風(fēng)險(xiǎn)ch10波動(dòng)率1金融風(fēng)險(xiǎn)管理第10章波動(dòng)率本章主要內(nèi)容波動(dòng)率歷史數(shù)據(jù)隱含波

1、9.1金融風(fēng)險(xiǎn)管理金融風(fēng)險(xiǎn)管理第第10章章 波動(dòng)率波動(dòng)率本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容p波動(dòng)率(歷史數(shù)據(jù))p隱含波動(dòng)率（期權(quán)價(jià)格）p波動(dòng)率估計(jì)模型l指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均模型l自回歸條件異方差模型ARCHl廣義自回歸異方差模型GARCH10.1 10.1 波動(dòng)率的定義波動(dòng)率的定義l某個(gè)變量的波動(dòng)率定義為該變量在單位時(shí)間內(nèi)連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差；l假設(shè)Si是某個(gè)變量在第i天的取值，那么日波動(dòng)率就可以表示為ln(Si /Si-1)的標(biāo)準(zhǔn)差；時(shí)間周期為T(mén)的波動(dòng)率為ln(ST /S0)的標(biāo)準(zhǔn)差l當(dāng)波動(dòng)率被用來(lái)期權(quán)定價(jià)時(shí)，時(shí)間單位選一年；當(dāng)用于風(fēng)險(xiǎn)控制時(shí)，時(shí)間單位選天。T的單位和波動(dòng)率的時(shí)間單位要統(tǒng)一。wee

2、kyeardayyear1110TT101002152252)(VT)(VT)(Var,.2 , 1,)(Var)/S(SlnVar)Var()(Var)/S(SlnVar)Var(Tln ;ln.1111；有：獨(dú)立同分布的假設(shè)下，在的平方根成正比！【定律】不定性隨時(shí)間天的波動(dòng)率第天的波動(dòng)率天的連續(xù)復(fù)利收益率第天連續(xù)復(fù)利收益率）（【注】iiTiii-iiiTiiiTTTTTTarariiSSiSSTeSeeSeeSeSSTTTTT日波動(dòng)率。風(fēng)險(xiǎn)控制時(shí)，一般采用年波動(dòng)率；期權(quán)定價(jià)時(shí)，一般采用變量百分比變化的方差連續(xù)復(fù)利收益率的方差也較小，那么率很小時(shí)，連續(xù)復(fù)利收益當(dāng)【注】)3()1 (T)2(0

3、000SSSSeSSTTTTTTl例例10-1 10-1 假定一個(gè)資產(chǎn)的價(jià)格是60美元，日波動(dòng)率為2%。這意味著一天中資產(chǎn)價(jià)格出現(xiàn)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的變化等于600.02=1.20美元。如果我們假設(shè)資產(chǎn)服從正態(tài)分布，我們有95%的把握確信在一天結(jié)束時(shí)，資產(chǎn)價(jià)格將在60-1.961.2=57.65美元和 60+1.961.2=62.35美元l例10-2 掃描10.2 10.2 隱含波動(dòng)率隱含波動(dòng)率l在給期權(quán)定價(jià)的多個(gè)參數(shù)變量中，那個(gè)不能被直接觀察到的參數(shù)稱為隱含波動(dòng)率l由于期權(quán)定價(jià)模型(如BS模型)給出了期權(quán)價(jià)格與5個(gè)基本參數(shù)(標(biāo)的股價(jià)、執(zhí)行價(jià)格、利率、到期時(shí)間、波動(dòng)率)之間的定量關(guān)系，只要將其中前4個(gè)

4、基本參數(shù)及期權(quán)的實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格作為已知量代入定價(jià)公式，就可以從中解出惟一的未知量，其大小就是隱含波動(dòng)率 標(biāo)的資產(chǎn)股票價(jià)格 滿足幾何Brown運(yùn)動(dòng)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 r，敲定價(jià)為 ，到期日為 的式看漲期權(quán)定價(jià)公式：)(tS)()()(tdBdttStdSSS)0(rKT)(exp)(),(21dNrTKdSNtkCTdd21TTrKSd)21(ln22duexNux2221)(VIX指數(shù)：掃描10.3 10.3 金融變量的每日變化量是否服從正態(tài)分布金融變量的每日變化量是否服從正態(tài)分布l常用的假設(shè)是市場(chǎng)變量服從正態(tài)分布，那么可以通過(guò)日波動(dòng)率計(jì)算置信區(qū)間。l實(shí)際中，大多數(shù)金融變量的值發(fā)生較大變化的可能性比

5、正態(tài)分布給出的要大。匯率的日變化率是否服從正態(tài)分布？匯率的日變化率是否服從正態(tài)分布？表表1 10 0-1 -1 價(jià)格變化百分比變化大于1,2,6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的天數(shù)占全部觀察日的比例SD=0.756%：日價(jià)格比率變化的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差信數(shù)現(xiàn)實(shí)世界 (%)正態(tài)模型 (%)1 SD25.0431.732SD5.274.553SD1.340.274SD0.290.015SD0.080.006SD0.030.00表格數(shù)據(jù)顯示：價(jià)格變化百分比未必服從正態(tài)分布，可能是某些肥尾分布圖圖9-2 9-2 正態(tài)分布與某肥尾分布正態(tài)分布與某肥尾分布密度函數(shù)密度函數(shù)的比較的比較l掃描業(yè)界事例 9-210.4 10.4 冪律冪律

6、 ( (正態(tài)分布的替代分布正態(tài)分布的替代分布) )冪律：冪律：某隨機(jī)變量v,表示個(gè)人收入，城市的規(guī)模，網(wǎng)頁(yè)訪問(wèn)量等。當(dāng)數(shù)x較大時(shí)，有 Prob(vx)=Kx -其中，K和為常數(shù)。Prob(vx)=Kx LnProb(vx)= LnK- Lnx掃描圖9-310.5 10.5 監(jiān)測(cè)日波動(dòng)率監(jiān)測(cè)日波動(dòng)率可以看成加權(quán)平均值)4-10( )410.()(1)(1極大似然估計(jì))(Var波動(dòng)率)310.(;.01假設(shè);另一種形式：*1 其中：)210(.)(11的無(wú)偏估計(jì)：)(Var波動(dòng)率)ln(天連續(xù)復(fù)利收益率第,天末價(jià)格為市場(chǎng)變量在第波動(dòng)率非常數(shù)）監(jiān)測(cè)日波動(dòng)率（假設(shè)日 5.102121211112121

7、miinmiinnimiiniiiimiinmiinniiiiiumuumuumuSSSuumuuumuSSuiSimiininLmiimmiiniLnLmmmiininuVmARCHuVVu1221211222121122)710.(.，則注：令提出)1982(Engle模型，它由)(該模型被稱為; 1 ;0.滿足)610.(.一長(zhǎng)期平均方差進(jìn)行推廣，假定存在某)510(對(duì) )2(.1. ;0.且)510.(.加權(quán)平均得到天波動(dòng)率可由此前數(shù)據(jù)n啟發(fā)，第)410(受)1(加權(quán)權(quán)重的格式miinimiinimmiininnnnnmnmnnnmnmnnmnmnnnmnmnnmnmnnnmmmnii

8、uuuuuuuuuuuuuuuuuuuEWMA12112112221212212112112122111231221212322212121122121122222112111111211)1(11)810.(.)1()1(. . .1111111.那么：),1 ,0(其中,)(指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均模型 6.10l掃描 9-4EWMAEWMA模型的特點(diǎn)：模型的特點(diǎn)：1.計(jì)算簡(jiǎn)單，觀察公式(10-8), 在前一天波動(dòng)率預(yù)測(cè)值基礎(chǔ)上更新一下即可得到第二天波動(dòng)率預(yù)測(cè)值2. 衡量波動(dòng)率對(duì)最新市場(chǎng)價(jià)格百分比變化的敏感度3. Morgan(1994)研究表明，=0.94常見(jiàn)稱為長(zhǎng)期方差。 )5(;有時(shí)記)4(

9、1一般要求)3(),(GARCH該模型可推廣為)2(模型EWMA時(shí)，模型退化為，-1，0當(dāng))1(1皆為正數(shù)，且，滿足：)99.(.模型：模型)1 ,1(GARCH 7.1021212LLnnLnVVqpuVl掃描 9-5數(shù)據(jù)越新，權(quán)重越大)2(的指數(shù)速度下降。，以的權(quán)重為)1(可見(jiàn)：.)(，則：若記)910.(.模型權(quán)重)1 ,1(GARCH1233232222122222212121221212iiinnnnnnnnnnnLnnLnuuuuuuuVuV10.8 10.8 模型選擇模型選擇l在實(shí)踐中方差值會(huì)被拉回到長(zhǎng)期平均值水平，這種現(xiàn)象被稱為均值回歸(Mean Revertion)。lGAR

10、CH(1,1) 具有均值回歸特性，而EWMA沒(méi)有均值回歸特性，理論上講GARCH(1,1)比EWMA更合理l當(dāng)w=0時(shí)，GARCH(1,1)退化為 EWMA，當(dāng)w0時(shí)，GARCH(1,1)不穩(wěn)定%40率為次，猜想他本學(xué)期缺勤2次，某同學(xué)缺席5【例】點(diǎn)名多少？黑紅黃三種魚(yú)比例各占塘條是黃魚(yú)，請(qǐng)問(wèn)：此魚(yú)20條是紅魚(yú)，50條是黑魚(yú)，30其中條魚(yú)，100種金魚(yú)，隨機(jī)抽取3黑紅黃【例】某魚(yú)塘中飼養(yǎng)了1.00)1(9)1()(.)1()(只下降的概率是1只股票正好有10則,-1概率是那么不下降的,是只股票價(jià)格下降的概率1【解】假設(shè)任意多少？當(dāng)天下降的概率估計(jì)是只股票，其價(jià)格1：再任意選只沒(méi)有下跌。那么請(qǐng)問(wèn)

11、9其它只股票價(jià)格當(dāng)天下跌，1只股票，發(fā)現(xiàn)10【例】某天隨機(jī)抽取最大似然估計(jì)法 9.10899pppppGpppGppmiimiimiimiimiiimumumuuuuumuuXuXuuuN12121212212211的最大似然估計(jì)，得到0求導(dǎo)函數(shù)，并令其為對(duì)上式關(guān)于)ln()ln(-式最大化，即最大化，等同于使其下)1110(要使得)1110.(.2exp21的概率為,.,個(gè)觀察值剛好為2exp21，即：的取值的概率密度函數(shù)在的概率等于觀察值出現(xiàn)在.,.,為。其觀察值)0,(服從均值X假如隨機(jī)變量估計(jì)常數(shù)方差 1.9.10值達(dá)到最大用迭代法可使得上式的)ln(-于使下式最大化，即要使上式最大化

12、，等同2exp21的概率為,.,個(gè)觀察值剛好為.,.,為。其觀察值)0,(服從均值U假如隨機(jī)變量模型中參數(shù)或者)1 ,1(估計(jì) 2.9.1012122121miiimiiiimmiiuuuuumuuuNEWMAGARCHl掃描P159l掃描P160方差逃離,時(shí)1)3(模型,方差具有均值回歸特性,時(shí)1)2(E模型，EWMA時(shí)，退化為1)1(【分析】)1410.().()(E)()( )()(E所以,因?yàn)?()()()()1(天方差為天結(jié)束時(shí)估算第1-n模型下，第)1 ，1(模型來(lái)預(yù)測(cè)波動(dòng)率)1 ,1(采用 10.1022221212122121212122121221212GARCHVVVVVV

13、VEuVVuVVVuVuVnGARCHGARCHLtnLntLtnLtnLtnLtnLtntntnLtnLtnLtnLnLnLnnnLn掃描圖掃描圖9-59-5210021021021022%)667. 0(00004451. 0 )00004422. 000006. 0(9617. 000004422. 0E1002%)74. 0(00005476. 0 )00004422. 000006. 0(9617. 000004422. 0E101%)77. 0(00006. 0,00004422. 0,9617. 0/ nnnLV 為：天后波動(dòng)的方差期望值）預(yù)測(cè)（為：天后波動(dòng)的方差期望值）預(yù)測(cè)（；美元匯率例子中，【舉例】假設(shè)日元10.10.1 10.10.1 波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu))0(1252 一年方差之和：)0(1d )( 天內(nèi)方差之和：T,0 ）3（ 天內(nèi)平均方差.)0(1d )(1）2（天的即時(shí)方差估計(jì)第.)0()(）1（得)1410(，則由1ln),(E)(天，定義：假設(shè)今天是第002LaTLLaTLTLTLaTLLatLtnVVaTeVVVa