大學物理---湖南師范大學課件第五章 機械波三)

1、15-615-6、半波反射、駐波、半波反射、駐波一、半波反射一、半波反射1 1、波在由波密介質(zhì)向波疏介質(zhì)反射時，相位會、波在由波密介質(zhì)向波疏介質(zhì)反射時，相位會發(fā)生發(fā)生 的突變，我們把這種現(xiàn)象稱之為半波反射的突變，我們把這種現(xiàn)象稱之為半波反射。)(cos uxtAy2 2、波阻、波阻u uZ Z 二、駐波二、駐波 兩列振幅相等，傳播方向相反的波將形成駐波。兩列振幅相等，傳播方向相反的波將形成駐波。 以可作為一維處理的波為例，假設有頻率相同、以可作為一維處理的波為例，假設有頻率相同、振幅相等的右行波和左行波，波函數(shù)分別為：振幅相等的右行波和左行波，波函數(shù)分別為：)cos(1kxtAy )cos(2

2、kxtAy 應用三角公式可得到合成波的波函為：應用三角公式可得到合成波的波函為：tkxAyyy coscos221 不再是一列行波。不再是一列行波。tkxAyyy coscos221 當當kxkx=n=n 時時( (n=0n=0、1 1、2 2、3 3) )，得：得：tAy cos2 這些位置的質(zhì)點有最大的振幅，稱這些點為波腹。這些位置的質(zhì)點有最大的振幅，稱這些點為波腹。當當kxkx=n=n + + /2/2時時( (n=0n=0、1 1、2 2、3 3) )，得：得：0 y 這些位置的質(zhì)點的振幅為零，稱這些點為波節(jié)。這些位置的質(zhì)點的振幅為零，稱這些點為波節(jié)。tkxAyyy coscos221

3、 tAtkxAyx cos2coscos2 當當kxkx=-=- /2- /2- /2/2時時，此區(qū)間內(nèi)所有質(zhì)點可看此區(qū)間內(nèi)所有質(zhì)點可看作同相不同幅的振動作同相不同幅的振動. .當當kxkx= = /2- /2- 3/23/2時時，此區(qū)間內(nèi)所有質(zhì)點也可看此區(qū)間內(nèi)所有質(zhì)點也可看作同相不同幅的振動作同相不同幅的振動, ,但是和相鄰半波區(qū)間反相但是和相鄰半波區(qū)間反相. .1 1、相位上：、相位上：2 2、能量上：、能量上：駐波并不是波，而是一個系統(tǒng)的特殊振動狀態(tài)！駐波并不是波，而是一個系統(tǒng)的特殊振動狀態(tài)！)cos(1kxtAy )cos(2kxtAy 3 3、駐波是波的干涉的結(jié)果、駐波是波的干涉的結(jié)

4、果 )12(22kkkx例題：例題： 位于位于 兩點的兩個波源，振幅相等，頻率兩點的兩個波源，振幅相等，頻率都是都是100100赫茲，相差為赫茲，相差為 ，其，其 相距相距3030米，波速為米，波速為400400米米/ /秒，秒，BA,BA,解：如圖所示，取解：如圖所示，取A A點為坐標原點，點為坐標原點，A A、B B聯(lián)線為聯(lián)線為X X軸，取軸，取A A點的振動方程點的振動方程 : :)cos( tAyA在在X X軸上軸上A A點發(fā)出的行波方程：點發(fā)出的行波方程：)2cos( xtAyAB B點的振動方程點的振動方程 : :)cos( tAyBBA,求求: :A,B A,B 連線之間因相干涉

5、而靜止的各點的位置。連線之間因相干涉而靜止的各點的位置。BAXxm30 x30O)2cos( xtAyA B B點的振動方程點的振動方程 : :)cos( tAyB在在X X軸上軸上B B點發(fā)出的行波方程：點發(fā)出的行波方程：)30(2cos xtAyB因為兩波同頻率，同振幅，所以相干為靜止的點滿足：因為兩波同頻率，同振幅，所以相干為靜止的點滿足： ) 12()30(22 kxx注意注意BAXxm30 x 30O,.2, 1, 0 k相干相消的點需滿足：相干相消的點需滿足：kx 230sec/4mu 因為因為：,.2, 1, 0215 kkxmx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3,

6、1 可見在可見在A A、B B兩點是波腹處。兩點是波腹處。BAXxm30 x 30 )12()30(22 kxx,.2, 1, 0 k三、簡正模式三、簡正模式來看一個波在兩端固定且拉緊的弦上的傳播問題：來看一個波在兩端固定且拉緊的弦上的傳播問題：由于兩端固定，所以兩端必須是波節(jié)點，故駐波波長由于兩端固定，所以兩端必須是波節(jié)點，故駐波波長 與與弦長弦長L L的關(guān)系必須滿足：的關(guān)系必須滿足：.)321(2、 nLn 而駐波的頻率應取下列值：而駐波的頻率應取下列值：.)321(2、 nLnuu 擾動一端，產(chǎn)生右行波，當波到達右端后，又被反擾動一端，產(chǎn)生右行波，當波到達右端后，又被反射，如此繼續(xù)下去，

7、從而形成駐波射，如此繼續(xù)下去，從而形成駐波. .滿足以上關(guān)系的振動方式稱為系統(tǒng)的簡正模，最低滿足以上關(guān)系的振動方式稱為系統(tǒng)的簡正模，最低的振動頻率成為基頻，其它分別為二次諧頻、三次的振動頻率成為基頻，其它分別為二次諧頻、三次諧頻等。諧頻等。對于一端或中點固定的棒，也可做類似分析！對于一端或中點固定的棒，也可做類似分析！例：一長為例：一長為L=7mL=7m，B B端固定，端固定，A A端玉濤在光滑桿上的小端玉濤在光滑桿上的小環(huán)相連，小環(huán)可沿光滑桿上下自由滑動，那些波長的環(huán)相連，小環(huán)可沿光滑桿上下自由滑動，那些波長的波才能形成穩(wěn)定的駐波？當波長為波才能形成穩(wěn)定的駐波？當波長為4 4m m時，分別找

8、到動時，分別找到動能和勢能最大點。能和勢能最大點。解答：解答：1 1、B B端為波節(jié)，端為波節(jié)，A A端端為波腹，則弦長和為波腹，則弦長和 波長的波長的關(guān)系為：關(guān)系為：.)3 . 2 . 1 . 0()(221 kkL 這樣，波長可分別?。哼@樣，波長可分別取：.428928528328、 2 2、當波長為、當波長為4 4m m時，對應的時，對應的k k為為3 3，則波形如圖：，則波形如圖：15-715-7、多普勒效應、多普勒效應以介質(zhì)為參考系，并假設波源和接受器直沿著它們以介質(zhì)為參考系，并假設波源和接受器直沿著它們之間的連線運動，下面分三種情況考慮：之間的連線運動，下面分三種情況考慮：1 1、

9、波源靜止，接受器運動、波源靜止，接受器運動設波源振動頻率、波的頻率、接受器收到的頻率分設波源振動頻率、波的頻率、接受器收到的頻率分別為：別為：S Su uv vr rrws 、由于波源靜止，此時應由于波源靜止，此時應該有：該有：ws S Su uv vr r設接受器以速度設接受器以速度v vr r向著波源運動，則它在單位時間內(nèi)向著波源運動，則它在單位時間內(nèi)接受到的波列所包含的完全波個數(shù)，即為接受器所接接受到的波列所包含的完全波個數(shù)，即為接受器所接受到的頻率受到的頻率 ，從圖中可以看出：，從圖中可以看出：r rvur su / 波長為：波長為：所以，接受頻率為：所以，接受頻率為：suvsuvur

10、rr )1( ur 靜靜2 2、接受器靜止，波源運動、接受器靜止，波源運動由于接受器靜止，所以接由于接受器靜止，所以接受器收到頻率等于波的頻受器收到頻率等于波的頻率：率：wr 因波源相對介質(zhì)運動，此因波源相對介質(zhì)運動，此時波的波長變?yōu)椋簳r波的波長變?yōu)椋簊svu / )( 此時接受器收到的頻率應為：此時接受器收到的頻率應為：svuuurs S Su uS Su u3 3、波源和接受器皆運動、波源和接受器皆運動將將1 1、2 2兩種情況同時考慮兩種情況同時考慮S Su uv vr rsuvuvuuurrs svuvusr 例題：在一次演習中兩潛艇正危險的相向而行，左艇例題：在一次演習中兩潛艇正危險

11、的相向而行，左艇速度為，右艇速度為，左艇向前發(fā)射出一頻率為的聲速度為，右艇速度為，左艇向前發(fā)射出一頻率為的聲納信號，信號在水中波速為，不計海水流動，計算：納信號，信號在水中波速為，不計海水流動，計算：游艇檢測到的信號頻率為多大？左艇收到的反射信號游艇檢測到的信號頻率為多大？左艇收到的反射信號的頻率為多大？的頻率為多大？接答：接答：HzLsvuvuRrLsRr1052 HzRrvuvuRsvuvuLrRsLrRsLr1072 14-314-3解答：只要能證明貨輪所受的合外力與距平衡位置解答：只要能證明貨輪所受的合外力與距平衡位置的位移成正比即可。的位移成正比即可。當貨輪平衡時，設浸入水中高度位當

12、貨輪平衡時，設浸入水中高度位h h，那么有：那么有：gshmg 當貨輪偏離平衡位置時，位移為當貨輪偏離平衡位置時，位移為x x，設浸入水中高度位設浸入水中高度位( (h+xh+x) )，那那么有：么有：mgxhgsF )( gsx gsmkmwT 222 moxkJR14-7.如圖所示，振動系統(tǒng)由一倔強系數(shù)為如圖所示，振動系統(tǒng)由一倔強系數(shù)為k的的 輕輕彈簧、一半徑為彈簧、一半徑為R、轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)動慣量為J的的 定滑輪和一質(zhì)定滑輪和一質(zhì)量為量為m的的 物體所組成。使物體略偏離平衡位置后物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動，試證物體作簡諧振動，并求其放手，任其振動，試證物體作簡諧振動，

13、并求其周期周期T.分析：分析：A、平衡位置平衡位置B、振動過程振動過程C、極限振幅極限振幅02 xx D、解決方法解決方法TmTmga2F 解：取位移軸解：取位移軸ox，m在平衡位置時，設彈在平衡位置時，設彈簧伸長量為簧伸長量為 l，則則0 lkmg當當m有位移有位移x時時maTmg RaJRxlkT )(聯(lián)立得聯(lián)立得aRJmkx 2 0222 xRJmkdtxd 22RJmk 物體作簡諧振動物體作簡諧振動14-914-9解答：求彈簧振子的運動方程，根據(jù)：解答：求彈簧振子的運動方程，根據(jù)：00 xv tan2020)( vxA mk 2可以求解?？梢郧蠼?。 確定平衡位置確定平衡位置 mg=k

14、l 取為原點取為原點 k=mg/ l 令向下有位移令向下有位移 x, 則則 f=mg-k( l +x)=-kxsradlgmk/10098.08 .9 由初條件得由初條件得 ,)(000 xvarctgmvxA08. 0)(2020 由由x0=Acos = -0.080 cos 0, 取取 = (2)按題意按題意 t=0 時時 x0=0，v0 x0=Acos =0 , cos =0 = /2 ,3 /2 v0=-A sin 0, 取取 = /2 x=6 10-2cos(10t+ /2) m振動方程為：振動方程為：x=9.8 10-2cos(10t+ ) m14-1014-10解答解答(1(1)

15、 )、根據(jù)振動圖形，得到：、根據(jù)振動圖形，得到：mA10. 0 m3/ m2/4 m24/5 運動方程為：運動方程為：x=1 10-1cos(5 t/24- /3) m xo(3)(3)、 即旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動的角速度，那么，到達即旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動的角速度，那么，到達p p點點相應位置所需時間為：相應位置所需時間為：st6 . 13 15-515-5(1)(1)、波源的振動方程為：、波源的振動方程為：y=Acos(100 t+3 /2)和波函數(shù)的形式比較，得波函數(shù)為：和波函數(shù)的形式比較，得波函數(shù)為：=Acos(100 t - x + 3 /2)y=Acos(100 t - x /u+ 3 /2)上式以波

16、的傳播方向為上式以波的傳播方向為x x軸的正方向。軸的正方向。y5=Acos(100 t 3.5 )y15=Acos(100 t 13.5 )(2)(2)、把坐標代入波函數(shù)、把坐標代入波函數(shù) )1617(u15-815-8解答：首先根據(jù)解答：首先根據(jù)p p點的振動方向，確定該波為左行波；波點的振動方向，確定該波為左行波；波函數(shù)為：函數(shù)為：Xmy/pOm0 .100.100.100.050.05)(cos),(0 uxtAtxy根據(jù)波形圖，得到：根據(jù)波形圖，得到：A=0.10mA=0.10m =20.0=20.0m m利用旋轉(zhuǎn)矢量法，原點初相位為：利用旋轉(zhuǎn)矢量法，原點初相位為：3/ 那么。波函數(shù)

17、為：那么。波函數(shù)為：mxttxy310500cos10.0),( (2)(2)、x=7.50mx=7.50m處置點的運動方程為：處置點的運動方程為：3105 .7500cos10.0),( ttxy1213500cos10.0 tt=0t=0時刻該點的振動速度為：時刻該點的振動速度為：)12/13sin(500 tdtdyv16 .40 sm15-915-9Xmy/O1.01.02.02.00 0u u0.500.50解答：根據(jù)圖形和已知條件，得到：解答：根據(jù)圖形和已知條件，得到：A=0.50mA=0.50m =2.0=2.0m m15 . 0/2 su xo2/ mtty25 .0cos50.0)( 15-1015-10 =- /3 t+ = /2 = /6)3/6cos( tAyP解