第六章 理想不可壓縮流體平面勢流和旋渦運動

1、流流 體體 力力 學學集美大學機械工程學院無旋有勢(存在條件)1.速度勢函數(shù)存在條件類比：重力場、靜電場作功與路徑無關勢能無旋條件：由全微分理論，無旋條件是某空間位置函數(shù)(x,y,z)存在的充要條件函數(shù)函數(shù)稱為速度勢函數(shù)，無旋流動必然是有勢流動稱為速度勢函數(shù)，無旋流動必然是有勢流動zuyuyzxuzuzxyuxuxydzudyudxuzyxdzyx),(速速 度度 勢勢 函函 數(shù)數(shù)0由函數(shù)的全微分：得：dzzdyydxxdxuxyuyzuzgradu（ 的梯度）圓柱坐標形式（二維）),(zrrurru01222222rrrr2.速度勢函數(shù)的性質(zhì)由不可壓縮流體的連續(xù)性方程將代入得即拉普拉斯方程0

2、zuyuxuzyxxuxyuyzuz0222222zyx022為拉普拉斯算子， 稱為調(diào)和函數(shù)不可壓縮流體無旋流動的連續(xù)性方程性質(zhì)1：只有無旋流動才有速度勢函數(shù)，它滿足拉普拉斯方程根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿任意曲線AB的線積分性質(zhì)2：任意曲線上的速度環(huán)量等于曲線兩端點上速度勢函數(shù)值之差，而與曲線的形狀無關BAABBABAABdwwdzvdyudxdsV)(則，求環(huán)量問題變?yōu)榍笏俣葎莺瘮?shù)值之差的問題。對于任意封閉曲線，A點和B點重合，若速度勢函數(shù)是單值連續(xù)的，則流場中沿此封閉曲線的速度環(huán)量等于零，即0AB如果速度勢函數(shù)不是單值函數(shù)，則這封閉曲線的速度環(huán)量就不等于零。不可壓縮平面流場滿足連續(xù)性方程：0y

3、uxuyx即：yuxuyx由全微分理論，此條件是某位置函數(shù)（x，y）存在的充要條件dxudyudyx函數(shù)稱為流函數(shù)有旋、無旋流動都有流函數(shù)流函數(shù)由函數(shù)的全微分： 得：dyydxxdyuxxuy流函數(shù)的主要性質(zhì)：（1）對于不可壓縮流體的平面流動，流函數(shù)永遠滿足連續(xù)性方程將速度的流函數(shù)表達式代入不可壓縮流體平面流動的連續(xù)性方程得：yxxy22（2）兩條流線間通過的流量等于兩流函數(shù)之差；證明：dlynudlxnudlnudqyx),cos(),cos(ddxudyuyxABBAdq（3）只有無旋流的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程證明：021yuxuxyz0yuxuxyxuyuyx,02222yx02則：將代

4、入也是調(diào)和函數(shù)得：因此，在平面不可壓縮流體的有勢流場中的求解問題可以轉化為求解一個滿足初始條件和邊界條件的拉普拉斯方程。勢函數(shù)與流函數(shù)的關系：流線族與等勢線族正交0dxudyudyxxyuudxdym10dyudxudyxyxuudxdym2121yxxyuuuumm斜率：斜率：等流線等流線等勢線等勢線可作流網(wǎng)在流場的個別點上，如邊界的角點或速度等于零的點上，可能無法滿足正交條件。例：不可壓縮流體，ux=x2y2，uy= 2xy，是否滿足連續(xù)性方程？是否無旋流？有無速度勢函數(shù)？是否是調(diào)和函數(shù)？并寫出流函數(shù)。解：022xxyuxuyx（1） 滿足連續(xù)性方程021yuxuxyz（2） 是無旋流（3

5、）無旋流存在勢函數(shù)：dyudxudyxdyyxudxyxuyyyxxx),(),(000取（x0，y0）為（0，0）23002312),(xyxdyxydxxyxyx（4） 滿足拉普拉斯方程， 是調(diào)和函數(shù)2222yx0)2(2xxyuxuyx（5）流函數(shù)xydxdyyxdxudyudyx222取（x0，y0）為（0，0）3),(32022yyxdyyxyxy1.均勻直線流動速度場（a,b為常數(shù)）速度勢函數(shù)等勢線流函數(shù)流線auxbuybyaxdyudxuyxccxbaybxaydxudyuyxccxabyuxyo112323基本的平面有勢流動由于流場中各點速度相等，根據(jù)理想流體的伯努利方程，得c

6、gpz如果均勻流體直線流動在水平面上，或流體為氣體，一般可忽略重力影響，于是p=c,即流場中壓強處處相等。當流動方向平行于x軸當流動方向平行于y軸如用極坐標表示：0yuaxay0 xubybx11221122cosrx sinry sinbrby cosbrbx2.平面點源與點匯（用極坐標）（1）點源：Q為點源強度1122o34ur源點o是奇點r0 ur速度場速度勢函數(shù)等勢線流函數(shù)流線直角坐標rQur20urQrdudrurln22Qdrurdur22ln2yxQxyarctgQ2ccr cc（2）點匯 流量Q為點匯強度1122o34匯點o是奇點r0 urrQur2rQln22QQQpprr0

7、點匯流沿半徑的壓強分布gpgugpr22如果xoy平面是無限大平面，則根據(jù)伯努利方程式中，。時，當減少而降低?？梢?，壓強隨著半徑的代入上式，可得由于為零。處的壓強，該處的速度為在088,2r2122022p)p/(QrrrQ-pprQup/r（3）點渦（用極坐標）注意：環(huán)流是無旋流！0ruru22rdudrurrlndrurdur2速度勢函數(shù)流函數(shù)速度場點渦強度常數(shù)rurdu220逆時針為正1122o34u可見，點渦的等勢線族是經(jīng)過渦點的放射線，而流線族是同心圓。而且除渦點外，整個平面上都是有勢流動也滿足同理，對無旋流：勢流疊加原理012022210202勢 流 疊 加 原 理以上幾種簡單的平

8、面勢流實際中很少應用，但它們是勢流的基本單元，若把幾種基本單元疊加在一起，可以形成許多有實際意義的復雜流動。幾個簡單有勢流動疊加得到的新的有勢流動，其速度勢函數(shù)和流函數(shù)分別等于原有幾個有勢流動的速度勢函數(shù)和流函數(shù)的代數(shù)和，速度分量為原有速度分量的代數(shù)和。研究勢流疊加原理的意義：將簡單的勢流疊加起來，得到新的復雜流動的流函數(shù)和勢函數(shù)，可以用來求解復雜流動。（1）半無限物體的繞流（用極坐標）模型：水平勻速直線流與源流的疊加（河水流過橋墩）流函數(shù)：速度勢函數(shù)：即視作水平流與源點o的源流疊加u02sin021QrurQruln2cos021S有勢流動疊加作流線步驟：找駐點S：rQurur2cos0si

9、n10uru, 00u0ru將代入（舍去）將代入得駐點的坐標：00r02 uQrsu0Sors（1）（2）由（2）由（1）02 uQrs將駐點坐標代入流函數(shù)，得2Qs則通過駐點的流線方程為22sin0QQru給出各值，即可由上式畫出通過駐點的流線04,23,2uQyr02,uQxrss,2 , 0r流線以為漸進線02uQy 外區(qū)均勻來流區(qū)；內(nèi)區(qū)源的流區(qū)（“固化”、半體）（2）源環(huán)流螺旋流（用極坐標）模型：源流與環(huán)流疊加（水泵蝸殼內(nèi)的擴壓流動）rlnQ2121勢函數(shù)流函數(shù)rlnQQ2122121等勢線cQecr1流線cQecr2流線和等勢線是相互正交的對數(shù)螺旋線源流和環(huán)流的疊加（流線與等勢線為相

10、互正交的對數(shù)螺旋線族）離心泵的葉片形狀離心泵的葉片形狀（3）等強源匯流（用極坐標直角坐標）模型：源流與匯流疊加（電偶極子）21212122rrlnqrlnrlnq22222yaxyaxlnqxyoaarr1r2P(x,y)12q-q勢函數(shù)流函數(shù)21212qaxyarctgaxyarctgq2源流和匯流的疊加當a0，q，2qa常數(shù)M偶極流利用三角函數(shù)恒等式、級數(shù)展開，化簡222yxxM222yxyMa0：偶極流（4） 平行流繞過圓柱體無環(huán)流的平面流動 平行流（均勻等速流）和偶極流疊加,可用來描述流體繞過圓柱體無環(huán)流的流動.若均勻等速流的速度為 ,沿x軸正向流動,偶極流的偶極矩為M。n 平行流與偶

11、極流的疊加平行流與偶極流的疊加n 流網(wǎng)流網(wǎng) 平行流：vxvv0yv 1v x1v y2222Mxxy2222Myxy 偶極流：疊加：122222211() () cos222MxMMvxvvrxyxyr 122222211() () sin222MyMMv yyvvrxyxyr 流線方程為：022sinrrMVcsinrrMV22022rMV當常數(shù)C取不同的數(shù)值時，可得如圖所示的流譜。當C0時對應的流線，稱為零流線。流體對圓柱體的無環(huán)量繞流n零流線零流線 當常數(shù)C0時，即零流線的流線方程： 由 ，得 。sin00, 或 即：0y 0rr 可見，零流線為以坐標原點為圓心， 為半徑的圓和x軸。VM

12、rr20csinrrMV22VMr20n平行繞流圓柱體無環(huán)流的流動平行繞流圓柱體無環(huán)流的流動0rr202222()yxyvv rxyy VMr20n流函數(shù)和速度勢：流函數(shù)和速度勢：n流場中的速度分析流場中的速度分析 直角坐標系：直角坐標系：因為：所以：20221() cos(1) cos2rMvrvrrr20221() sin(1) sin2rMvrvrrr（ ）0rr（ ）2220222()(1)()xryxvvxyx0yv 0 xyvvb:在（r0，0）和（r0，0）處a:當討論：討論：時，即為平行流。為駐點，即A，B為駐點。Vvxyx極坐標：極坐標：討論：202202(1)cos1(1)

13、sinrrvvrrrvvrr a:半徑為r的圓形曲線上的速度環(huán)量b：當 時，故平行流繞圓柱體的流動為勢流。22002222002(1)sin(1) sin(1)cos0rrv dsvrdv rdrrrv rr 0rr02sinrvvv ；時0 00,0,0B rAr當 時，22min0vmax2vv即C、D點的速度最大。n圓柱面上的壓強分布圓柱面上的壓強分布 圓柱面上的壓強分布可由伯努利方程求得。 在無窮遠處，速度為 ，壓強為 。則 工程上為了處理問題方便起見，引入一個無量綱壓強系數(shù) ，則 。vp2222vvppgggg2222111 4sin22ppvvpv由其中22sinvv221 4si

14、n12pppCv12pppCv討論： 1、前、后駐點：2、C、D點：0v 1pC 2max12ppv3pC 2min32ppvmax2vv 3、在 和 的范圍內(nèi)，圓柱面上的壓強作用是對稱的，即作用在其上的壓力是平衡的。0180180360 n對于理想流體，平行流無環(huán)流繞流圓柱體時，既不產(chǎn)生阻力對于理想流體，平行流無環(huán)流繞流圓柱體時，既不產(chǎn)生阻力也無升力。也無升力。 證明：如圖，在單位長度的圓柱體上作用在微元弧段上的總壓力和阻力分別為2220011 4sincos02DxFFrpvd 2220011 4sinsin02LyFFrpvd 證畢。 說明：無升力、無阻力只適用于理想流體，實際流體不適用

15、，上述即為達朗伯疑題。（5 5） 平行流繞流圓柱體有環(huán)流的平面流動平行流繞流圓柱體有環(huán)流的平面流動庫塔儒可夫斯基公式庫塔儒可夫斯基公式平行流繞流圓柱體有環(huán)流的流動是無環(huán)流流動和一個環(huán)流的疊加。20121cosrvrr2max2min1232ABCDppppvppppv20121sinrvrrmin0ABvvvmax2CDvvvv其中n環(huán)流環(huán)流222ln2rn平行流繞圓柱體無環(huán)流的流動平行流繞圓柱體無環(huán)流的流動流體對圓柱體的無環(huán)量繞流n疊加的結果疊加的結果201221cos2rvrr201221sinln2rvrrr流場如圖所示。上部和環(huán)流方向一致，速度加快，下部方向相反，速度減慢，上部壓強降低

16、，下部升高。平行流與純環(huán)流的疊加則可得2021cosrrvvrr20211sin2rvvrrr n驗證是否滿足兩個邊界條件驗證是否滿足兩個邊界條件0rrC201221cos2rvrrn是否滿足圓柱面為流線的條件是否滿足圓柱面為流線的條件當 時，令又，當 時，故滿足以圓柱面為邊界的流動。20Cre0rv 則0rrn是否滿足來流速度為是否滿足來流速度為 的邊界條件的邊界條件 v當 時， 。故滿足無窮遠處的條件r 因此這種疊加是正確的。因此這種疊加是正確的。vv2021cosrrvvrr201221sinln2rvrrrn圓柱面上的速度分布及駐點的位置圓柱面上的速度分布及駐點的位置002sin2rv

17、vvr 20211sin2rvvrrr n圓柱面上的速度分布圓柱面上的速度分布 當 時， 該式說明：圓柱面上徑向速度為零，即無分離，切向速度為 的正弦函數(shù)。0rrn駐點的位置駐點的位置 時0 當駐點在圓柱面上時， 此時，0v0sin4 r v 討論：當 時，且 則有兩個駐點。 因 即 和 。且隨著 增大， 也增大，駐點向中間移動。如圖（a）sin104 r v sinsin2021cosrrvvrr當 時， 駐點移動到最下方。如圖（b）04 r v sin12當 時， 。可令 和 為零，得（ ）（ ）兩個駐點，一個在圓柱體內(nèi)，如圖（c）04 r v sin1rvv11,r22,r當 時，和上述的情況類似，只是駐點的位置在上部。0 （c）（b）（a）圓柱面上的駐點位置n圓柱面上的壓強分布圓柱面上的壓強分布n壓強分布壓強分布在圓柱面上 列無窮遠處和圓柱面上的伯努利方程 0rv 02sin2vvr 221122pvpv22012si