第六章-數理統(tǒng)計的基本概念

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第六章 數理統(tǒng)計的基本概念§6.1基本概念§6.2樣本數字特征一、填空題1. 若為來自總體的容量為的樣本，則樣本均值= ，樣本方差= ；解：抽樣分布定義：= ，樣本方差= ；2設總體, 是的簡單隨機樣本，則的概率密度 ；解：因為，所以.3某種燈泡的壽命服從參數為的指數分布，是取自總體的簡單隨機樣本，則的聯(lián)合密度函數為 ；解： 因為服從參數為的指數分布，其密度函數為，所以的聯(lián)合密度函數為4設總體，為取自總體的一個樣本，為樣本均值，要使成立，則樣本容量至少應取多大 ；解：由題設：，利用公式：， .5設是來自總體的隨機樣本，為常數，且，則隨機區(qū)間的長度的

2、數學期望為 。解：長度為，所以 .二、選擇題1. 設，為的樣本，則（C）（A）； （B）； （C）； （D）. 2設是總體的樣本，則有（D）（A）； （B）； （C）； （D）以上三種都不對.3設總體, 是的樣本，則（B）（A）； （B）； （C）； （D）.4設總體, 其中已知, 是的樣本，則不是統(tǒng)計量的是（C）（A）； （B）； （C）； （D）.5設隨機變量服從正態(tài)分布，對給定的，數滿足，若，則等于（C） （A）； （B）； （C）； （D）.解：考查正態(tài)分布百分位點概念.由題設 ，可得 .故答案取C.6設是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，與分別是樣本均值與樣本方差，則（C）（A）； （B）

3、； （C）； （D）.解：考查樣本數字特征.因為 ，可得 ，故答案取C.三、 計算題1 設有下列樣本值：0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512求和。解： ；。2設是的樣本均值，是的樣本均值，求證。證明：由于 ， 所以。3從一批零件中隨機地抽取10件，記錄其抗壓強度數據為：48，70，51，51，70，68，73，68，51，73，求出關于該樣本的樣本分布函數。解； 由題意列表：子樣4851687073頻率3/102/10因此可得樣本分布函數 4設某商店100天銷售電視機的情況有如下統(tǒng)計資料：日售出臺數23456合計天數2030

4、102515100求樣本容量，樣本均值，樣本方差，經驗分布函數。解：設是第天售出的臺數，所以樣本容量；樣本均值 ；樣本方差 ；經驗分布函數 5. 設是取自正態(tài)總體中的一個大小為4的樣本，其中已知，但未知，指出下面隨機變量中哪些是統(tǒng)計量？（1）；（2）； （3）；（4）； （5）； （6） . 其中.解： 由定義知：（1），（3），（4），（5）是統(tǒng)計量；而（2），（6）中的隨機變量因含有未知的，故不是統(tǒng)計量。6. 是取自正態(tài)總體中的一個樣本，.求的聯(lián)合密度函數。解： 因為 都服從正態(tài)分布，所以都是正態(tài)隨機變量的線性組合，故都是正態(tài)隨機變量，且互相獨立.又 .所以，所以，的聯(lián)合密度為.故我們得到

5、的聯(lián)合密度函數如下： 。7從正態(tài)總體中抽取容量為的一個樣本， 如果要求樣本均值位于區(qū)間內的概率不小于0.95, 問樣本容量至少應取多大?解：由于 ， 所以有： ，所以樣本容量至少應取35。8設有一枚均勻的硬幣，以表示拋一次硬幣正面向上的次數，試問要拋多少次才能使樣本均值落在0.4，0.6內的概率不小于0.9？解：，在較大時，可以近似認為， 則按要求：， 即要求：，查正態(tài)分布表，即至少應拋68次。9當隨機變量獨立同分布且為正時, 試證: .證明：考察隨機變量，由題設同分布，所以也同分布，因之具有相同的數學期望.故 ， 又 ，所以 ， 即 ，可知有 ，即 .10設，其中均為未知，從總體中抽取簡單隨

6、機樣本，樣本均值為，求統(tǒng)計量的數學期望。解：易知相互獨立，且都服從正態(tài)分布，因此可將其視為取自總體的容量為的簡單隨機樣本，其樣本方差為，因為樣本方差是總體方差的無偏估計，即，故。11設為來自的簡單隨機樣本，為樣本均值，記；求 (1) 的方差； (2) 。解：(1) 因為 ，所以 ，所以 ；(2) 注意到的獨立性，有 所以有。§6.3正態(tài)總體的抽樣分布一、填空題1. 設總體，樣本容量為，則 分布， 分布；解：抽樣分布定義：， .2設是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，則當時，統(tǒng)計量服從分布，其自由度為 ；解：因為：所以有： ，從而 ，即 ，自由度為2.3. 設隨機變量和相互獨立, 且都服從正

7、態(tài)分布，而和分別來自和的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量服從 分布，參數為 ；解：因為 ，而 ， 所以 ，即服從參數為9的t分布.4. 設總體服從正態(tài)分布，是來自總體的簡單樣本，則統(tǒng)計量服從 分布，參數為 ；解：因為 ，所以 ，即服從參數為(10,5)的F分布.5. 是來自總體的簡單隨機樣本， 分別為樣本均值及樣本方差， ，則 ；解：因為 ，故對，所以由 ，查分布表，可得百分位點.6從正態(tài)總體中抽取一容量為16的樣本，為樣本方差，則 ；解：因為 ，注意分布的方差：，所以有 .7隨機變量服從自由度為的F分布，則隨機變量，服從 分布，參數為 。解： 因為服從自由度為的F分布，即存在 ，且獨立，；而 ，故服從

8、自由度為的F分布.二、選擇題1. 設為來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，與分別是樣本均值與樣本方差，則下列表達式正確的是 ( D )（A）； （B）； （C）； （D）.2設為來自正態(tài)總體容量為的簡單隨機樣本，是樣本均值，記，則服從自由度為的分布的隨機變量是（B）（A）； （B）； （C）； （D）.解：注意分布的定義：，看哪一個適合，故答案?。˙）.3設為來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，與分別是樣本均值與樣本方差，則（D）（A）； （B）； （C）；（D）.解：因為，所以 ， ，而 ，所以有：.故答案?。―）.4樣本取自標準正態(tài)分布總體, 分別為樣本均值及樣本標準差, 則(C)（A）； （B）； （C

9、）； （D）.解：此題復習各種統(tǒng)計量的形式，注意，所以；而，所以 ； ； 故正確答案是(C)，分布的定義.5. 設和是分別來自總體和的樣本，且相互獨立, 則服從的分布是（C）（A）； （B）； （C）； （D）.6設隨機變量和都服從標準正態(tài)分布，則（C）（A）服從正態(tài)分布； （B）服從分布； （C）和都服從分布； （D）服從分布.解：，同理，所以和都服從分布，（C）成立.如果附加和獨立的條件，則（A）（B）（C）（D）均成立.7. 設隨機變量, 則（C）（A）； （B）； （C）； （D）.解：由分布定義：，且，所以 ，其中 ，故 ，故答案?。–）.三、 計算題1. （1）求等式中的；（2）求等式 中的。解：（1）對于，由附表（分布表）可查得：；（2）對于，應用下面的公式：， 以及（1）的結果可得：。2設是來自總體的一個樣本，證明：，。證明： 因為 ，則 ，所以 ， 。3假設是來自總體的簡單隨機樣本，已知.證明當充分大時，隨機變量近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數。證明：依題意，獨立同分布，因而也獨立同分布且有，根據列維-林德伯格中心極限定理，隨機變量，所以當充分大時，隨機變量也近似服從正態(tài)分布，其分布參數分別為：。4. 設總體，是取自總體的一個樣本，求。解： 因為 ， 則 ，所以 。5設是取