《常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法》

1、1常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法2類型類型一一：方法歸納：方法歸納：累加累加 的通項(xiàng)公式。求數(shù)列，中，：數(shù)列例nnnnannaaaa)3 , 2 , 1(22111)(1nfaann即)()2() 1 (:(的和是可求的條件nfff分析：由已知易得naann21）1(2, 32, 22, 21342312naaaaaaaann),1()1(321 21nnnaan上面各式相加得), 3 , 2 , 1(22nnnan故可求和可求和3變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：4 的通項(xiàng)公式為列，則數(shù)且滿足中，已知數(shù)列：例nnnnannaaaa21 2 1111645342312:13423121

2、nnaaaaaaaannaannnn得分析) 1(21) 1(2111nnaannaann累乘的積是可求的，且若) 1()2() 1 (),(1nfffnfaann該題型方法歸納：該題型方法歸納：na累乘法求得類型類型二二：5變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：22*11a 1aaaa0(),a .nnnnnnnN設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為 的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）n求數(shù)列的通項(xiàng)公式6的通項(xiàng)公式求，且滿足項(xiàng)和的前列各項(xiàng)均正數(shù)的數(shù)重慶：例nnnnnnaNnaaSSSna*1),2)(1(61)07( 3 nnnSana知與及 的關(guān)系式，求通項(xiàng)類型類型三三：72362nnnaaS分析：由題意得2366112111aaSan時(shí)

3、，當(dāng)212111111aSaaa故又或解得由整理得由整理得2361211nnnaaS且有300)3)(1111nnnnnnnnaaaaaaaa又 13) 1( 3232nnaaannn的通項(xiàng)為故的等差數(shù)列，公差為是首項(xiàng)為故11nnnaSS的關(guān)系與可找出nnaa18 的通項(xiàng)公式，求數(shù)列項(xiàng)和的前數(shù)列福建nnnnnaNnaSaSna)(2 , 1,)07 ( 1.11變式訓(xùn)練：兩式相減整理得解：,2 21nnaS，而3212aa)2(32) 1( 12nnann故312nnaa232nna9類型類型四四：待待定系數(shù)法定系數(shù)法（構(gòu)造法）（構(gòu)造法）求遞推數(shù)列的通項(xiàng)：求遞推數(shù)列的通項(xiàng)：滿足與若數(shù)列相鄰兩項(xiàng)

4、一nnaa1)( ,)q p為常數(shù)則可考慮待定系數(shù)法設(shè)則可考慮待定系數(shù)法設(shè) 1nnatq at( t其中 為待定系數(shù)，)qtp滿足t構(gòu)造新的輔助數(shù)列構(gòu)造新的輔助數(shù)列 nat是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 1at公比為公比為q的等比數(shù)列，求出的等比數(shù)列，求出 nat ,再進(jìn)一步求通項(xiàng)再進(jìn)一步求通項(xiàng) na 的通項(xiàng)公式求數(shù)列，滿足項(xiàng)和為的前：數(shù)列例nnnnnaNnnaSSna )( 1241211nnaa兩式相減整理得，且解析：由32,2312111naSanaSnnnn的等比數(shù)列，公比為是首項(xiàng)為故數(shù)列2121221aannnnnaa212212121故)2(2121nnaa1nnaqap10:)(22:11得由

5、解Nnaannn1221221111nnnnnnnnaaaannann1) 1(12nnna2變式探究變式探究一一：例例511變式探究變式探究二二： 的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的數(shù)列nnnnnaNnaaaa)(24, 2111例例612 的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的數(shù)列nnnnnaNnaaaa)(24, 21111124nnnaa1112144nnnnnaa可化為為什么類型呢？，轉(zhuǎn)化同除以14nnnnnnaa214411其他解法探究：其他解法探究：nnnnnaaaaaa2144,2144,214411322332122nnnaa21212144321nnnna21121212121432nnna24 上面各式

6、相加可得上面各式相加可得幾個(gè)式子？13(2)若若qb , 則可 化為則可 化為dbabqbannnn11,進(jìn)而 轉(zhuǎn)化為型 如進(jìn)而 轉(zhuǎn)化為型 如dqbbnn1的數(shù)列的數(shù)列,從而從而運(yùn)用構(gòu)造法可求運(yùn)用構(gòu)造法可求通項(xiàng)通項(xiàng).探究歸納探究歸納,總結(jié)提升總結(jié)提升:(3)若若qb ,則可化為則可化為,1111nnnnnqddqqaqa，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為進(jìn)而轉(zhuǎn)化為型如型如11nnnqbb的數(shù)列的數(shù)列,從而通項(xiàng)從而通項(xiàng)可求可求.14nnnnaa21222122321, 21naann解解：:2 1可得等式兩邊同除以n11112222nnnnnnaa111222nnnnnnaa各式相加可得，,2122,22222122

7、11322332122nnnnnnaaaaaann212221S3221nnnn1132212121212121S21nnnnn12211Snnnannnnna2122121nann累加由得由得的通項(xiàng)公式。求數(shù)列中，在數(shù)列山東nnnnaNnnaaaa)( ,2, 2)06(11練練15,2144,2244214411322332122nnnnnnaaaaaa各式相加得，nnnnaa21222124321:24:11得由略解nnnnaa111111244244nnnnnnnnnnnaanaa變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：nn212221S32令nnnna2) 1(461答案錯(cuò)位相

8、減求和法錯(cuò)位相減求和法16類型五類型五：1(0,0)rnnnapapa11pnpnara兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)：則loglog1nnapaq就轉(zhuǎn)化為了的形式2n11*a a3,nnaa例：已知數(shù)列中，且（nN ）,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_17),(1均均不不為為零零rqprqapaannn .,; ,:則構(gòu)造法求通項(xiàng)若通項(xiàng)則化為等差數(shù)列求若倒數(shù)法求法rprp類型六類型六：.,12, 1,111的的通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式求求中中已已知知數(shù)數(shù)列列nnnnnaSSSaa 例例718.)2(:)1(), 4 , 3)(2(31, 2, 112121nnnnnnnnaaaanaaaaaa的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式求數(shù)列求數(shù)列是

9、等比數(shù)列；是等比數(shù)列；數(shù)列數(shù)列求證求證滿足滿足設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 例例8其它類型其它類型類型七類型七：19 的通項(xiàng)公式。求數(shù)列滿足例：已知數(shù)列nnnnnaNnaaaaaa)(23, 3, 11221的兩根是方程與023212 ttnnnnaaaa22112可得是故21nnaa121nnaa），（即取12yx常數(shù)數(shù)列122121aaaann) 1(211nnaa122211nnnnaannnaaa2312即由（選講）（選講）變式探究：變式探究：若已知數(shù)列相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系式若已知數(shù)列相鄰三項(xiàng)的遞推關(guān)系式,又又如何求其通項(xiàng)公式呢如何求其通項(xiàng)公式呢?nnnnnnnxyaayxaxaayxaa12112)()(設(shè)2112232312yxyxxyyxaaannn或?qū)Ρ认禂?shù)得與02312nnnaaa可化為20（三）若數(shù)列相鄰三項(xiàng)的關(guān)系滿足若數(shù)列相鄰三項(xiàng)的關(guān)系滿足012nnnCaBaa, 0 2有解且方程CBttCyxByxyx,則有與若設(shè)解為則可得則可得)(112nnnnxaayxaa，且若0012yxaa為公比的輔助等比數(shù)列則可構(gòu)造以 y,1nnxaa轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為相鄰兩項(xiàng)的類型相鄰兩項(xiàng)的類型再分析求解再分析求解問題：?jiǎn)栴}：知道連續(xù)三