1.2級數(shù)概念與正項級數(shù)ppt課件

1、無窮級數(shù)無窮級數(shù) 第第7 7章章常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 第一節(jié)第一節(jié)一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念 等差數(shù)列：等差數(shù)列：, )12( ,5 ,3,1 n等比數(shù)列：等比數(shù)列：,2,8,4 ,2,11 n無窮數(shù)列：無窮數(shù)列：,321nuuuu 1nnu nuuuu321級數(shù)：級數(shù)：定義：定義：給定一個數(shù)列給定一個數(shù)列,321nuuuu 1nnu nuuuu321無窮級數(shù)無窮級數(shù):nu叫做級數(shù)的一般項叫做級數(shù)的一般項(通項通項), nkknuS1n次部分和次部分和:nuuuu 321;11uS 則則;212uuS ;3213uuuS ,321nSSSS部分和數(shù)列部分和

2、數(shù)列:nS 1nnuS當(dāng)級數(shù)收斂時當(dāng)級數(shù)收斂時, 稱差值稱差值 21nnnnuuSSr為級數(shù)的余項為級數(shù)的余項,lim不不存存在在若若nnS 則稱無窮級數(shù)發(fā)散則稱無窮級數(shù)發(fā)散 .,lim存存在在若若SSnn 收斂收斂 ,則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù)記作記作 1nnu nuuuu321(誤差誤差).例例1. 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù)又稱幾何級數(shù))0(20 aqaqaqaaqannn( q 稱為公比稱為公比 ) 的斂散性的斂散性. 解解: 1) 假假設(shè)設(shè),1 q12 nnqaqaqaaSqqan 1)1(時，時，當(dāng)當(dāng)1 q, 0lim nnq由于由于從而從而qaSnn 1lim因此級數(shù)

3、收斂因此級數(shù)收斂 ,;1qa ,1時時當(dāng)當(dāng) q,lim nnq由由于于從而從而,lim nnS則部分和則部分和因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散 .其和為其和為2). 假假設(shè)設(shè),1 q,1時時當(dāng)當(dāng) qanSn 因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散 ;,1時時當(dāng)當(dāng) q aaaaan 1)1(因而因而 nSn 為奇數(shù)為奇數(shù)n 為偶數(shù)為偶數(shù)從而從而nnS lim綜合綜合 1)、2)可知可知,1 q時時, 等比級數(shù)收斂等比級數(shù)收斂 ;1 q時時, 等比級數(shù)發(fā)散等比級數(shù)發(fā)散 .那那么么,級數(shù)成為級數(shù)成為,a,0不存在不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散.例例2. 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性: .)1(1)2(;

4、1ln)1(11 nnnnnn解解: (1) 12ln nS nnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln )1ln( n） n(所以級數(shù)所以級數(shù) (1) 發(fā)散發(fā)散 ;技巧技巧:利用利用 “拆項相消拆項相消” 求和求和23ln 34ln nn1ln (2) )1(1431321211 nnSn 211111 n） n(1所以級數(shù)所以級數(shù) (2) 收斂收斂, 其和為其和為 1 . 3121 4131 111nn技巧技巧:利用利用 “拆項相消拆項相消” 求和求和二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. .,011同斂散同斂散與與則則設(shè)設(shè) nnnnuukk即即則則若若,11S

5、kukSunnnn 11nnnnukuk 1218141211:n比比如如 1121nn2 1238343233:n則則 1123nn6 qa 1 0nnqa性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個收斂級數(shù)設(shè)有兩個收斂級數(shù),1 nnuS 1nnv 則級數(shù)則級數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為, S比如比如:)3121(111 nnn 11113121nnnn27232 .)(111 nnnnnnnvuvu即即說明說明:(2) 斂斂+散散不一定發(fā)散不一定發(fā)散.例如例如, ,)1(2nnu 取取,)1(12 nnv0 nnvu而而(用反證法可證用反證法可證)則則收收斂斂假假設(shè)設(shè),)(1nnnvu (1

6、) 斂斂+斂斂=斂斂 (性質(zhì)性質(zhì)2)=發(fā)散發(fā)散,;11發(fā)發(fā)散散收收斂斂現(xiàn)現(xiàn)有有 nnnnvu由性質(zhì)由性質(zhì)2知知,)(11也收斂也收斂 nnnnnnvuvu矛盾矛盾!(3) 散散+散散收收斂斂, 00)(11 nnnnvu,1 nnu 1nnv)(1nnnvu 性質(zhì)性質(zhì)3. 在級數(shù)前面加上或去掉有限項在級數(shù)前面加上或去掉有限項, 不會影響級數(shù)不會影響級數(shù)的斂散性的斂散性.1同同斂斂散散與與即即 nnnuukn比如比如: 1121100842nn收斂收斂 ! 12100842nn發(fā)散發(fā)散!) .,(收斂和發(fā)生改變收斂和發(fā)生改變項無關(guān)項無關(guān)級數(shù)的斂散性與前有限級數(shù)的斂散性與前有限性質(zhì)4. 收斂級數(shù)加

7、括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和的和.證證: 設(shè)收斂級數(shù)設(shè)收斂級數(shù),1 nnuS若按某一規(guī)律加括弧若按某一規(guī)律加括弧, )()(54321uuuuu則新級數(shù)的部分和序列則新級數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1( mm 為原級數(shù)部分和為原級數(shù)部分和序列序列 ),2,1( nSn的一個子序列的一個子序列,nnmmS limlim S 因此必有因此必有例如例如機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 注注: 1 逆否命題逆否命題:若加括弧后的級數(shù)發(fā)散若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散則原級數(shù)必發(fā)散. 2 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收

8、斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,0) 11 () 11 (但但1111例如，例如，發(fā)散發(fā)散.或加刮號后的級數(shù)收斂或加刮號后的級數(shù)收斂,原級數(shù)不一定收斂原級數(shù)不一定收斂三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 設(shè)收斂級數(shù)設(shè)收斂級數(shù),1 nnuS則必有則必有.0lim nnu證證: 1 nnnSSu1limlimlim nnnnnnSSu0 SS逆否逆否: 若級數(shù)的一般項不趨于若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散 .例如例如,1)1(544332211 nnn其一般項為其一般項為1)1(1 nnunn不趨于不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散因此這個級數(shù)發(fā)散.nun,時時當(dāng)當(dāng)

9、注意注意:0lim nnu并非級數(shù)收斂的充分條件并非級數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) nnn13121111雖然雖然，01limlim nunnn但此級數(shù)發(fā)散但此級數(shù)發(fā)散 .事實上事實上 , 假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于 S , 那那么么0)(lim2 nnnSSnn2 nnnn21312111 但但 nnSS2矛盾矛盾! ! 所以假設(shè)不真所以假設(shè)不真 .21 n21 例例 112341 :( 1),23451nnn 判斷斂散性判斷斂散性 12 :1nnnn例:判斷收斂與否111131nnnn n1111(1)3111(2)ln3nnnnn nnn若機動機動 目錄目錄

10、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 解(1)原式= (2)原式=1111ln3nnnnn五、小結(jié)1 1. .由由定定義義, ,若若ssn, ,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;2.2.當(dāng)當(dāng)0lim nnu, ,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散; ;3 3. .按按基基本本性性質(zhì)質(zhì). .常數(shù)項級數(shù)的基本概念常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法基本審斂法第二節(jié)第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法 一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法假假設(shè)設(shè),0 nu 1nnu定理定理 1. 正項級數(shù)正項級數(shù) 1nnu收斂收斂部分和數(shù)列部分和數(shù)列nS有界有界 .則稱則稱為正項級數(shù)為正項級數(shù) .是是單單的的部部分分和和正正項

11、項級級數(shù)數(shù)nnnnuuusu 211:調(diào)增加的調(diào)增加的 nSSS21 .1收收斂斂有有極極限限有有上上界界由由 nnnnuSS .1有有界界有有極極限限收收斂斂反反過過來來由由nnnnSSu 定理定理2 (比較審斂法比較審斂法)(1) 若大若大 1nnv則小則小 1nnu(2) 若小若小 1nnu則大則大 1nnv則有則有收斂收斂 ,也收斂也收斂 ;發(fā)散發(fā)散 ,也發(fā)散也發(fā)散 . ,1nnnsu 的的部部分分和和序序列列為為記記證證 ,1nnnv 的的部部分分和和序序列列為為 ,nnnnsvu 由由 .有上界有上界有上界有上界再由再由nns .)1(得得證證.,)1()2(亦真亦真的逆否命題的逆

12、否命題是是.,3,2, 1,.時時成成立立就就夠夠了了當(dāng)當(dāng)注注 kkknvunn, ),3,2,1(,11 nvuvunnnnnn且且為為正正項項級級數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)例例1. 討論討論 p -級數(shù)級數(shù) pppn131211(常數(shù)常數(shù) p 0)的斂散性的斂散性. 解解: 1) 假假設(shè)設(shè),1 p因為對一切因為對一切, Zn而調(diào)和級數(shù)而調(diào)和級數(shù) 11nn由比較審斂法可知由比較審斂法可知 p 級數(shù)級數(shù) 11npnn1 發(fā)散發(fā)散 .發(fā)散發(fā)散 ,pn1,1111比較比較與調(diào)和級數(shù)與調(diào)和級數(shù)級數(shù)級數(shù)讓讓 nnpnnp) )重要級數(shù)重要級數(shù)( (, 1p因為當(dāng)因為當(dāng)nxn 1,11ppxn 故故 nnppxnn1d1

13、1 nnpxx1d1 111)1(111ppnnp考慮大級數(shù)考慮大級數(shù) 1121)1(1ppnnn的部分和的部分和n 111)1(11ppnkkk n故大級數(shù)收斂故大級數(shù)收斂 , 由比較審斂法知由比較審斂法知 p -級數(shù)收斂級數(shù)收斂 .時時,1)1(11 pn 11111)1(113121211pppppnn12) 假假設(shè)設(shè)調(diào)和級數(shù)與調(diào)和級數(shù)與 p -級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù)級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).標準標準),(,(110pp收收斂斂發(fā)發(fā)散散:級數(shù)級數(shù) p,0的的速速度度較較快快收收斂斂級級數(shù)數(shù)的的通通項項 .,0級數(shù)可能發(fā)散級數(shù)可能發(fā)散的速度較慢的速度較慢通項通項pppnpnn131211

14、1154321uuuuupnnu1 通通項項證明級數(shù)證明級數(shù) 1)1(1nnn發(fā)散發(fā)散 .例例2.2)1()1( nnn證證1111nnn)(發(fā)散發(fā)散 111nn.)1(11發(fā)發(fā)散散 nnn) )比較審斂法比較審斂法( (定理定理3. (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式),1 nnu 1nnv,limlvunnn 設(shè)兩正項級數(shù)設(shè)兩正項級數(shù)滿足滿足則有則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng)當(dāng) l = 0 ,1收斂時收斂時且且 nnv;1也收斂也收斂 nnu(3) 當(dāng)當(dāng) l = ,1發(fā)散時發(fā)散時且且 nnv.1也發(fā)散也發(fā)散 nnu(1) 當(dāng)當(dāng) 0 l 0)的斂散性的

15、斂散性. 解解: 1) 假假設(shè)設(shè),1 p因為對一切因為對一切, Zn而調(diào)和級數(shù)而調(diào)和級數(shù) 11nn由比較審斂法可知由比較審斂法可知 p 級數(shù)級數(shù) 11npnn1 發(fā)散發(fā)散 .發(fā)散發(fā)散 ,pn1,1111比較比較與調(diào)和級數(shù)與調(diào)和級數(shù)級數(shù)級數(shù)讓讓 nnpnnp) )重要級數(shù)重要級數(shù)( (, 1p1111111112345671118915pppppppnpppn 11111111122444488pppppppp各項均不大于以下級數(shù)的各項1111111248ppp 1012npn, 由比較審斂法知由比較審斂法知 p 級數(shù)收斂級數(shù)收斂 .2) 假設(shè)1012npn收斂 發(fā)散發(fā)散時時當(dāng)當(dāng)收斂收斂時時當(dāng)當(dāng)

16、級數(shù)級數(shù),1,1ppP重要參考級數(shù)重要參考級數(shù): : 幾何級數(shù)幾何級數(shù), P-, P-級數(shù)級數(shù), , 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù). .證明級數(shù)證明級數(shù) 1)1(1nnn發(fā)散發(fā)散 .例例2.2)1()1( nnn證證1111nnn)(發(fā)散發(fā)散 111nn.)1(11發(fā)發(fā)散散 nnn) )比較審斂法比較審斂法( (定理定理3. (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式),1 nnu 1nnv,limlvunnn 設(shè)兩正項級數(shù)設(shè)兩正項級數(shù)滿足滿足則有則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng)當(dāng) l = 0 ,1收斂時收斂時且且 nnv;1也收斂也收斂 nnu(3) 當(dāng)當(dāng) l = ,1發(fā)散

17、時發(fā)散時且且 nnv.1也發(fā)散也發(fā)散 nnu(1) 當(dāng)當(dāng) 0 l 時時,特別取特別取,1pnnv 可得如下結(jié)論可得如下結(jié)論 :對正項級數(shù)對正項級數(shù), nu,1 p l0lunn limpn,1 p l0發(fā)發(fā)散散 nu收斂收斂 nu,nunv,limlvunnn是兩個正項級數(shù)是兩個正項級數(shù), (1) 當(dāng)當(dāng) 時時, l0兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng)當(dāng) 且且 收斂時收斂時,0 lnv(3) 當(dāng)當(dāng) 且且 發(fā)散時發(fā)散時, lnv也收斂也收斂 ;nu也發(fā)散也發(fā)散 .nu比如比如: 1)1(1nnn nlimn)1(1 nn發(fā)散發(fā)散! 142321nnn nlim43n4232

18、1nn 發(fā)散發(fā)散!1 1 的斂散性的斂散性. nnn1lim 例例3. 判別級數(shù)判別級數(shù) 11sinnn的斂散性的斂散性 .解解: nlim n1sinn11根據(jù)比較審斂法的極限形式知根據(jù)比較審斂法的極限形式知.1sin1發(fā)散發(fā)散 nn例例4. 判別級數(shù)判別級數(shù) 1211lnnn解解: nlim221limnnn 1 根據(jù)比較審斂法的極限形式知根據(jù)比較審斂法的極限形式知 .11ln12收收斂斂 nnnn1sin)1ln(21n 21n2n 211lnn 證明證明,為有限數(shù)時為有限數(shù)時當(dāng)當(dāng) , 0 對對,N ,時時當(dāng)當(dāng)Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即,1時時當(dāng)當(dāng) ,1時時當(dāng)當(dāng) ,

19、1 取取, 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收斂收斂而級數(shù)而級數(shù),11收收斂斂 NnnmmNuu收斂收斂, 1 取取, 1 r使使,時時當(dāng)當(dāng)Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu發(fā)散發(fā)散比值審斂法的優(yōu)點比值審斂法的優(yōu)點: 不必找參考級數(shù)不必找參考級數(shù). . 注意注意:1 1. .當(dāng)當(dāng)1 時時比比值值審審斂斂法法失失效效; ;,11發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)例例 nn,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn)1( 解解)1(111nnnnxunxun1nxn(),xn .0 x1 收斂故級數(shù)當(dāng)x1 發(fā)散111,nxn時為發(fā)散)2(22cos3

20、cos1223nnnnnn1.2nnn級數(shù)收斂,故由比較判別法知原級數(shù)收斂)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn ,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn.)12(211收收斂斂故故級級數(shù)數(shù) nnn ,nnuun注: 當(dāng)出現(xiàn)連乘運算時 尤其是階乘運算優(yōu)先考慮比值判別法;而當(dāng) 中都含有 次方時優(yōu)先考慮根值判別法,1 ,1 nnn設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)例例如如nnnnnu1 n1 )(0 n級數(shù)收斂級數(shù)收斂.四、小結(jié)正正 項項 級級 數(shù)數(shù)審審斂斂法法1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.

21、比值法比值法7.根值法根值法3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂若若SSn;, 0,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) nun思考題思考題 設(shè)設(shè)正正項項級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, , 能能否否推推得得 12nnu收收斂斂? ?反反之之是是否否成成立立? ?思考題解答思考題解答由由正正項項級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂，可可以以推推得得 12nnu收收斂斂,nnnuu2lim nnu lim0 由比較審斂法知由比較審斂法知 收斂收斂. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收斂收斂, 11nn發(fā)散發(fā)散.一、交錯級數(shù)及其審斂法一、交錯級數(shù)及其審斂法 二、絕對收斂與條件收斂二、絕對

22、收斂與條件收斂 第四節(jié)第四節(jié)任意項級數(shù)，絕對收斂任意項級數(shù)，絕對收斂 一、交錯級數(shù)及其審斂法 則各項符號正負相間的級數(shù)則各項符號正負相間的級數(shù) nnuuuu13211)(稱為交錯級數(shù)稱為交錯級數(shù) .定理定理6 . ( Leibnitz 判別法判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)則級數(shù); ),()2111 nuunn,lim)02 nnunnnu 111)(收斂收斂 , 且其和且其和 ,1uS 其余項滿足其余項滿足.1 nnur,210 nun設(shè)設(shè)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 證證: )()()(nnnuuuuuuS21243212 )()()(

23、1222543212 nnnuuuuuuuS1u 是單調(diào)遞增有界數(shù)列是單調(diào)遞增有界數(shù)列,nS212uSSnn lim又又)(limlim12212 nnnnnuSSnnS2 lim故級數(shù)收斂于故級數(shù)收斂于S, 且且,1uS :的余項的余項nS0nu2 nnSSr )( 21nnuu 21nnnuur1 nu故故S機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判別法判別下列級數(shù)的斂散性:nnn10) 1(104103102101)31432收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是

24、否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散收斂收斂機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、絕對收斂與條件收斂 定義定義: 對任意項級數(shù)對任意項級數(shù), 1nnu假假設(shè)設(shè) 1nnu收斂收斂 ,1nnu絕對收斂絕對收斂 ；則稱原級則稱原級 數(shù)數(shù)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 定理7. 絕對收斂的級數(shù)一定收斂 .反之未必成立證證: 設(shè)設(shè) 1nnunv),2,1(n根據(jù)比較審斂法根據(jù)比較審斂法顯然顯然,0 nv1nnv收斂收斂,收斂收斂 12nnvnnnuvu 2, 1nnu 1nnu也收斂也收斂)(nnuu 21且且nv,nu 收斂收斂 , 令令機動機

25、動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 1111nnn)(11111( 1),nnnnn發(fā)散為收斂為收斂 .但不絕對收斂但不絕對收斂例如例如 ：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 定義定義3 ：例7. 證明下列級數(shù)絕對收斂 :.)()(;sin)( 1214121nnnnennn 證證: (1),sin441nnn 而而 141nn收斂收斂 , 14nnn sin收斂收斂因而因而 14nnn sin絕對收斂絕對收斂 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 (2) 令令,nnenu2 nnnuu1lim limn121 nen)(nen

26、2211 nnenlim11 e因而因而 121nnnen)( 121nnnen)(收斂收斂,絕對收斂絕對收斂.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 .)()(;sin)( 1214121nnnnennn 例8. 判定下列級數(shù)的斂散性 :0010(1);(2).!(3).nnnnnnxxnnnx機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 3. 任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)為收斂級數(shù) 1nnu設(shè)設(shè)Leibniz判別法判別法:01 nnuu0 nnulim則交錯級數(shù)則交錯級數(shù)nnnu 11)(收斂收斂概念概念:,收斂收斂若若 1nnu 1nnu稱稱絕對收斂絕對收

27、斂,發(fā)散發(fā)散若若 1nnu條件收斂條件收斂 1nnu稱稱機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 二、無窮級數(shù)斂散性的判別程序二、無窮級數(shù)斂散性的判別程序已知級數(shù)已知級數(shù) 1nnu（*）0 nnulim否否（*）發(fā)散）發(fā)散(*)是正項級數(shù)否？是正項級數(shù)否？否否是是(*)交錯級交錯級數(shù)否？數(shù)否？否否(*)絕對級絕對級數(shù)否？數(shù)否？是是分析特點，確定方法分析特點，確定方法是是比值法比值法是是比較法比較法是是nnS lim存在否？存在否？其它方法其它方法是是萊布尼茲判別法萊布尼茲判別法1. ),(3210 nun設(shè)設(shè), 1limnnun且則級數(shù)則級數(shù) ).()(111111 nnuu

28、nn(A) 發(fā)散發(fā)散 ; (B) 絕對收斂絕對收斂;(C) 條件收斂條件收斂 ; (D) 收斂性根據(jù)條件不能確定收斂性根據(jù)條件不能確定.分析分析:,lim1 nunn由由,nun11知知 (B) 錯錯 ;)(2111uunS 又又)(3211uu C)(4311uu )(5411uu )()(11111 nnuun111111 nunu)(機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 完畢完畢 第五節(jié)第五節(jié) 冪冪 級級 數(shù)數(shù)一一 冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性二二 冪級數(shù)的運算及其性質(zhì)冪級數(shù)的運算及其性質(zhì)一、冪級數(shù)的收斂區(qū)間一、冪級數(shù)的收斂區(qū)間方法， 定義1 形式為2010200()()

29、()nnaa x xa x xa x x的級數(shù)，0()xx的冪級數(shù)，00()nnna x x其中01,naaa均為常數(shù) 稱為冪級數(shù)的系數(shù)。稱為簡記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 0 x時，0nnna x就成為一個常數(shù)級數(shù)。當(dāng) 具體實數(shù)值 冪級數(shù)x當(dāng)00 x 20120nnnnna xaax a xa x稱為 的冪級數(shù)時，將變?yōu)閤2.2.定義定義: :0000,.nnnnnna xxa x若發(fā)散 則稱 為級數(shù)的發(fā)散點0.nnna x 由全體收斂點構(gòu)成的集合稱為冪級數(shù)的收斂域如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點點收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個個數(shù)數(shù)軸軸上上都都

30、收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)Rx 時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時時,冪冪級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時時, ,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .結(jié)論：結(jié)論：定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R R稱為冪級數(shù)的收斂半徑稱為冪級數(shù)的收斂半徑. .冪級數(shù)的收斂域為下列一種冪級數(shù)的收斂域為下列一種., 0 R),RR ,(RR .,RR 規(guī)定規(guī)定, R問題問題如何求冪級數(shù)的收斂域如何求冪級數(shù)的收斂域?),(RR (1) 冪冪級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂,( (2 2

31、) ) 冪冪級級數(shù)數(shù)對對一一切切x都都收收斂斂, ,區(qū)間區(qū)間),(RR 稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.定定理理 2 2 如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)0 na,設(shè)設(shè) nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當(dāng)當(dāng)0 時時, 1R;(3) 當(dāng)當(dāng) 時時,0 R.(2) 當(dāng)當(dāng)0 時時, R;證明證明應(yīng)應(yīng)用用達達朗朗貝貝爾爾判判別別法法對對級級數(shù)數(shù) 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x 例例2 2 求下列冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域: :解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1時時當(dāng)當(dāng) x,1時

32、時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散;)1()1(1nxnnn 111(2)1;nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 1limnnnaa1, Rnnnaa1lim 11lim nn, 0 1,R 111(2)( 1);nnnx;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收斂收斂即即 x,)1 , 0(收斂收斂 x.)21(2)1()4(1nnnnxn ,0時時當(dāng)當(dāng) x,11 nn級數(shù)為級數(shù)為,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收

33、斂域為故收斂域為(0,1.解解 3523222xxx級級數(shù)數(shù)為為缺少偶次冪的項缺少偶次冪的項應(yīng)用比值判別法, 達朗貝爾判別法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級數(shù)收斂級數(shù)收斂, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時時即即 x, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時時即即 x級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,2時時當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為,2時時當(dāng)當(dāng) x,211 n級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂區(qū)間為原級數(shù)的收斂區(qū)間為).2, 2( 三、冪級數(shù)的運算1.1.代數(shù)運算性質(zhì)代數(shù)運算性質(zhì): : 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中12min,RR

34、R)nnnbac ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) 冪級數(shù)冪級數(shù)那那么么的收斂半徑的收斂半徑2.2.和函數(shù)的分析運算性質(zhì)和函數(shù)的分析運算性質(zhì): :(1) 冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(RR 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),在在端端點點收收斂斂,則則在在端端點點單單側(cè)側(cè)連連續(xù)續(xù).(2) 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可積內(nèi)可積,且對且對),(RRx 可逐項積分可逐項積分. xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收斂半徑不變

35、收斂半徑不變)(3) 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 并可逐項求導(dǎo)任意次并可逐項求導(dǎo)任意次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)例例 4 4 求求級級數(shù)數(shù) 11)1(nnnnx的的和和函函數(shù)數(shù).解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s顯顯然然兩邊積分得兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1時時又又 x.1)1(11收收斂斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()

36、0()(xsxs 即即例例 5 5 求求冪冪級級數(shù)數(shù) 0)12(nnxn的的和和函函數(shù)數(shù). 解解 0)12()(nnxnxs設(shè)設(shè) 002nnnnxnx,22110 nnnnnxxnx,)(11 nnnxxA設(shè)設(shè)dxxndxxAnxnx 1010)( 1nnx,1xx 1| x xxxA1)(,)1(12x ,)1(2220 xxnxnn 1|,110 xxxnn 0)12()(nnxnxs 2)1(2xxx 111|.)1(12 xxx例例 6 6 求求 12)1(nnnn的的和和. 解解,)1(1nnxnn 考考慮慮級級數(shù)數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(-1,1), 1)1()(nnxnnxs則則)(1

37、1 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 常用已知和函數(shù)的冪級數(shù);11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx );1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 四、小結(jié)2.冪級數(shù)的收斂性冪級數(shù)的收斂性:收斂半徑收斂半徑R3.冪級數(shù)的運算冪級數(shù)的運算:分析運算性質(zhì)分析運算性質(zhì)1.函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的概念:思考題思考題 冪級數(shù)逐項求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那冪級數(shù)逐項求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？么它的收斂域是

38、否也不變？思考題解答思考題解答不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它們的收斂半徑都是它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是但它們的收斂域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 一、一、 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間: :1 1、 )2(424222nxxxn；2 2、 nnxnxx125222222；3 3、 122212nnnxn；4 4、)0,0(1 babaxnnnn. .練練 習(xí)習(xí) 題題二二、 利利用用逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)或或逐逐項項積積分分, ,求求下下列列級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù): :1 1、 11n

39、nnx；2 2、 12531253nxxxxn. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、),( ； 2 2、21,21 ； 3 3、)2, 2( ； 4 4、),(cc , ,其中其中 0,max bac. .二、二、1 1、)11()1(12 xx； 2 2、)11(11ln21 xxx. .一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù)級數(shù) )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中其中)(xRn( 在在 x 與與 x0 之之間間)稱為拉格朗日余項稱為拉格朗日余項 .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf則在則在若函

40、數(shù)若函數(shù)0)(xxf在的某鄰域內(nèi)具有的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 此式稱為此式稱為 f (x) 的的 n 階泰勒公式階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有該鄰域內(nèi)有 :內(nèi)內(nèi)具具有有任任意意的的某某個個開開區(qū)區(qū)間間在在含含有有如如果果函函數(shù)數(shù)),()(0baxxf:Taylor)(,),(,級級數(shù)數(shù)的的可可作作成成內(nèi)內(nèi)時時在在則則當(dāng)當(dāng)階階的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xfbax.)(!)()()()()(nnxxnxfxxxfxfxf00000:)(Maclaurin)(,00麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù)的的則則作作成成取取xfx .!)(!)()()()()( nnxnfxfxffxf020002.Maclauri

41、n)(1級數(shù)級數(shù)的的作出作出例例xexf ,)()(xnexf 解解10 )()(nf),(3210n.!)(nxxxxexfnx32132?)(Taylor:1xf級級數(shù)數(shù)是是否否一一定定收收斂斂于于問問題題.不不一一定定.)()(級數(shù)的作出設(shè)例Maclaurin2xfxf00021xxex),(,)(.)(321000nfn可以算出解.)(2000 xxxf.)(,xf而不是收斂于此級數(shù)處處收斂于顯然0,)(:,級數(shù)可以形式地寫出它的由可見例由例Taylor21xf.)(xf級數(shù)不一定收斂于但此 Taylor內(nèi)內(nèi)級級數(shù)數(shù)在在的的),()(Taylor)(000RxRxxUxf :)(的的充

42、充要要條條件件是是收收斂斂于于xf01101nnnnnxxnfxR)()!()(lim)(lim)( 余項的極限余項的極限.)Taylor)()(0級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)能能展展成成在在稱稱xUxf定理定理1 .000)()(!)()(nnnxxnxfxf設(shè)設(shè). .證證 nnnnnxxnxfxs000)()(!)()(此此級級數(shù)數(shù)的的部部分分和和)()(xRxfn)(lim)()(limxRxfxsnnnn公公式式Taylor.0)(lim)()(lim xRxfxsnnnn所所以以#1 1. .設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù), ,則則有有2 2. .設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則有有

43、例例如如, , 當(dāng)當(dāng)x很很小小時時, , xex 1 , , xx )1ln( )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf )()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 一、問題的提出一、問題的提出 當(dāng)函數(shù)比較復(fù)雜時，為了便于研究，當(dāng)函數(shù)比較復(fù)雜時，為了便于研究，常用多項式來近似表達函數(shù)。常用多項式來近似表達函數(shù)。缺乏缺乏:希希望望尋尋找找一一個個多多項項式式函函數(shù)數(shù))(xP, ,使使得得用用)(xP近近似似)(xf能能夠夠滿滿足足精精度度要要求求， 同同時時對對誤誤差差可可以以進進行行估估計計。 1、精確度不高；、精確度不高； 2、誤差不能估計、誤差

44、不能估計.設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的的開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,)(xP為為多多項項式式函函數(shù)數(shù)nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤誤差差 )()()(xPxfxRnn 假假設(shè)設(shè) nkxfxPkkn, 2 , 1)()(0)(0)( ),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 二

45、、泰勒二、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰泰勒勒( (T Ta ay yl lo or r) )中中值值定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有 0 x的的某某個個開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則對對任任一一),(bax , ,有有 )()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其其中中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 是 0 x與與 x之之間間的的某某個個值值) ). . 證明證明: : 由由假假設(shè)設(shè), ,)(xRn在在),(ba內(nèi)內(nèi)

46、具具有有直直到到)1( n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且兩兩函函數(shù)數(shù))(xRn及及10)( nxx在在以以0 x及及 x為為端端點點的的區(qū)區(qū)間間上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條件件, ,得得 )()(1()(01011之間之間與與在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn如如此此下下去去, ,經(jīng)經(jīng)過過)1( n次次后后, ,得得 兩函數(shù)兩函數(shù))(xRn 及及nxxn)(1(0 在以在以0 x及及1 為端點為端點的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件, ,得得0)(1()

47、()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn ( (之之間間與與在在nx 0, ,也在也在0 x與與 x之間之間) ) )()(1()(1021022之之間間與與在在 xxnnRnn nkkknxxkxfxP000)()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 次次近近似似多多項項式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()( 稱為稱為)(xf按按)(0 xx 的冪展開的的冪展開的帶有拉格朗日余帶有拉格朗日余項的項的 n n 階泰勒公式階泰勒公式 )()(!1)()(010)1(

48、之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 則由上式得則由上式得, 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 拉格朗日型余項拉格朗日型余項 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 佩亞諾型余項佩亞諾型余項0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()

49、(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式例例 1 1 求求xexf )(的的n階階麥麥克克勞勞林林公公式式. .解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注注意意到到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估計誤差估計誤差)0( x設(shè)設(shè)!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其誤差其誤差)!1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR 常

50、用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(!5!3sin121253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx )(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 例例 2 2 計算計算 xxxxx30sincossinlim . . 解解)(! 31sin33xoxxx )(! 2cos33xoxxxx )(31cossin33xoxxxx 3330)(31limxxoxx 原式原式.31 第七節(jié)第七節(jié)和函數(shù)

51、和函數(shù))(xSnnnxa 0冪級數(shù)冪級數(shù)求求 和和展展 開開函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù) nnnnnxaxaxaxaaxf 02210)(? na二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 1. 直接展開法直接展開法:)(下下展開成冪級數(shù)的步驟如展開成冪級數(shù)的步驟如函數(shù)函數(shù)xf展開方法展開方法直接展開法直接展開法 利用泰勒公式利用泰勒公式間接展開法間接展開法 利用已知級數(shù)展開式利用已知級數(shù)展開式的函數(shù)展開的函數(shù)展開)(),(),()1(xfxfxf 求求),(),(),()2(000 xfxfxf 算算 200000)(!2)()()()3(xxxfxxxfxf作作級級數(shù)數(shù).并求級數(shù)的收斂區(qū)間并求級數(shù)的收斂區(qū)間. )(,0)()4(xfxRn則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于若若例例3. 將函數(shù)將函數(shù)xexf )(展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù). 解解: 1其收斂半徑為其收斂半徑為 對任何有限數(shù)對任何有限數(shù) x ,