
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1、Lambert-W函數(shù)第二章 Lambert W函數(shù) Lambert W函數(shù)簡介Lambert W函數(shù)(又稱歐米茄函數(shù)或乘積對數(shù)),是的反函數(shù),其中是指數(shù)函數(shù),是任意復(fù)數(shù),對于任何復(fù)數(shù),都有1,2: 由于函數(shù)不是單射,因此函數(shù)是多值的(除了0以外)。如果我們把限制為實(shí)數(shù),并要求是實(shí)數(shù),那么函數(shù)僅對于有定義,在內(nèi)是多值的;如果加上的限制,則定義了一個(gè)單值函數(shù)(見圖)。我們有,。而在內(nèi)的分支,則記為,從遞減為。Lambert W函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示。它在組合數(shù)學(xué)中有許多用途,例如樹的計(jì)算。它可以用來解許多含有指數(shù)的方程,也出現(xiàn)在某些微分方程的解中。圖 Lambert W函數(shù)的坐標(biāo)形式上面關(guān)于L
2、ambert W函數(shù)的性質(zhì)我們可以總結(jié)為3: () ()Lambert W函數(shù)的積分形式為9: , ,以上均要求:,利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,我們可以證明Lambert W函數(shù)滿足以下微分方程,因此:,函數(shù),以及許多含有的表達(dá)式,都可以用的變量代換來積分,也就是說, Lambert W函數(shù)的性質(zhì)1函數(shù)的極限可以表示為2若,則在的泰勒級數(shù)如下:,收斂半徑為。加法定理:,其中特殊值, Lambert W函數(shù)的應(yīng)用許多含有指數(shù)的方程都可以用Lambert W函數(shù)來解出。一般的方法是把未知數(shù)都移到方程的一側(cè),并設(shè)法化為的形式。下面我們舉幾個(gè)例子來應(yīng)用Lambert W函數(shù)解一些方程例1,以下的方程,其中令化為,例如解以下方程: 用類似的方法可知以下方程的解為以下方程的解具有形式一般化標(biāo)準(zhǔn)的Lambert W函數(shù)可用來表示以下超越代數(shù)方程式的解:,其中,與為實(shí)常數(shù)。其解為
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