1.2多元函數(shù)的基本概念.ppt課件

1、一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性四、小結四、小結 第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 設設),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一個個點點， 是是某某一一正正數(shù)數(shù)，與與點點),(000yxP距距離離小小于于 的的點點),(yxP的的全全體體，稱稱為為點點0P的的 鄰鄰域域，記記為為),(0 PU，（1鄰域鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念 ),(00 PU |00PPP .)()(0| ),(2020 yyxx

2、yx（2區(qū)域區(qū)域.)(的的內內點點為為則則稱稱，的的某某一一鄰鄰域域一一個個點點如如果果存存在在點點是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一個個點點集集，設設EPEPUPPE .EE 的的內內點點屬屬于于EP .為為開開集集則則稱稱的的點點都都是是內內點點，如如果果點點集集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開集即為開集的的邊邊界界點點為為），則則稱稱可可以以不不屬屬于于，也也本本身身可可以以屬屬于于的的點點（點點也也有有不不屬屬于于的的點點，于于的的任任一一個個鄰鄰域域內內既既有有屬屬如如果果點點EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 EE是連

3、通的是連通的開集開集，則稱，則稱且該折線上的點都屬于且該折線上的點都屬于連結起來，連結起來，任何兩點，都可用折線任何兩點，都可用折線內內是開集如果對于是開集如果對于設設DDDD 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，則稱為無界點集為有界點集，否成立，則稱對一切即，不超過間的距離與原點，使一切點如果存在正數(shù)對于點集EEPKOPKOPOEPKE

4、41| ),(22 yxyx（3聚點聚點 設設 E是是平平面面上上的的一一個個點點集集，P 是是平平面面上上的的一一個個點點，如如果果點點 P 的的任任何何一一個個去去心心鄰鄰域域內內總總有有無無限限多多個個點點屬屬于于點點集集 E，則則稱稱 P 為為 E 的的聚聚點點. 1. 內點是聚點；內點是聚點；2. 邊界點是聚點；邊界點是聚點；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是邊界點也是聚點既是邊界點也是聚點3. 點集點集E的聚點可以屬于的聚點可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合是聚點但不屬于集合1| ),(22 yx

5、yx例如例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合邊界上的點都是聚點也都屬于集合（4n維空間維空間 設設n為取定的一個自然數(shù)，我們稱為取定的一個自然數(shù)，我們稱n元數(shù)組元數(shù)組),(21nxxx的全體為的全體為n維空間，而每個維空間，而每個n元數(shù)元數(shù)組組),(21nxxx稱為稱為n維空間中的一個點，數(shù)維空間中的一個點，數(shù)ix稱為該點的第稱為該點的第i個坐標個坐標.1. n維空間的記號為維空間的記號為;nR2. n維空間中兩點間距離公式維空間中兩點間距離公式 ),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 3. n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念

6、 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地當特殊地當 時，便為數(shù)軸、平面、時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離空間兩點間的距離3, 2, 1 n內點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義內點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義鄰域：鄰域：設兩點為設兩點為 設設D是是平平面面上上的的一一個個點點集集，如如果果對對于于每每個個點點DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對對應應，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. .（5二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義當當2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為

7、為多多元元函函數(shù)數(shù). 多多元元函函數(shù)數(shù)中中同同樣樣有有定定義義域域、值值域域、自自變變量量、因因變變量量等等概概念念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD 例：求下列函數(shù)的定義域例：求下列函數(shù)的定義域)1ln(),(122yxyxf）（ 1yx)y, x(0yx1)y, x()f (D2222 -有界開區(qū)域有界開區(qū)域3arcsin2arcsin),()2(yxyxf 3y, 2x)y

8、, x()f (D -有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域)ln(),()3(yxyxf 0yx)y, x()f (D -無界開區(qū)域無界開區(qū)域1)ln()4(22yxxyxyz 1yx, 0 xy, xy)y, x()f (D22 例：例：),(1, 0),(22yxfyxyxxyyxf），則（若22( , )(1,)xf x yfxyxy若，則)(,0),(2xfxzyyxfyxz則時當若（6） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設設函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域為為D，對對于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，對對應應的的函函數(shù)數(shù)值值為為),(yxfz ，這這樣樣，以以x為為橫橫

9、坐坐標標、y為為縱縱坐坐標標、z為為豎豎坐坐標標在在空空間間就就確確定定一一點點),(zyxM，當當x取取遍遍D上上一一切切點點時時，得得一一個個空空間間點點集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這這個個點點集集稱稱為為二二元元函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.（如下頁圖）（如下頁圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:定定義義 1 1 設設函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域為為),(,00

10、0yxPD是是其其聚聚點點，如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ，總總存存在在正正數(shù)數(shù) ，使使得得對對于于適適合合不不等等式式 20200)()(|0yyxxPP的的一一切切點點，都都有有 |),(|Ayxf成成立立， 則則稱稱 A A 為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 當當),(),(000yxpyxp趨趨于于時時的的極極限限， 記記為為 Ayxfyxyx ),(lim),(),(00 （或或)0(),( Ayxf這這里里|0PP ）. 二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限說明：說明：（1定義中定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也

11、叫二重極限（3二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim2222)0,0(),( yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當當 時，時， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結論成立原結論成立例例3 3 求極求極限限 .)sin(lim222)0,0(),(yxyxyx 解解222)0, 0(),()sin(limyxyxyx ,)sin(lim22222)0, 0(),(yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx22)0, 0(),()sin(l

12、imuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim222)0, 0(),( yxyxyxyxu2 例：求下列極限xxysinlim)2(yx1lim) 1 ()2 , 0()y , x(22)0 , 0()y , x( 222)0,0()y,x(yxxy1sinxylim)3( ,xy2yx)3(22 法法一一：xy1sinyxxy0222 法法二二：21xy2xyxy1sinyxxy22 0,y原原式式為為無無窮窮小小量量0y21xy2xy2 0原式原式初等函數(shù)初等函數(shù),極限值為函數(shù)值極限值為函數(shù)值等價無窮小替換等價無窮小替換有界變量乘無窮小量有界變量

13、乘無窮小量夾限定理夾限定理例例4 4 證明證明 不存不存在在 證證263)0,0(),(limyxyxyx 取取,3kxy 263)0,0(),(limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在確定極限不存在的方法: 找兩種不同趨近方式,使二重極限存在,但兩者不相等; 令p(x,y)沿某一定曲線趨向于 時,極限不存在.),(000yxp222222222, xyxyx yxyxyx y(x,y) (0,0)(x,y) (0,0)(x,y) (0,0)求lim，證明：limlim不存在。定義定義 2 2

14、設設n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域為點集的定義域為點集0, PD是其聚點，如果對于任意給定的正數(shù)是其聚點，如果對于任意給定的正數(shù) ，總 存 在 正 數(shù)總 存 在 正 數(shù) ， 使 得 對 于 適 合 不 等 式， 使 得 對 于 適 合 不 等 式 |00PP的 一 切 點的 一 切 點DP ， 都 有， 都 有 |)(|APf成立，則稱成立，則稱 A A 為為n元函數(shù)元函數(shù))(Pf當當0PP 時的極限，記為時的極限，記為 APfPP )(lim0. .n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限利用點函數(shù)的形式有利用點函數(shù)的形式有 設設n元元函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域為為點點集集0, PD是是其其聚聚點點

15、且且DP 0，如如果果)()(lim00PfPfPP 則則稱稱n元元函函數(shù)數(shù))(Pf在在點點0P處處連連續(xù)續(xù). . 設設0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點點，如如果果)(Pf在在點點0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點點.三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 3例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函

16、數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2介值定理介值定理（3有界定理有界定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)必定上的多元連續(xù)函數(shù)必定有界

17、有界多元初等函數(shù)：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過有多元初等函數(shù)：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域例例6 6.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處處連連續(xù)續(xù)，于于是是點點在在的的定定義義域域的的內內點點，則則是是數(shù)數(shù)，且且是是初初等等函函時時，如如果果一一般般地地，求求多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質（注意趨近方式的任意性）（注意趨近方式的任意性）四、小