《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》-第0章-習(xí)題課

1、例例 如圖所示，半徑為如圖所示，半徑為r的均質(zhì)圓柱可在半徑為的均質(zhì)圓柱可在半徑為R的圓軌的圓軌面內(nèi)無滑動(dòng)地、以圓軌面最低位置面內(nèi)無滑動(dòng)地、以圓軌面最低位置o為平衡位置左右微擺，為平衡位置左右微擺，試導(dǎo)出柱體的擺動(dòng)方程，并求其固有頻率。試導(dǎo)出柱體的擺動(dòng)方程，并求其固有頻率。第第0 0章習(xí)題課章習(xí)題課解：系統(tǒng)的勢(shì)能為解：系統(tǒng)的勢(shì)能為)cos1)(rRmgU系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為222212121CCCAAJmvJTrrRmrJrRvCCC221)(固有頻率常數(shù)，兩邊求導(dǎo)就可得由UT例例一個(gè)不計(jì)質(zhì)量的懸臂梁端部接一彈一個(gè)不計(jì)質(zhì)量的懸臂梁端部接一彈簧，彈簧下端有一質(zhì)量簧，彈簧下端有一質(zhì)量m，如圖所示

2、，求該系，如圖所示，求該系統(tǒng)的固有頻率。統(tǒng)的固有頻率。解：解： 靜平衡時(shí)，梁和彈簧受力靜平衡時(shí)，梁和彈簧受力如圖，懸臀梁自由端受一個(gè)集如圖，懸臀梁自由端受一個(gè)集中力中力mg，由材料力學(xué)可知，梁，由材料力學(xué)可知，梁端點(diǎn)的撓度為端點(diǎn)的撓度為EImgL331彈簧的伸長量為彈簧的伸長量為kmg2重力作用下質(zhì)量重力作用下質(zhì)量m的靜位移是的靜位移是)13(321kEILmg系統(tǒng)的固有頻率為系統(tǒng)的固有頻率為)3(332EIkLmkEIgn或者懸臂梁與彈簧是或者懸臂梁與彈簧是串聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)系統(tǒng)例例 如圖所示系統(tǒng)，繩索一端接一質(zhì)量如圖所示系統(tǒng)，繩索一端接一質(zhì)量m，另一端繞過一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，另一端繞過一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的

3、滑輪與彈的滑輪與彈簧相接，彈簧的另一端固定。設(shè)繩索無伸簧相接，彈簧的另一端固定。設(shè)繩索無伸長，繩索與滑輪之間無滑動(dòng)。求該系統(tǒng)的長，繩索與滑輪之間無滑動(dòng)。求該系統(tǒng)的固有頻率。固有頻率。解：系統(tǒng)的勢(shì)能為解：系統(tǒng)的勢(shì)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為2221krU 2222121JmrT常數(shù)由UT兩邊求導(dǎo)得：兩邊求導(dǎo)得：022Jmrkr 從而可得固有頻率。從而可得固有頻率。例例求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為r的半圓形環(huán)向兩側(cè)作微小角滾動(dòng)的半圓形環(huán)向兩側(cè)作微小角滾動(dòng)(無滑動(dòng)無滑動(dòng))的固有頻率。的固有頻率。解：系統(tǒng)的勢(shì)能為解：系統(tǒng)的勢(shì)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為系統(tǒng)的動(dòng)能為cosmgaU221AJT 常數(shù)，兩邊求導(dǎo)得

4、由UT)(2arrgan)cos(2)cos2()cos2(22222222armrraarmmamrraarmmaJmACJJOCA0)(20sinsin)cos(22arrgamgamraarmr 或動(dòng)能表達(dá)式有問題動(dòng)能表達(dá)式有問題例例 如圖所示，如圖所示， 輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為量為J，輪緣繞有軟繩，下端掛有重量為，輪緣繞有軟繩，下端掛有重量為P的物體，繩與輪緣的物體，繩與輪緣之間無滑動(dòng)。在圖示位置，由水平彈簧維持平衡。半徑之間無滑動(dòng)。在圖示位置，由水平彈簧維持平衡。半徑R與與a均已知，求微振動(dòng)的周期。均已知，求微振動(dòng)的周期。例例 如圖所

5、示，一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)從一傾斜角為如圖所示，一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)從一傾斜角為30 的光滑的光滑斜面下滑。求彈簧與墻壁開始接觸到脫離接觸的時(shí)間。斜面下滑。求彈簧與墻壁開始接觸到脫離接觸的時(shí)間。例例列出圖示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。列出圖示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。例例重量重量G=35kN的發(fā)電機(jī)置于簡(jiǎn)支梁的中點(diǎn)上（如圖的發(fā)電機(jī)置于簡(jiǎn)支梁的中點(diǎn)上（如圖1），已知梁的慣性矩），已知梁的慣性矩I=0.000088m4，E=210GPa，發(fā)電機(jī)，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)其離心力的垂直分量為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)其離心力的垂直分量為Fsint，且，且F=10kN。若不。若不考慮阻尼，試求當(dāng)發(fā)電機(jī)每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)為考慮阻尼，試求當(dāng)發(fā)電機(jī)每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)為n=500r/

6、min時(shí)，時(shí)，梁的最大彎矩和撓度（梁的自重可略去不計(jì)）。梁的最大彎矩和撓度（梁的自重可略去不計(jì)）。 解：在發(fā)電機(jī)重量作用下，解：在發(fā)電機(jī)重量作用下，梁中點(diǎn)的最大靜力位移為：梁中點(diǎn)的最大靜力位移為： 33339535 1042.53 104848 210 108.8 10stGlmEI自振頻率自振頻率 (固有頻率固有頻率)為為: 圖1FsintG2m2mm(rad/s)3 .621053. 281. 93stng干擾力的頻率為干擾力的頻率為: 動(dòng)力放大系數(shù)為：動(dòng)力放大系數(shù)為：(rad/s)3 .526050014. 32602n4 . 33 .623 .5211112222n梁中點(diǎn)的最大彎矩為：

7、梁中點(diǎn)的最大彎矩為：max35 43.4 10 46944GFstMMMkN m梁中點(diǎn)的最大撓度為：梁中點(diǎn)的最大撓度為：3333max953(353.4 10) 104484848 210 108.8 104.98 104.98FststGlFlyyEIEImmm 例例慣性式測(cè)振儀原理。慣性式測(cè)振儀原理。 慣性式測(cè)振儀是一個(gè)典型的慣性式測(cè)振儀是一個(gè)典型的“質(zhì)質(zhì)量量阻尼阻尼彈簧彈簧”的單自由度系統(tǒng)。的單自由度系統(tǒng)。假定其支承假定其支承(殼體殼體)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。設(shè)地面位移為設(shè)地面位移為y，質(zhì)量位移，質(zhì)量位移x，相對(duì)位移，相對(duì)位移z運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程)()(yxkyxcxm 或用相對(duì)

8、位移或用相對(duì)位移z描述的運(yùn)動(dòng)微分方程：描述的運(yùn)動(dòng)微分方程：ymzkzczm 代入得令tiAey方程的解為：方程的解為：Z為相對(duì)位移的振幅為相對(duì)位移的振幅tieAmzkzczm2 )(2)()(tintieHAZez)(2HAZn動(dòng)力放大系數(shù)22224)1 (1)(H當(dāng)當(dāng)/n1時(shí)，即激勵(lì)頻時(shí)，即激勵(lì)頻率很高時(shí)，率很高時(shí)，Z可近似為可近似為:AHAZn)(2測(cè)振儀的質(zhì)量塊在慣性空間中幾乎保持不動(dòng)，與結(jié)構(gòu)相測(cè)振儀的質(zhì)量塊在慣性空間中幾乎保持不動(dòng)，與結(jié)構(gòu)相接的儀器殼體相對(duì)質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)接的儀器殼體相對(duì)質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng),儀器的相對(duì)振幅與激勵(lì)儀器的相對(duì)振幅與激勵(lì)幅值相等，此時(shí)儀器用于測(cè)量振動(dòng)位移。幅值相等，此時(shí)儀器

9、用于測(cè)量振動(dòng)位移。當(dāng)當(dāng)/n1時(shí)，即激勵(lì)頻率時(shí)，即激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率，有遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率，有:即即Z與測(cè)振儀殼體與測(cè)振儀殼體(地面地面)的加速度幅值的加速度幅值YA2成比例，成比例，此時(shí)測(cè)振儀可用做加速度計(jì)。此時(shí)測(cè)振儀可用做加速度計(jì)。2nAZ例例推導(dǎo)圖示系統(tǒng)的頻率方程，推導(dǎo)圖示系統(tǒng)的頻率方程，假定繩索通過圓筒時(shí)沒有滑動(dòng)。假定繩索通過圓筒時(shí)沒有滑動(dòng)。解：質(zhì)量塊應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，對(duì)圓解：質(zhì)量塊應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，對(duì)圓筒用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程筒用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程221221121)()(rmJrxrkrkJrxkxmOO 0)(02211111rkkrxkJrkxkxmO ，代入微分方程得令：tB

10、tAxsinsin0)(0)(2222111211BJrkrkrAkrBkAmkO02221212112214mmkkmkmkk例例圖示系統(tǒng)，凸輪外半徑為圖示系統(tǒng)，凸輪外半徑為R，內(nèi)半徑為，內(nèi)半徑為r，關(guān)，關(guān)于質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為于質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為，已知，已知m1，m2，k1，k2和和k3，試建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。，試建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。例例一個(gè)彈簧聯(lián)系兩個(gè)裝在相一個(gè)彈簧聯(lián)系兩個(gè)裝在相同圓軸上的相同的轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)動(dòng)慣同圓軸上的相同的轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為量為J。建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，。建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，并求固有頻率。并求固有頻率。1k2a例例圖質(zhì)量為圖質(zhì)量為m、半徑為、半徑為r的兩個(gè)相同的圓柱體，它們

11、之間的兩個(gè)相同的圓柱體，它們之間用彈簧用彈簧k1聯(lián)系，右側(cè)的圓柱體用彈簧聯(lián)系，右側(cè)的圓柱體用彈簧k2與固定面連接。設(shè)圓與固定面連接。設(shè)圓柱體自由地在水平表面上滾動(dòng)，請(qǐng)推導(dǎo)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。柱體自由地在水平表面上滾動(dòng)，請(qǐng)推導(dǎo)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。1k12k20)(2302322111221111kkkmkkm 答案：答案：例例一質(zhì)量為一質(zhì)量為M、半徑為、半徑為r的均質(zhì)實(shí)心圓柱體在質(zhì)的均質(zhì)實(shí)心圓柱體在質(zhì)量為量為m的車子上無滑動(dòng)地滾動(dòng)。車輛用彈簧常數(shù)為的車子上無滑動(dòng)地滾動(dòng)。車輛用彈簧常數(shù)為k1、k 2的彈簧連接，并在水平表面自由滑動(dòng)。用拉的彈簧連接，并在水平表面自由滑動(dòng)。用拉格朗日方程求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微

12、分方程。格朗日方程求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：系統(tǒng)的動(dòng)能為解：系統(tǒng)的動(dòng)能為22221212121OOJxMxmTrxxMrJOO12221 例例 如圖所示懸臂梁，長為如圖所示懸臂梁，長為L，抗彎剛度為，抗彎剛度為EJ在中點(diǎn)和在中點(diǎn)和自由端分別有集中質(zhì)量自由端分別有集中質(zhì)量m，忽略梁本身的質(zhì)量，試寫出系統(tǒng)橫，忽略梁本身的質(zhì)量，試寫出系統(tǒng)橫向振動(dòng)的微分方程，并求出固有頻率和畫出相應(yīng)的主振型。向振動(dòng)的微分方程，并求出固有頻率和畫出相應(yīng)的主振型。PLc梁的撓曲線方程為梁的撓曲線方程為LxccxEIPcw)3(62例圖示振動(dòng)系統(tǒng)，已知機(jī)器質(zhì)量例圖示振動(dòng)系統(tǒng)，已知機(jī)器質(zhì)量m1=90kg，動(dòng)力消振，動(dòng)力消振器

13、質(zhì)量器質(zhì)量m2=2.25kg，若機(jī)器上有一偏心塊質(zhì)量，若機(jī)器上有一偏心塊質(zhì)量m=0.5kg，偏，偏心距心距e =1cm，機(jī)器轉(zhuǎn)速，機(jī)器轉(zhuǎn)速n=1800 r/min。(1) 建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程；分方程；(2) 消振器的彈簧剛度消振器的彈簧剛度k2為多大時(shí)，才能使機(jī)器的為多大時(shí)，才能使機(jī)器的振幅為零？振幅為零？ 解：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：解：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程： 1k2mm1m2ke1k0sin)2(22122222212111xkxkxmtmexkxkkxm 6060/2n設(shè)設(shè) tXxtXxsinsin22110)()2(22221222212121XmkXkmeXkXmkk要使機(jī)器振

14、幅為零，應(yīng)使要使機(jī)器振幅為零，應(yīng)使X20，即有，即有 22222212122222)()2()(kmkmkkmkmeX)/(79944)60(25. 22222mNmk例求圖示五自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。例求圖示五自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。2m3m4m5m1k2k3k4k5k1x2x3x4x5x1m例例寫出圖示系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。寫出圖示系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。例例圖示一平移系統(tǒng)，設(shè)所有接觸面光滑，圖示一平移系統(tǒng)，設(shè)所有接觸面光滑，寫出該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。寫出該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。例例用第一瑞利商和第二瑞利商求圖示系統(tǒng)用第一瑞利商和第二瑞利商求圖示系統(tǒng)的第一階固有頻率估值。的

15、第一階固有頻率估值。例例用矩陣迭代法求圖示系統(tǒng)的第一階固有用矩陣迭代法求圖示系統(tǒng)的第一階固有頻率和振型，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字。頻率和振型，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字。假設(shè)初始振型向量為假設(shè)初始振型向量為1 3 4。例例 一長度為一長度為L的桿，一端緊固，另一端用常數(shù)為的桿，一端緊固，另一端用常數(shù)為k的的彈簧連結(jié)，如圖示。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。彈簧連結(jié)，如圖示。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。xk解：桿的縱向振動(dòng)一般表達(dá)式：解：桿的縱向振動(dòng)一般表達(dá)式： 邊界條件：邊界條件：LxxuAEtLkutu),(0), 0(tEtDxCAxCAtqxtxunnnncossincossin)()(),(21LCCAELCkAnnncossin02kCAELCnntan考慮特殊情況：考慮特殊情況：k0和和k的固的固有頻率和振型有頻率和振型例例 推導(dǎo)一長度為推導(dǎo)一長度為L、一端固支另一端鉸支的均勻梁、一端固支另一端鉸支的均勻梁橫向振動(dòng)的頻率方程。橫向振動(dòng)的頻率方程。解：梁橫向振動(dòng)振型函數(shù)一般解：梁橫向振動(dòng)振型函數(shù)一般表達(dá)式：表達(dá)式： 邊界條件為：邊界條件為：xyxDxCxBxAxsincossh