè) 稱稱R為為模糊矩陣模糊矩陣。, 10 ,)( ijnmijrrR當當 只取只取0或或1時，稱時，稱R為為布爾（布爾（Boole）矩陣）矩陣。ijr當模糊方陣當模糊方陣 的對角線上的元素的對角線上的元素 都為都為1時，時，nnijrR )(ijr稱稱R為為模糊單位矩陣模糊單位矩陣。例如：例如：3 . 07 . 05 . 01 . 001R00000000

23、0037（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運算）模糊矩陣間的關(guān)系及運算定義定義：設(shè)：設(shè) 都是模糊矩陣，定義都是模糊矩陣，定義nmijnmijbBaA )(,)(相等：相等：ijijbaBA 包含：包含：ijijbaBA 模糊集合及其運算模糊集合及其運算并：并：nmijijbaBA )(交：交：nmijijbaBA )(余：余：nmijcaA )1(38例例4：則則設(shè)設(shè),2 . 03 . 004 . 0,3 . 02 . 01 . 01 BA 3 . 03 . 01 . 01BA 2 . 02 . 004 . 0BA 7 . 08 . 09 . 00cA 8 . 07 . 016 . 0cB模糊集合及其運

24、算模糊集合及其運算39（2）模糊矩陣的合成）模糊矩陣的合成定義：定義：設(shè)設(shè) 稱模糊矩陣稱模糊矩陣,)(,)(nsijsmijbBaA nmijcBA )(為為A與與B的的合成合成，其中，其中 。模糊集合及其運算模糊集合及其運算即：即：定義：定義： 設(shè)設(shè)A為為 階，則模糊方陣的冪定義為階，則模糊方陣的冪定義為nn 1() sijikkjkcab1() sijikkjkCA Bcab AAAAAAAAAnn1232, 40例例5：則則設(shè)設(shè),6 . 04 . 02 . 05 . 03 . 01 . 0,3 . 06 . 02 . 05 . 01 . 04 . 0 BA 3 . 03 . 06 . 0

25、5 . 0BA 5 . 05 . 04 . 03 . 03 . 03 . 02 . 02 . 01 . 0AB模糊集合及其運算模糊集合及其運算41（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置定義：定義：設(shè)設(shè) 稱稱 為為A的的,)(nmijaA nmTijTaA )(轉(zhuǎn)置矩陣，其中轉(zhuǎn)置矩陣，其中 。jiTijaa 模糊集合及其運算模糊集合及其運算性質(zhì)：性質(zhì)：.)(1AATT ;)( ;)(2TTTTTTBABABABA .)()(;)(3nTTnTTTAAABBA .)()(4cTTcAA .5TTBABA 42（4）模糊矩陣的）模糊矩陣的 截矩陣截矩陣 定義：定義：設(shè)設(shè) 對任意的對任意的 稱稱,)(n

26、mijaA ,1 , 0 nmijaA )()( 為模糊矩陣為模糊矩陣A的的 截矩陣，其中截矩陣，其中 ijijijaaa , 0 , 1)(顯然，截矩陣為顯然，截矩陣為Boole矩陣。矩陣。模糊集合及其運算模糊集合及其運算43例例6：則則設(shè)設(shè),18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 01 A 11001100001100115 . 0A 11001100001000018 . 0A模糊集合及其運算模糊集合及其運算時時的的截截矩矩陣陣為為8 . 0, 5 . 0 44截矩陣的性質(zhì)：截矩陣的性質(zhì)：,1 , 0 性質(zhì)性質(zhì)1. BA

27、BA 性質(zhì)性質(zhì)2. ., BABABABA 性質(zhì)性質(zhì)3. . BABA 性質(zhì)性質(zhì)4. .)(TTAA 模糊集合及其運算模糊集合及其運算45（5）特殊的模糊矩陣）特殊的模糊矩陣定義：定義：若模糊方陣滿足若模糊方陣滿足, IA 則稱則稱A為為自反矩陣自反矩陣。例如例如 15 . 02 . 01A,1001I 是模糊自反矩陣。是模糊自反矩陣。定義：定義：若模糊方陣滿足若模糊方陣滿足,AAT 則稱則稱A為為對稱矩陣對稱矩陣。例如例如 12 . 02 . 01A是模糊對稱矩陣。是模糊對稱矩陣。模糊集合及其運算模糊集合及其運算46模糊集合及其運算模糊集合及其運算定義：定義：若模糊方陣滿足若模糊方陣滿足,2

28、AA 則稱則稱A為模糊為模糊傳遞矩陣傳遞矩陣。例如例如,1 . 0002 . 01 . 003 . 02 . 01 . 0 A是模糊傳遞矩陣。是模糊傳遞矩陣。 1 . 0001 . 01 . 002 . 01 . 01 . 02AA 47模糊集合及其運算模糊集合及其運算定義：定義：若模糊方陣若模糊方陣Q，S，A滿足滿足),()1(2SSAS 則稱則稱 S 為為 A 的的傳遞閉包，傳遞閉包，記為記為 t (A)?？偪傆杏?,()2(2QQAQ ，S Q48模糊聚類分析模糊聚類分析一、基本概念及定理一、基本概念及定理49模糊聚類分析模糊聚類分析定理：定理：R是是n階模糊等價矩陣階模糊等價矩陣,1

29、, 0 R是等是等價的價的Boole矩陣。矩陣。意義：將模糊等價矩陣轉(zhuǎn)化為等價的意義：將模糊等價矩陣轉(zhuǎn)化為等價的Boole矩陣，矩陣，可以得到有限論域上的普通等價關(guān)系，而等價關(guān)可以得到有限論域上的普通等價關(guān)系，而等價關(guān)系是可以分類的。因此，當系是可以分類的。因此，當在在0,1上變動時，上變動時，由由 得到不同的分類。得到不同的分類。 R50模糊聚類分析模糊聚類分析51例例6：設(shè)對于模糊等價矩陣設(shè)對于模糊等價矩陣,54321xxxxxU 16 . 05 . 04 . 05 . 06 . 015 . 04 . 05 . 05 . 05 . 014 . 08 . 04 . 04 . 04 . 014

30、 . 05 . 05 . 08 . 04 . 01R模糊聚類分析模糊聚類分析52模糊聚類分析模糊聚類分析畫出動態(tài)聚類圖如下：畫出動態(tài)聚類圖如下：54321 xxxxx0.80.60.50.4153模糊聚類分析模糊聚類分析54例例7：設(shè)有模糊相似矩陣：設(shè)有模糊相似矩陣 13 . 02 . 03 . 011 . 02 . 01 . 01R213 . 02 . 03 . 012 . 02 . 02 . 01RRR ).(13 . 02 . 03 . 012 . 02 . 02 . 01222RtRRR 模糊聚類分析模糊聚類分析55二、模糊聚類的一般步驟二、模糊聚類的一般步驟、建立數(shù)據(jù)矩陣、建立數(shù)據(jù)矩

31、陣模糊聚類分析模糊聚類分析56（1）標準差標準化）標準差標準化模糊聚類分析模糊聚類分析57（2）極差正規(guī)化）極差正規(guī)化minmaxmin111ijniijniijniijijxxxxx （3）極差標準化）極差標準化minmaxijijiijijxxxxx （4）最大值規(guī)格化）最大值規(guī)格化jijijMxx 其中：其中：),max(21njjjjxxxM 模糊聚類分析模糊聚類分析58、建立模糊相似矩陣（標定）、建立模糊相似矩陣（標定）（1）相似系數(shù)法）相似系數(shù)法夾角余弦法夾角余弦法 mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121相關(guān)系數(shù)法相關(guān)系數(shù)法 mkjjkmkiikmkjjkiikijx

32、xxxxxxxr12121)()(模糊聚類分析模糊聚類分析59（2）距離法）距離法Hamming距離距離 mkjkikjixxxxd1),(Euclid距離距離 mkjkikjixxxxd12)(),(Chebyshev距離距離jkiknkjixxxxd 1max),(模糊聚類分析模糊聚類分析60（3）貼近度法）貼近度法最大最小法最大最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11)()(算術(shù)平均最小法算術(shù)平均最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11)(21)(幾何平均最小法幾何平均最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11.)(模糊聚類分析模糊聚類分析613 3、聚類并畫

33、出動態(tài)聚類圖、聚類并畫出動態(tài)聚類圖（1）模糊傳遞閉包法）模糊傳遞閉包法步驟：步驟：模糊聚類分析模糊聚類分析（2）boole矩陣法（略）矩陣法（略）62（3）直接聚類法）直接聚類法模糊聚類分析模糊聚類分析 取取，最最大大值值)( 11 作相似類作相似類|1 ijjRirxx當不同相似類出現(xiàn)公共元素時，將公共元素所在類合并。當不同相似類出現(xiàn)公共元素時，將公共元素所在類合并。 取取次大值，次大值， 2 找出找出2 ijr的元素對的元素對),(jixx將對應(yīng)于將對應(yīng)于 的等價分類中的等價分類中 所在類與所在類與 所在類合并，所在類合并，所有情況合并后得到相應(yīng)于所有情況合并后得到相應(yīng)于 的等價分類。的等

34、價分類。2 ixjx2 依次類推，直到合并到依次類推，直到合并到U U成為一類為止。成為一類為止。（4）最大樹法）最大樹法（5）編網(wǎng)法）編網(wǎng)法63模糊聚類分析模糊聚類分析64解：解：由題設(shè)知特性指標矩陣為由題設(shè)知特性指標矩陣為 43271510406469046150261080*X采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為模糊聚類分析模糊聚類分析jijijMxx ),max(21njjjjxxxM 67. 05 . 029. 0110. 02 . 011. 044. 0157. 060. 0167. 086. 010. 056. 033. 086. 0189. 0X65

35、用最大最小法構(gòu)造用最大最小法構(gòu)造模糊相似矩陣得到模糊相似矩陣得到 138. 037. 053. 024. 038. 0156. 070. 063. 037. 056. 0155. 062. 053. 070. 055. 0154. 024. 063. 062. 054. 01R模糊聚類分析模糊聚類分析 mkjkikmkjkikijxxxxr11)()( 67. 05 . 029. 0110. 02 . 011. 044. 0157. 060. 0167. 086. 010. 056. 033. 086. 0189. 066 153. 053. 053. 053. 053. 0162. 070.

36、 063. 053. 062. 0162. 062. 053. 070. 062. 0163. 053. 063. 062. 063. 01)(4RRt用平方法合用平方法合成傳遞閉包成傳遞閉包67取取 ，得，得1 1000001000001000001000001)(1Rt模糊聚類分析模糊聚類分析 153. 053. 053. 053. 053. 0162. 070. 063. 053. 062. 0162. 062. 053. 070. 062. 0163. 053. 063. 062. 063. 0168取取 ，得，得7 . 0 1000001010001000101000001)(7 .

37、 0Rt取取 ，得，得63. 0 1000001011001000101101011)(63. 0Rt模糊聚類分析模糊聚類分析69取取 ，得，得62. 0 1000001111011110111101111)(62. 0Rt取取 ，得，得53. 0 1111111111111111111111111)(53. 0Rt模糊聚類分析模糊聚類分析70畫出動態(tài)聚類圖如下：畫出動態(tài)聚類圖如下：54321 xxxxx0.70.630.620.531模糊聚類分析模糊聚類分析71若利用直接聚類法若利用直接聚類法138. 037. 053. 024. 038. 0156. 070. 063. 037. 056.

38、 0155. 062. 053. 070. 055. 0154. 024. 063. 062. 054. 01R模糊相似矩陣模糊相似矩陣取取1, 此時此時 為單位矩陣，故分類自然為為單位矩陣，故分類自然為 1Rx1，x2，x3，x4，x5。取取0.70, 此時此時10000010100010001010000017 . 0R72, 124r故分類應(yīng)為故分類應(yīng)為x1， x3， x2, x4，x5。x2, x4為相似類為相似類取取0.63, 此時此時100000101100100010100100163. 0R, 11424 rrx2, x4， x1, x4為相似類，為相似類，有公共元素有公共元素

39、x4的相似類為的相似類為 x1, x2, x4故分類應(yīng)為故分類應(yīng)為x1 , x2, x4， x3， x5。73取取0.62, 此時此時100000101100101010100110162. 0R, 1131424rrrx2, x4, x1, x4, x1, x3為相似類，為相似類，有公共元素有公共元素x4的相似類為的相似類為 x1, x2, x3,x4故分類應(yīng)為故分類應(yīng)為x1, x2, x3,x4， x5。74取取0.53, 此時此時100100101100101110100110153. 0R, 113142524rrrr故分類應(yīng)為故分類應(yīng)為x1, x2, x3, x4 , x5 。75模

40、糊聚類分析的簡要流程模糊聚類分析的簡要流程:YN764 4、最佳閾值的確定、最佳閾值的確定模糊聚類分析模糊聚類分析（1） 按實際需要，調(diào)整按實際需要，調(diào)整 的值，或者是專家給值。的值，或者是專家給值。（2） 用用 F 統(tǒng)計量統(tǒng)計量確定最佳確定最佳值值。針對原始矩陣針對原始矩陣 X，得到，得到),(21mxxxx 其中，其中，), 2 , 1(11mkxnxniikk 設(shè)對應(yīng)于設(shè)對應(yīng)于 的分類數(shù)為的分類數(shù)為 r , 第第 j 類的樣本數(shù)為類的樣本數(shù)為 nj ,第第 j 類的樣本記為：類的樣本記為：,)()(2)(1jnjjjxxx77則第則第j類的聚類中心為向量：類的聚類中心為向量：),()()

41、(2)(1)(jnjjjjxxxx ), 2 , 1(11)()(mkxnxjnijikjjk 其中，其中， 為第為第k個特征的平均值個特征的平均值)( jkx rjnijjirjjjjrnxxrxxnF112)()(12)()/()1/(作作F 統(tǒng)計量統(tǒng)計量模糊聚類分析模糊聚類分析78模糊聚類分析模糊聚類分析若是若是),05. 0(), 1( rnrFF則由數(shù)理統(tǒng)計理論知道類與類之間的差異顯著則由數(shù)理統(tǒng)計理論知道類與類之間的差異顯著若滿足不等式的若滿足不等式的 F 值不止一個，則可進一步考察值不止一個，則可進一步考察差值差值 的大小，從較大者中選擇一個即可。的大小，從較大者中選擇一個即可。)

42、( FF 其中其中 mkkjkjxxxx12)()()(79模糊模式識別模糊模式識別模式識別的本質(zhì)特征：一是事先已知若干標準模式，模式識別的本質(zhì)特征：一是事先已知若干標準模式，稱為標準模式庫；二是有待識別的對象。稱為標準模式庫；二是有待識別的對象。所謂模糊模式識別，是指在模式識別中，模式是模所謂模糊模式識別，是指在模式識別中，模式是模糊的，或說標準模式庫中提供的模式是模糊的。糊的，或說標準模式庫中提供的模式是模糊的。80 模式識別是科學(xué)、工程、經(jīng)濟、社會以至生活中經(jīng)常遇模式識別是科學(xué)、工程、經(jīng)濟、社會以至生活中經(jīng)常遇到并要處理的基本問題。這一問題的數(shù)學(xué)模式就是在已知各種到并要處理的基本問題。這

43、一問題的數(shù)學(xué)模式就是在已知各種標準類型標準類型(數(shù)學(xué)形式化了的類型數(shù)學(xué)形式化了的類型)的前提下，判斷識別對象屬于的前提下，判斷識別對象屬于哪個類型？對象也要數(shù)學(xué)形式化，有時數(shù)學(xué)形式化不能做到完哪個類型？對象也要數(shù)學(xué)形式化，有時數(shù)學(xué)形式化不能做到完整，或者形式化帶有模糊性質(zhì)，此時識別就要運用模糊數(shù)學(xué)方整，或者形式化帶有模糊性質(zhì)，此時識別就要運用模糊數(shù)學(xué)方法。法。模糊模式識別模糊模式識別81 在科學(xué)分析與決策中，我們往往需要將搜集到的歷史資料在科學(xué)分析與決策中，我們往往需要將搜集到的歷史資料歸納整理，分成若干類型，以便使用管理。當我們?nèi)〉揭粋€新歸納整理，分成若干類型，以便使用管理。當我們?nèi)〉揭粋€新

44、的樣本時，把它歸于哪一類呢？或者它是不是一個新的類型呢？的樣本時，把它歸于哪一類呢？或者它是不是一個新的類型呢？這就是所謂的模式識別問題。在經(jīng)濟分析，預(yù)測與決策中，在這就是所謂的模式識別問題。在經(jīng)濟分析，預(yù)測與決策中，在知識工程與人工智能領(lǐng)域中，也常常遇到這類問題。知識工程與人工智能領(lǐng)域中，也常常遇到這類問題。 本節(jié)介紹兩類模式識別的模糊方法。一類是元素對標準模本節(jié)介紹兩類模式識別的模糊方法。一類是元素對標準模糊集的識別問題糊集的識別問題 點對集點對集；另一類是模糊集對標準模糊集；另一類是模糊集對標準模糊集的識別問題的識別問題 集對集集對集。模糊模式識別模糊模式識別82例例1. 蘋果的分級問題

45、蘋果的分級問題 設(shè)論域設(shè)論域 X = 若干蘋果若干蘋果。蘋果被摘下來后要分級。一。蘋果被摘下來后要分級。一般按照蘋果的大小、色澤、有無損傷等特征來分級。于是可以般按照蘋果的大小、色澤、有無損傷等特征來分級。于是可以將蘋果分級的標準模型庫規(guī)定為將蘋果分級的標準模型庫規(guī)定為 = 級，級，級，級，級，級，級級，顯然，模型，顯然，模型級，級，級，級，級，級，級是模糊的。當果農(nóng)級是模糊的。當果農(nóng)拿到一個蘋果拿到一個蘋果 x0 后，到底應(yīng)將它放到哪個等級的筐里，這就后，到底應(yīng)將它放到哪個等級的筐里，這就是一個元素（點）對標準模糊集的識別問題。是一個元素（點）對標準模糊集的識別問題。模糊模式識別模糊模式識別

46、83例例2. 醫(yī)生給病人的診斷過程實際上是模糊模型識別過程。設(shè)醫(yī)生給病人的診斷過程實際上是模糊模型識別過程。設(shè)論域論域 X = 各種疾病的癥候各種疾病的癥候 (稱為癥候群空間稱為癥候群空間) 。各種疾病。各種疾病都有典型的癥狀，由長期臨床積累的經(jīng)驗可得標準模型庫都有典型的癥狀，由長期臨床積累的經(jīng)驗可得標準模型庫 = 心臟病，胃潰瘍，感冒，心臟病，胃潰瘍，感冒，顯然，這些模型，顯然，這些模型(疾病疾病)都是都是模糊的。病人向醫(yī)生訴說癥狀模糊的。病人向醫(yī)生訴說癥狀(也是模糊的也是模糊的)，由醫(yī)生將病人的，由醫(yī)生將病人的癥狀與標準模型庫的模型作比較后下診斷。這是一個模糊識別癥狀與標準模型庫的模型作比

47、較后下診斷。這是一個模糊識別過 程 ， 也 是 一 個 模 糊 集 對 標 準 模 糊 集 的 識 別 問 題 。過 程 ， 也 是 一 個 模 糊 集 對 標 準 模 糊 集 的 識 別 問 題 。模糊模式識別模糊模式識別84點對集點對集1. 問題的數(shù)學(xué)模型問題的數(shù)學(xué)模型 (1) 第一類模型：第一類模型：設(shè)在論域設(shè)在論域 X 上有若干模糊集：上有若干模糊集：A1，A2，An F ( X )，將這些模糊集視為將這些模糊集視為 n 個標準模式，個標準模式，x0 X 是待識別是待識別的對象，問的對象，問 x0 應(yīng)屬于哪個標準模式應(yīng)屬于哪個標準模式 Ai ( i =1，2， n ) ? (2) 第二

48、類模型：第二類模型：設(shè)設(shè) A F ( X )為標準模式，為標準模式，x1, x2, , xn X 為為 n 個待選擇的對象，問最優(yōu)錄選對象是哪一個個待選擇的對象，問最優(yōu)錄選對象是哪一個 xi (i =1，2， n ) ?模糊模式識別模糊模式識別85一一最最大大隸隸屬屬原原則則最大隸屬原則最大隸屬原則：最大隸屬原則最大隸屬原則：模糊模式識別模糊模式識別86按最大隸屬原則，按最大隸屬原則，該人屬于老年。該人屬于老年。解：解：模糊模式識別模糊模式識別87例例 選擇優(yōu)秀考生。設(shè)考試的科目有六門選擇優(yōu)秀考生。設(shè)考試的科目有六門x1：政治：政治 x2：語文：語文 x3：數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)x4：理、化：理、化 x5

49、：史、地：史、地 x6：外語：外語考生為考生為 y1，y2，yn，組成問題的論域，組成問題的論域 Y = y1, y2, , yn。設(shè)。設(shè) A = “優(yōu)秀優(yōu)秀”，是，是 Y 上的模糊集，上的模糊集，A(yi) 是第是第 i 個學(xué)生隸屬于優(yōu)秀的程度。給定個學(xué)生隸屬于優(yōu)秀的程度。給定 A(yi) 的計的計算方法如下：算方法如下：模糊模式識別模糊模式識別88式中式中 i =1, 2, , n 是考生的編號，是考生的編號，j =1, 2, ,6 是考是考試科目的編號，試科目的編號， j 是第是第 j 個考試科目的權(quán)重系數(shù)。個考試科目的權(quán)重系數(shù)。按照最大隸屬度原則按照最大隸屬度原則，就可根據(jù)計算出的各考

50、生，就可根據(jù)計算出的各考生隸屬于隸屬于“優(yōu)秀優(yōu)秀”的程度（隸屬度）來排序。的程度（隸屬度）來排序。 例如若令例如若令 1= 2= 3=1， 4= 5= 0.8， 6= 0.7, 有有 四個考生四個考生 y1, y2, y3, y4，其考試成績分別如表，其考試成績分別如表 3.4,600161jijjixyA模糊模式識別模糊模式識別89表 3.4 考生成績表yix1x2x3x4x5x6y1y2y3y4718563926382688982639561908494638591628770827081模糊模式識別模糊模式識別90則可以計算出則可以計算出于是這四個考生在于是這四個考生在“優(yōu)秀優(yōu)秀”模糊集

51、中的排序為：模糊集中的排序為：y2, y4, y1, y3.698.06007 .418,666.06008 .399,712.06004 .427,675.06004054321yAyAyAyA模糊模式識別模糊模式識別91閾值原則：閾值原則：模糊模式識別模糊模式識別有時我們要識別的問題，并非是已知若干模糊集求有時我們要識別的問題，并非是已知若干模糊集求論域中的元素最大隸屬于哪個模糊集（第一類模論域中的元素最大隸屬于哪個模糊集（第一類模型），也不是已知一個模糊集，對論域中的若干元型），也不是已知一個模糊集，對論域中的若干元素選擇最佳隸屬元素（第二類模型），而是已知一素選擇最佳隸屬元素（第二類模

52、型），而是已知一個模糊集，問論域中的元素，能否在某個閾值的限個模糊集，問論域中的元素，能否在某個閾值的限制下隸屬于該模糊集對應(yīng)的概念或事物，這就是閾制下隸屬于該模糊集對應(yīng)的概念或事物，這就是閾值原則，該原則的數(shù)學(xué)描述如下：值原則，該原則的數(shù)學(xué)描述如下：92模糊模式識別模糊模式識別93例如例如 已知已知 “青年人青年人” 模糊集模糊集 Y，其隸屬度規(guī)定為，其隸屬度規(guī)定為對于對于 x1 = 27 歲及歲及 x2 = 30 歲的人來說，若取閾值歲的人來說，若取閾值.20025,5251,250, 1)(12xxxxY模糊模式識別模糊模式識別94 1 = 0.7，模糊模式識別模糊模式識別故認為故認為

53、27 歲和歲和 30 歲的人都屬于歲的人都屬于“青年人青年人” 范疇。范疇。則因 Y(27) = 0.862 1，而 Y(30) = 0.5 2, 而 Y(30) = 0.5 = 2 ，95模糊模式識別模糊模式識別集對集集對集例如：例如：論域為論域為“茶葉茶葉”，標準有，標準有5種種 待識別茶葉為待識別茶葉為B，反映茶葉質(zhì)量的，反映茶葉質(zhì)量的6個指標為：條索，個指標為：條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定 B 屬于哪種茶屬于哪種茶,54321AAAAAA1A2A3A4A5B條索條索0.50.30.2000.4色澤色澤0.40.20.20.10.10.2凈度

54、凈度0.30.20.20.20.10.1湯色湯色0.60.10.10.10.10.4香氣香氣0.50.20.10.10.10.5滋味滋味0.40.20.20.10.10.396在實際問題中，我們常常要比較兩個模糊集的模糊距離在實際問題中，我們常常要比較兩個模糊集的模糊距離或模糊貼近度，前者反映兩個模糊集的差異程度，后者或模糊貼近度，前者反映兩個模糊集的差異程度，后者則表示兩個模糊集相互接近的程度，這是一個事情的兩則表示兩個模糊集相互接近的程度，這是一個事情的兩個方面。如果個方面。如果待識別的對象待識別的對象不是論域不是論域 X 中的元素中的元素 x，而，而是模糊集是模糊集 A，已知的模糊集是已

55、知的模糊集是 A1, A2, , An，那么問，那么問 A 屬于哪個屬于哪個 Ai (i = 1, 2, n)？就是另一類模糊模式識別問？就是另一類模糊模式識別問題題 集對集集對集。解決這個問題，就必須先了解模糊集之。解決這個問題，就必須先了解模糊集之間的間的距離或貼近度。距離或貼近度。971. 距離距離判別分析判別分析定義定義 設(shè)設(shè) A、B F ( X )。稱如下定義的。稱如下定義的dP(A, B) 為為 A 與與 B 的的 Minkowski (閔可夫斯基閔可夫斯基) 距離距離 (P1)： ) 當當 X = x1, x2, , xn 時，時， ) 當當 X = a, b 時，時，)5 .

56、5 . 3(,1,/11pxBxABAdpnipiip )6 .5 .3(.1,/1pdxxBxABAdpbapp模糊模式識別模糊模式識別98特別地，特別地，p=1 時，稱時，稱 d 1(A, B) 為為 A 與與 B 的的 Hamming (海明海明) 距離距離。p=2 時，稱時，稱 d2(A, B) 為為 A 與與 B 的的 Euclid (歐幾里德歐幾里德) 距離距離。 有時為了方便起見，須限制模糊集的距離在有時為了方便起見，須限制模糊集的距離在 0, 1中，因中，因此定義模糊集的相對距離此定義模糊集的相對距離 dp(A, B) ，相應(yīng)有，相應(yīng)有 (1) 相對相對 Minkowski 距

57、離距離 7 .5 .3,1,/11pnipiipxBxAnBAd模糊模式識別模糊模式識別99 (2) 相對相對 Hamming 距離距離 8 .5 .3.1,/1 pbaPpdxxBxAabBAd9 .5 .3,1,11niiixBxAnBAd 10.5 .3,1,1dxxBxAabBAdba模糊模式識別模糊模式識別100 (3) 相對相對 Euclid 距離距離11.5 .3,1,2/1122niiixBxAnBAd 12.5 .3.1,2/122badxxBxAabBAd模糊模式識別模糊模式識別101 有時對于論域中的元素的隸屬度的差別還要考慮到權(quán)重有時對于論域中的元素的隸屬度的差別還要考

58、慮到權(quán)重 W(x)0，此時就有加權(quán)的模糊集距離。，此時就有加權(quán)的模糊集距離。一般權(quán)重函數(shù)滿足一般權(quán)重函數(shù)滿足下述條件：下述條件： 當當 X = x1，x2，xn 時，有時，有 當當 X = a, b 時，有時，有加權(quán)加權(quán) Minkowski 距離距離定義為定義為 14.5.3.,13.5.3,/1/11pbapPpnipiiipdxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdw; 11niixW .1dxxWba模糊模式識別模糊模式識別102加權(quán)加權(quán) Hamming 距離距離定義為定義為加權(quán)加權(quán) Euclid 距離距離定義為定義為 16.5 .3.,15.5 .3,111dxxBxAxWBAdwxB

59、xAxWBAdwbaiinii 18. 5 . 3.,17. 5 . 3,2/1222/1122baniiiidxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdw模糊模式識別模糊模式識別103例例 欲將在欲將在 A 地生長良好的某農(nóng)作物移植到地生長良好的某農(nóng)作物移植到 B地或地或 C 地，問地，問 B、C 兩地哪里最適宜？兩地哪里最適宜？ 氣溫、濕度、土壤是農(nóng)作物生長的必要條件，因而氣溫、濕度、土壤是農(nóng)作物生長的必要條件，因而 A、B、C 三地的情況可以表示為論域三地的情況可以表示為論域 X = x1 (氣溫氣溫)，x2 (濕度濕度)，x3 (土壤土壤) 上的模糊集，經(jīng)測定，得三個模糊集為上的模糊集，

60、經(jīng)測定，得三個模糊集為.5.06.06.0,3.05.09.0,6.04.08.0321321321xxxCxxxBxxxA模糊模式識別模糊模式識別104由于由于 dw1( A, B ) dw1( A, C )，說明，說明 A，B 環(huán)境比環(huán)境比較相似，該農(nóng)作物宜于移植較相似，該農(nóng)作物宜于移植 B 地。地。,173. 05 . 06 . 027. 06 . 04 . 023. 06 . 08 . 05 . 0,154. 03 . 06 . 027. 05 . 04 . 023. 09 . 08 . 05 . 0,11CAdwBAdw模糊模式識別模糊模式識別 設(shè)權(quán)重系數(shù)為設(shè)權(quán)重系數(shù)為 W = (