球的體積和表面積(附規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、球的體積和表面積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.記準(zhǔn)球的表面積和體積公式，會計算球的表面積和體積.2.能解決與球有關(guān)的組合體的計算問題.，知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一球的體積公式與表面積公式41 .球的體積公式 V=.7R3(其中R為球的半徑).32 .球的表面積公式 S= 4 tR2.思考 球有底面嗎？球面能展開成平面圖形嗎？答球沒有底面，球的表面不能展開成平面知識點(diǎn)二球體的截面的特點(diǎn)1 .球既是中心對稱的幾何體，又是軸對稱的幾何體，它的任何截面均為圓，它的三視圖也都 是圓.2 .利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問 題的主要途徑.題型探究重點(diǎn)突破題型一球的表面積和體積例1

2、 (1)已知球的表面積為 64 Tt,求它的體積；(2)已知球的體積為 啥兀，求它的表面積.3解(1)設(shè)球的半徑為 R,則4兀4=64為解得R=4,所以球的體積兀6 >5 32#3-兀4- 3-3欣4- 3-V4 500(2)設(shè)球的半徑為R,則三成3=W兀，解得R= 5, 33所以球的表面積 S= 4 tR2 = 4 ttX 52 =100兀.跟蹤訓(xùn)練1 一個球的表面積是16兀，則它的體積是()64兀32兀A.64 兀 B.-3- C.32 兀 D.-答案 D4 - 解析 設(shè)球的半徑為 R,則由題意可知4兀邛=16兀，故R= 2.所以球的半徑為 2,體積V= -ttR33 32=1兀題型

3、二球的截面問題例2平面a截千O O的球面所得圓的半徑為 1.球心O到平面a的距離為J2,則此球的體積 為（）A.V6tt B.4v3兀 C.4m兀 D.6V3 兀 答案 B 解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為O',M為截面圓上任一點(diǎn)， 則 OO'=取,O' M = 1.OM = 7 yf2 2+ 1 = 33. 即球的半徑為：3. v= 3-Tt，3）3=443兀.跟蹤訓(xùn)練2已知長方體共頂點(diǎn)的三個側(cè)面面積分別為<3, <5, <15,則它的外接球表面積為.答案 9兀解析 如圖，是過長方體的一條體對角線AB的截面，設(shè)長方體有公共頂點(diǎn)的三條棱的長分別為x, v,

4、z,則由已知，xy=出，x=V3,得 yz= a/5,解得 y=1,zx= V15,z=V5.113所以球的半徑 R=2AB = 1h/x2+y2+z2 =3, 所以S球=4兀R2 = 9兀.題型三球的組合體與三視圖 例3某個幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積和體積也叫.產(chǎn)I解由三視圖可知該幾何體的下部是棱長為的正方體，上部是半徑為1的半球，該幾何體的表面積為1S= 2 X 4 uX 12 + 6 X 22 ttX 12 = 24+ 兀.該幾何體的體積為V=23+；X4 兀 x 13=8+穹 2 33跟蹤訓(xùn)練3有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體，第二個球與這個正方體各條棱相切，第三 個球過

5、這個正方體的各個頂點(diǎn)，求這三個球的表面積之比 解設(shè)正方體的棱長為 a.正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心, 切點(diǎn)是正方體六個面的中心, 經(jīng)過四個切點(diǎn)及球心作截面, 如圖（1）所示，貝U有2ri= a,a即門=2，所以Si = 4 <1=必.球與正方體的的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對角面得截面, 如圖（2）所示，則2r2=/a,即2=黃,所以S2= 442= 2舊2.正方體的各個頂點(diǎn)在球面上，過球心作正方體的對角面得截面, 如圖（3）所示，則有2r3= 43a,即r3=a,所以 Ss= 4 <2= 3 ja2.綜上可得 Si ： S2 ： S3= 1 ： 2 ： 3.r

6、的鐵分析分別表示出取出鐵球前后水的體積由水的體積不變建立等式一求出所求量.例4有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)部放一個半徑為 球，并注入水，使水面沒過鐵球和球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度解 如圖，OO是球的最大截面，它內(nèi)切于 ABC,球的半徑為r.設(shè)將球取出后，水平面在MN 處，MN 與 CD 交于點(diǎn) E.則 DO = r, AD = V3r, AB = AC= BC = 273r, ，CD = 3r.由圖形知 V 圓錐 ce： V 圓錐 cd= Lt ME2 CE : 1TtAD2CD = CE3 ： CD3.33又. V 圓錐cD = 3(*r)2 ,

7、 6=3八3,34 35 3V圓錐ce=V圓錐cd V球o=3tT 34 =3巾'界：3<3 = CE3 ： (3r)3, .,.CE= 3/T5r.，球從容器中取出后，水的深度為3/15r.自查自糾1 .直徑為6的球的表面積和體積分別是（）B.36 q 36 兀A.36 q 144 兀C.144 q 36 %D.144 q 144 兀2 .若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于1cA.2 B.1C.2 D.33 .兩個半徑為1的實(shí)心鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑是 倍，表面積變?yōu)樵瓉淼? .若球的半徑由 R增加為2R,則這個球的體積變?yōu)樵瓉淼谋?5 .某幾何體的三視圖

8、如圖所示，則其表面積為 .冊稅用、選擇題1 .設(shè)正方體的表面積為 24,那么其外接球的體積是()C.4yJ3 兀D.32V3 兀2 .一個正方體的八個頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，則正方體的表面積為A.8B.8 ,12C.8 ,13D.4，23 .兩個球的半徑之比為1 ： 3,那么兩個球的表面積之比為()A.1 ： 9B.1 ： 27C.1 ： 3D.1 ： 14 .設(shè)正方體的表面積為 24 cm2, 一個球內(nèi)切于該正方體，那么這個球的體積是a. 46 兀 cm32B- Tt cmi383c-7t cm343d- % cm35 .若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r, R,則球的表面積為(A.

9、4 兀(+R)2B.4 t2R2C.4 RrD. ttR+ r)26 .已知底面邊長為 1,側(cè)棱長為 亞的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為()32兀4A.-3-B.4 兀 C.2 兀 D.37t7 .如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm,如果不計容器厚度，則球的體積為（）500 兀 33866 兀 331 372 兀 332 048 兀 33二、填空題8.一個幾何體的三視圖（單位:m3.m）如圖所示，則該幾何體的體積為在視圖帶視圖9 .已知一個正方體的所有頂點(diǎn)在一個球面上.若球的體積為92,則正方體

10、的棱長為4,底面邊長為2,則該球的表面積是cm.10 .正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為11 .圓柱形容器內(nèi)盛有高度為 8 cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是三、解答題12 .如圖所示，半徑為 R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積.（其中/ BAC=30° ）13 .一個高為16的圓錐內(nèi)接于一個體積為972兀的球，在圓錐內(nèi)又有一個內(nèi)切球，求:（1）圓錐的側(cè)面積；（2）圓錐的內(nèi)切球的體積.當(dāng)堂檢測答案1答案 B4 一斛析 球的半徑為3,表面積S= 4

11、% 2拿36兀，體積V =,兀,3紀(jì)36 7t.32答案 D解析 設(shè)球的半徑為R,則4成2= 4 7K3,所以R= 3.33答案3 2解析 設(shè)大球的半徑為 R,則有4汽3=2*4兀* 13,33R3= 2, . . R= 212.4答案 8 44解析 球的半徑為R時，球的體積為 Vi=-tR3,表面積為Si = 4tR2,半徑增加為2R后，球3.4 一 32的體積為 V2=-Tt (R)3= tR3,表面積為 S2 = 4兀(R)2= 16#2. 3332 3 v tR3 34=8,/3S2Si16 R2 , 中=4，即體積變?yōu)樵瓉淼?8倍，表面積變?yōu)樵瓉淼?4倍.5答案 3兀解析由三視圖可知

12、，該幾何體為一個半徑為 1的半球，其表面積為半個球面面積與截面面1-積的和，即2X4兀+兀=37t.課時精練一、選擇題1答案 C解析由題意可知，6a2=24,，a=2.設(shè)正方體外接球的半徑為 R,則43a=2R, .1. R=品 1. V 球=可卡3=4 強(qiáng)兀.32答案 A解析二球的半徑為1,且正方體內(nèi)接于球，球的直徑即為正方體的對角線，即正方體的對角線長為2.不妨設(shè)正方體的棱長為a,則有3a<1 + 1+/2=2.又正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上，正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑，球的半徑R= 1.故球的體積為v=4-欣3=4兀. 337答案 A解析 利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解.

13、 1如圖，作出球的一個截面，則 MC = 8-6=2(cm), BM =：AB =：x 8= 4(cm). 設(shè)球的半徑為 R cm,則 R2=OM2+MB2=(R 2)2+42,. R= 5, .V球=今6 53=華商). 3 = 4,即 a2 =4.3，正方體的表面積為 6a2= 6x=8. 33答案 A解析由表面積公式知，兩球的表面積之比為R2 : r2= 1 : 9.4答案 D解析由正方體的表面積為 24 cm2,得正方體的棱長為 2 cm,故這個球的直徑為 2cm,故4 一 這個球的體積為crmi 35答案 C解析 方法一 如圖，設(shè)球的半徑為ri,則在RtACDE中，DE = 2門，

14、CE=R r, DC = R+r.由勾股定理得 4r2= (R+r)2(R r)2,解得 ri = yRT.故球的表面積為 S球=4M2 = 4底.方法二 如圖，設(shè)球心為 O,球的半徑為 ri,連接 OA, OB,則在 RtA AOB中，OF是斜邊 AB上的高.由相似三角形的性質(zhì)得 OF2= BFAF=Rr,即r2=Rr,故ri = JRr,故球的表面積為 S球=4jRr.6答案 D解析 二正四棱柱 的底面 邊長為1 ,側(cè)棱 長為爬，正四棱 柱的體 對角線 的長為二、填空題8.答案 9兀+ 18解析將三視圖還原為實(shí)物圖后求解由三視圖知，幾何體下面是兩個球，球半徑為32'上面是長方體，其

15、長、寬、高分別為6、3、1,427所以 V = Z7tX x 2+ 1 x 3X 6= 9 兀+ 18.389答案 3解析先求出球的半徑，再根據(jù)正方體的體對角線等于球的直徑求棱長.設(shè)正方體棱長為a,球半徑為R,4 o 93則工求3=5兀，.R=5，-73a=3, - a=/3.32210 .答案?兀解析 由已知條件可知，球心在正四棱錐的高所在的直線上.設(shè)球的半徑為 R,球心為 O,9正四棱錐底面中心為E,則OE=|4-R|,所以(4R)2+h/2)2=R2,解得R = 4.所以球的表面11 .答案 4解析 設(shè)球的半徑為r,則圓柱形容器的高為 6r,容積為 <2x 6r=6<3,高度

16、為8 cm的水的體積為842,3個球的體積和為 3*4巾3=443,由題意得6 <3- 8 <2=34巾3,解得 r=4(cm).三、解答題12 .解如圖所示,II -過C作COAB于O1.在半圓中可得 /BCA = 90°, /BAC=30°, AB = 2R, ，AC = V3R, BC=R, CO1 = 223R, ，S球=4tR2,Sa 錐 AO1« =/ 3RxV3R=|tR2,Sa錐bo澗 = 7Tx勺Rx*勺近2,.S幾何體表=$球+ Sa錐AO1側(cè)+ Sa錐BO1側(cè)1123 2 11+ 3 2=tR2+ W-卡2= -4 tR2. 222故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為11步tR2.13.解（1）如圖作軸截面，則等腰三角形CAB內(nèi)接于。O,。1內(nèi)切于ABC.一 .一、.一 4 八設(shè)。的半徑為R,由題意，得4欣3= 972兀，3所以 R3= 729, R=9,所以 CE = 18.已知CD= 16,