數(shù)學(xué)必修4第一章三角函數(shù)教材分析

1、精品文檔精品文檔必修 4 “第一章三角函數(shù)”教材分析函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律應(yīng)當用不同的函數(shù)來刻畫。三角函數(shù)是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要作用，它是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)的又一類重要的基本初等函數(shù)。本章中，學(xué)生將在數(shù)學(xué)1 1中學(xué)習(xí)函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I I 的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用.通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生將進一步加深對函數(shù)概念的理解，提高用函數(shù)概念解決問題的能力。一、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容是三角函數(shù)及其基本性質(zhì)。通過本章學(xué)習(xí)，要引導(dǎo)學(xué)生：1 1了解任意角的概念

2、和弧度制，能進行弧度與角度的互化；2 2.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；3 3 借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（二的正弦、余弦、正切），能畫出 y=siny=sin x x , y=cosy=cos x x , y=tany=tan x x 的圖象，了解三角函數(shù)的周期性；4 4借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在 ，2 2 刃，正切函數(shù)在（一反反上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與 x x 軸交點等）；sinsin z z5 5.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sinsin x+cosx+cos x=1x=1, ,.：；6 6結(jié)合具體實例，了解：二的實際意義；能

3、借助計算器或計算機畫出:-二二的圖象，觀察參數(shù) A A, -, 對函數(shù)圖象變化的影響；7 7會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函 數(shù)模型。二、內(nèi)容安排本章共安排了 6 6 個小節(jié)以及兩個選學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時間約需 1616 課時，大體分配如下（僅 供參考）：1 1。1 1 任意角和弧度制. 約2 2 課時1 1。2 2 任意角的三角函數(shù).約3 3 課時1 1。3 3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.約2 2 課時1 1。4 4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).約4 4 課時精品文檔精品文檔本章知識結(jié)構(gòu)如下:1 1 本章學(xué)習(xí)的認知基礎(chǔ)主要是幾何中圓的性質(zhì)、相似形的有關(guān)知識，在數(shù)學(xué)1 1

4、 中建立的函數(shù)概念，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗；主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是三角函數(shù)的概念，圖 象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用；單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，借助它的直觀，可以使學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的概念和性質(zhì)，因此三角函數(shù)的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生更好地體會數(shù)形結(jié)合思想； 三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，與其他學(xué)科（特別是物理、地理）有緊密聯(lián)系，因此本章的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。2 2為了加強三角函數(shù)學(xué)習(xí)的目的性，本章采用月相變化圖和簡諧運動圖的組合作為章 頭圖，并以“大到宇宙天體運行，小到質(zhì)點的運動，現(xiàn)實世界中具有周期性變化的現(xiàn)象無處 不在”為開篇語，再在章前引言中明確提出“三

5、角函數(shù)是刻畫周期性變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型” c c 這樣的安排使得三角函數(shù)的作用體現(xiàn)得更加清楚，也能使學(xué)生更加明確學(xué)習(xí)三角函數(shù)的意 義。3 3任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點。過去習(xí) 慣于用角的終邊上點的坐標的“比值”來定義，這種定義方法能夠表現(xiàn)出從銳角三角函數(shù)到 任意角的三角函數(shù)的推廣， 有利于引導(dǎo)學(xué)生從自己已有認知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，但它對準確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系有沖突，而且“比值”需要通過運算才能得到，這與函數(shù)值是一個確定的實數(shù)也有不同，這些都會影響學(xué)生對

6、三角函數(shù)概念的理1 1。5 5 函數(shù) y=Asiny=Asin（佇+ $ ）的圖象約 2 2 課時1 1。6 6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用約2 2 課時約1 1 課時精品文檔精品文檔解。本章利用單位圓上點的坐標定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)。這樣定義清楚地表明 了正弦、余弦函數(shù)中從自變量到函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，也表明了這兩個函數(shù)之間的關(guān)系。 另外，如果a是弧度數(shù)，即/ xOP=xOP=aradrad ,那么正弦、余弦函數(shù)就是關(guān)于任意實數(shù)a的函數(shù)，這時的自變量和函數(shù)值都是實數(shù)，這就與數(shù)學(xué) 1 1 中給出的一般函數(shù)概念完全一致了。事實上，在弧度制（這是一種用半徑來度量角的方法）下，角度和長度的單位是

7、統(tǒng)一的，正是這種單位的統(tǒng)一，使得我們可以這樣來描述這兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：把實數(shù)軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A A （1 1, 0 0）,數(shù)軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個實數(shù)（點）t t 被纏繞到單位圓上的點 P P （costcost , sintsint ）。基于上述理由，我們認為這樣的定義可以更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)，也正是三角函 數(shù)的這種形式?jīng)Q定了它們在數(shù)學(xué)（特別是應(yīng)用數(shù)學(xué)）中的重要性。事實上，后續(xù)的內(nèi)容，特 別是在微積分中，最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函數(shù)。另外，這樣的定義使得三角函數(shù)所反映的數(shù)與形的關(guān)系更加直接，數(shù)形

8、結(jié)合更加緊密， 這就為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)帶來方便，也使三角函數(shù)更加好用了。例如從定義可以方便地推導(dǎo)同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和（差）角公式，而且為公式的記憶提供了圖形支持；單 位圓為討論三角函數(shù)的性質(zhì)提供了很好的直觀載體，我們可以借助單位圓， 直接從定義出發(fā)討論三角函數(shù)的性質(zhì)當然，這個定義與人們熟悉的用角的終邊上點的坐標的“比值”來定義是等價的，這 正是教科書在 1 1。2 2。1 1 中安排例 2 2 的原因。4 4.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式過去是從求三角函數(shù)值引入的，把 二，二,廳痣的三角函數(shù)與a的三角函數(shù)關(guān)系作為誘導(dǎo)公式，并且把關(guān)于匸庁-療的誘導(dǎo)公式作為和（差）角公式的推論給出。本教科書改變

9、了這種做法。教科書借助單位圓，先引導(dǎo)學(xué)生 討論了這些角的終邊與角a的終邊之間的對稱關(guān)系，然后根據(jù)三角函數(shù)定義導(dǎo)出所有誘導(dǎo)公 式。這樣，既能很好地反映誘導(dǎo)公式的本質(zhì)（圓的對稱性的代數(shù)表示），又使它們成了一個 有機的整體。另外，去掉了關(guān)于-一 ：-的誘導(dǎo)公式（因為它與一a的誘導(dǎo)公式等價），+出增加了 1 1的誘導(dǎo)公式。為了使學(xué)生盡快熟悉并形成使用弧度制的習(xí)慣，在誘導(dǎo)公式中全部采用了弧度制。5 5正弦、余弦函數(shù)按照從函數(shù)的定義到作函數(shù)圖象再到討論函數(shù)性質(zhì)最后到函數(shù)模型 應(yīng)用的順序展開，三精品文檔精品文檔角恒等變換不再穿插其中，這一順序與研究其他函數(shù)的順序一致，使得三角函數(shù)的研究更加簡潔另外，把周期性

10、作為第一條性質(zhì)，目的是為了體現(xiàn)它的重要性。 正切函數(shù)先利用誘導(dǎo)公式、單位圓討論性質(zhì)，然后再利用性質(zhì)作圖象， 這樣做的目的是為了使學(xué)生體會可以從不同角度討論函數(shù)性質(zhì)。6 6.對函數(shù):!疋圖象的研究，由于涉及的參數(shù)有 3 3 個，因此本章采取先討 論某個參數(shù)對圖象的影響 (其余參數(shù)相對固定)，再整合成完整的問題解決的方法安排內(nèi)容， 具體線索如下：(1) 探索0對 y y= sin(x+sin(x+ $ ) )的圖象的影響；(2) 探索3對 y y= sin(sin(wx+x+ $ ) )的圖象的影響；(3) 探索 A A 對 y y= Asin(Asin(wx+x+ $ ) )的圖象的影響；(4

11、4 )上述三個過程的合成。在對上述四個問題的具體討論中，先讓學(xué)生對參數(shù)賦值，形成對圖象變化的具體認識，然后再推廣到一般情形。這樣安排既分散了難點，又使學(xué)生形成清晰的討論線索，從中能使學(xué)生學(xué)習(xí)到如何將復(fù)雜問題分解為簡單問題并“各個擊破”，然后整合為整個問題的解決的思想方法，培養(yǎng)有條理地思考的習(xí)慣，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。7 7“三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用”是一個新增內(nèi)容，主要以舉例的方式說明三角函數(shù)模 型的應(yīng)用方法。選擇的問題包括：(1) 用已知的三角函數(shù)模型解決問題；(2) 將復(fù)雜的函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為 一:-等基本初等函數(shù)解決問題；(3 3 )根據(jù)問題情景建立精確的三角函數(shù)模型解決問題；(4)

12、通過數(shù)學(xué)建模，利用數(shù)據(jù)建立擬合函數(shù)解決實際問題。安排本節(jié)內(nèi)容的目的是要讓學(xué)生感受到三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的 作用，體驗三角函數(shù)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，以使學(xué)生體會三角函數(shù)的價值和作用，增強應(yīng)用意識，同時還要使學(xué)生加深理解有關(guān)知識。在安排內(nèi)容時，特別注意了數(shù)學(xué)應(yīng)用過 程的完整性，加強了對問題情景和解題思路的分析， 以及解題后的反思這兩個環(huán)節(jié)。 這樣做 可以保持數(shù)學(xué)應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思維水平， 提高學(xué)生對相應(yīng)的思想方法的認知層次， 培養(yǎng)學(xué)生良 好的解題習(xí)慣。三、新舊教材變化1 1 以基本概念為主干內(nèi)容貫穿本書，削枝強干，教材體系更顯合理?！皹藴省痹O(shè)定的三角函數(shù)與三角恒等變換學(xué)習(xí)目標是

13、：精品文檔精品文檔(1 1 )通過實例，學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律 的問題中的作用；(2) 運用向量的方法推導(dǎo)基本的三角恒等變換公式，由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三角恒等變 換公式，并運用這些公式進行簡單的三角恒等變換。根據(jù)上述學(xué)習(xí)目標，在編寫教科書過程中，特別注意突出主干內(nèi)容，強調(diào)模型思想、 數(shù)形結(jié)合思想?！叭呛瘮?shù)”一章，突出了三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學(xué)模型這一本質(zhì)。即通過現(xiàn)實世界的周期現(xiàn)象， 在學(xué)生感受引入三角函數(shù)必要性的基礎(chǔ)上，引出三角函數(shù)概念， 研究三角函數(shù)的基本性質(zhì)，并用三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識解決一些實際問題。與傳統(tǒng)的處理方法不同，這里把三角恒等變換從三角函

14、數(shù)中獨立出來，其目的也是為了在三角函數(shù)一章中突出“函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型”這條主線。為了實現(xiàn)削枝強干的目標，教科書除了將三角恒等變換獨立成章外，還在具體內(nèi)容上 進行了處理。1在新教材中，學(xué)生學(xué)了 1 1。1 1 任意角、弧度和 1 1。2 2 任意角的三角函數(shù)之后，接著就 安排了 “ 1 1。3 3 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的內(nèi)容，而將運用三角公式進行三角恒等變換的內(nèi) 容滯后安排。這與原教材相比，兩部分內(nèi)容恰好顛倒了順序。由于三角公式要用到三角函數(shù)的周期性、奇偶性等性質(zhì)導(dǎo)出，所以這樣安排具有它的 合理性。同時也相應(yīng)地突出了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)廣泛應(yīng)用的地位。2原教材中專門安排一節(jié)

15、“已知三角函數(shù)值求角”，在新教材中刪去了。但是在新教材的“1 1。3 3 三角函數(shù)圖象和性質(zhì)”中插入了已知三角函數(shù)值求角的題目，如：P32P32 例 2 2: “求X下列函數(shù)的最大值及取得最大值時自變量x x 的集合：(1)(1)討二討二cos；(2)y = 2 - sin 2x;P33P333練習(xí)第 4 4 題，P35P35 練習(xí)第 1 1 題，P46P46 習(xí)題 1 1。3 3 第 4 4 題，P49P49 復(fù)習(xí)題第 1010 題等。由于已知三角函數(shù)值求角的內(nèi)容在新教材中，已經(jīng)不獨立成節(jié)，所以在學(xué)生學(xué)習(xí)、解答這一內(nèi)容的有關(guān)問題時，希望大家注意幫助小結(jié)其中的規(guī)律與方法。3在新教材的“第三章

16、三角恒等變換”中，新增加了一節(jié)“ 3 3。3 3 幾個三角恒等式” ， 將和差化積，積化和差， 萬能代換， 半角等幾組公式均安排在該節(jié)中。 原教材是將這些公式 零星分散在例選、練習(xí)題、習(xí)題與復(fù)習(xí)題中。這一系列公式既然系統(tǒng)地安排在一節(jié)內(nèi)容當中，那么今后學(xué)生在解題時就可以直接應(yīng) 用。也可以讓學(xué)有余力的學(xué)生記熟，但不得強行一刀切地向?qū)W生提出統(tǒng)一熟記的要求。任意角、弧度制概念，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，周期函數(shù)與最小正周期，三角函 數(shù)的奇偶性等內(nèi)容都降低了要求。三角恒等變換中，兩角和與差的正余弦、 正切公式， 二倍 角的正余弦、 正切公式由原來的掌握減弱為能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出。 積化和差、 和差化

17、 積、半角公式都作為三角恒等變換基本訓(xùn)練的例題，精品文檔精品文檔不要求用積化和差、和差化積、半角公 式作復(fù)雜的恒等變形。根據(jù)上述考慮，本模塊先安排三角函數(shù)，再安排平面向量，然后再把三角恒等變換作 為平面向量的一個應(yīng)用，安排在第 3 3 章，緊接著再安排解三角形的內(nèi)容（放在數(shù)學(xué) 5 5 的第 1 1 章）。這樣的教材體系的合理性在于：（1 1）以已有的集合與函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的知識為基礎(chǔ)，三角函數(shù)置于其上位 概念（即函數(shù)）之下，使三角函數(shù)的學(xué)習(xí)有一個好的“先行組織者” ，找到一個有力的“固 著點”。三角函數(shù)的學(xué)習(xí)是一種“逐漸分化”式的學(xué)習(xí)。（2 2）三角函數(shù)的學(xué)習(xí)為平面向量的學(xué)習(xí)作了必要的

18、準備，因為平面向量的某些內(nèi)容 （ 向量的數(shù)量積 ） 需要用到鈍角的三角函數(shù)。（3 3）將三角恒等變換安排在平面向量之后， 使學(xué)生能夠切實感受到平面向量的威力 （用 向量為工具推導(dǎo)三角變換公式非常簡捷，而用其他方法都比較繁瑣） 。另外，由于三角恒等 變換與“函數(shù)” 討論的主題關(guān)系較遠，作為平面向量的一個應(yīng)用而獨立成章，對三角函數(shù)的 系統(tǒng)性沒有破壞。（4 4）將解三角形的內(nèi)容安排在平面向量之后，可以使正弦定理、余弦定理的證明獲得 更多途徑，能更好地體現(xiàn)向量的工具性作用。2 2加強幾何直觀，強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想從三角函數(shù)的定義方法可以看出，三角函數(shù)及其性質(zhì)與圓有著直接的聯(lián)系。事實上， 任意角、任意角的三

19、角函數(shù)，三角函數(shù)的性質(zhì)（周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等），同 角三角函數(shù)的關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的圖象等，都可以借助單位圓得到認識，這也是 人們也把三角函數(shù)稱作“圓函數(shù)”的原因。因此，在三角函數(shù)的研究中，借助單位圓進行幾 何直觀是非常重要的手段， 而且這也是使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想， 學(xué)會數(shù)形結(jié)合地思考和解 決問題的好機會。為了發(fā)揮單位圓在幾何直觀中的作用，教科書在引進弧度制時就滲透了單位圓概念，并在講三角函數(shù)概念之前給出單位圓概念， 然后直接由單位圓引出三角函數(shù)定義。 在后續(xù)內(nèi) 容的處理中，始終以單位圓作為一個載體。例如三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，教科書引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓的對稱性，通過討論

20、單 位圓上對稱點的坐標的關(guān)系來發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式，使得誘導(dǎo)公式二 公式六都與單位圓上的對稱圖形（即角的終邊的對稱性）聯(lián)系在一起，從而使這五組公式形成一個有機整體數(shù)形結(jié)合的思想表現(xiàn)在由數(shù)到形和由形到數(shù)兩個方面。教科書在討論三角函數(shù)的圖象 和性質(zhì)時， 一方面從函數(shù)的圖象和單位圓中的三角函數(shù)線兩個角度出發(fā)來研究正弦函數(shù)、 余 弦函數(shù)的性質(zhì)，另一方面又在討論正切函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上再研究函數(shù)的圖象這里我們特別說明一下用單位圓上點的坐標定義正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的意義。這樣來 定義三角函數(shù)， 除了考慮到使學(xué)生在三角函數(shù)學(xué)習(xí)之初就能感受到單位圓的重要性， 為后續(xù) 借助單位圓的直觀討論三角函數(shù)的圖精品文檔精品文檔象與性質(zhì)

21、奠定堅實的基礎(chǔ)外， 主要還是為了這樣的定義 能夠更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)。事實上， 任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法。 過去習(xí)慣于用角的終邊上點的坐標 及它到原點的距離的 “比值” 來定義， 這種定義的一個基本理由是可以反映從銳角三角函數(shù) 到任意角三角函數(shù)的推廣， 有利于引導(dǎo)學(xué)生從自己已有認知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)。 但它對 準確把握三角函數(shù)的本質(zhì)也有一定的不利影響，因為銳角三角函數(shù)與解三角形是直接相關(guān) 的，而任意角的三角函數(shù)與解三角形卻沒有任何關(guān)系， 它是一個最基本的、 最有表現(xiàn)力的周 期函數(shù)，這才是三角函數(shù)最本質(zhì)的地方。本章利用單位圓上點的坐標定義任意角的正弦函數(shù)、 余弦函數(shù)。 這樣定義

22、的好處就是直 接用（弧度制下）任意角的集合到區(qū)間 1 1，1 1上的映射來定義，去掉了“求比值”這一中間過程，有利于學(xué)生理解任意角的三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系。事實上，在弧度制（用半徑來度量角）下，角度和長度的單位是統(tǒng)一的，這樣，我們可 以用下述方式來描述這兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：把實數(shù)軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A A （ 1 1，0 0），數(shù)軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個實數(shù)（點） t t 被纏 繞到單位圓上的點 P P（costcost, sisi ntnt）,也即是正弦函數(shù)把R R 中的實數(shù) t t 對應(yīng)到區(qū)間1 1

23、, 1 1上的實數(shù)yy=y= sintsint；余弦函數(shù)把 R R 中的實數(shù) t t 對應(yīng)到區(qū)間1 1, 1 1上的實數(shù) x x, x=x= costcost。上述定義可以很容易地讓我們看到三角函數(shù)的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律。因此，我們認為這樣的定義可以更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)，也正是三角函數(shù)的這種形式?jīng)Q定了它們在數(shù)學(xué)（特別是應(yīng)用數(shù)學(xué)）中的重要性。事實上，后續(xù)的內(nèi)容，特別是在微積分中，最常用的是 弧度制以及弧度制下的三角函數(shù)。3 3 強調(diào)三角函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實世界周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的思想教科書在開篇語中通過列舉大量現(xiàn)實世界中的周期變化現(xiàn)象，并提出現(xiàn)實問題中不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)來刻畫，而

24、三角函數(shù)就是刻畫周期變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，這樣可以使學(xué)生在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)之初就明確三角函數(shù)的地位作用。在研究三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)時，盡量結(jié)合物理中的簡諧運動等典型實例。為了加強數(shù)學(xué)模型思想，教科書專門設(shè)置了 “三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用” 一節(jié)，通過典型實例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分析實際問題、建立三角函數(shù) 模型、用三角函數(shù)模型解決問題的基本過程，以使學(xué)生更好地體會三角函數(shù)在解決周期變化現(xiàn)象時的作用，例如本節(jié)的例 4 4 由給出的潮起潮落的變化數(shù)據(jù)，通過作散點圖，選擇函數(shù)模型，建立函數(shù)模型，并用得到的函數(shù)模型解決有關(guān)問題，就是一個比較完整的建立三角函數(shù)模型解決實際問題的過程。 通過這樣的例子，可以使學(xué)生用三角

25、函數(shù)刻畫周期現(xiàn)象的過程與 方法。精品文檔精品文檔另外，本章突出了對三角函數(shù)及其性質(zhì)的研究這條主線，對于其他一些細節(jié)，例如求 函數(shù)的定義域、值域，用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式進行恒等變形等等，都作了 淡化處理.4 4通過問題引導(dǎo)學(xué)生主動思維，使學(xué)生得到思維訓(xùn)練為了引導(dǎo)學(xué)生主動思考，教科書利用“觀察”“思考”“探究”等欄目設(shè)置了大量問題。這些問題有的是從刻畫實際問題的需要而產(chǎn)生的，例如任意角概念的引入， 三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)的研究，函數(shù) ：2 -二二 -計的圖象的研究等，更多的是從數(shù)學(xué)發(fā)展內(nèi)部提出的，例如用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù)后，自然要提出圓的性質(zhì)與三角函數(shù)性質(zhì)之間關(guān)系的問題，而這

26、個問題恰好是討論同角三角函數(shù)之間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的出發(fā)點：同角三角函數(shù)的關(guān)系與單位圓中直角三角形；誘導(dǎo)公式與圓的對稱性；三角函數(shù)的周期性與圓周長；三角函數(shù)的單調(diào)性與單位圓中有向線段的變化規(guī)律總之，教科書利用知識的發(fā)生發(fā)展過程來自然地提出問題，引導(dǎo)學(xué)生層層深入地進行思考，可以使學(xué)生得到思維方法上的訓(xùn)練。類比、聯(lián)系、推廣、化歸等是數(shù)學(xué)研究中的常用方法，本章努力引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這些方法。例如，通過類比長度、重量的不同度量單位引入弧度制；聯(lián)系一般函數(shù)性質(zhì)的研究思路 引出研究三角函數(shù)性質(zhì)的思路；從單位圓上點的坐標表示銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角 函數(shù)定義；研究函數(shù) y=Asin(y

27、=Asin( $ ) )的圖象，按照 y=sinxy=sinx- y=sin(x+y=sin(x+ $ ) )-y=sy=s in(in($ ) ) y=Asin(y=Asin( -$ ) )的線索展開，體現(xiàn)了從簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的化歸方法.討論三角函數(shù)及其性質(zhì)時，經(jīng)常提醒學(xué)生注意用數(shù)學(xué)1 1 中獲得的一般函數(shù)概念及其思想方法作指導(dǎo)。例如，教科書中有這樣的話：“遇到一個新的函數(shù)，非常自然的是畫出它的圖象，觀察圖象的形狀，看看有沒有特殊點，并借助圖象研究一下它的性質(zhì)，如：單調(diào)性、奇偶性、最大值、最小值等。特別的， 三角函數(shù)具有周而復(fù)始的特性到底應(yīng)當如何描述？”這段話實際上是提示學(xué)生，在思考

28、三角函數(shù)性質(zhì)到底研究的是哪些問題以及應(yīng)當如何研究時，應(yīng)當與自己在數(shù)學(xué) 1 1 中建立的關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的已有經(jīng)驗聯(lián)系起來，顯然，這對學(xué)生把握三角函數(shù)基本性質(zhì)的討論方向是非常有用的。對于那些可以直接類比或經(jīng)過簡單推論就可以得出的結(jié)論，教科書利用“思考”“探究”欄目，通過“留白”的方式讓學(xué)生自己思考探究而得出結(jié)果例如，特殊角的角度與弧度的關(guān)系表；三角函數(shù)的定義域，三角函數(shù)值的符號；余弦函數(shù)性質(zhì)的研究；由y=sinxy=sinx 的精品文檔精品文檔圖象到 y=Asiny=Asin(二|$ ) )的圖象，等等。例如，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是通過這樣兩個問題情景引出的：思考：我們利用單位圓定義了三角函數(shù)， 而圓

29、具有很好的對稱性。 能否利用圓的這種對 稱性來研究三角函數(shù)的性質(zhì)呢？例如，能否從單位圓關(guān)于x x 軸、y y 軸、直線 y=xy=x 的軸對稱性以及關(guān)于原點 0 0 的中心對稱性等出發(fā)，獲得一些三角函數(shù)的性質(zhì)呢？探究：給定一個角a(1)終邊與角a的終邊關(guān)于原點對稱的角與a有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有 什么關(guān)系？(2)終邊與角a的終邊關(guān)于 x x 軸或 y y 軸對稱的角與a有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù) 之間有什么關(guān)系？(3)終邊與角a的終邊關(guān)于直線 y=xy=x 對稱的角與a有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？其中，“思考”中的問題是上位的，它對利用單位圓的性質(zhì)討論三角函數(shù)的性質(zhì)具有

30、一般思想方法的引導(dǎo)作用；“探究”中的問題比較具體，可以直接引起學(xué)生對誘導(dǎo)公式的探究活動。設(shè)計這樣的問題系列，就是希望學(xué)生在問題的引導(dǎo)下，開展積極主動的思維活動，自己獨立推導(dǎo)出三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，相信有這樣的問題引導(dǎo)， 是可以做到這一點的。另外,這樣的做法對于學(xué)生思考“應(yīng)當從哪些方面來研究三角函數(shù)”，即應(yīng)當如何提出問題，也是有啟發(fā)的。5 5 適當使用信息技術(shù)本模塊中，比較適合用信息技術(shù)的內(nèi)容是三角函數(shù)及其性質(zhì)的研究?！皹藴省敝忻鞔_提出了 “借助計算器或計算機畫出y二Asin x:的圖象，觀察參數(shù)A, 對函數(shù)圖象變化的影響”的要求，在“說明與建議”中提出“應(yīng)鼓勵學(xué)生使用計算器和計算機探索和 解決問

31、題。例如，求三角函數(shù)值，求解測量問題，分析y二As in ，x亠門中參數(shù)變化對函數(shù)的影響等”。根據(jù)“標準”的要求和建議，本模塊對使用信息技術(shù)問題作了如下處理：(1)用計算器進行角度制與弧度制的互換；(2)用計算器求三角函數(shù)的值；(3)用計算器的 sinsin7 7、coscos_i、tantan 宀鍵求角；(4)討論y =Asin:的圖象時， 在邊空中提示， “可以用五點法作圖，有條件的也可以用計算器或計算機作圖。在計算機的幫助下，A A , 對函數(shù)精品文檔精品文檔y =Asinx亠門的圖象變化的影響能直觀地得到反映”；(5 5 )在用三角函數(shù)模型解決問題的過程中，提倡使用計算機進行函數(shù)擬合等

32、。相應(yīng)的，在角的兩種度量制的互換、求三角函數(shù)值、作函數(shù)圖象等方面都降低了要求，這樣做可以為學(xué)生借助信息技術(shù)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，從事一些富有探索性和創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)活動提供時間和空間。因為有了信息技術(shù)，教科書中引進了一些計算量大、需要根據(jù)數(shù)據(jù)選擇和修正函數(shù)模型才能解決的問題。考慮到我國各地在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用信息技術(shù)的不平衡性，教科書在使用信息技術(shù)上采取了彈性處理，即在適宜使用信息技術(shù)的地方，采用邊空注釋的方法， 對信息技術(shù)的使用作出提示或說明。四、教材具體說明1 1 本冊的第 1 1 章三角函數(shù)是緊接在第 1 1 冊教材第 2 2 章函數(shù)之后，繼續(xù)學(xué)習(xí)的一種特殊 的基本初等函數(shù)。由于引進了弧度制，又將角的概

33、念進行了推廣，容易知道定義的三角函數(shù)是一種在非精品文檔精品文檔空實數(shù)集上，從數(shù)到數(shù)的一種“一對一”或“多對一”的映射。2 2.在第 1 1 章中，1 1。3 3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是重點教學(xué)內(nèi)容，同時它也是本章的一個數(shù)學(xué)難點。特別是該節(jié)中，三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性以及描繪y=Ay=Asin()圖象時的周期與初相變換更是教學(xué)中的重中之重，它們也是現(xiàn)行高考中長考不衰的內(nèi)容。希望各位教者花氣力指導(dǎo)學(xué)生學(xué)好并熟練掌握這部分內(nèi)容。3 3該章的 1 1。1 1 任意角、弧度與 1 1。2 2 任意角的三角函數(shù)(三角函數(shù)的定義、同角三角 函數(shù)關(guān)系公式、誘導(dǎo)公式)兩節(jié)內(nèi)容是后續(xù)學(xué)的基礎(chǔ)。只有夯實基礎(chǔ)

34、，后面的三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)與三角恒等變換才能學(xué)好。請大家務(wù)必重視這一問題。4 4.第一章的 1 1。1 1 中的弧度概念是一個數(shù)學(xué)難點。大家知道弧度制與角度制是測量角大小的兩種不同的單位制。學(xué)生從小學(xué)到初中一直是采用角度制來度量角的大小，學(xué)生在小學(xué)首先接觸的角度制，先入為主，一提到角就知道1 1 度為 6060 分，1 1 分為 6060 秒。到高中學(xué)習(xí)弧度制，學(xué)生很不習(xí)慣，所以這是本章教材的一個 教學(xué)難點。教者要突破這一教學(xué)重點，必須做到以下兩點：(1 1)講清弧度制的概念，讓學(xué)生慢慢體會，給學(xué)生有一個轉(zhuǎn)彎的過程，有一逐步地循序漸進地建立新概念的過程。只有新概念建立起來了，才能用弧度制來度

35、量角的大小，才能建立實數(shù)到實數(shù)一對一或多對一的三角函數(shù)的概念。(IIII )對于 0-20-2 二( (周角) )范圍內(nèi)的弧度與角度對照表格，要學(xué)生熟記，讓學(xué)生人人過關(guān)，個個落實。這是學(xué)好這一新知識的重要一環(huán)。5 5.在進行 1 1。2 2 任意角的三角函數(shù)的教學(xué)時，應(yīng)充分做好初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的銜 接工作。這一節(jié)內(nèi)容做好銜接工作很有必要：(I(I)初中已講了銳角三角函數(shù)， 到高中學(xué)習(xí)在直角坐標系中用坐標表示任意角的三角 函數(shù)值時， 必須從Rt中銳角三角函數(shù)講到新知識，體現(xiàn)出銜接、過渡、循序漸進。(IIII )在初中學(xué)生已接觸了平方關(guān)系、商式關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系等同角三角函數(shù)的關(guān)系公式,教者必須在

36、帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)初中這些公式的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新內(nèi)容，將角:-推廣為任意角，就可得現(xiàn)在的新公式。這樣學(xué)習(xí)學(xué)生就不會感到陌生。應(yīng)從初中的已學(xué)的一組誘導(dǎo)公式入手讓學(xué)生學(xué)習(xí)其它誘導(dǎo)公式。到最后將這些公式概括為:(III(III )在初中學(xué)生已學(xué)習(xí)了一組誘導(dǎo)公式Jisin(2=cos：, ,cos(-:)tan(n n-：)=cot：,cot( )=tan到高中學(xué)習(xí)1 1。2 2。3 3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式時,精品文檔精品文檔“奇余偶同名，符號由角定”的口訣。這樣做，無疑是非常有益的。四、對教學(xué)的幾個建議1 1 準確把握教學(xué)要求與以往的三角函數(shù)內(nèi)容相比較，本章加強了三角函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)模型，借助單位圓

37、理解三角函數(shù)的概念、性質(zhì)，以及通過建立三角函數(shù)模型解決實際問題等?！皹藴省睂θ呛瘮?shù)內(nèi)容的削減比較多，課時量也減少了，本章嚴格按照這種要求，刪減了任意角的余切、正割、余割，三角函數(shù)的奇偶性，已知三角函數(shù)求角，反三角函數(shù)符號m m，將對三角函數(shù)周期性的一般討論作為選學(xué)內(nèi)容。另外，任意角概念，弧度制概念，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式等都降低了要求。這樣的處理，把重點放在使學(xué)生理解三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用上，而對一些細枝末節(jié)的內(nèi)容不再作過多要求。教學(xué)時應(yīng)當把握好這種變化，遵循“標準”所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補充已被刪減的知識點，也不要引進那些繁

38、瑣的、技巧性高的變換題目（例如求定義域、值域；已知；11 .- -,求 a a 的其他三角函數(shù)值； 用誘導(dǎo)公式進行復(fù)雜變換的問題等）。2 2 加強相關(guān)知識的聯(lián)系性，強調(diào)數(shù)學(xué)思想方法由于周期現(xiàn)象在現(xiàn)實中廣泛存在，例如單擺運動、彈簧振子、圓周運動、交流電、音樂、潮汐、波浪、四季變化、生物鐘等，因此它是物理、地理、生物、天文等其他學(xué)科研究的對象，這樣，本章內(nèi)容與其他學(xué)科有緊密聯(lián)系。從數(shù)學(xué)內(nèi)部來說，三角函數(shù)的概念、性質(zhì)與圓的知識有緊密聯(lián)系， 在整個三角函數(shù)內(nèi)容的討論中， 單位圓發(fā)揮了關(guān)鍵作用。 因此教學(xué) 中應(yīng)充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗、 其他學(xué)科的知識以及關(guān)于圓的性質(zhì)方面的知識，使三角函數(shù)的學(xué)習(xí)建立在豐富

39、的背景上。從數(shù)學(xué)思想方法看，本章重點是數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)形結(jié)合思想。教學(xué)中應(yīng)當充分利用章引言提供的情景，引導(dǎo)學(xué)生從“刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”的角度來認識三角函數(shù)，使學(xué) 生從學(xué)習(xí)之初就建立起從數(shù)學(xué)模型的角度看三角函數(shù)的意識。在此基礎(chǔ)上，要充分注重運用三角函數(shù)模型解決實際問題的教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷運用三角函數(shù)模型描述周期現(xiàn)象、解決實際問題的全過程。前已指出，本章討論的內(nèi)容都可以用單位圓作為直觀工具。因此，為了更好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，教學(xué)中要充分發(fā)揮單位圓的作用，并且要注意逐漸使學(xué)生形成用單位圓討論三角函數(shù)問題的意識和習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生自主地用單位圓探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，提高分析和精品文檔精品文檔解決問題的

40、能力。三角函數(shù)是學(xué)生在高中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)的又一個基本初等函數(shù)，教學(xué)中應(yīng)當注意引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué) 1 1 中學(xué)到的研究函數(shù)的方法為指導(dǎo)來學(xué)習(xí)本章知識，即要結(jié)合三角函數(shù)引導(dǎo)學(xué)生進一步理解集合與對應(yīng)觀點下的函數(shù)概念，函數(shù)中研究的基本問題和基本思路(根據(jù)刻畫現(xiàn)實中周期現(xiàn)象的需要，引進三角函數(shù)來描述周期性變化的規(guī)律；在遇到一個新的函數(shù)時，總要看看它的圖象、單調(diào)性、有沒有特殊取值等等)，這樣可以使學(xué)生學(xué)習(xí)在高觀點指導(dǎo)下進行 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的思想方法，這對提高學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)思維水平是非常有幫助的。同樣的，在討論： r ;丄二 的圖象時，實際上涉及函數(shù)變換與圖象變換(圖象的平 移、伸縮與函數(shù)變換的關(guān)系)，

41、需要數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)，雖然教師不一定要明確地向?qū)W生 指出，但教學(xué)時還是要注意滲透.3 3 恰當使用信息技術(shù)在下列內(nèi)容的教學(xué)中，應(yīng)積極鼓勵學(xué)生使用計算器或計算機，以加強知識的發(fā)生發(fā)展過程，加深對有關(guān)概念的認識，突破學(xué)習(xí)中可能遇到的困難。(1 1 )終邊相同的角的概念的認識；(2)弧度制的認識，弧度與角度的互化， 非特殊角的三角函數(shù)值的計算，sinsin-1, coscos-1,tantan-1的使用；(3) 任意角的三角函數(shù)的定義，用三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切函數(shù)；(4) 畫三角函數(shù)的圖象，用三角函數(shù)的圖象研究三角函數(shù)的性質(zhì)；(5) 畫函數(shù) y=Asiny=Asin(:二，$ ) )的圖象

42、，探索 A A、3、$對：二二-梟 圖象的影 響；(6) 根據(jù)實際數(shù)據(jù)擬合函數(shù)圖象.4 4。具體教學(xué)建議1新教材 P11P11 習(xí)題 1 1。1 1 探究拓展的第 1313 題：若扇形的周長為定值 I I，則該扇形的圓 心角為多大時，扇形的面積最大。該題既可用“均值不等式”求最值，也可通過消元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解。由于學(xué)生還未接觸不等式內(nèi)容，所以只能要求學(xué)生用二次函數(shù)的有關(guān)知識尋求最值。該題解答如下：設(shè)扇形半徑為R R，弧長為l，由題設(shè)知。2R I I,精品文檔精品文檔1211lS扇形（I-2R）R = -R-1R.當R丨,即丨=2R2.當該扇形的圓心角為 2 2224R、 、12弧度時，扇形面

43、積最大，最大值為一。162本章中，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法幫助解題是新教材的一大亮點。思考：右圖中，隱藏了一個例4 4 的“圖形證明”，你能發(fā)現(xiàn)嗎?該圖，實際上是在單位圓中運用半圓上的圓周角為直角的定理，得到Rt ABPABP，在Rt ABPABP 中運用射影定理；可得sin:是1 cos、1 -cos的比例中項，即： 空1COs。運用圖形、數(shù)形結(jié)1+cososi na合得三角恒等式，是新教材的一個特色。3本章中，積極引導(dǎo)學(xué)生運用換元、轉(zhuǎn)化、化歸等思想方法思考、探究解決問題，是 新教材激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識的一大舉措。女口： P20P20 思考由公式二、三，你能導(dǎo)出公式四嗎？根據(jù)公式二、三、四中的任意

44、兩組公式，你能推導(dǎo)出另一組公式嗎？這里公式二、三、四，指的是“一?！?、“兀一?！迸c“ n n +a+a ”三組誘導(dǎo)公式。課本中的這一思考很有價值， 它能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識， 而要實現(xiàn)這一思考， 必須運用換元與轉(zhuǎn) 化、化歸等思想方法。如果要用公式三、四 =公式二，應(yīng)將角-進行轉(zhuǎn)化：，這樣得 到sin(-：) =s in二-】t)=si n(“ .：Q - -si n：,。這里根據(jù)公式二、三、四中任意兩組，推出另外一組，共有y y1 1c c3 3-3-3 種推法，可讓學(xué)充分活動、思索，動手試試。廠再如：P21P21 探索，若角 otot 的終邊與角 P P 的終邊關(guān)于直線 y y - - x x/A.對稱（如右圖）。 z z 如 P18P18 例 4 4。求證:sin :1 cos：1 -cos：sin :-本題采用了兩種方法證明后，讓學(xué)生按圖思考。精品文檔精品文檔n n、一精品文檔精品文檔角-a-a 的終邊與角 a a 的終邊是否關(guān)于直線 y=xy=x 對稱？ （ 3 3）由（1 1）、（2 2）你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)2論？該題各小題證明，總起來看，由角:終邊分別在 I I、IIII、IIIIII、IVIV 四個象限（再決定-終