線性系統(tǒng)課件第一章

1、第一節(jié) 狀態(tài)空間描述 第二節(jié) 兩種描述之間的相互轉(zhuǎn)化第三節(jié) 用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換 第四節(jié) 狀態(tài)方程的規(guī)范型 第五節(jié) 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述一一 系統(tǒng)描述系統(tǒng)描述二二 線性化線性化三狀態(tài)空間描述和輸入輸出描述的比較三狀態(tài)空間描述和輸入輸出描述的比較ubububyayayaymmnnn0) 1 (1)(0) 1 (1) 1(1)(.011101.)(asasasbsbsbsGnnnmm例如：線性的常系數(shù)單輸入單輸出系統(tǒng) 狀態(tài)方程 ),.,.,(.),.,.,(12112111tuuxxxfxtuuxxxfxmnnnmn問(wèn)題：?jiǎn)栴}：1 什么是狀態(tài)？什么是狀態(tài)？2 狀態(tài)是否唯一？狀態(tài)是否唯一

2、？),.,.,(.),.,.,(12112111tuuxxxfytuuxxxfymnnpmn輸出方程),(),()( ),),(),() 1(kkukxgkykkukxfkx線性系統(tǒng) utDxtCyutBxtAx)()()()( 非線性系統(tǒng)：),(),(utxgyutxfx 轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)：utDxtCyutBxtAx)()()()(在某個(gè)初始點(diǎn)（x0，u0）的領(lǐng)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)),(),(00000utxgyutxfx),( ),(),(),( ),(),(),(),(00),(),(0000000000utxuugxxgutxgutxgutxuufxxfutxfutxfuxTuxTuxTuxT0

3、0,uuuxxx將f和g在（x0，u0）的鄰域內(nèi)進(jìn)行泰勒展開(kāi)其中)( ),( ),( ),(),(),(),(),(1111),(0000000000tDugtCxgtBuftAxfxfxfxfxfuxTuxTuxTuxnnnnuxT定義：在（x0，u0）的鄰域內(nèi)進(jìn)行線性化：utDxtCutxgutxgyutBxtAutxfutxfx)()(),(),()()(),(),(0000通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，從而來(lái)比較狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)之間的優(yōu)缺點(diǎn)。 11)(ssH極點(diǎn)為1，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的Case 1: Case 1: 在H（s）前面串聯(lián)一個(gè)補(bǔ)償器 11)(sssHc111

4、111)()(sssssHsHc得：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：理論上，零極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)穩(wěn)定實(shí)際中，系統(tǒng)往往會(huì)出現(xiàn)失效或達(dá)到飽和從狀態(tài)空間的角度分析上述實(shí)現(xiàn)中主要變量的演變過(guò)程 系統(tǒng)狀態(tài)方程為21222112xyvxxuxxvxx求解可得： )( 5 . 0) ( ,2) (10202101vexeexetxyvexetxtttttt為卷積運(yùn)算Case 2: Case 2: 在H（s）后面串聯(lián)一個(gè)補(bǔ)償器 11)(sssHc111111)()(sssssHsHc得：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖:狀態(tài)方程為：12122112xxyxxxvxxvexxexxyveexeexetxvexetxttttttttt)( )()()( ,)

5、(20102110202101為卷積運(yùn)算求解得：結(jié)論：結(jié)論：系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的內(nèi)部特征要遠(yuǎn)比其外部特性所表明的內(nèi)容復(fù)雜的多。內(nèi)部特性完全取決于沒(méi)有外加激勵(lì)時(shí)的系統(tǒng)固有頻率，而并不是所有的振型在傳遞函數(shù)中都有所體現(xiàn)，或者，換句話講就是由于傳遞函數(shù)在初始條件為零的情況下定義的，所以它不能完全顯示出系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行時(shí)的全部振型。所以單純采用傳遞函數(shù)方法進(jìn)行系統(tǒng)分析，得出的結(jié)論是片面的甚至是錯(cuò)誤的。第二節(jié)第二節(jié) 兩種描述之間的相互轉(zhuǎn)化兩種描述之間的相互轉(zhuǎn)化目的目的：就在于揭示狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述之間的關(guān)系，以便對(duì)兩者有更具體和更直觀的了解，同時(shí)也有助于了解狀態(tài)空間方法和其他線性系統(tǒng)理論方法之間的相互滲透和

6、交叉應(yīng)用。 I/O描述狀態(tài)空間描述 狀態(tài)空間描述傳遞函數(shù)陣一一 I/O描述描述狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述僅限于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)（1） ububyayaymmnnn0)(0) 1(1)(.注意：注意：狀態(tài)變量選取的不同，那么得到的狀態(tài)空間描述也是不同的 引入微分算子 dtdp/(2) .011101uapapapbpbpbynnnmm，則系統(tǒng)（1）可以寫(xiě)成ububyayaymmnnn0)(0) 1(1)(. .010111ubpubupbyapyaypaypmmnnn則（2）式可以改成(3) .0) 1 (1)(0) 1 (1) 1(1)(ybybybyuyayayaymmnnn引入中間變

7、量：uapapapynnn0111.1(2) .011101uapapapbpbpbynnnmm選取狀態(tài)) 1() 1 (21,nnyxyxyx可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述： xbbyuxaaaxmn0,100100000100110 首先將（2）中的有理分式嚴(yán)格真化：uapapapabbpabbpabbbynnnnnnnnnn01110011111.)()(.)(按照上面的算法可以轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式，狀態(tài)方程是一樣的，唯一不同的是輸出方程比原來(lái)多了D u(t)一項(xiàng) ubxabbabbyuxaaaxnnnnnn1100110,10010000010狀態(tài)方程為：算法二： 輸入輸出關(guān)系可以表示為取狀

8、態(tài)變量 ubyayayaynnn00) 1 (1) 1(1)(.) 1() 1 (21,nnyxyxyxxyubxaaaxn001,00100000100110狀態(tài)方程為： 系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系如下：取狀態(tài)變量 ubububyayayaynnnnn0) 1 (1)(0) 1 (1) 1(1)(.uuuyxuuyxuyxnnnnn1)2(1) 1(0) 1(1) 1 (0) 1 (201 可構(gòu)造如下：110,n00112211002112201110aaaabaababbnnnnnnnnnnn待定系數(shù)狀態(tài)方程為：uxyuxaaaxnnn011110001,10000010問(wèn)題：不同的狀態(tài)選取，得到的

9、不同狀態(tài)方程表達(dá)，之間關(guān)系如何？代數(shù)等價(jià)：代數(shù)等價(jià)： 給定一線性定常系統(tǒng)),(DCBA,Pxx DuxCPuDxCyPBuxPAPuBxAx11如果可以引入一非奇異變換其中P是非奇異矩陣，經(jīng)變換后系統(tǒng)寫(xiě)為：那么就稱這兩個(gè)狀態(tài)空間描述是代數(shù)等價(jià)的。二二. 狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣多輸入多輸出系統(tǒng)多輸入多輸出系統(tǒng)：輸入變量是一組U1, Um，輸出變量是一組Y1,Ym，可以用gij（s）來(lái)表示每個(gè)輸入U(xiǎn)i對(duì)每個(gè)輸出Yi存在的影響，系統(tǒng)的每個(gè)輸出都是由m個(gè)輸入同時(shí)作用得到的。寫(xiě)出輸入輸出之間的關(guān)系如下：1111)( usgy 212)( usgmmusg)(111)( usgypp

10、22)( usgpmpmusg)(usGuusgsgsgsgsgsgyympmppmp)()()()()()()(121112111多輸入多輸出系統(tǒng)多輸入多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以寫(xiě)為是真的非零常陣是嚴(yán)格真的零陣)( )(lim)( )(limsGsGsGsGss欲保證系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，通常要求在G（s）中的每個(gè)元都是真或嚴(yán)格真有理分式，就稱傳遞函數(shù)陣是真或嚴(yán)格真的。 定理定理1：給定系統(tǒng)),(DCBA那么該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為初始條件x(0)=0，DBAsICsG1)()(實(shí)用算式： 定理定理2：給定系統(tǒng)),(DCBA,可以求出 CBaBCAaBCAECBaBCAaBCAECBaCABEC

11、BEasasassnnnnnnnnnnnn12110231211210111)(則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為DEsEsEsEssGnnnn)(1)(012211萊弗勒算法：萊弗勒算法： 特征多項(xiàng)式系數(shù)ai(i=0,1,n-1)可以按如下的順序遞推地來(lái)確定： nARaIaARRnARaIaARRARaIaARRARaIaARRARaIRnnnnnnnnnnnnn10110212213322322112111tr ,1tr ,3tr ,2tr ,1tr , DBASICDBPPAPPSIPPCDPBPAPSICPsGDBASICsG11111111)()()()()()(傳遞函數(shù)分別為：結(jié)論：所有代數(shù)等價(jià)

12、的狀態(tài)空間描述均具有相同的輸入輸出關(guān)系 編程作業(yè)編程作業(yè)1：根據(jù)定理2和萊弗勒算法，采用MATLAB編寫(xiě)從狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)陣的程序，并對(duì)以下系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證：xyuxx211130121130020002注意：程序的通用性，任意階次系統(tǒng)均可檢驗(yàn)注意：程序的通用性，任意階次系統(tǒng)均可檢驗(yàn)l編程作業(yè)2:將I/O 描述轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間描述的兩種算法編程實(shí)現(xiàn),并驗(yàn)證輸入微分方程的系數(shù)(a,b),輸出為能控標(biāo)準(zhǔn)形或能觀標(biāo)準(zhǔn)形(A,B,C,D)注意：程序的通用性，任意階次系統(tǒng)均可檢驗(yàn)注意：程序的通用性，任意階次系統(tǒng)均可檢驗(yàn)首先介紹幾個(gè)MATLAB函數(shù)： 1A,B,C,D=tf2ss(num,den)tf

13、2ss就是將傳遞函數(shù)陣轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間描述，num代表傳遞函數(shù)陣的分子多項(xiàng)式系數(shù)，den為傳函陣的分母多項(xiàng)式系數(shù)。2num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)ss2tf就是將狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)陣。對(duì)于多輸入系統(tǒng)，必須具體化iu，例如系統(tǒng)有3個(gè)輸入，則iu必為1，2，3中的一個(gè)，其中1表示u1，2表示u2，3表示u3。如果為單輸入系統(tǒng)，那么iu可以省略，也可以寫(xiě)成1。 1605614)164)(10()()()(232sssssssssUsYsGMATLAB Program 1-1 % enter the numerator and the denominatornum=0 0 1

14、 0; den=1 14 56 160; % another expression of the denominator% conv(a,b) means a multiply b % den1=1 10;den2=1 4 16;% den=conv(den1,den2); A,B,C,D=tf2ss(num,den)A = -14 -56 -160 1 0 0 0 1 0B = 1 0 0C = 0 1 0D = 0例2 求下列狀態(tài)空間方程所定義的系統(tǒng)傳遞函數(shù)xyuxxxx0011212503 . 4255100010321MATLAB Program 1-2 %enter system m

15、atrices A,B,C,D A=0 1 0; 0 0 1;-5 25 4.3;B=0;25;-121;C=1 0 0;D=0;%obtain transfer function, here iu=1 can be ignorednum,den=ss2tf(A,B,C,D,1);sys=tf(num,den) 顯示結(jié)果如下：Transfer function:1.776e-015 s2 + 25 s - 13.5- s3 + 4.3 s2 + 25 s + 5例3 考慮多輸入多輸出系統(tǒng)：21212121212100001001101142510uuxxyyuuxxxxMATLAB Progr

16、am 1-3 %enter system matrices A,B,C,DA=0 1;-25 4;B=1 1;0 1;C=1 0; 0 1;D=0 0;0 0;%obtain transfer function from u1 to y1 and y2num1,den1=ss2tf(A,B,C,D,1)%obtain transfer function from u2 to y1 and y2num2,den2=ss2tf(A,B,C,D,2)num1 = 0 1 4 0 0 -25den1 = 1 4 25 num2 = 0 1.0000 5.0000 0 1.0000 -25.0000de

17、n2 = 1 4 25 以下就是4個(gè)傳遞函數(shù)的MATLAB表達(dá)式： 25425)()( 2545)()(25425)()( 2544)()(222221212211ssssUsYssssUsYsssUsYssssUsY本節(jié)針對(duì)線性定常系統(tǒng)。由代數(shù)等價(jià)概念可知無(wú)論是在何種坐標(biāo)下，系統(tǒng)的內(nèi)在特性是不發(fā)生改變的。而系數(shù)矩陣A的特征值是表征系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要參量，所以可以通過(guò)適當(dāng)?shù)木€性非奇異變換把系統(tǒng)狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化成由特征值表征的規(guī)范型。特征值兩兩相異，系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為對(duì)角線規(guī)范型特征值兩兩相異，系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為對(duì)角線規(guī)范型特征值非互異，系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為約當(dāng)規(guī)范型特征值非互異，系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為約當(dāng)規(guī)范型一對(duì)角線規(guī)范型：一

18、對(duì)角線規(guī)范型： 如果矩陣A的n個(gè)特征值是兩兩相異的，那么任取n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,1nxPx1由這些線性無(wú)關(guān)的特征向量構(gòu)成非奇異變換矩陣則采用坐標(biāo)變換系統(tǒng)就可以轉(zhuǎn)化為對(duì)角線規(guī)范型： nP 1 uxBuPxAPPuBxAxn000000111注意：在對(duì)角線規(guī)范型下，各個(gè)狀態(tài)變量之間實(shí)現(xiàn)了完全解耦特例：如果系統(tǒng)矩陣A為友矩陣(companion matrix)，且特征值為兩兩不等，即 11010000000010naaaA那么可以直接構(gòu)造非奇異變換矩陣 111111nnnnP 經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換系統(tǒng)就可以轉(zhuǎn)化為對(duì)角線規(guī)范型。例如，考慮下列矩陣A：6116100010A特征方程為：0) 3)(2)(1(

19、611661161001|23AIA的特征值為1、2和3,則可直接構(gòu)造非奇異變換矩陣 5 . 05 . 111435 . 05 . 23,9413211111PP在坐標(biāo)變換 作用下，系統(tǒng)就可以轉(zhuǎn)化為對(duì)角線規(guī)范型：xPPPA二約當(dāng)規(guī)范型：二約當(dāng)規(guī)范型：如果系統(tǒng)矩陣A的特征根是非互異的，那么必定存在一非奇異矩陣P，通過(guò)坐標(biāo)變換，使系統(tǒng)在新的坐標(biāo)下表示為約當(dāng)規(guī)范型：uxJJBuPxAPPuBxAxl000000111個(gè)個(gè)約約當(dāng)當(dāng)塊塊組組成成約約當(dāng)當(dāng)塊塊組組成成，也也可可由由多多這這樣樣一一個(gè)個(gè)的的約約當(dāng)當(dāng)塊塊，它它可可以以是是由由是是相相應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值其其中中iJi

20、ii 0101當(dāng)特征根出現(xiàn)重根時(shí)，一般不能通過(guò)坐標(biāo)變換來(lái)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)間的完全解耦，約當(dāng)規(guī)范型時(shí)可能達(dá)到的最簡(jiǎn)耦合形式。特征根i的代數(shù)重?cái)?shù)i與幾何重?cái)?shù)i：幾何重?cái)?shù)i為針對(duì)該特征根的約當(dāng)小塊個(gè)數(shù)，代數(shù)重?cái)?shù)i為所有約當(dāng)小塊階次之和，即特征根的重?cái)?shù)矩陣A，存在某個(gè)重根i，稱一非零向量vi是矩陣A屬于該特征根的k級(jí)廣義特征向量，當(dāng)且僅當(dāng)：利用廣義特征向量就可以將矩陣A變換為約當(dāng)規(guī)范型1()0()0kiikiiAIvAIv選取變換矩陣：利用變換矩陣 ，就可以得到約當(dāng)規(guī)范型。irnrikniiiinnlklivvvQQQQQQQQikikikikikii,.,1,.,1;)()2()1(2111xQx第五節(jié)第五節(jié) 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述組合系統(tǒng)就是兩個(gè)或兩個(gè)以上的子系統(tǒng)按照一定的方式連接構(gòu)成的系統(tǒng)，組合的基本方式可以分成串聯(lián)，并聯(lián)，反饋三種類(lèi)型。組合系統(tǒng)的狀態(tài)就是由所有子系統(tǒng)狀態(tài)組成的。要想求出組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，最重要的就是找到組合系統(tǒng)在變量連接上的特性，并把這些特性體現(xiàn)在子系統(tǒng)的狀態(tài)方程中。一 并聯(lián) uuu2121yyy ,并聯(lián)系統(tǒng)特點(diǎn)：1111222211212200