保險(xiǎn)精算學(xué)-躉繳純保費(fèi)(1)

1、第五章第五章人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定本章結(jié)構(gòu)本章結(jié)構(gòu)n人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定原理人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定原理n死亡死亡年末年末賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定n死亡死亡即刻即刻賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定n遞歸方程遞歸方程第一節(jié)第一節(jié)人壽保險(xiǎn)人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定的原理躉繳純保費(fèi)厘定的原理 人壽保險(xiǎn)簡(jiǎn)介人壽保險(xiǎn)簡(jiǎn)介n什么是人壽保險(xiǎn)什么是人壽保險(xiǎn)n狹義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人在保障期是否狹義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人在保障期是否死亡作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。死亡作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。n 廣義的人壽保險(xiǎn)是以被保險(xiǎn)人的壽命作為廣義的人壽保險(xiǎn)是以被保

2、險(xiǎn)人的壽命作為保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。它保險(xiǎn)標(biāo)的的一種保險(xiǎn)。它包括包括以保障期內(nèi)被以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人死亡為標(biāo)的的狹義壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)人死亡為標(biāo)的的狹義壽險(xiǎn)，也包括也包括以保以保障期內(nèi)被保險(xiǎn)人生存為標(biāo)底的生存保險(xiǎn)和兩障期內(nèi)被保險(xiǎn)人生存為標(biāo)底的生存保險(xiǎn)和兩全保險(xiǎn)。全保險(xiǎn)。人壽保險(xiǎn)的分類人壽保險(xiǎn)的分類n受益金額是否恒定受益金額是否恒定n定額受益保險(xiǎn)定額受益保險(xiǎn) n變額受益保險(xiǎn)變額受益保險(xiǎn)n保單簽約日和保障期保單簽約日和保障期期始日是否同時(shí)進(jìn)行期始日是否同時(shí)進(jìn)行n非延期保險(xiǎn)非延期保險(xiǎn)n延期保險(xiǎn)延期保險(xiǎn) n保障標(biāo)的的不同保障標(biāo)的的不同n人壽保險(xiǎn)（狹義）人壽保險(xiǎn)（狹義）n生存保險(xiǎn)生存保險(xiǎn)n兩全保險(xiǎn)兩全保險(xiǎn) n保障期

3、是否有限保障期是否有限n 定期壽險(xiǎn)定期壽險(xiǎn) n 終身壽險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)人壽保險(xiǎn)的性質(zhì)人壽保險(xiǎn)的性質(zhì)n保障的長(zhǎng)期性保障的長(zhǎng)期性n這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。不容忽視的因素。n保險(xiǎn)賠付金額和賠付時(shí)間的不確定性保險(xiǎn)賠付金額和賠付時(shí)間的不確定性n人壽保險(xiǎn)的賠付金額和賠付時(shí)間依賴于被保險(xiǎn)人的人壽保險(xiǎn)的賠付金額和賠付時(shí)間依賴于被保險(xiǎn)人的生命狀況。被保險(xiǎn)人的死亡時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量。生命狀況。被保險(xiǎn)人的死亡時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量。這就意味著保險(xiǎn)公司的賠付額也是一個(gè)隨機(jī)變量，這就意味著保險(xiǎn)公司的賠付額也是一個(gè)隨機(jī)變量，它依賴于被保險(xiǎn)人剩余壽命分布

4、。它依賴于被保險(xiǎn)人剩余壽命分布。n被保障人群的大數(shù)性被保障人群的大數(shù)性n這就意味著，保險(xiǎn)公司可以依靠概率統(tǒng)計(jì)的原理計(jì)這就意味著，保險(xiǎn)公司可以依靠概率統(tǒng)計(jì)的原理計(jì)算出平均賠付并可預(yù)測(cè)將來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。算出平均賠付并可預(yù)測(cè)將來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定n假定條件假定條件:n假定一假定一：同性別、同年齡、同時(shí)參保的被保：同性別、同年齡、同時(shí)參保的被保險(xiǎn)人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。險(xiǎn)人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的。n假定二假定二：被保險(xiǎn)人的剩余壽命分布可以用經(jīng)：被保險(xiǎn)人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合。驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合。n假定三假定三：保險(xiǎn)公司可以預(yù)測(cè)將來(lái)的投資受益：保險(xiǎn)公司可以預(yù)測(cè)將來(lái)的投

5、資受益（即預(yù)定利率）。（即預(yù)定利率）。純保費(fèi)厘定原理純保費(fèi)厘定原理n原則原則n保費(fèi)凈均衡原則保費(fèi)凈均衡原則n解釋解釋n所謂凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)所謂凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)時(shí)值正好等于將來(lái)的保險(xiǎn)賠付金的期望時(shí)值正好等于將來(lái)的保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值。它的實(shí)質(zhì)是現(xiàn)時(shí)值。它的實(shí)質(zhì)是在統(tǒng)計(jì)意義上的收在統(tǒng)計(jì)意義上的收支平衡。是在大數(shù)場(chǎng)合下，收費(fèi)期望現(xiàn)支平衡。是在大數(shù)場(chǎng)合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時(shí)值等于支出期望現(xiàn)時(shí)值時(shí)值等于支出期望現(xiàn)時(shí)值 主要險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)的厘定主要險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)的厘定nn年期定期壽險(xiǎn)年期定期壽險(xiǎn)n終身壽險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)n延期延期m年的終身壽險(xiǎn)年的終身壽險(xiǎn)nn年期生存保險(xiǎn)年期生存保險(xiǎn)n

6、n年期兩全保險(xiǎn)年期兩全保險(xiǎn)n延期延期m年的年的n年期的兩全保險(xiǎn)年期的兩全保險(xiǎn)n遞增終身壽險(xiǎn)遞增終身壽險(xiǎn)n遞減遞減n年定期壽險(xiǎn)年定期壽險(xiǎn)基本符號(hào)基本符號(hào)n 投保年齡投保年齡 的人。的人。n 人的極限年齡人的極限年齡n 保險(xiǎn)金給付函數(shù)。保險(xiǎn)金給付函數(shù)。n 貼現(xiàn)函數(shù)。貼現(xiàn)函數(shù)。n 保險(xiǎn)給付金在保單生效時(shí)的現(xiàn)保險(xiǎn)給付金在保單生效時(shí)的現(xiàn)時(shí)值時(shí)值)(xxtbtvtztttvbz躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定n躉繳純保費(fèi)的定義躉繳純保費(fèi)的定義n在保單生效日一次性支付將來(lái)保險(xiǎn)賠付金的在保單生效日一次性支付將來(lái)保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值期望現(xiàn)時(shí)值 n躉繳純保費(fèi)的厘定躉繳純保費(fèi)的厘定n按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等

7、于按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等于()tE z 第二節(jié)第二節(jié)死亡死亡年末年末理賠的死亡保理賠的死亡保險(xiǎn)的現(xiàn)值險(xiǎn)的現(xiàn)值死亡年末賠付死亡年末賠付n死亡年末賠付的含義死亡年末賠付的含義n 死亡年末陪付是指如果被保險(xiǎn)人在保障期死亡年末陪付是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險(xiǎn)公司，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險(xiǎn)賠付。將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險(xiǎn)賠付。n由于賠付時(shí)刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年由于賠付時(shí)刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末，所以死亡年末陪付時(shí)刻是一個(gè)離散隨年末，所以死亡年末陪付時(shí)刻是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于

8、機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的整值剩余壽命加一。這正被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。供的生命表函數(shù)。n所以死亡年末賠付方式是保險(xiǎn)精算師在厘定所以死亡年末賠付方式是保險(xiǎn)精算師在厘定躉繳保費(fèi)時(shí)通常先假定的理賠方式。躉繳保費(fèi)時(shí)通常先假定的理賠方式。 預(yù)備預(yù)備1： 延期延期t 年的年的1年定期的死亡保險(xiǎn)年定期的死亡保險(xiǎn) 若被保險(xiǎn)人在其他時(shí)段死亡，則保險(xiǎn)公司無(wú)支付。試計(jì)算該保單的精算現(xiàn)值。 死者保單對(duì)全體保單共有財(cái)產(chǎn)的分享死者保單對(duì)全體保單共有財(cái)產(chǎn)的分享 初始人數(shù)初始人數(shù)每人交的凈保

9、費(fèi)每人交的凈保費(fèi) t 年末的年末的投資積累投資積累 死亡人數(shù)死亡人數(shù)1元賠償元賠償計(jì)算原理解釋：計(jì)算原理解釋：,4 （人）假設(shè)xl,25. 0元每人交（元）共交00.1425.0元）年末變?yōu)?，則假設(shè)利率(2%)1001 (425.01%100i.%,50則共死亡人假設(shè)死亡率（元）則保險(xiǎn)費(fèi)支出2 令預(yù)備預(yù)備2: 純粹生存年金純粹生存年金與生者利原理與生者利原理n生存年金是以被保險(xiǎn)人生存為支付條生存年金是以被保險(xiǎn)人生存為支付條件的年金件的年金. . n生存年金的精算原理是生存年金的精算原理是“生者利生者利”原原則則. . n所謂生者利，指所謂生者利，指生存者對(duì)共有財(cái)產(chǎn)中生存者對(duì)共有財(cái)產(chǎn)中死者權(quán)利部

10、分的享有權(quán)死者權(quán)利部分的享有權(quán). . 純粹生存年金的現(xiàn)值純粹生存年金的現(xiàn)值生者利原理0 0時(shí)刻此時(shí)刻此人群共人群共繳納錢繳納錢數(shù)數(shù)t t時(shí)刻還存時(shí)刻還存活的人所領(lǐng)活的人所領(lǐng)取的保險(xiǎn)金取的保險(xiǎn)金在在0 0時(shí)刻的時(shí)刻的現(xiàn)值現(xiàn)值t5.2.1 15.2.1 1元保險(xiǎn)金的終身壽險(xiǎn)元保險(xiǎn)金的終身壽險(xiǎn) 1 1 1 1 1x x+1 x+2 x+3 x+n x+n+1qx1Iqx2IqxnIqx年齡年齡dxdx+1dx+2dx+n死亡數(shù)死亡數(shù)死亡率死亡率Axn|qx = dx+n/lxAx lx= v dx+v2 dx+1+vn+1 dx+n +Ax= v qx+v2 1|qx+vn+1 n|qx + 1 1

11、 1 1 1x x+1 x+2 x+3 x+n x+n+1qx1Iqx2IqxnIqx年齡年齡dxdx+1dx+2dx+n死亡數(shù)死亡數(shù)死亡率死亡率vdxV2dx+1Vn+1dx+n.各支出各支出總收費(fèi)：總收費(fèi)：Axlx終身壽險(xiǎn)年末付的躉交純保費(fèi)：終身壽險(xiǎn)年末付的躉交純保費(fèi)：xxxxkxkkxxkxkkxkkkxDMldldqA 010101|終身壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值的例子終身壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值的例子n例：假設(shè)50歲的人投保了10000元的終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)費(fèi)在死亡年末支付，假設(shè)年利率按3%計(jì)算，試根據(jù)表IV計(jì)算其精算現(xiàn)值.（元元）解解：16.5148744,998, 1986,028, 110000100001

12、0000%.3,50505050 DMAPix練習(xí)：變額保險(xiǎn)金的終身壽險(xiǎn)練習(xí)：變額保險(xiǎn)金的終身壽險(xiǎn)5.2.2 定期壽險(xiǎn)定期壽險(xiǎn)年末付年末付的躉交純保費(fèi)的躉交純保費(fèi)xnxxxxkxnkkxxkxnkkxknkknxDMMldldqA 101101101|;1|例：假設(shè)例：假設(shè)3030歲的人投保。保單規(guī)定歲的人投保。保單規(guī)定: : 被保險(xiǎn)人在保被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)開始險(xiǎn)開始5 5年內(nèi)死亡時(shí)，給付年內(nèi)死亡時(shí)，給付10001000元，元，5 5年后死亡之時(shí)，年后死亡之時(shí)，給付給付20002000元。求其躉繳純保費(fèi)。元。求其躉繳純保費(fèi)。n解解: : 所求躉繳純保費(fèi)可以看作保額所求躉繳純保費(fèi)可以看作保額2000

13、2000元的終身元的終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)與保額壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)與保額10001000元的元的5 5年定期壽險(xiǎn)躉年定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的差額。則，繳純保費(fèi)的差額。則，n所求躉繳純保費(fèi)所求躉繳純保費(fèi)= = 2000 A30-1000 1| 5:30A09.622100020003035303030 DMMDM5.2.3 延期的終身壽險(xiǎn)延期的終身壽險(xiǎn)5.2.4 n年生死兩全保險(xiǎn)年生死兩全保險(xiǎn) 它是指被保險(xiǎn)人于保險(xiǎn)期內(nèi)死亡，或生存到期終它是指被保險(xiǎn)人于保險(xiǎn)期內(nèi)死亡，或生存到期終時(shí)，都支付給付金的一種保險(xiǎn)形式。時(shí)，都支付給付金的一種保險(xiǎn)形式。例：假設(shè)例：假設(shè)20年年生死兩全保險(xiǎn)生死兩全保險(xiǎn)的保額為的保額為10

14、00元，元，試求其在試求其在20歲簽發(fā)保單的躉繳純保費(fèi)。歲簽發(fā)保單的躉繳純保費(fèi)。n解解: 所求躉繳純保費(fèi)所求躉繳純保費(fèi) 18.56110001000100010001000204020402020201| 02:20| 02:20 DDDMMEAA5.2.5 壽險(xiǎn)的累積費(fèi)用壽險(xiǎn)的累積費(fèi)用dx+1dx+2dx 1 1 1 1 1x x+1 x+2 x+3 x+n-1 x+nqx1Iqx2Iqxn-1Iqx年齡年齡dx+n-1死亡數(shù)死亡數(shù)死亡率死亡率dx(1+i)n-1dx+1(1+i)n-2dx+n-1另一種解法：另一種解法：死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納終身壽險(xiǎn)終身壽險(xiǎn)延期延期m年的年的n年定期壽險(xiǎn)年定期壽險(xiǎn)延期延期m年的終身壽險(xiǎn)年的終身壽險(xiǎn)n年期兩全保險(xiǎn)年期兩全保險(xiǎn)延期延期m年的年的n年期兩全保年期兩全保險(xiǎn)險(xiǎn)遞增終身壽險(xiǎn)遞增終身壽險(xiǎn)遞減遞減n年定期壽險(xiǎn)年定期壽險(xiǎn)11:xx nx nnAAA1:xxmx mAAA111:xxmmmx nx nnmx m nAAAAA111:mx nx