scut(wqd版)6-6常見(jiàn)曲面

1、曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面五、小結(jié)五、小結(jié)下一頁(yè)下一頁(yè)曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：一、曲面方程的概念上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)注：曲面與方程是一一對(duì)應(yīng)的！注：曲面與方程是一一對(duì)應(yīng)的！空間曲面有空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題兩個(gè)基本問(wèn)題：（2 2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程）已知曲

2、面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)例例 1 1 建建立立球球心心在在點(diǎn)點(diǎn)),(0000zyxM、半半徑徑為為R的的球球面面方方程程. 解解設(shè)設(shè)),(zyxM是是球球面面上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為2222Rzyx ( I ) 已知已知點(diǎn)的軌跡，求曲面方程點(diǎn)的軌跡，求曲面方程S1：設(shè)坐標(biāo)S2：列等式S3：代坐標(biāo)S4：化簡(jiǎn)方法步驟上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè) .911634132222 zyx. 07262 zyx上一頁(yè)上一頁(yè)

3、 下一頁(yè)下一頁(yè)zxyo例例2 2 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下下移移動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解c上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)( I I ) 已知已知方程，判斷曲面形狀方程，判斷曲面形狀注：此法稱(chēng)為截痕法 , 0,22 zyxf . 0,22 zxyf二、旋轉(zhuǎn)曲面上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一

4、頁(yè) 曲線(xiàn)方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動(dòng)曲線(xiàn)方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動(dòng), 總之總之,位于坐標(biāo)面上的曲線(xiàn)位于坐標(biāo)面上的曲線(xiàn)C,繞其上的繞其上的一個(gè)一個(gè) 坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng),所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣得到這樣得到 :而用另兩個(gè)的變量的平方和的平方根而用另兩個(gè)的變量的平方和的平方根(加正、加正、負(fù)號(hào)負(fù)號(hào))替代曲線(xiàn)方程中另一個(gè)變量即可替代曲線(xiàn)方程中另一個(gè)變量即可.上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)2222( , )0,0,0;xOzffzzzyzfxxxyxxz面的平面曲線(xiàn)分別繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：繞 軸:繞 軸:上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)2222( , )0,0,0.xOy

5、ffyyyyzfxxxzxxy面的平面曲線(xiàn)分別繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：繞 軸:繞 軸:上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)例例3 3 將下列各曲線(xiàn)繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求將下列各曲線(xiàn)繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)解解 yoz面上直線(xiàn)方程為

6、面上直線(xiàn)方程為 cotyz 因?yàn)樾D(zhuǎn)軸為因?yàn)樾D(zhuǎn)軸為 軸軸,所以所以只需將上面方程中的只需將上面方程中的 改成改成 , 就可得到圓錐面就可得到圓錐面方程方程 cot22yxz ),(zyxM ), 0(111zyM yxzOzyz上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)小結(jié)與練習(xí)：判斷下列（旋轉(zhuǎn)）曲面的形狀， 并指出由什么曲線(xiàn)繞何軸旋轉(zhuǎn)而得.2222222222222222(1)(2)(3)144(4)144(5)144(6)044zxyzxyxyzxyzxyzxyz上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)zxz錐面，由直線(xiàn)繞 軸旋轉(zhuǎn)所得2zxz旋轉(zhuǎn)拋物面,由拋物線(xiàn)繞 軸旋轉(zhuǎn)所得2214xzz旋轉(zhuǎn)橢圓面，由橢圓繞 軸旋轉(zhuǎn)

7、所得2214xzz旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,由雙曲線(xiàn)繞 軸旋轉(zhuǎn)所得2214xzz旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面,雙曲線(xiàn)繞 軸旋轉(zhuǎn)所得2210()42xzzxz 圓錐面，由直線(xiàn)即繞 軸旋轉(zhuǎn)所得定義定義 平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn)平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn)C C這條定曲線(xiàn)這條定曲線(xiàn)C C 稱(chēng)為柱面的稱(chēng)為柱面的動(dòng)直線(xiàn)動(dòng)直線(xiàn)L L稱(chēng)為柱面的稱(chēng)為柱面的準(zhǔn)線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn), ,母線(xiàn)母線(xiàn). .所形成的曲面稱(chēng)為所形成的曲面稱(chēng)為移動(dòng)的直線(xiàn)移動(dòng)的直線(xiàn)L L 柱面柱面. .LC準(zhǔn)線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)母線(xiàn)母線(xiàn)三、柱面上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他類(lèi)推）（其他類(lèi)推）實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓橢圓柱面柱面12222 bya

8、x雙曲雙曲柱面柱面 pzx22 拋物拋物柱面柱面 , 0),(, yxFzyx的的方方程程而而缺缺只只含含直角坐標(biāo)系中表示平行于直角坐標(biāo)系中表示平行于z軸的柱面軸的柱面,在在空間空間為為xOy面上的曲線(xiàn)面上的曲線(xiàn)C.其準(zhǔn)線(xiàn)其準(zhǔn)線(xiàn)母線(xiàn)平行于母線(xiàn)平行于x軸軸母線(xiàn)平行于母線(xiàn)平行于z軸軸母線(xiàn)平行于母線(xiàn)平行于y軸軸上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)xyzOxyzOxy 平面平面表示母線(xiàn)平行于表示母線(xiàn)平行于zxy22 .22xy xy 表示母線(xiàn)平行于表示母線(xiàn)平行于z軸軸.xy xy22 拋物柱面拋物柱面柱面舉例柱面舉例 其準(zhǔn)線(xiàn)是其準(zhǔn)線(xiàn)是xOy面面上的拋物線(xiàn)上的拋物線(xiàn)軸的柱面軸的柱面, 的柱面的柱面,其準(zhǔn)線(xiàn)是其準(zhǔn)線(xiàn)

9、是xOy面上面上的直線(xiàn)的直線(xiàn)上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè) 1. 二次曲面的定義二次曲面的定義即為二次曲面即為二次曲面. 相應(yīng)地平面被稱(chēng)為相應(yīng)地平面被稱(chēng)為三元二次方程三元二次方程所表示的曲面稱(chēng)為所表示的曲面稱(chēng)為lxgzxfyzexyczbyax 222qnmlgfecba,其中其中均為常數(shù)均為常數(shù).球面、球面、二次曲面二次曲面.0 qnzmy如如: :雙曲柱面等雙曲柱面等)某些柱面某些柱面(圓柱面、拋物柱面、圓柱面、拋物柱面、一次曲面一次曲面.都是二次曲面都是二次曲面.四、二次曲面上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)2. 橢圓拋物面橢圓拋物面2222xyzabxyzO22xza XOZ平面上平面上的拋物線(xiàn)的

10、拋物線(xiàn)222xyza 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)伸縮變形法伸縮變形法xyzO3. 橢球錐面橢球錐面22222xyzab上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)4. 橢球面橢球面(橢圓面橢圓面)1222222 czbyaxzxyOxyzO上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)橢球面的幾種特殊情況橢球面的幾種特殊情況:)1(旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)橢球面橢球面12222 czax由橢圓由橢圓旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別區(qū)別：2222221aaxyzc如, ,a b c只有兩個(gè)相等1222222 czbyax繞繞z軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成.交線(xiàn)為圓交線(xiàn)為圓(橢圓橢圓)上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)cba )2(1

11、222222 azayax球面球面2222azyx 方程可寫(xiě)為方程可寫(xiě)為xyzO上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)5. 雙曲面雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax平方項(xiàng)有一個(gè)取負(fù)號(hào)平方項(xiàng)有一個(gè)取負(fù)號(hào),另兩個(gè)取正號(hào)另兩個(gè)取正號(hào).0 煉油廠、煉焦廠的冷卻塔就是煉油廠、煉焦廠的冷卻塔就是單葉雙曲面單葉雙曲面的形狀的形狀.OxyzxyzO上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyax1222222 czbyax 或或它分成上、下兩個(gè)曲面它分成上、下兩個(gè)曲面.注注xyzO上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)2222xyzab 6. 雙曲拋物面雙曲拋物面(馬鞍面馬鞍面)xyzO用截痕法討論：用截痕法討論：上一頁(yè)上一頁(yè) 下一頁(yè)下一頁(yè)小結(jié)：2222222222222222(1)(2)(3)144(4)144(5)144(6)044zxyzxyxyzxyzxyzxyz2222222222222222222399(1)(7)2)(3)14(4)14(5)14(6)0499zxyzxyxy