四邊形輔助線專題訓練

1、一、和平行四邊形有關的輔助線作法1 .利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形例1如圖1,已知點O是平行四邊形 ABCM對角線AC的中點，四邊形OCD自平行四邊形 求證:OE與AD互相平分.14 / 12說明：當已知條件中涉及到平行， 且要求證的結論中和平行四邊形的性質有關，可試通過添加輔助線構造平行四邊形.2 .利用兩組對邊平行構造平行四邊形例2如圖2,在 ABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF ED/AC, FG/AC交BC分另為 D, G.求證：ED+FG=AC.說明：當圖形中涉及到一組對邊平行時,可通過作平行線構造另一組對邊平行，得到平行四邊形解決問題3 .利用對角線互相平分構造平行四邊

2、形例3如圖3,已知AD>A ABC勺中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證BF=AC.說明：本題通過利用對角線互相平分構造平行四邊形，實際上是采用了平移法構造平行四邊形.當已知中點或中線應思考這種方法 .二、和菱形有關的輔助線的作法和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質定定理解決問題.例4如圖5,在 ABC43, / ACB=90 , / BAC的平分線交 BC于點D, E是AB上一點，且 AE=AC EF/BC交AD于點F,求證：四邊形 CDEF菱形.C EB例5 如圖6,四邊形ABC比菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證

3、EF+BF 的最小值等于DE長.A E B說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關證明題或計算題作輔助線的不是很多, 常見的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高；（2）連結菱形的對角線.三、與矩形有輔助線作法和矩形有關的題型一般有兩種： （1）計算型題，一般通過作輔助線構造直角三角形借助勾股 定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結矩形的對角線借助對角線相等這一性質解決問 題.和矩形有關的試題的輔助線的作法較少 .例6 如圖7,已知矩形 ABCDJ一點，PA=3, PB=4, PC=5.求PD的長.IB圖7四、與正方形有關輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形， 又是

4、中心對稱圖形， 有關正方形的試題較多.解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線.1例7如圖8,過正方形 ABCD勺頂點B作BE/AC,且AE=AC又CF/AE.求證：/ BCF=2 / D尸73匚AEB.、/.通過連接正方形的說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質，又涉及到菱形的性質 對角線構造正方形 AHBO進一步得到菱形，借助菱形的性質解決問題與中點有關的輔助線作法、有中線時可倍長中線，構造全等三角形或平行四邊形.例1.已知：如圖，AD為 ABC中線，求證： AB AC 2AD.類題1.已知：如圖，AD為 ABC的中線，AE=EF.求證：BF=AC.

5、二、有以線段中點為端點的線段時，常加倍此線段，構造全等三角形或平行四邊形例2.已知：如圖，在 ABC中，C 90 ,M為AB中點，P、Q分別在AC BC上，且PM QM 于 M.求證：PQ2 AP2 BQ2.BD 于 D, CE AD 于類題2.已知： ABC的邊BC的中點為N,過A的任一直線 ADE.求證：NE=ND.三、有中點時，可連結中位線.例3.如圖， ABC中，H E分別為AR AC上點，且 BD=CE M N為BE、CD中點，連 MN交 AR AC于 P、Q 求證：AP=AQ1 一類題3.已知：如圖，E、F分別為四邊形 ABCD勺對角線中點，AB>CD求證：EF - AB C

6、D .2類題4 .如圖, G是CE的中點;ABC中，AD是高，CE為中線，DG CE , G為垂足，DC=BE求證：（1） B 2 BCE.四、有底邊中點,連中線，利用等腰三角形“三線合一”例4.已知：如圖，在 Rt ABC中， BAC 90性質證題,AB=AC D為BC邊中點，P為BC上一點，PF AB 于 F, PE AC 于 E.求證：DF=DE.類題5.已知：如圖，矩形ABCDE為CB延長線上一點，且AC=CEF為AE中點，求證：BF FD .六、與梯形中點有關的輔助線：有腰中點時，常見以下三種引輔助線法ABCN, AD/ BC, ABBC , M為CD的中點.求證：AM=MB.類題6

7、.已知：梯形 ABCM, AB/ CD E為BC中點，EF AD于F.求證:S梯形ABCDEF AD .【作業(yè)】1、已知 ABC ADBE為等腰直角三角形，/ ABCW DBE=90 , A B、D在同一直線上， M N P分別是AD. AC DE邊上的中點，試說明 MP與MN的關系并證明。2、如果上題中 A、B、D不在同一直線上，其余條件不變，上述結論是否發(fā)生變化？證明結 論。C3、平行四邊形 ABCD對角線相交于點 O P、E、F分別是AR OB OC的中點，AC=2AB 求證：PE=EF4、等腰梯形ABCD43,BC的中點。BC求證： EFM是等邊三角形。BQ AC的中點。求證:5、如圖

8、，在四邊形 ABCD中，AB=CDMNf PQ互相垂直平分。M N、P、Q分別是AR BG6、如圖，在4ABC中，E是AB的中點,CD平分/ ACB AD± CD垂足為點 D,求證：2DE=BC-AC7、BQ CE分別為乙ABC外角平分線, 關系。AML BD于 M, AN! CE于 N,探究 MlNf AB、BG AC 的附加題:(1)若將上題中BD改為/ ABC的平分線，其它條件不變，則上題結論是否成立。(2)若BQ CE分別為/ ABC/ ACB的平分線，其它條件不變，以上結論是否成立？(畫圖、 證明)8、 ABC中，AB=AC / BAC=,在 AB AC上截取 AD AE,

9、且 AD=AE 連結 DE 如圖 1 所示，則易證BD=CE如圖2所示，將 ADE時針針旋轉到如圖所示位置，連結BQ CE(1)判斷BD與CE的數(shù)量關系及BQ CE延長線所夾銳角的度數(shù)。BB(2)點G F分別是等腰 ABC等月ADE底邊的中點，/ BACW DAE=，點P是線段CD 的中點，試探索/ GPFf 的關系，并加以證明。請解答下列問題:9、我們給出如下定義：有一組相鄰內角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.(1)寫出一個你所學過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；(2)如圖1,在 ABC中，AB=AC點D在BC上，且CD=CA點E、F分別為 BC AD的中點, 連接EF并延長交AB于

10、點G.求證：四邊形 AGE%等鄰角四邊形；(3)如圖2,若點D在 ABC的內部，(2)中的其他條件不變，EF與CD交于點H.圖中是否存在等鄰角四邊形，若存在，指出是哪個四邊形，不必證明；若不存在，請說明理由.順次連結 EF, FG, GH HE1、在四邊形 ABCN, E,F,G,H分別是AB, BC CD DA的中點,(1)請判斷四邊形 EFGH的形狀，并給予證明；(2)試添加一個條件，使四邊形EFGH菱形，并說明理由。2、如圖，在四邊形ABC中,AB=AD,CB=CD點M,N,P,Q分別是 AB,BC,CD,DA的中點，求證：四邊形MNPQ1矩形.小結：中點四邊形：對角線的四邊形的中點四邊

11、形是菱形對角線的四邊形的中點四邊形是矩形對角線的四邊形的中點四邊形是正方形對角線的四邊形的中點四邊形是平行四邊形(1)順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是 .(2)順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是 .(3)順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是 .)(4)順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是 .(5)順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是 練習題：1、順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點，所得圖形一定是(A矩形B.直角梯形C菱形 D.正方形2、如圖，小區(qū)的一角有一塊形狀為等梯形的空地，為了美化小區(qū)，社區(qū)居委會計劃在空地上建一個四邊形的水池， 使水池的四個頂點恰好在梯形各邊的中點上，則水池的

12、形狀一定是A、等腰梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形3、.順次連接一個四邊形的各邊中點， 得到了一個矩形，則下列四邊形滿足條件的是 ()平行四邊形菱形等腰梯形對角線互相垂直的四邊形A.B.C.D.4、順次連接四邊形 ABCD邊的中點所得四邊形是菱形，則四邊形ABCE定是A.菱形 B.對角線互相垂直的四邊形C.矩形D.對角線相等的四邊形5.如圖，在梯形 ABCD43, AB/ CD AD=BC點E,F,G,H分別是 AB,BC, CD DA的中點，則 下列結論一定正確的是().A. ZHGF = ZGHE B. / GHE = / HEFC. ZHEF = ZEFG D. / HGF = / HEF6、如圖，依次連結第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連結菱形各邊的中點得到1,則第n個矩形的面積第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去。已知第一個矩形的面積為7、我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形.若一個四邊形ABCD的中點四邊形是一個矩形，則四邊形 ABCD可以是.8、如圖，點E、F、GH分別是任意四邊形ABCDARBQBGCA的中點，當四邊形 ABCD的邊至少滿足 條件時，四邊形 EFGH菱形.9、如圖,四邊形ABCD43 ,AC=a,BD=b,且ACLBD,順次連接四邊形 ABC陷邊中點，得到四邊形ABQDi,再順次連接四邊形 ABCiDi各