第1章概率論基礎(chǔ)

1、隨機(jī)信號分析 2隨機(jī)信號分析 3隨機(jī)信號分析 4隨機(jī)信號分析 5隨機(jī)信號分析 6隨機(jī)信號分析 7隨機(jī)信號分析 8隨機(jī)信號分析 9隨機(jī)信號分析 10隨機(jī)信號分析 11i 表示為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本點(diǎn)基本可能結(jié)果隨機(jī)信號分析 12隨機(jī)信號分析 13 ()AAnP Ann試驗(yàn)中 出現(xiàn)的次數(shù)總試驗(yàn)次數(shù)很大隨機(jī)信號分析 14 0P A =1P AB =P ABP AP B隨機(jī)信號分析 15=0P 01P A ABP AP B如果， 則 P ABP AP AB隨機(jī)信號分析 16ABB A 事件 發(fā)生條件下的事件 0P ABP B AP AP A，隨機(jī)信號分析 17 P ABP A P B12,nA A

2、A 1212mmkkkkkkP A AAP AP AP A隨機(jī)信號分析 18隨機(jī)信號分析 19(, )H T 隨機(jī)信號分析 20 1/2,P HP T ,FHT 0,1PP 隨機(jī)信號分析 212( ,0,1,2,3)is i 隨機(jī)信號分析 221PN小球放入任一格子kkPN小球放入任意 個格子隨機(jī)信號分析 23 12121312121nnnP A AAP A P A A P A A AP A A AA隨機(jī)信號分析 241,2,iA in,ij ;ijA A 1niiA 1niiiP BP B A P AiiiP ABP B A P A隨機(jī)信號分析 2511,2,kkkniiiP AP B AP

3、 A BknP B A P A()iP A(|)kP B A(|)kP ABkkkP B AP AP A BPB隨機(jī)信號分析 2600.9P X 10.1P X 0.9 0.29010.9 0.20.1 0.813P XY0.1 0.84110.9 0.20.1 0.813P XY0X10Y1(0|0)0.8P(1|0)P(0|1)P(1|1)0.8P(0)0.9P(0)0.1P隨機(jī)信號分析 27( , )sin()tAWW t st隨機(jī)信號分析 28111sin()at222sin()at333sin()at隨機(jī)信號分析 29事件事件樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)值域空間值域空間出現(xiàn)出現(xiàn)“1”點(diǎn)面點(diǎn)面11出現(xiàn)

4、出現(xiàn)“2”點(diǎn)面點(diǎn)面22出現(xiàn)出現(xiàn)“6”點(diǎn)面點(diǎn)面66隨機(jī)信號分析 30值域空間值域空間1 2 3 4 5 6隨機(jī)信號分析 31 Xx X ( )XFxP Xx隨機(jī)信號分析 321122iiX()X X2 2X Xi iX X1 1樣本空間樣本空間隨機(jī)變量隨機(jī)變量X()隨機(jī)變量值域隨機(jī)變量值域隨機(jī)信號分析 33隨機(jī)信號分析 34. .r v X概率分布函數(shù)分布率（概率特性）概率密度函數(shù)矩特性（數(shù)字特征）隨機(jī)信號分析 35123456. .123456xxxxxxr v Xpppppp611ipi61( )()XiiFxP XxPU xxi( )XFxP Xx隨機(jī)信號分析 36F(x)pkxkx3x2

5、x1xp1P1 P21隨機(jī)信號分析 37()1()0FP XFP X (0)( ) ()( )F aF aF aF a或隨機(jī)信號分析 38122112211211221221()( )()( )()()()( )()( )P xxxF xF xP xxxF xF xP xxF xF xP xxxF xF xP xxF xF x2121()( )xxF xF x若，則隨機(jī)信號分析 39( )Xfx( )f x( )( )XdfxF xdx隨機(jī)信號分析 40123456. .123456xxxxxxRV Xpppppp61( )()XiiiFxP XxPU xx61( )( )()XXiiidfx

6、FxPxxdx隨機(jī)信號分析 41x1x2x3xkpkf(x)xp1p2 p3隨機(jī)信號分析 42iiP Xxp ,iiiF xpu xxi為整數(shù) ,iiifxpxxi為整數(shù)( )( )u與隨機(jī)信號分析 43( , ( )( )baAP Xa bf x dxP XAf x dx ( )0f x 隨機(jī)信號分析 44( )1f x dx( )( )xXXFxfd隨機(jī)信號分析 45隨機(jī)信號分析 46 XFx Xfx隨機(jī)信號分析 47隨機(jī)信號分析 4812( ),( ),.,( )nXXX( )( ),1,2, )iX sXin隨機(jī)信號分析 491122iiX1()X2()Xi()X X1()1()多維映

7、射多維映射X X2()2()X Xi()i()隨機(jī)信號分析 50( )( , ),ZXYFzFx yP Xx Yy ( )XF x( )YF y( , )XYFx y隨機(jī)信號分析 51yxXx,Y y隨機(jī)信號分析 52, ( , )( , )( , )( , )P aXb c YdF b dF b cF a dF a c(,),1(,),0(, )0( ,)0FP XYFP XYFyF x 隨機(jī)信號分析 53( , )xyF x y 是 、 的單調(diào)非減函數(shù)( ,)( )(, )( )XYXXYYFxFxFyFy 隨機(jī)信號分析 542( )( , )( , )( , )ZXYfzfx yf x

8、yF x yx y ( )Xf x( )Yf y( , )XYfx y隨機(jī)信號分析 55()(, ,(, ( , )( , )( , )( , )xyDP Xx YyF x yf x y dxdyP X YDf x y dxdy ( , )0XYfx y 隨機(jī)信號分析 56( , )1f x y dxdy ( )(,)()(,)( )( ,)( ,)()(,)( ,)xXyYXYFxfddFyfddfxFxfx y dyxfyFyfx y dxy 隨機(jī)信號分析 57,1ijijijijP Xx Yypp( , )(,)XYijijijfx ypxx yy( , )(,)XYijijijFx y

9、p u xx yy隨機(jī)信號分析 58123,nXXXXX121122121212( ,),( ,)( ,)XnnnnXnXnnFx xxP Xx XxXxFx xxfx xxx xx 隨機(jī)信號分析 59隨機(jī)信號分析 60(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)JS 隨機(jī)信號分析 61隨機(jī)信號分析 62隨機(jī)信號分析 63x2F(x1,x2)x1(1,0)(0,0)(0,1)(1,1)0.00020. 010.021隨機(jī)信號分析 64隨機(jī)信號分析 65隨機(jī)信號分析 66221122211 222 ()()12(1)2121( , )21xxyyf x ye 221122(,; )N 隨機(jī)信號

10、分析 6722112221122()()1 22(1)xxyy 221212222211()()12(1)2xxy 22212122121()1(1)2(1)xyx 隨機(jī)信號分析 68221221221212()2(1()22)211( )e21e21xyxXdyfx 21211()1( )exp22Xxfx22222()1( )exp22Yyfy隨機(jī)信號分析 69|XA XB|Xx YB1111,|,nnnnXxXxYBYB1111,|, nnnnXxXxYyYy點(diǎn)事件隨機(jī)信號分析 70|,( |)|( |)( |)X YX YP Xx YBFx YBP Xx YBPYBF x YBfx Y

11、Bx|0,( | )limX YyP Xx yYyyFx yP yYyy |( , )( | )( | )( )XYX YX YYfx yfx yFx yxfy( , )( )xXYYfu ydufy隨機(jī)信號分析 71( )( | ) ( )f xf x y f y dy( | ) ( )( | )( | ) ( )f y x f xf x yf y x f x dx12121312121()( ) (|) (|)(|)nnnf x xxf xf xxf xx xf xx xx隨機(jī)信號分析 72Independence XXYY隨機(jī)變量 與隨機(jī)變量 與 取統(tǒng)計(jì)獨(dú)立值事件統(tǒng)計(jì)獨(dú)立( , )( )

12、( )( , )( )( )XYXYXYXYFx yFx Fyfx yfx fy或 隨機(jī)信號分析 7312,.,kXXX121121(,.,)( )(,.,)( )kkiikkiiF x xxF xf x xxf x隨機(jī)信號分析 7422112221122()()122(1)2121( , )e21xxyyf x y 隨機(jī)信號分析 75( , )( | )( )f x yf y xf x2122221212(1)221e21xy 0( , )( ) ( )f x yf x f y隨機(jī)信號分析 761 4,02,| 2( , )0,xyxf x y其它1|01P XYP X與隨機(jī)信號分析 771

13、(, )( , )2( | )( )0X YDf x yyf x yf y其它 2,2y (|)X Yy(0,2)Uy1/20,2)( |0)0 xf x y其它(|0)X Y (0,2)U隨機(jī)信號分析 78110111|0( |0)22P XYf x ydxdx110131( )(1)24P Xf x dxx dx隨機(jī)信號分析 79隨機(jī)信號分析 800( )X t000( )( )( )Y tX tN t0( )N t000( )( )( )X tY tN t隨機(jī)信號分析 81隨機(jī)信號分析 82xyyh(y)( )( )( )( )( ) ( )( )h yYXYXFyP YyP Xh yf

14、x dxfyfh yh y對兩邊求導(dǎo)數(shù)，隨機(jī)信號分析 83xyyh(y)( )( )( ) 1( )1( )( ) ( )( )Yh yXYXFyP YyP Xh yP Xh yfx dxfyfh yh y 對兩邊求導(dǎo)數(shù)，( ) ( )( )YXfyfh yh y隨機(jī)信號分析 8422()221( )2XXx mXXfxe隨機(jī)信號分析 85( )/, ( )1/YaXbh YYbaXh Ya是單調(diào)函數(shù)而22(,)XXYN amb a22222()22()2221( )( )21 2XXXXy bmaYXy b amaXfyeh Yea 隨機(jī)信號分析 86結(jié)論：結(jié)論：n若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量1(

15、)YXybfyfaa隨機(jī)信號分析 872112212, , 0( ), ( )( )( )( )YYXXYYXYh YXYh YFyP YyP Xh yP Xhy 令xy隨機(jī)信號分析 881122( ) ( )( )( )( ) ()()2 0()()20( )0XXYXXXYXfyfh yh yfhyhyfyfyyfyfyyyfyotherwisey隨機(jī)信號分析 89?隨機(jī)信號分析 90隨機(jī)信號分析 91隨機(jī)信號分析 92121211121222121111222111222122. .,( ,),(,)( ,)( ,)(2). .,);(,)(,)(,)Xr v XXfx xYg XXr

16、v Y YYgXXYg XXYgXXXh Y YXh Y Y(1)存在唯一的反函數(shù)（逆變設(shè) （）的聯(lián)合概率密度函數(shù)是如換果二元連續(xù)函數(shù)確定二維(若，滿足下）有連續(xù)的一列條件：階偏導(dǎo)數(shù)隨機(jī)信號分析 93111212121122222121(3) ,(, )(,)(,) ,0YXhhyyJhY Yfy yJfh y yhyhyyy則二維隨機(jī)變換行列式（雅可比行列式）Jacob變量（）的聯(lián)合概率ian密度函數(shù)是隨機(jī)信號分析 94隨機(jī)信號分析 95變換！變換！隨機(jī)信號分析 961111112212221212( ,) ( ,)YXXYh Y YYXXXYYh Y Y令則 1112221210111hh

17、yyJhhyy隨機(jī)信號分析 9712112212121(,)(,),(,) ,YXXfy yJfh y yh y yfy yy21211211()( ,),YYXfyfy y dyfy yy dy211111,( ),YXyy xyfyfx yx dx隨機(jī)信號分析 9812121111,()()XXXXXfx xyfxfyx若與獨(dú)立，則12( )( )( )YXXfyfyfy12111111( ), ()()YXXXfyfxyx dxfxfyx dx隨機(jī)信號分析 991212( )( )( )RRRfrfrfr隨機(jī)信號分析 100隨機(jī)信號分析 101隨機(jī)信號分析 102隨機(jī)信號分析 103r0

18、(Rayleigh)隨機(jī)信號分析 104隨機(jī)信號分析 1051kiiiE Xx P Xx(XE XX（所有可能取值）取該值的可能取值）的概率( )E Xxf x dx隨機(jī)信號分析 10612(,)kXX XX12( , , )kE XE XE XE X隨機(jī)信號分析 107隨機(jī)信號分析 108kmkkmE X 1kkkiiiE Xx P Xx( )kkE Xx f x dx隨機(jī)信號分析 109k() kkE XEX222() E XEXVar X22()EXEX隨機(jī)信號分析 110,X Yk rm( )( )( , )krkrk rxymE X Yx y f x y dxdy 11XYmE XY

19、R,X Y隨機(jī)信號分析 111(moment of inertia),X Yk r() () krk rXYE XmYm11()() XYE X mY mCov XYE XYE X EY,X Y隨機(jī)信號分析 1121212, | 1XXCov XX 且 隨機(jī)信號分析 1131X2X12XaXb1X2X| 1隨機(jī)信號分析 114121222122122222122212222122|, () 10,10|1XXXXXXXXXXE XaE XbVar Xa Var XaaCov XXE a XmaaaCov XXaaaa 而隨機(jī)信號分析 115( , )( )( )XYXYXYfx yfx fy與

20、 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立12121212( 1)( 2)111222( 1)( 2)12( ,)() xxxxE X Xx x f x x dx dxx f xdxx f x dxE X E X ）隨機(jī)信號分析 1161211221212,()()0Cov XXE XmXmE X Xm mXYXY與 獨(dú)立與 不相關(guān)隨機(jī)信號分析 117cos 0,2 )sinXUY其中1/20,2 )0,2 ) ( )0Ufotherwise隨機(jī)信號分析 118202020cos( )0 sin( )0(, ) =sin0cos( )0,XYE XfdE YfdCov X YE XYE X E YE XYfdXY即 與 不相

21、關(guān)。XYXY 不一定與 不相關(guān)與 獨(dú)立隨機(jī)信號分析 1191X2X1X2X12120X XE X XR隨機(jī)信號分析 120 (, ) Cov X YE XYE X E Y(2) 0 (, ) 0 0 , 0 XYE XYCov X YE X E YE XE YCov X YXY 若 與 正交，則此時若 或 ， 則 ，即 與 不相關(guān)。(1) 0 0 0 0XYE XYE X E YE XYE X E YE XE YE XYXY若 與 不相關(guān)，則則此時若 或 ， 則 ，即 與 正交隨機(jī)信號分析 121統(tǒng) 計(jì)統(tǒng) 計(jì)獨(dú)立獨(dú)立互 不互 不相關(guān)相關(guān)相 互相 互正交正交任一隨機(jī)變量任一隨機(jī)變量均值為均值為0

22、(a)( , )( )( )XYXYfx yfx fy0(, )0XYCov X Y0XYR正態(tài)分正態(tài)分布除外布除外隨機(jī)信號分析 122互不互不相關(guān)相關(guān)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立獨(dú)立隨機(jī)信號分析 123互不互不相關(guān)相關(guān)統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立獨(dú)立相互相互正交正交隨機(jī)信號分析 124Conditional expectation)隨機(jī)信號分析 125隨機(jī)信號分析 126n在一定條件下的數(shù)學(xué)期望，稱為在一定條件下的數(shù)學(xué)期望，稱為條件數(shù)學(xué)條件數(shù)學(xué)期望期望（或（或條件均值條件均值）。以二維為例，定義）。以二維為例，定義如下：如下：n對于離散型隨機(jī)變量，對于離散型隨機(jī)變量， 是是y的函數(shù)，即的函數(shù)，即( , )( | )( )X

23、YXYYfx yfx yfy|()()X YE X Yyxfx y dx()iijijjx pE X Yyp()E X Yy()E X y( , )( )XYYxfx y dxfy隨機(jī)信號分析 127。()E X Y ()()( )YE E X YE X y fy dy( , )()XYxfx y dxdyE X |( , )()()( )XYX YYxfx y dxE X Yyxfx y dxfy隨機(jī)信號分析 128隨機(jī)信號分析 129隨機(jī)信號分析 130隨機(jī)信號分析 131隨機(jī)信號分析 132隨機(jī)信號分析 133隨機(jī)信號分析 134隨機(jī)信號分析 135隨機(jī)信號分析 136隨機(jī)信號分析 13

24、7隨機(jī)信號分析 138隨機(jī)信號分析 139X()jvXXvE e( )Xv隨機(jī)信號分析 140X)(xf( )( )jvxXvf x edx1( )ikjvxXiivp e隨機(jī)信號分析 141( )()Xf xv F()( )Xfxv F F隨機(jī)信號分析 142傅立葉傅立葉變變 換換將將 換換為為 -v( )f x( )Xv將將x 換換為為-x 傅立葉傅立葉反變換反變換( )j xf x edx( )jvxf x edx隨機(jī)信號分析 143X( )jvvpeq)(xf。01( )X0, 1( )( )(1)jvjvjvvpeqqepeP Xq P Xpf xqxpx隨機(jī)變量 有解法解法1：隨機(jī)

25、信號分析 144( )( )( )(1)( )( )(1)vf xqxpxxxf xqxpx 此題亦可直接對進(jìn)行反傅立葉變化得：將右端，有q p)(xf0 1隨機(jī)信號分析 14512()njvXjvXjvXjvnE eE eE eqpe例例1.20求二項(xiàng)分布求二項(xiàng)分布Binomial 的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。解：解：首先令首先令 ，其中，其中 是獨(dú)立同分布是獨(dú)立同分布的，服從的，服從01分布，且分布，且 所以：所以： 其中其中q=1-p。故。故,XB n p1niiXXiX(1)iP Xp ijvXvqpe 12()njv XXXjvXXvE eE e隨機(jī)信號分析 146( )( )xf xeu x0()0( )( )xjvxjv xveeu x dxedxjv1( ), 0ateu taaj 隨機(jī)信號分析 147隨機(jī)信號分析 14812()( )jv XXjvYYvE eE e221212 221211( ), ()22xxXXfxefxe2221222212222( ), ( )Note: 2 vvjvxXXXvE eeeeve 241( )2yYfye顯然，方法二比方法一簡單。1212,( )jvXjvXYXXvE ee獨(dú)立，12121(), ( )( )( )( )knnkkijv XXXjvYYYYYYXXvE eE ev