概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)地總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué) 習(xí) 報(bào) 告學(xué)院學(xué)號(hào)： 姓名： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)報(bào)告 通過短短一學(xué)期的學(xué)習(xí)，雖然學(xué)習(xí)、研究地并不深入，但該課程的每一處內(nèi)容都有不同的奇妙吸引著我，讓我對(duì)它在生活中飾演的角色充滿遐想；它將我?guī)肓艘粋€(gè)由隨機(jī)變量為橋梁，通過表面偶然性找出其內(nèi)在規(guī)律性，從而與其它的數(shù)學(xué)分支建立聯(lián)系的世界，讓我對(duì)這種進(jìn)行大量的隨機(jī)重復(fù)實(shí)驗(yàn)，通過分析研究得出統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的過程產(chǎn)生了極大地興趣。我很喜歡這門課程，但也不得不說課后在它上面花的時(shí)間并不多，因此學(xué)得還不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定會(huì)找時(shí)間進(jìn)一步深入地學(xué)習(xí)它。先簡(jiǎn)單地介紹一下概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門學(xué)科。概率論是

2、基于給出隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)語言來描述它們，然后研究其基本規(guī)律，透過表面的偶然性，找出其內(nèi)在的規(guī)律性，建立隨機(jī)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)其他分支的橋梁，使得人們可以利用已成熟的數(shù)學(xué)工具和方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象，進(jìn)而也為其他數(shù)學(xué)分支和其他新興學(xué)科提供了解決問題的新思路和新方法。數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論為基礎(chǔ)，基于有效的觀測(cè)、收集、整理、分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，進(jìn)而對(duì)所觀察的問題作出推斷和預(yù)測(cè)，直至為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性有其獨(dú)特的思想方法，它不是尋求出現(xiàn)每一現(xiàn)象的一切物理因素，不能用研究確定性現(xiàn)象的方法研究隨機(jī)現(xiàn)

3、象，而是承認(rèn)在所研究的問題中存在一些人們不能認(rèn)識(shí)或者根本不知道的隨機(jī)因素作用下，發(fā)生隨機(jī)現(xiàn)象。這樣，人們既可以通過試驗(yàn)來觀察隨機(jī)現(xiàn)象，揭示其規(guī)律性，作出決策，也可根據(jù)實(shí)際問題的具體情況找出隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，作出決策。至今，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及人文科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域中，并隨著計(jì)算機(jī)的普及，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已成為處理信息、制定決策的重要理論和方法。它們不僅是許多新興學(xué)科，如信息論、控制論、排隊(duì)論、可靠性論以及人工智能的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，而且與其他領(lǐng)域的新興學(xué)科的相互交叉而產(chǎn)生了許多新的分支和邊緣學(xué)科，如生物統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)物理、數(shù)理金融、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計(jì)分析、統(tǒng)計(jì)計(jì)算等。概

4、率論應(yīng)用隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的概率分布、數(shù)字特征及特征函數(shù)為數(shù)學(xué)工具對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行描述、分析與研究，其前提條件是假設(shè)隨機(jī)變量的概率分布是已知的；而數(shù)理統(tǒng)計(jì)中作為研究對(duì)象的隨機(jī)變量的概率分布是完全未知的，或者分布類型已知，但其中的某些參數(shù)或某些數(shù)字特征是未知的。概率論研究問題的方法是從假設(shè)、命題、已知的隨機(jī)現(xiàn)象的事實(shí)出發(fā)，按一定的邏輯推理得到結(jié)論，在方法上是演繹式的。而統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法是歸納式的，從所研究地對(duì)象的全體中隨機(jī)抽取一部分進(jìn)行試驗(yàn)或觀測(cè)，以獲得試驗(yàn)數(shù)據(jù)，依據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)所獲取的信息，對(duì)整體進(jìn)行推斷，是歸納而得到結(jié)論的。因此掌握它特有的學(xué)習(xí)方法是很重要的。在學(xué)習(xí)的過程中，不論是老師提出的一些希望我

5、們課后討論的問題還是自己在做作業(yè)看書過程中遇到的一些問題都引發(fā)了我的一些思考，或許解答得并不全面甚至還可能是不正確的，但確實(shí)是自己的一點(diǎn)思考，提出來以后逐步地去解決完善吧。<一>隨機(jī)事件及其概率問題：（1）事件A=對(duì)嗎？ 解析：此種說法不對(duì)。概率論里說了不可能事件的發(fā)生概率是0,但0概率事件可能發(fā)生.比如在宇宙中抽一個(gè)人，抽到你的概率。這就是一個(gè)0概率事件可能發(fā)生的例子！隨機(jī)變量分連續(xù)和離散兩種，它們各自的分布描述是不同的。對(duì)于離散隨機(jī)變量，如果它的事件域是有限個(gè)事件，則可以認(rèn)為概率為0的事件一定不會(huì)發(fā)生，概率為1的事件必然發(fā)生。但若事件是無限的，則還要具體分析。既然0概率事件都是

6、有可能發(fā)生的，那么概率趨近于零的事件果然有可能發(fā)生，只不過我們平時(shí)在處理問題的時(shí)候，把概率趨近于零的事件算作0概率事件，只是算作，不是絕對(duì)的是。對(duì)于連續(xù)性隨機(jī)變量，單個(gè)具體點(diǎn)的概率密度值為一有界常數(shù)，這個(gè)值可以是任意的（包括0和1），但因?yàn)辄c(diǎn)是沒有長(zhǎng)度的，所以該點(diǎn)的概率密度積分為 0（因?yàn)樵擖c(diǎn)概率密度值有界），即該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的事件發(fā)生的概率為0，但這個(gè)事件仍然是可能發(fā)生的，因?yàn)檫@個(gè)事件在事件域內(nèi)。也就是說，概率為0的事件并不一定不會(huì)發(fā)生。同理，某個(gè)點(diǎn)的概率密度值為1，但該點(diǎn)的概率密度積分仍為0，所以概率為1的事件也不一定必然發(fā)生?？傊?，對(duì)于連續(xù)性隨機(jī)變量，討論單個(gè)點(diǎn)的概率是沒有意義的（都為0），

7、我們討論的是，這個(gè)隨機(jī)變量落在一個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率。（2）事件A、B、C，它們兩兩獨(dú)立，是否A、B、C一定是相互獨(dú)立？解析：不一定。舉一個(gè)反例：某一個(gè)袋中有4個(gè)球，一個(gè)白色，一個(gè)黑色，一個(gè)紅色，一個(gè)為這三色，現(xiàn)任取一個(gè)球觀察顏色?？芍涸O(shè)事件A,B,C,A=(有紅色)，B=（有白色），C=（有黑色）。，A、B、C兩兩獨(dú)立，又A、B、C不是相互獨(dú)立。所以幾個(gè)事件兩兩獨(dú)立不一定它們就是相互獨(dú)立。（對(duì)于此反例，有一個(gè)問題就是,雖然在數(shù)值上相等，但會(huì)是一個(gè)數(shù)值上的巧合嗎？一定成立嗎？）（3）獨(dú)立與互不相容的關(guān)系：（獨(dú)立條件：,互不相容條件：）解析：若,則a：A、B獨(dú)立，A、B相容。 b: A、B不獨(dú)立，A

8、、B互不相容；A、B相容（4）A與B 互相獨(dú)立，, A、C是否一定互相獨(dú)立？解析：A、C不一定獨(dú)立。舉一反例：如圖： 由圖可知：所以A、C不獨(dú)立。 <二>隨機(jī)變量及其分布問題： 概率論中引入隨機(jī)變量，從而使研究對(duì)象由隨機(jī)事件擴(kuò)大為隨機(jī)變量，對(duì)于隨機(jī)變量的分布函數(shù)，我們能夠用微積分為工具進(jìn)行研究，強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)分析工具大大地增強(qiáng)了我們研究隨機(jī)現(xiàn)象的手段研究隨機(jī)現(xiàn)象手段離散型隨機(jī)變量分布列一般性隨機(jī)變量分布函數(shù)連續(xù)性隨機(jī)變量概率密度<三>隨機(jī)變量數(shù)字特征與極限定理： 我們都知道隨機(jī)變量的概率分布能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，但在許多的實(shí)際問題中，求概率分布并不容易，另一方

9、面，有時(shí)不需要知道隨機(jī)變量的概率分布，而只需要知道他的某些數(shù)字特征就夠了。數(shù)字特征雖然不像概率分布那樣完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，但它能集中地反映隨機(jī)變量的某些統(tǒng)計(jì)特性，而且許多重要分布中的參數(shù)都與數(shù)字特征有關(guān)，因而數(shù)字特征在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。我們也學(xué)習(xí)了幾種常見的分布的數(shù)字特征，包括期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)以及矩等。（1）不相關(guān)與獨(dú)立之間的關(guān)系：解析：不相關(guān)的等價(jià)命題：1。 2。cov(x,y)=0 3。E(XY)=E(X)E(Y) 4。D(X+Y)=D(X)+D(Y) 結(jié)論：（1）X與Y獨(dú)立，則X與Y一定不相關(guān)（2）X與Y不相關(guān)，則X與Y不一定獨(dú)立證明：（1）由于X與

10、Y獨(dú)立，所以f(xy)=f(x)f(y),（f為概率密度函數(shù)）于是:E(XY)=f(xy)dxdy=f(x)*f(y)dxdy=f(x)dx*f(y)dy=E(X)E(Y)所以：E(XY)=E(X)E(Y)，即X，Y不相關(guān)。（2）反例：X=cost,Y=sint，其中t是(0,2上的均勻分布隨機(jī)變量。易得X和Y不相關(guān)，因?yàn)椋篍(XY)=E(cost sint)=（1/2）*sint cost dt = 0E(X)=（1/2）* cost dt = 0，E(Y)=（1/2）* sint dt = 0所以E(XY)=E(X)E(Y)。但是他們是不獨(dú)立的。因?yàn)椋篨和Y各自的概率密度函數(shù)在（-1,1）

11、上有值，但是XY的聯(lián)合概率密度只在單位圓內(nèi)有值，所以f(XY)不等于f(x)*f(y),兩者不獨(dú)立。（2）切比雪夫不等式： 切比雪夫不等式給出了在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下，利用和對(duì)X的概率分布進(jìn)行估計(jì)的方法，有很廣泛的應(yīng)用。(3) 注意一些應(yīng)用中的獨(dú)立條件：1。概率密度（y）；2。卷積公式 .；3。N個(gè)獨(dú)立正態(tài)分布之和仍然是正態(tài)分布；4。，<四>數(shù)理統(tǒng)計(jì)與參數(shù)估計(jì)：數(shù)理統(tǒng)計(jì)以概率論為理論基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)或觀測(cè)到的數(shù)據(jù)，研究如何利用有效的方法對(duì)這些已知的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，從而對(duì)研究對(duì)象的性質(zhì)和統(tǒng)計(jì)規(guī)律作出合理科學(xué)的估計(jì)和判斷。然而在實(shí)際問題中，所研究的總體分布類型往往是已知

12、的，但依賴于一個(gè)或幾個(gè)的未知參數(shù)，如何從樣本估計(jì)總體的未知參數(shù)就成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本問題之一。通過學(xué)習(xí)，簡(jiǎn)單地了解了一些關(guān)于點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的問題，能夠解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。（1）如何推導(dǎo)出的樣本方差： 推導(dǎo)過程：XN，N。（注意獨(dú)立條件）=N由是的無偏估計(jì)從，中隨機(jī)抽取n個(gè)樣本，是樣本均值，是樣本方差。那么為什么樣本方差是除以而不是n呢？對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量，分別表示其數(shù)學(xué)期望和方差，從中隨機(jī)抽取n個(gè)樣本，是樣本均值，記為的方差和期望。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)與生活實(shí)際問題有著很密切的聯(lián)系。它能將生活中的一些問題建立成一種數(shù)學(xué)模型，并且教給我們一些收集、分析、處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)能力，使我們能夠利用學(xué)過的成熟的

13、數(shù)學(xué)工具和方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象解決生活實(shí)際問題。以下就是幾類我認(rèn)為比較經(jīng)典的模型和處理方法：（1）“抓鬮”是否是真正的公平？解析：建立一個(gè)概率論模型：袋中有a個(gè)黑球，b個(gè)白球。隨機(jī)地（不放回）把球一個(gè)個(gè)地摸出來。求A=“第k次摸出的是黑球”的概率（k）.解題：把a(bǔ)個(gè)黑球與b個(gè)白球看作是不同的，且把個(gè)球的每一種排列看作是基本事件。于是基本事件總數(shù)！。由于第k次摸得黑球有a種可能，而另外次摸得球的排列有！種可能。所以A中包含的基本事件數(shù)為！。因此有：。由結(jié)果得出它與k值無關(guān)，無論哪一次取得黑球的概率都是一樣的，或者說是取得黑球概率與先后次序無關(guān)。這就從理論上說明了平常人們采取的“抓鬮”的辦法是公平合

14、理的。（2）把一個(gè)比較復(fù)雜的隨機(jī)變量X拆成n個(gè)比較簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量的和，然后通過這些比較簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求得X的數(shù)學(xué)期望。這是概率論中常采用的處理方法。建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型：r個(gè)人在樓的底層進(jìn)入電梯，樓上有n層，每個(gè)乘客在任一層下電梯的概率是相同的。如到某一層無乘客下電梯，電梯就不停下。求直到乘客都下完時(shí)電梯停車的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。解題：設(shè)表示在第層電梯停車的次數(shù)，則，易見 由于每個(gè)人在任一層下電梯的概率均為，故r個(gè)人同時(shí)不在第層下電梯的概率為，即：。從而， 于是：得（3）貝葉斯公式的應(yīng)用： 式中稱為先驗(yàn)概率，一般在試驗(yàn)前就已知，常常是以往的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)；稱為后驗(yàn)概率，它反映了試驗(yàn)之后對(duì)各種原因發(fā)生的可能性大小的新知識(shí)。貝葉斯公式實(shí)際就是根據(jù)先驗(yàn)概率求后驗(yàn)概率的公式。例題模型：設(shè)患病的人經(jīng)過檢查，被查出的概率為0.95，而為患病的人經(jīng)檢查，被誤認(rèn)為有肺病的概率