河海大學(xué)彈性力學(xué)徐芝綸版第五章

1、例題例題第一節(jié)第一節(jié) 差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)第二節(jié)第二節(jié) 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)第三節(jié) 應(yīng)力函數(shù)差分解的實例應(yīng)力函數(shù)差分解的實例第四節(jié)第四節(jié) 彈性體的形變勢能和外力勢能彈性體的形變勢能和外力勢能第五節(jié)第五節(jié) 位移變分方程位移變分方程第六節(jié)第六節(jié) 位移變分法位移變分法第七節(jié)第七節(jié) 位移變分法例題位移變分法例題第五章 用差分法和變分法解平面問題 彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件，形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。近似解法 因此，因此，彈性力學(xué)問題屬于微分方程的彈性力學(xué)問題屬于微分方程的邊值問題。邊值問題。通過求解，得出函數(shù)表示的

2、精通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答。確解答。 5-1 5-1 差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)第五章 用差分法和變分法解平面問題 對于工程實際問題，由于荷載和邊界對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討人們探討彈性力學(xué)的各種近似解法，彈性力學(xué)的各種近似解法，主要主要有有變分法，差分法和有限單元法。變分法，差分法和有限單元法。近似解法第五章 用差分法和變分法解平面問題 差分法差分法是微分方程的一種數(shù)值解法。 它不是去求解函數(shù) ，而是求函數(shù)在一些結(jié)點上的值 。)(xf21, fffxo 21 ff3f 1x2x3x)(xf差分法第

3、五章 用差分法和變分法解平面問題 差分法的內(nèi)容是：差分法的內(nèi)容是：;d ,d1212ffffxxxx;dd1212xxffxfxf差分法將將微分方程微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問題化為求解差分于是，求解微分方程的問題化為求解差分方程的問題。方程的問題。將將導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)用有限差商來代替，用有限差商來代替，將將微分微分用有限差分來代替，用有限差分來代替，第五章 用差分法和變分法解平面問題導(dǎo)數(shù)差分公式的導(dǎo)出：導(dǎo)數(shù)差分公式 在平面彈性體上劃分等間距h 的兩組網(wǎng)格，分別x ，y 軸。網(wǎng)格交點稱為結(jié)點，h稱為步長。第五章 用差分法和變分法解平面問題應(yīng)用應(yīng)

4、用泰勒級數(shù)公式泰勒級數(shù)公式 將將 在在 點展開點展開，)(xfox).()()(! 21)()()()(32oo22oooxoxxxfxxxfxfxf(a)第五章 用差分法和變分法解平面問題拋物線差分公式拋物線差分公式-略去式(a)中 以上項，分別用于結(jié)點1，3，1o22oo2()() ;2fhfffhxx3x10,xxh。022200)(2)(3xfhxfhff拋物線差分公式結(jié)點3，結(jié)點1，30,xxh 第五章 用差分法和變分法解平面問題01320130221()(),2(b)1()(2).fffxhffffxh拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式中心差分公式，并由此可導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式。

5、從上兩式解出o點的導(dǎo)數(shù)公式，第五章 用差分法和變分法解平面問題 應(yīng)用泰勒級數(shù)導(dǎo)出差分公式，可得出統(tǒng)一的格式，避免任意性，并可估計其誤差量級，式(b)的誤差為 。)(3xo 拋物線差分公式第五章 用差分法和變分法解平面問題線性差分公式線性差分公式在式(a)中僅取一，二項時，誤差量級為 。)(2xo,)(001xfhff0031()() , (c)fffxh線性差分公式式(c)稱為向前差分公式。向前差分公式。對結(jié)點1，得：第五章 用差分法和變分法解平面問題對結(jié)點3， 得： ,)(003xfhff0031()(),(d)fffxh 線性的向前或向后差分公式，主要用于對時間導(dǎo)數(shù)的公式中。式(d)稱為向

6、后差分公式。向后差分公式。 第五章 用差分法和變分法解平面問題例1 穩(wěn)定溫度場中的溫度場函數(shù)T(x，y)應(yīng)滿足下列方程和邊界條件： （在 A 中）, (a) （在 上）, (b) （在 上）. (c)20,T,)(bsqnT,bsTT 1S2S第五章 用差分法和變分法解平面問題 穩(wěn)定溫度場的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一類邊界條件是已知邊界上的溫度值；在 上的第二類邊界條件是已知熱流密度值，其中是導(dǎo)熱系數(shù)。1S2S第五章 用差分法和變分法解平面問題 現(xiàn)在我們將式(a)，(b)，(c)轉(zhuǎn)化為差分形式。應(yīng)用圖51網(wǎng)格，和拋物線差分公式，第五章 用差分法和變分法解平面問題（1）將化為差分公

7、式，得（2）若x邊界516上為第一類邊界條件，則 已知。（3）若y邊界627上為第二類邊界條件，已 知，則 0)(02 T; 0)(443210TTTTT1T2)(yq,)()(22yqyT(d)第五章 用差分法和變分法解平面問題 由于 所以得 這時，邊界點2的是未知的，對2點須列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可將式（e）代入。,2)(0102hTTyT.)(22010yqhTT2T10T(e)第五章 用差分法和變分法解平面問題例2 穩(wěn)定溫度場問題的差分解。設(shè)圖中的矩形域為6m4m ，取網(wǎng)格間距為h= =2m，布置網(wǎng)格如圖，各邊界點的已知溫度值如圖所示，試求內(nèi)結(jié)點a，b的穩(wěn)定溫度值。ab4

8、0353025322224222017第五章 用差分法和變分法解平面問題解出解。0)222030(4, 0)223532(4abbaTTTT13.25,53.28baTT（度）。第五章 用差分法和變分法解平面問題思考題1.比較導(dǎo)數(shù)的拋物線差分公式和線性差分公式的區(qū)別。2.應(yīng)用拋物線差分公式(5-2)，試導(dǎo)出3階導(dǎo)數(shù) 的差分公式。yxf23第五章 用差分法和變分法解平面問題 對于單連體，按應(yīng)力函數(shù)單連體，按應(yīng)力函數(shù) 求解時，求解時， 應(yīng)滿足:5-2 5-2 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解4(1) 0; () (a)(),(2) () (b)().yxyxyxxsysAlmfSSmlf按 求解第

9、五章 用差分法和變分法解平面問題（3）求出 后，由下式求應(yīng)力（假設(shè)無體力）: 22222, , . (c)xyxyyxx y 按 求解第五章 用差分法和變分法解平面問題2401305768200222002220021()()(2),1()()(2),(d)1()()()4xyxyyhxhx yh 。差分法求解1.1.應(yīng)力公式應(yīng)力公式( (c) )的差分表示。的差分表示。對于O點， 差分法求解：差分法求解：第五章 用差分法和變分法解平面問題0)(04 0123456789101112208()2()()0.(e)i相容方程化為： 對每一內(nèi)結(jié)點， 為未知，均應(yīng)列出式(e)的方程 。2.2.相容方

10、程相容方程(a)的差分的差分表示表示第五章 用差分法和變分法解平面問題 對邊界內(nèi)一行結(jié)點列式(e)方程時，需要求出邊界點和邊界外一行結(jié)點（虛結(jié)點）的 值。 為了求虛結(jié)點的 值，需要求出邊界點的 ， 值。x相容方程y第五章 用差分法和變分法解平面問題3.3.應(yīng)用應(yīng)力邊界條件應(yīng)用應(yīng)力邊界條件(b)(b)，求出邊界點，求出邊界點的的 ， ， 值。值。xy邊界條件第五章 用差分法和變分法解平面問題 應(yīng)力邊界條件用 表示 取出坐標(biāo) 的正方向作為邊界線s 的正向（圖中為順時針向），當(dāng)移動 時， 為正，而 為負(fù)，所以外法線的方向余弦為dsdxdy.sin,cosdsdxmdsdyl邊界條件第五章 用差分法和

11、變分法解平面問題,)(dd)(dd222xfyxsxysy.)(dd)(dd222yfyxsyxsx,)(ddxfys( f ).)(ddyfxs邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得第五章 用差分法和變分法解平面問題()(),(g )()().xyBBAABBAAf dsyyf dsxx邊界條件式( f )，(g)分別是應(yīng)力邊界條件的微分，積應(yīng)力邊界條件的微分，積分形式。分形式。再將式(f )對s 積分，從固定的基點A到邊界任一點B，得第五章 用差分法和變分法解平面問題 通過分部積分從A到B積分，得yyxxdddB,d)d(duvuvvu()()()()()d()d .BABABABBA

12、ABBxyAAxxyyxyyy fsxxfs邊界條件(h)由全微分 求邊界點求邊界點的的 第五章 用差分法和變分法解平面問題 因為A為定點， ， 和 ， ， ，均為常數(shù)，而式(h)中，加減x，y的一次式不影響應(yīng)力，所以可取 故邊界結(jié)點的邊界結(jié)點的 和導(dǎo)數(shù)值，和導(dǎo)數(shù)值，由式(g)，(h)簡化為 Ax, 0)( ,)( ,AAyxA()d,()d,(i)()d().BBBBBxABByABBxyAAfsyfsxyyfsxxf d s 邊界條件AyAAx)(Ay)(第五章 用差分法和變分法解平面問題式式(i)(i)的物理意義是：的物理意義是：第一式表示從A到B邊界上x向面力的主矢量；第二式表示從A到

13、B邊界上y向面力的主矢量 改號;第三式表示從A到B邊界上面力對B點的力距， 圖中以順時針向為正。因此，可以按物理意義直接求 和 。邊界條件,BBx)(By)(第五章 用差分法和變分法解平面問題 由式(i)的第三式，可求出邊界點的 值; 由式(i)的前兩式，可求出邊界點 的 ， 值，然后再求出邊 界外一行虛結(jié)點的 值。邊界條件BBx)(By)(第五章 用差分法和變分法解平面問題（2）由邊界結(jié)點的 ， 值，求出邊界 外一行虛結(jié)點的 值；（1）在邊界上選定基點A， 令 ， 然后計算邊界上各結(jié)點的 ， ， ；0)()(AAyxAxyxy求解步驟4.4.應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟第五章 用

14、差分法和變分法解平面問題（4）求出邊界外一行虛結(jié)點的 值；（3）對邊界內(nèi)所有結(jié)點列式(e)的方程， 聯(lián)立求各結(jié)點的 值；求解步驟（5）按式(d)求各結(jié)點的應(yīng)力。第五章 用差分法和變分法解平面問題思考題1，將應(yīng)力函數(shù)看成是覆蓋于區(qū)域A和邊 界s上的一個曲面，則在邊界上，各點 的值與從 A（基點）到B面力的合力 距有關(guān)， 的一階導(dǎo)數(shù)值與A到B的面力 的合力（主矢量）有關(guān)；而在區(qū)域內(nèi)， 應(yīng)力分量與曲面的曲率，扭率有關(guān)。第五章 用差分法和變分法解平面問題5 53 3 應(yīng)力函數(shù)差分解的實例應(yīng)力函數(shù)差分解的實例q問題 此題無函數(shù)式解答。應(yīng)用差分法求解。 正方形深梁正方形深梁, ,上邊受均布荷載 ，下邊兩角

15、點處有支承反力維持平衡，試求其應(yīng)力。第五章 用差分法和變分法解平面問題1.本題具有對稱性對稱性，取y軸如圖，并取以反映對稱性。, 0)()(AAyxA取網(wǎng)格如圖。第五章 用差分法和變分法解平面問題 首先考慮對稱性對稱性，可以減少未知值數(shù)目，并大量減少計算工作量。 按照物理意義，求出邊界點上的 和其導(dǎo)數(shù)值（如書中所示）： 第五章 用差分法和變分法解平面問題 AB間y向面力主矢量號， AB間x向面力主矢量， AB間面力對B點力矩,以BAxBBAyBsfysfxd)(d)(BAxsfyyBBd)(BAysfxxBd)(注意符號為正.第五章 用差分法和變分法解平面問題0)(04 i5. 求出應(yīng)力求出應(yīng)

16、力，如AM線上各點應(yīng)力，并繪 出分布圖。4. 求出邊界外一行虛結(jié)點的 值值。3. 對每一內(nèi)點列差分方程 ，求求 出出 。2. 由邊界點 的導(dǎo)數(shù)值，求出邊界外一行 虛結(jié)點的虛結(jié)點的 值值。第五章 用差分法和變分法解平面問題比較比較：材料力學(xué)解AM上 為直線分布，彈性力學(xué)解AM上 為曲線分布， 由此又說明，材料力學(xué)解法只適用于桿件。;75. 0 ,75. 0qminqmaxxx.24. 0 ,84. 1qminqmaxxx比較xx第五章 用差分法和變分法解平面問題（1）差分法是解微分方程邊值問題和彈性 力學(xué)問題的有效方法。（2）差分法簡便易行，且總能求出解答。（3）差分法可配合材料力學(xué)，結(jié)構(gòu)力學(xué)解

17、 法，精確地分析結(jié)構(gòu)的局部應(yīng)力狀態(tài)。 差分法優(yōu)點差分法優(yōu)點：差分法評價第五章 用差分法和變分法解平面問題（3）凡是近似解，在求導(dǎo)運算時會降低精度。如 的誤差為 ，則應(yīng)力的誤差為 。)(3xo )( xo 缺點缺點：差分法評價（1）對于曲線邊界和不等間距網(wǎng)格的計算較麻煩。（2）差分法比較適用于平面問題或二維問題。第五章 用差分法和變分法解平面問題思考題:1.試用線性向前或向后差分公式，導(dǎo)出 的 差分方程。0)(02 Ta（Z向厚度 ）1AyB2FFFxaaa2.用差分法計算 圖中A點的應(yīng) 力分量。第五章 用差分法和變分法解平面問題5 54 4 彈性體的形變勢能彈性體的形變勢能 外力勢能外力勢能彈

18、性力學(xué)變分法彈性力學(xué)變分法，又稱為能量法能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函泛函是以函數(shù)為自變量（宗量）的一 種函數(shù)。變分法，變分法，是研究泛函及其極值的求解方法是研究泛函及其極值的求解方法。第五章 用差分法和變分法解平面問題應(yīng)力變分法應(yīng)力變分法取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以 余能極小值條件導(dǎo)出變分方程。 本章只介紹位移變分法。位移變分法位移變分法取位移函數(shù)為自變量，并以 勢能極小值條件導(dǎo)出變分方程。 彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法。其中分為：第五章 用差分法和變分法解平面問題外力勢能外力勢能外力做了功，必然消耗了相同 值的勢能。當(dāng)取 時的外力功和能為零，則：()d

19、d()d . (a)xyxyAsWf uf vxyf uf vs0 vuWV.d)(dd)(syxAyxsvfufyxvfuf(b)外力功和外力勢能1.1.彈性體上的外力功和外力勢能彈性體上的外力功和外力勢能外力功：外力功：第五章 用差分法和變分法解平面問題形變勢能（2）因為應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長到 ， 故單位體積上，應(yīng)力所做的功是單位體積上，應(yīng)力所做的功是 非線性 關(guān)系 線 性 關(guān)系,d01U.211U（1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近 部分物體對它的作用力，可看成是 作用于微小單元上的“外力”。2.2.應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能）第五章 用差分法和變分法解平

20、面問題 線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系第五章 用差分法和變分法解平面問題（3）對于平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題 或平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 單位體積上應(yīng)力所做的功單位體積上應(yīng)力所做的功都是 )0(zyzxz),0(zyzxz).(211xyxyyyxxU(c) 形變勢能第五章 用差分法和變分法解平面問題（4）假設(shè)沒有轉(zhuǎn)化為非機(jī)械能和動能，則 應(yīng)力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的 內(nèi)力勢能內(nèi)力勢能，又稱為形變勢能形變勢能，或應(yīng)變應(yīng)變 能能， 存貯于物體內(nèi)部。 -單位體積的形變勢能單位體積的形變勢能（形變勢形變勢能密度能密度）。1U形變勢能第五章 用差分法和變分法解平面問題（5 5）整個彈性體的

21、形變勢能是整個彈性體的形變勢能是 .dd)(21dd1AxyxyyyxxAyxyxUU(d)形變勢能第五章 用差分法和變分法解平面問題（6）將物理方程代入，平面應(yīng)力問題的形平面應(yīng)力問題的形 變勢能密度變勢能密度 ，可用形變形變表示為 對于平面應(yīng)變問題， 將222121(2).(e)2(1)2xyxyxyEU 21EE變?yōu)椋?1變?yōu)?U1U形變勢能22121()()2() .(f)22 1EuvuvvuUxyxyxy再將幾何方程代入， 可用位移位移表示為第五章 用差分法和變分法解平面問題3.3.形變勢能形變勢能 的性質(zhì)的性質(zhì)（1） 是應(yīng)變或位移的二次泛函，是應(yīng)變或位移的二次泛函， 故不能應(yīng)用疊加

22、原理。（2）應(yīng)變或位移發(fā)生時， 總是正的，即（3） 的大小與受力次序無關(guān)。（4） 對應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)，等于對應(yīng)的應(yīng)力： . 0U. , ,111xyxyyyxxUUUUUU1U(g)形變勢能的性質(zhì)U第五章 用差分法和變分法解平面問題4.4.彈性體的總勢能彈性體的總勢能，是外力勢能和內(nèi)力 （形變）勢能之和，.pVUE(h)第五章 用差分法和變分法解平面問題1.試證明在線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系， 2. 試由式(e)導(dǎo)出式(g)。3. 試列出極坐標(biāo)系中平面應(yīng)力問題的形變勢能公式，并與式(d)，(e)和(f)相比較。11.2U思考題思考題第五章 用差分法和變分法解平面問題5 55 5位移變分方程位移變分方程 在

23、位移變分法位移變分法中，所取泛函為總勢能 ，其宗量為位移函數(shù)位移函數(shù) ， 。u vpE現(xiàn)在來導(dǎo)出位移變分方程位移變分方程。第五章 用差分法和變分法解平面問題1.1.實際平衡狀態(tài)的位移實際平衡狀態(tài)的位移 ， ，必須滿足，必須滿足 用位移表示的平衡微分方程（在A中）; 用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在 上); 位移邊界條件（在上）。uss實際位移u v(a) 其中，屬于靜力平衡條件靜力平衡條件，屬于約束條件約束條件。對于實際位移，可將看成是必要條件，而，是充分條件。第五章 用差分法和變分法解平面問題（在 上）。 2. 2.虛位移狀態(tài)虛位移狀態(tài) 虛位移（數(shù)學(xué)上稱為位移變分） ， 表示在約束條件允許下，平

24、衡狀態(tài)附近的微小位移增量，如圖所示。 虛位移應(yīng)滿足 上的約束邊界條件，即,v, 0 vu虛位移(b)ususu第五章 用差分法和變分法解平面問題 虛位移不是實際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。因此，虛位移狀態(tài) 就構(gòu)成實際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)。,*vvvuuu(c)虛位移第五章 用差分法和變分法解平面問題微分微分是在同一狀態(tài)下，研究由于位 置(坐標(biāo))改變而引起函數(shù)的改 變。其中的自變量為坐標(biāo)變量x,y； 而因變量為函數(shù)，如位移，有 .dddyyuxxuu(d) 變分與微分的比較變分與微分的比較變分與微分第五章 用差分法和變分法解平面問題變分變分是在同一點位置上，由于狀態(tài)改 變而

25、引起泛函的改變。 其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，如 ， ， ，有 UVpE. vvUuuUU變分與微分(e)第五章 用差分法和變分法解平面問題由于微分和變分都是微量，所以 a.它們的運算方式相同運算方式相同，如式(d)，(e)； b.變分和微分可以交換次序變分和微分可以交換次序，如 ).()(uxxu變分與微分( f )第五章 用差分法和變分法解平面問題當(dāng)發(fā)生虛位移虛位移（位移變分） 時，()d d()d . (g)yxyxAsWf uf vx yfufvs. (h)VW , , . (i)xyxyuvvuxyxyvu,虛位移上功和能 由于虛位移引起虛應(yīng)變虛應(yīng)變，外力勢能的變

26、分外力勢能的變分：外力的虛功外力的虛功（外力功的變分）：3.3.在虛位移上彈性體的功和能在虛位移上彈性體的功和能 第五章 用差分法和變分法解平面問題 形變勢能的變分形變勢能的變分，即實際應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功, 由于實際應(yīng)力在虛應(yīng)變之前已存在,所以作為常力計算，故無 系數(shù)。.dd)(AxyxyyyxxyxU21虛位移上功和能 ( j )第五章 用差分法和變分法解平面問題（1）在封閉系統(tǒng)封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機(jī)械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加在虛位移過程中形變勢能的增加 應(yīng)等于外力勢能的減少應(yīng)等于外力勢能的減少（即等于外力所做的虛功 ）。所以)( UW

27、 . (k)UW位移變分方程4.4.彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出第五章 用差分法和變分法解平面問題（2）位移變分方程位移變分方程 將式(g)的 代入上 式，得它表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變 分分 時，所引起的形變勢能的變時，所引起的形變勢能的變 分分 ，等于外力功的變分，等于外力功的變分 。()d d()d . (l)xyxyAsUfufvxyfufvsW),(vu)( U)( W位移變分方程第五章 用差分法和變分法解平面問題U()dd()dd()d . (m)xxyyxyxyAxyxyAs xyf uf vxyf uf vs位移變分方

28、程它表示，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，在實際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在 虛應(yīng)變上所做的虛功。虛應(yīng)變上所做的虛功。（3）虛功方程虛功方程 將式(j)的 代入上 式，得第五章 用差分法和變分法解平面問題其中 形變勢能的變分，如式( j )所示， 外力功的變分, 如式( g )所示。0 , (n)UW0 , (o)UWWU位移變分方程（4）最小勢能原理最小勢能原理式(k)可寫成其中U彈性體的形變勢能，如5-4式(d),W彈性體的外力功， 如5-4式(a)?？梢宰C明，式(n)可以寫成為第五章 用差分法和變分法解平面問題證明如下：位移變分方

29、程 .d)(dd)( d)(dd)(;dd)( dd dd1111WsvfufyxvfufsvfufyxvfufWUyxyxUUUyxUUysxyAxAysxyxxyxyyyxAxAxyxyyyxxA第五章 用差分法和變分法解平面問題由于彈性體的總勢能為故式(o)可以表示為 再將總勢能 對其變量（位移或應(yīng)變）作二次變分運算，可得 綜合式(p)，(q)，即得,pWUVUE.0pE.0p2E.pminE(p)(q)(r)位移變分方程pE第五章 用差分法和變分法解平面問題位移變分方程 這就是最小勢能原理。它表示在給這就是最小勢能原理。它表示在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件定的外力作用下，在滿足

30、位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一的所有各組位移狀態(tài)中，實際存在的一組位移對應(yīng)于總勢能為極小值。組位移對應(yīng)于總勢能為極小值。第五章 用差分法和變分法解平面問題最小勢能原理：數(shù)學(xué)表示如圖(a)，物理意義如圖(b)pEuuuminE p0pE0p2Eu（實際位移）pE(a)(b)第五章 用差分法和變分法解平面問題（5）位移變分方程的又一形式位移變分方程的又一形式 式(l) 中 可化為 .dd)( dd)(yxuyvxvyuxyxUAxyyxAxyxyyyxx又一形式U第五章 用差分法和變分法解平面問題應(yīng)用分部積分公式 和格林公式 （其中s為平面域A的邊界，l，m為邊界外法線的方向余弦）

31、，可將 進(jìn)行轉(zhuǎn)換。, d)d(dAAuvuvvu,d)(dd)(sAsmQlPyxyQxPU又一形式第五章 用差分法和變分法解平面問題由在 上，虛位移 ，得 對 其余幾項進(jìn)行同樣的轉(zhuǎn)換，并代入式( ( l ) ,可得又一形式的位移變分方程又一形式的位移變分方程：yxuxuxyxuxAxxAxdd )()(dd )(,dd)(dyxuxsulsAxxus0udd.(t)xxssulsuls又一形式U例如，對第一項計算，(s)第五章 用差分法和變分法解平面問題Ayxyyxyxxyxvfxyufyxdd )()()() d0.(u)xyxxyxyyslmfumlfvs因 ， 都是任意的獨立的變分，為

32、了滿足上式, 必須uv. 0 , 0, 0 , 0yxyyxyxxyxyyxyxxflmfmlfxyfyx（在A中）(v)（在 上）(w)s又一形式第五章 用差分法和變分法解平面問題 由此可見，從位移變分方程可以由此可見，從位移變分方程可以導(dǎo)出平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，導(dǎo)出平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，或者說，位移變分方程等價于平衡微或者說，位移變分方程等價于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。分方程和應(yīng)力邊界條件。第五章 用差分法和變分法解平面問題5.5.結(jié)論結(jié)論 實際平衡狀態(tài)的位移必須滿足 a. 上的約束(位移)邊界條件； b. 上的應(yīng)力邊界條件； c.域A中的平衡微分方程。sus結(jié)論 位移變分方

33、程可以等價地代替靜力條 件b,c。 第五章 用差分法和變分法解平面問題結(jié)論 由此得出一種變分解法變分解法, ,即預(yù)先使位即預(yù)先使位 移函數(shù)滿足移函數(shù)滿足 上的位移邊界條件，再上的位移邊界條件，再 滿足位移變分方程，必然也可以找出滿足位移變分方程，必然也可以找出 對應(yīng)于實際平衡狀態(tài)的位解答。對應(yīng)于實際平衡狀態(tài)的位解答。us第五章 用差分法和變分法解平面問題 1.微分和變分各是由什么原因引起的？ 2.試導(dǎo)出式(u)。 3.試比較4.中變分方程 (1)-(5)的不同的 物理解釋。 4.試證明二階變分 。 思考題0p2E第五章 用差分法和變分法解平面問題 位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)位移變分法是取

34、位移為基本未知函數(shù)的。的。 位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足 上的位移邊界上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程。條件，然后再滿足位移變分方程。5-6 5-6 位移變分法位移變分法us第五章 用差分法和變分法解平面問題mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu).,(),(),(),(00(a)瑞利-里茨法 （1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設(shè)定位移試函數(shù)的方法設(shè)定位移試函數(shù)的方法，令 1. 1.瑞利瑞利- -里茨法里茨法 第五章 用差分法和變分法解平面問題其中 和 均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界 上，令 mmvuvu, ,00. 0)( , 0)(,)( ,)(00smsms

35、svuvvuu（在 上）（在 上）(c)(b)瑞利-里茨法ususus第五章 用差分法和變分法解平面問題 所以 已滿足了 上的位移邊界位移邊界條件條件。而 ， 用來反映位移狀態(tài)的變化，故位移的變分為位移的變分為mAmB.,mmmmmmBvvAuu瑞利-里茨法(d)us, u v第五章 用差分法和變分法解平面問題( )d d( )d . (e)xyxyAsUfufvx yfufvs() . (f)mmmmmUUUABAB瑞利-里茨法mAmB 位移的變分通過 ， 的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移變分方程第五章 用差分法和變分法解平面問題將式(d)，( f )代入(e)

36、得AsmmmAsmmmBsvfyxvfBUAsufyxufAUmymymxmx0dddddd因虛位移（位移變分）中的 ， 是完全任意的，獨立的，為了滿足上式，必須:mAmB第五章 用差分法和變分法解平面問題ddd ,(1,2) (g)ddd .mmmxxAsmymyAsmUf uxyf usAmUf vxyf vsB瑞利-里茨法mAmBmAmB式(g)是瑞利瑞利- -里茨變分方程里茨變分方程。它是關(guān)于 ，的線性代數(shù)方程組，由上式可解出 ， ,從而得到位移的解答。第五章 用差分法和變分法解平面問題2.2.伽遼金法伽遼金法 （1）設(shè)定位移試函數(shù)如式(a)所示，但令 u,v 不僅滿足不僅滿足 上的位

37、移邊界條件，上的位移邊界條件， 而且也滿足而且也滿足 上的應(yīng)力邊界條件上的應(yīng)力邊界條件 （用u,v表示）。sus伽遼金法第五章 用差分法和變分法解平面問題 將位移的變分 ， （式(d )）代入，同樣由于 ， 為完全任意的和獨立的變分，得到()() d d0. (h)yxyxyxxyAfufvx yxyyxu伽遼金法smAmB（2）于是，由5-5中式(u)可見，由于 上的應(yīng)力邊界條件已滿足，設(shè)定的位移只需滿足下列變分方程v第五章 用差分法和變分法解平面問題()dd0,(1,2) (i)()dd0.yxxxmAyxyymAfuxyxymfvxyyx將上式括號內(nèi)的應(yīng)力用位移來表示，得伽遼伽遼金變分方

38、程金變分方程: :伽遼金法22222222222211()d d0,122 (j)11()d d0.122xmymAAEuuvf uxyxyx yEvvuf vxyyxx y )2, 1(m第五章 用差分法和變分法解平面問題 式( j )也是關(guān)于 ， 的線性代數(shù)方程組，從上式解出 ， ，便得到位移的解答。伽遼金法mAmBmAmB第五章 用差分法和變分法解平面問題思考題 試從位移函數(shù)的設(shè)定，應(yīng)滿足的變分方程和求解的計算工作量等方面對瑞利- -里茨法和伽遼金法進(jìn)行比較。第五章 用差分法和變分法解平面問題例例1 1 圖示矩形板ab，在上邊及右邊受有均布壓力 及 ，而左邊和下邊受有法向連桿的約束。1q

39、2q5-7 5-7 位移變分法例題位移變分法例題第五章 用差分法和變分法解平面問題應(yīng)用瑞利應(yīng)用瑞利- -里茨法里茨法 ，設(shè)定位移 滿足兩個約束邊界條件 .,111111yBvBvxAuAu. 0)( , 0)(00yxvu例題例題 (a)(b)第五章 用差分法和變分法解平面問題其余的應(yīng)力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程變分方程代替（其中 ）：0yxffssxsvfBUsufAUy.d,d1111(c)對式(c)右邊的積分，應(yīng)包含所有的應(yīng)力邊界條件（當(dāng) 或 處積分為0），0 yxff例題例題 第五章 用差分法和變分法解平面問題且其中的 ， 應(yīng)代入相應(yīng)的邊界方程。將式(a)代入 U ，計算式(

40、c)的左邊項。 共建立兩個方程，求出 和 ，得位位移解答：移解答：1v1u11 BA例題例題 .)(1,)(11221yqqEvxqqEu(d) 對于圖示的簡單問題，式(d)正好是其精確解。第五章 用差分法和變分法解平面問題).1()( ,0)(,0),(,0),(2202/bxvuvuvubybyyx例題例題 (e)例例2 2本題全部為位移邊界條件：全部為位移邊界條件：第五章 用差分法和變分法解平面問題本題以y軸為對稱軸，所以u應(yīng)為x的奇函數(shù),v應(yīng)為x的偶函數(shù)。例題例題 (f)設(shè)定位移勢函數(shù)設(shè)定位移勢函數(shù)為1110111222222(1)(1),(g)(1)(1)(1).xxyyuAuAaa

41、bbxyxyyvvBvBababb第五章 用差分法和變分法解平面問題 位移(g)已滿足對稱性條件已滿足對稱性條件(f)(f)和全部邊和全部邊界條件界條件(e)(e)。 因 全部為位移邊界條件且均已滿足，所以從55 式(u)可見，也可應(yīng)用伽遼金變分法。, 0,usss例題例題 第五章 用差分法和變分法解平面問題 將位移(g)代入上式，求出 得出的位移解答與書中用瑞利-里茨法 給出的結(jié)果相同。 因 ，故伽遼金變分方程伽遼金變分方程為 .0dd)2121(2,0dd)2121(21122200222220022yxvyxuxvyvyxuyxvyuxuabab0yxff,11BA例題例題 (h)第五章

42、 用差分法和變分法解平面問題例題1例題2例題3例題4例題5例題7例題6例題第五章 用差分法和變分法解平面問題例題例題1 1設(shè)圖中的矩形域為 ，取網(wǎng)格間距為h=2m,布置網(wǎng)格如圖，各邊界點的已知溫度值（度）如圖所示，試求內(nèi)結(jié)點a,b的穩(wěn)定溫度值。mm 46 ab40353025322224222017第五章 用差分法和變分法解平面問題解：對結(jié)點a, b列出方程如下：. 02220304, 02235324abbaTTTT解出.(13.25 ,53.28度）baTT第五章 用差分法和變分法解平面問題例題例題2 2用差分法計算圖中A和B點的應(yīng)力分量。FaBxy3aaaA.71（Z向厚度 ）1F65第

43、五章 用差分法和變分法解平面問題 解：為反映對稱性，取A為基點。令 邊界點的應(yīng)力函數(shù)值： 邊界點的導(dǎo)數(shù)值： 由上式及 . 求出邊界外一行虛結(jié)點的 值： . 0)()(AAyxA. 0432B()0,().ABFxy0)(Ay716151 , ,2Fa第五章 用差分法和變分法解平面問題對1點列差分方程：代入各 值，解出 。 再求出應(yīng)力分量： .0)()(;611)( ,6)(ByAyBxAxaFaF)22(2)28(204231BA0.)(7652Fa1211第五章 用差分法和變分法解平面問題例題例題3 3 正方形 的板塊，厚度 ，受一對集中力F的作用，如圖。試 取 ，應(yīng)用差分法求解該問題的應(yīng)力

44、分量。ll14lh1098HGEDIJBAChhhh323414323111276xy1h=l/4FF第五章 用差分法和變分法解平面問題 解：本題具有的兩個對稱軸，為了反映對稱性，在 y 向外荷載作用下，取 網(wǎng)格結(jié)點編號如圖所示。 ()()0.AAAxy第五章 用差分法和變分法解平面問題 計算各邊界結(jié)點處的 ， ， 值。 在A點及J點，各取 布置于兩側(cè)，以 反映荷載的對稱性，按公式（其中 即AB之間面力對B點的力矩，圖中以順 時針方向為正）。2F()d ,()d ,()d()d ,BBBBBxyBBAABBxyAAfsfsyxyy fsxxfs xyB第五章 用差分法和變分法解平面問題 讀者可

45、檢驗，上述的值反映了邊界結(jié)點和邊界外一行虛結(jié)點上 值的對稱性。求出邊界上各結(jié)點的值，如下圖所示。結(jié)點A B CDEGH I J 0 0 0 0 yxF/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh0000第五章 用差分法和變分法解平面問題 計算邊界外一行結(jié)點的 值。 由 得到 由 得到, 0)(,JIBAy,)()(2,3,3,212,11,7,6,2)(,FxGED.)()(3,4,310,9,8Fh第五章 用差分法和變分法解平面問題 對內(nèi)結(jié)點1，2，3，4分別列出下列類型 的方程：0點：. 0282012,11,10, 98 ,7, 6, 54, 3 , 2, 10,4416228,21681

46、62043214321FhFh對結(jié)點1，對結(jié)點2，第五章 用差分法和變分法解平面問題對結(jié)點3，對結(jié)點4，.2221648,78248243214213FhFh.5206. 0 ,5056. 0,1873. 0 ,2640. 03321FhFhFhFh解出第五章 用差分法和變分法解平面問題按照應(yīng)力公式及 ，求得AJ及EI截面上的應(yīng)力分量： ),2(1)(),2(1)(03,104,22020hhyx4lh 2141()1.4984,()0.4424, ()0.6136;()0.1648,()0.8912, ()2.0528.xJxxyEyyFlFFllFlFFll 第五章 用差分法和變分法解平面

47、問題例題例題4 4 試證明，在同樣的應(yīng)變分量 ， 和 下，平面應(yīng)變情況下單位厚度的形變 勢能大于平面應(yīng)力情況下的形變勢能。例題例題 xxyy第五章 用差分法和變分法解平面問題對于平面應(yīng)變情況，只需將上式中 ， 變換為22221(3).22 1xyxyxyAEUdxdy 2,.(b )1EE1E解：平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變 勢能是：例題例題 (a)第五章 用差分法和變分法解平面問題代入，得顯然，方括號內(nèi)將式中的 ， 都作為式(b)的變換，整理后得平面應(yīng)變情況下的形變勢能公式， 222222211()()(),111121EEE推出.12112AyxEU)(21)1 (12222.21)21

48、1(22dxdyxyyx例題例題 E(c)第五章 用差分法和變分法解平面問題 從式可見，在平面應(yīng)變情況下，形變勢能 中的第1，2，3項均大于平面應(yīng)力情況下的值，而第4項 不變。因此，平面應(yīng)變的形變勢能 大于平面應(yīng)力的形變勢能U 。2xy21U例題例題 U第五章 用差分法和變分法解平面問題 例題5 圖中表示一板塊，在鉛直方向均布拉力作用下發(fā)生拉伸變形，并使之兩端固定下來，若在其中切開一小口AB時，試說明板的形變勢能將發(fā)生什么變化？例題例題 lCDEFAB第五章 用差分法和變分法解平面問題解： 當(dāng)AB線切開時，AB線上的應(yīng)力趨于0。而形變勢能是正定的， ，當(dāng)這部應(yīng)力 時，相應(yīng)的形變勢能也失去。因此

49、，板的總的形變勢能減少。0趨近于0U例題例題 當(dāng)AB線切開后，邊界CD和EF仍是固定的，我們可以比較兩種狀態(tài)：第五章 用差分法和變分法解平面問題(b)(b) AB線張開，出現(xiàn)裂紋。這是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)與鄰近的狀態(tài)相比，總勢能處于極小值，而(a)，(b)兩種狀態(tài)的外力勢能不變，因此，(b)的形變勢能小于(a)，即形變勢能將減少。例題例題 (a) AB切開后， AB線仍然處于閉合狀態(tài)， 不發(fā)生張開。這是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；第五章 用差分法和變分法解平面問題 例題例題6 6 單位厚度 的深梁，兩側(cè)邊固定，上下邊受均布荷載q作用，如圖所示。試用位移變分法求解其位移。（取 ， 并設(shè) ）。) 1(2 . 0ba例題例題 qyxbuvbaaoq第五章 用差分法和變分法解平面問題解：在圖示荷載作用下，深梁的位移應(yīng)對稱于y軸，而反對稱于x軸。 因此，位移分量u應(yīng)為 ， 的奇函數(shù)，而v為 x ，y 的偶函數(shù)，x y如圖所示?？梢栽O(shè)定位移勢函數(shù)如下：,)1 (2322122yAxAAabxyaxu.)1 (2322122yBxBBaxv第五章 用差分法和變分法解平面問題 上式已滿足兩端的約束邊界條件，以及對稱和反對稱性條件。以下按瑞利-里茨法進(jìn)行計算。,a