一元二次方程能力拔高題

1、一元二次方程培優(yōu)專題復習考點一、概念定義：|只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2,這樣的整式方程就是一元二次方程。(2) 一般表達式：ax2 bx c 0(a 0)難點：|如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是 2” ：該項系數(shù)不為“ 0”；未知數(shù)指數(shù)為“ 2”；若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論典型例題：例1、下列方程中是關于 x的一元二次方程的是()2112A、3x12 x 1 B> 2 0 C、ax bx c 0 D 、x x2_2x 2x x 122變式：當k 時，關于x的方程kx 2x x 3是一元二次方程。例2、方程 m 2 x|m| 3mx

2、 1 0是關于x的一元二次方程，則 m的值為。針對練習: 1、方程8x2 7的一次項系數(shù)是 ,常數(shù)項是 2、若方程 m 2x|m 1 0是關于x的一元一次方程，求m的值： ；寫出關于 x的一元一次方程： 。 3、若方程 m 1 x2 Jm?x 1是關于x的一元二次方程，則m的取值圍是 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考點二、方程的AT概念：|使方程兩邊相等的未知數(shù)的值,就是方程的解。應用：|利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：例1、已知2y2 y 3的值為2,則4y2 2y 1的值為。22例2

3、、關于x的一兀二次萬程 a 2 x x a 4 0的一個根為0,則a的值為例3、已知關于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的系數(shù)滿足a c b ,則此方程 必有一根為。22例4、已知a,b是萬程x 4x m 0的兩個根，b,c是方程y 8y 5m 0的兩個根， 貝U m的值為。針對練習： 1、已知方程x2 kx 10 0的一根是2,則k為,另一根是 。.、一 2._x 1 . .2、已知關于x的萬程x kx 2 0的一個解與方程 3的解相同。求k的值; x 1方程的另一個解。、一 223、已知m是萬程x x 1 0的一個根，則代數(shù)式 m m 。224、已知a是x 3x 1 0的根，則

4、2a 6a 。25、萬程a b x b c x c a 0的一個根為（）A 1B 1C b cD a6、若 2x 5y 3 0,則 4x?32y ?？键c三、解法方法：直接開方法;因式分解法；配方法；公式法2）關鍵點：|降次類型一、直接開方法：|x2 mm 0 , x 而222 .對于x a m , ax m bx n 等形式均適用直接開萬法典型例題：2例 1、解方程：1 2x2 8 0;2 25 16x2=0;3 1 x 9 0;例2、解關于x的方程：ax2 b 022例3、若9 x 116 x 2 ，則x的值為。針對練習：|下列方程無解的是（）2222A. x 3 2x 1 B. x 20

5、C. 2x 3 1 x D. x 9 0類型二、因式分解法：x x1 x x20 x x1,或x x20”,方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為.I、一一 ，、 -22方程形式：如ax m bx n , x a x b22x a x c , x 2ax a 0典型例題：例1、2x x 35 x 3的根為（C x1 一, x2 3 D x 254 0 ,則4x+y的值為。5-Ax B x 32，42_例 2、若 4x y 3 4x y變式 1 ： a2 b2 ? a2 b26 0,則a2 b2 。變式2 ：若x y 2 x y 3 0 ,則x+y的值為。 22變式3 ：右x xy y

6、 14 , y xy x 28 ,貝U x+y的值為例3、方程x2x 6 0的解為()A. x13, x22B. Xi3, X22C. Xi3, X 2D. x12, x22例4、解方程:x22 73 1 x 2J3 4 0 得 x122例 5、已知 2x2 3xy 2y20,則的值為x y22_x y變式：已知2x 3xy 2y 0,且x 0, y 0 ,則y的值為。x y針對練習：22,.,. 1、下列說法中：萬程x px q 0的二根為x1,x2，則x px q (x x1)(x x2)-222 X 6x 8 (x 2)(x 4). a 5ab 6b (a 2)(a 3)x2 y2 (x

7、 y)(Vx /y)(Vx 百)方程(3x 1)2 7 0可 變形為(3x 1 ")(3x 1 g 0正確的有()A.1個 B.2個 C.3個D.4個 2、以1J7與1 V7為根的一元二次方程是（）222A. x 2x 6 0 B. x 2x 6 0C. y 2y 6 02D. y 2y 6 03、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1 ,且兩根互為倒數(shù)：且兩根互為相反數(shù)：4、若實數(shù)x、y滿足x y 3 x y2 0 ,則x+y的值為（A、-1 或-2B、-1 或 2C、1 或-2D、1 或 2、，一21一5、方程：x-2- 2的解是。x 6、已知 J6x2 xy V6y之 0,

8、且 x 0, y 0,求 2x_ "6y 的值。3x y類型三、配方法2axbx c 0 a 022b b 4ac2a4a2x在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值 之類的問題。典型例題：例、已知x、y為實數(shù)，求代數(shù)式x22x 4y 7的最小值。針對練習：一 21、已知x1,C ,x -40,則xt的最大值為0,且 b24acb b2 4ac；,a2a0,且 b24ac典型例題：例、選擇適當方法解下列方程:2(1) 31 x 6. x 38.,、2 x 4x 1寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1 ,一 2(4) 3x 4x 10 3 x 1 3x 1

9、x 12x 5類型五、“降次思想”的應用求代數(shù)式的值；解二元二次方程組。.2 _x 13 x2 1.典型例題：例1、已知x2 3x 2 0 ,求代數(shù)式的值。x 1例2、如果x2 x 10,那么代數(shù)式x3 2x2 7的值。2例3、已知a是一兀二次萬程x 3x32a 2a 5a 1 3/士1 0的一根，求2的值。a2 1考點四、根的判別式b2 4ac根的判別式的作而|定根的個數(shù);求待定系數(shù)的值；應用于其它 典型例題：例1、若關于x的方程x2 2 Jkx 10有兩個不相等的實數(shù)根,則k的取值圍是2_例2、關于x的方程m 1 x 2mxm 0有實數(shù)根，則 m的取值圍是(A. m0且m1B. m 0 C

10、. m 1 D. m 1.、一2例3、已知關于x的方程x2k 2 x 2k 0(1)求證：無論k取何值時，方程總有實數(shù)根；(2)若等腰 ABC的一邊長為1,另兩邊長恰 好是方程的兩個根，求ABC的周長。2例4、已知二次二項式 9x (m 6)x m 2是一個完全平方式，試求 m的值.例5、m為何值時，方程組22x2 2y2 6,mx y 3.有兩個不同的實數(shù)解？有兩個相同的實數(shù)解?針對練習：2一1、當k 時，關于x的二次二項式x kx 9是完全平方式。2、當k取何值時，多項式 3x2 4x 2k是一個完全平方式？這個完全平方式是什么？、一23、已知萬程 mx mx 2 0有兩個不相等的實數(shù)根，

11、則 m的值是.y kx 2,4、k為何值時，方程組 ?(1 )有兩組相等的實數(shù)解，并求此解；(2)y2 4x 2y 1 0.有兩組不相等的實數(shù)解；（3）沒有實數(shù)解.5、當k取何值時，方程 x2 4mx 4x 3m2 2m 4k 0的根與m均為有理數(shù)？2_ 一一 、_（2012中考，15,4,）若關于x的方程ax 2（a 2）x a 0有實數(shù)解，那么實數(shù) a的取值圍是（2012襄陽，12, 3分）如果關于x的一元二次方程 kx272k_7x+1 = 0有兩個不相等的 實數(shù)根，那么k的取值圍是A k< - B k< -且 kw0 C. - - <k< - d - - <

12、;k< -且 kw0222222考點五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：例1、關于x的方程 m 1 x2 2mx 3 0有兩個實數(shù)根，則 m為，只有 一個根，則 m為。例2、不解方程，判斷關于 x的方程x2 2 x k k23根的情況。22例3、如果關于x的萬程x kx 2 0及方程x x 2k 0均有實數(shù)根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由?？键c六、應用解答題“碰面”問題；“復利率”問題；“幾何”問題；“最值”型問題；“圖表”類 問題典型例題：1、五羊足球隊的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990次，問晚宴共有多少人出席？2、某小組每

13、人送他人一照片，全組共送了90,那么這個小組共多少人？3、申奧成功，促進了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產(chǎn)品投放市場，一、”一 一、1% 1根據(jù)計劃，第一年投入資金 600萬元，第二年比第一年減少 一，第三年比第二年減少 一，32該產(chǎn)品第一年U入資金約 400萬元，公司計劃三年不僅要將投入的總資金全部收回，還要一，1 一 、一 、一，、， 一盈利一，要實現(xiàn)這一目標，該產(chǎn)品收入的年平均增長率約為多少？（結(jié)3果精確到0.1 ,石3 3.61）4、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出 500千克，銷售單價每漲 1元，月銷售量就

14、減少10千克，針對此回答： （1）當銷售價定為每千克 55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。（2）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到 8000元,銷售單價應定為多少？5、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。（1）要使這兩個正方形白面積之和等于 17cm之,那么這兩段鐵絲的長度分別為多少？（2）兩個正方形的面積之和可能等于 12cm 4例6、已知，是萬程x x 1 0的兩個根，那么 3嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度； 若不能，請說明理由。（3）兩個正方形的面積之和最小為多少？6、A、B兩地間的路程為 36千米.甲從A地，乙從B地同時

15、出發(fā)相向而行，兩人相遇后， 甲再走2小時30分到達B地，乙再走1小時36分到達A地，求兩人的速度.考點七、根與系數(shù)的關系前提：|對于ax2 bx c 0而言，當滿足a 0、達定理。一、 b c 2)王要谷：x1 x2-,x1x2 一常用變形：a a 2 V 2211 為 x2xx?(x x2)2x1x2 ,(x10時，才能用韋、22x2)(% x2)4x1x2 ,x2 | 而x2")24x1x2 ,xx22 x；x2xx2(x1x2),K 乂2-2222,x2 x1x1x2(x1 x2)4x1x2%x2xx2x1x2應用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰

16、是方程2x2 8x 7 0的兩根，則這個直角角形的斜邊是（） A. J3B.3C.6 D. J6例2、解方程組:例3、已知關于x的方程k2x2x y 10, (2)x2 y2 10, xy 24; x y 2.2 k 1 x 1 0有兩個不相等的實數(shù)根 x1，x2, （1）求k的取值圍；（2）是否存在實數(shù) k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出 k的值； 若不存在，請說明理由。例4、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項系數(shù)為1）時，小明因看錯常數(shù)項，而得到解為 8和2,小紅因看錯了一次項系數(shù)，而得到解為 -9和-1。你知道原來 的方程是什么嗎？其正確解應該是多少？22例 5

17、、已知 a b, a 2a 1 0, b 2b 1 0,求 a b變式：若a2 2a 1 0, b2 2b 1 0,則旦為的值為 b ai, 一一 一， 2 r . .2 bla,一 ，針對練習1.已知a 7a 4 , b 7b 4 （a b）,求i一 一的值。2、已知x1,x2V a b b232是萬程x x 9 0的兩實數(shù)根，求Xi 7X2 3X2 66的值。3.（中考題）設 a2 2a 1 0,b4 2b2 1 0 ,且 1 ab2 0 ,則225ab2 b2 3a 1=。 a4.（中考題）如果方程 x2+px+q = 0的兩個根是x1，x2,那么x1 + x2=p, x-x2=q.請

18、根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1）已知關于x的方程x2+mx+n=0 （nw。），求出一個一元二次方程，使它的兩根別是已知方程兩根的倒數(shù)；（2）已知a、b滿足a2-15a-5=0, b215b5=0,求芻+»的b a值；（3）已知a、b、c均為實數(shù)，且 a+ b+ c=0, abc= 16,求正數(shù)c的最小值.-一、一 .2.21.當k為何值時，關于x的方程 k 1 xk 1x 2 0有實數(shù)根a b2.已知方程2xxa b ab 0是關于x的一元二次方程，求 a, b的值一 3 a3設 x 3x 100和x3b4 bx 8 0都是關于x的一元二次方程,2012 2013求：va vb

19、. va vb 的值。4解下列方程:(1)2x2V2x1150(2)3x 6 x -2 022(3) 3x x 55 x2.5已知萬程2x 4m 實根。6已知三個關于 x的一恰有一個公共實數(shù)根，5(4) x2 x 2 021 x m 2m 求證：不論 m為何值，次萬程均有兩個不相等的2次萬程ax bx c 0,2-2,bx cx a 0 cx ax b. .27已知a 2a 1 0bcb2ac2的值。abb42220122ab b 12b 1 0 試求 的值。.一、一_2_、_2_.，一 一、,8關于x的方程x (k 1)x 2 0和方程x 2x k(k 1) 0只有一個相同的實根,求k的值及

20、公共根。9已知a.b.c分別是三角形ABC的三邊長。當 m>0時，關于 x的一元二次方程22c x m b x m 2jmax 0有兩個不相等的實根，試判斷二角形ABC的形狀。.、_2_ .、_22_.10已知方程x 5x 6 0與方程2x 2x m 0的公共根和方程 3x x 24 0與-1 21 .方程x x n 0的公共根相同，求 m, n的值。2222_ 211 m,n是方程x2 2x 1 0的兩個根，且7m 14m a 3n 6n 7 12求a的值。12甲，乙兩同學分別同時解同一個一元二次方程，甲把以此項系數(shù)看錯了解的兩根為-3和5。乙把常數(shù)項看錯了得兩根為2 Y6和2 /6,

21、求原一元二次方程。13已知關于x的方程x2 2(m 2)x 3m2 1 0(1)求證無論 m為何值，方程總有兩個不相等的實根(2)設方程的兩根為x1,x2 , x1 x2 2J3求m的值。2214要使關于x的一元二次方程x 2(m2)x 3m 10的兩根的平方和最小,求m的值。15 已知函數(shù) y=2 和 y=kx+1 (xw0) x(1)若這兩個函數(shù)都經(jīng)過(1, a)求a和k的值(2)當k取何值時，這兩個函數(shù)圖像總有公共點16某商店銷售一批名牌襯衫，平均每天可以銷售20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加利潤，盡快減少庫存，商場決定采取降價措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)如果每件降價1元則每天可以多銷售2件，

22、若商場平均每天盈利 1200元，則每件應該降價多少元？17為實現(xiàn)國務院房地產(chǎn)調(diào)控政策，使“居者有其屋”市政府加快了廉租房的建設力度。從2010年起，市政府開始投資，以后逐年增長，2011年投資了 3億元人民幣。預計 2012年底三年累計共投資 9.5億元人民幣建設廉租房，若在這兩年投資的增長率相同，求市 政府投資的年增長率？18某商家從廠家以每件 21元價格購進一批商品，該商家可自行定價。若每件商品售價a元，則可賣出（350-10a）件，但物價部門限定每件商品加價不得超過定價的20%。商店計劃要賺400元，需要賣出多少件商品？每件商品售價多少？一元二次方程培優(yōu)訓練1.已知方程 3ax2-bx-

23、1=0 和 ax2+2bx-5=0,有共同的根-1,貝U a= L b= . 22,關于x的方程（m J3）xm 1 x 3 0是一元二次方程，則 m ;3 .設a,b是一個直角三角形兩條直角邊的長，且（a2 b2）（a2 b2 1） 12 ,則這個直角三角形的斜邊長為；,211 ,4 .當x時，代數(shù)式x - x -的值為0225 .已知： m 12 ,則關于x的二次方程（m 1）x2 （m 5）x 4 0的解是 ;6 .方程（2 J3）x2 x的解是 ；7 .若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a w 0）有一個根為1,則a+b+c= ;若有一個根為-1,則b與a、c之間的關系為 ;若有一

24、個根為零，則c= .8、V3x4y26y 9 0則 xy=9、寫出以 4, -5為根且二次項的系數(shù)為1的一元二次方程是 210、如果x 2 m 1 x 4是一個元全平方公式，則 m 。11、已知兩個數(shù)的差等于 4,積等于45,則這兩個數(shù)為 和。12、當m 時，關于x的方程 m2 1 x2 m 1 x 2 0為一元二次方程。13 .寫出一個一元二次方程，使它的一個根為2.14 .當x=時，代數(shù)式x2 4x的值與代數(shù)式2x 3勺值相等.15、方程2x2 J3x 0的根是。2_2_一一.16、用配方法解方程x 4x 6 0 ,則x 4x 6 ，所以x1 , x2 。2217.要使關于x的一元二次方程

25、x 2（m2）x 3m 10的兩根的平方和最小，求m的值。7、下列方程是二次方程的是（A 、x 2y 1 B 、2x x1 2x23xD4x2 2 08、關于x的二次方程x2 k。有實數(shù)根，則（A、 k V 0 B、k >0、k >0、k< 09、將方程x2 2x0化為xn的形式，指出m,n分別是（A、1和 3B、C、1和 4D、1 和410、方程 x(x 1)( x2)0的解是11、當 y=時,y2-2y的值為3;12、已知方程x2+kx+3=0的一個根是-1 ，則k=另一根為13、寫出以4, 5為根且二次項系數(shù)為 1的二次方程是14、某校去年投資2萬元購買實驗器材， 預期

26、今明兩年的投資總額為 8萬元，若該校這兩年購買實驗器材的投資的年平均增長率為x,則可列方程15、設a,b是一個直角三角形兩條直角邊的長，且(a2 b2)(a2 b2 1) 12 ,則這個直角三角形的斜邊長為三部分1.方程不一定是一元二次方程的是A.(a-3)x 2=8 (a w 0)B.ax()2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.3x22、若關于二次方程0的一個根是0,則a的值是3、把方程A、 4, 13A、B、-1D、2x 8xB、-4,190化成xC、-4,13D、4、已知直角三角形的兩條邊長分別是方程邊是（）B、10或2近C、5.關于x的方程(a2a 2)xaxn的形式，

27、則m、n的值是（4, 19x2 14x10或848 0的兩個根，則此三角形的第三D、2.7次方程的條件是6等腰三角形的兩邊的長是方程x2 20x910的兩個根,則此三角形周長為A.7.27B.33C.27 和 33D.某班同學畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學各送一表示留念,以上都不對全班共送1035照片，如果全班有x名同學，根據(jù)題意，列出方程為A. x(x+ 1) = 1035 B . x(x 1) = 1035X 2C. x(x 1) = 1035 D .2x(x + 1) = 10358. 一元二次方程2x(x -3) = 5(x 3)的根為 ()A. x.29.已知x25xyB.6 或

28、 1八1 一 1C. 一 J3xi 32D.9.使分式x2 5x 6x一5x6的值等于零的x是A.6B.-1C.-1D.-610方程x2-4 x +3=0的解是A.x= ± 1 或 x=± 3 B.x=1 和 x=3 C.x=-1或 x=-3 D.無實數(shù)根11.關于x的方程x2-k 2-16=0和x2-3k+12=0有相同的實數(shù)根,k的值是（）A.-7B.-7C.-4D.412、請判別下列哪個方程是次方程（-/2-c 3A、x 2y 1 B、x 5 0C、2x 8 D、3x 8 6x 2x2 一 一 一一， 13、請檢驗下列各數(shù)哪個為方程x 6x 8 0的解（）A、 5B、 2C、 8D、214、下面是某同學在一次數(shù)學測驗中解答的填空題，其中答對的是（）22A、右 x4,則x 2；B、右3x 6x,則x 2；C、x2 x k 0的一個根是1,則k 2 ；,一、 x 2 一