第六節(jié)Rn 的標(biāo)準(zhǔn)正交基

1、1. 基的定義基的定義定義定義 2.16 在在 Rn 中，稱任意中，稱任意 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量向量 1 , 2 , , n 為為 Rn 的一組基的一組基.顯然顯然 Rn 中的向量組中的向量組 1 = (1, 0, , 0)T , 2 = (0,1, , 0)T , , n = (0, , 0, 1)T 為為 Rn 的一組基，一般的一組基，一般稱稱 1 , 2 , , n 為為 Rn 的的標(biāo)準(zhǔn)基標(biāo)準(zhǔn)基或或自然基自然基.類似地，類似地， 1 = (1, 0, , 0)T , 2 = (1, 1, , 0)T , , n = (1, 1, , 1)T 也是也是 Rn 的一組基的一組基.

2、一、向量空間的基一、向量空間的基2. 向量在基下的坐標(biāo)向量在基下的坐標(biāo)定義定義 2.17 設(shè)設(shè) 1 , 2 , , n 為為 Rn 的一組基，的一組基，則對(duì)于任意則對(duì)于任意 Rn， 可以表為可以表為 1 , 2 , , n 的線的線性組合，且表示法唯一，性組合，且表示法唯一，使使 = a1 1 + a2 2 + + an n 即存在即存在 a1 , a2 , , an R , 則稱組合系數(shù)則稱組合系數(shù) a1 , a2 , , an 為為 在基在基 1 , 2 , , n 下的坐標(biāo)，記作下的坐標(biāo)，記作 ( a1 , a2 , , an ) .例例 1 分別求向量分別求向量 = (d1 , d2

3、, , dn)T Rn，在標(biāo)準(zhǔn)基在標(biāo)準(zhǔn)基 1 , 2 , , n 和基和基 1 = (1, 0, , 0)T , 2 = (1, 1, , 0)T , , n = (1, 1, , 1)T 下的坐標(biāo)下的坐標(biāo). 二、向量的內(nèi)積二、向量的內(nèi)積1. 內(nèi)積的定義內(nèi)積的定義定義定義 2.18 設(shè)設(shè) = (a1 , a2 , , an)T , = (b1 , b2 , bn)T 為為 Rn 中的兩個(gè)向量，則中的兩個(gè)向量，則 niiinnnnbababababbbaaa122112121T),( 2. 內(nèi)積的性質(zhì)內(nèi)積的性質(zhì)(1) T = T ;(2) (k )T = k T ;(3) ( + )T = T

4、+ T ;(4) T 0 , 且且 T = 0 = 0 .三、向量的長(zhǎng)度三、向量的長(zhǎng)度1. 長(zhǎng)度的定義長(zhǎng)度的定義定義定義 2.19 設(shè)設(shè) = (a1 , a2 , , an)T Rn ，稱，稱 T為向量為向量 的的長(zhǎng)度長(zhǎng)度(或模或模)，記作，記作 | | .即即 niia12T 如果如果 | | = 1，則稱，則稱 為單位向量為單位向量. 其中其中 , 為為 Rn 中的向量，中的向量， k R . 1四、標(biāo)準(zhǔn)正交基四、標(biāo)準(zhǔn)正交基1. 正交向量組的定義正交向量組的定義定義定義 2.20 設(shè)設(shè) , Rn , 如果如果 T = 0 ，則稱，則稱向量向量 , 正交正交.定義定義 2.21 如果一個(gè)非零

5、向量組如果一個(gè)非零向量組(即該向量組即該向量組中的向量中的向量都不是零向量都不是零向量) 1 , 2 , , s (s 2) 中的中的向量?jī)蓛烧?，則稱向量?jī)蓛烧?，則稱 1 , 2 , , s 為一個(gè)為一個(gè)正交向正交向量組量組.顯然顯然,(1)Rn 中的零向量與任意向量都正交中的零向量與任意向量都正交(2) T = 0 = 0(3) T = 0 cos = 0 或或,2 即即 與與 相互垂直相互垂直. 3. 標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義定義定義 2.22 如果如果 Rn 中的中的 n 個(gè)向量個(gè)向量 1 , 2 , n 滿足以下兩個(gè)條件：滿足以下兩個(gè)條件：(1) 1 , 2 , , n 中

6、任意兩個(gè)向量都正交；中任意兩個(gè)向量都正交；(2) | j | = 1 , j = 1, 2, , n , 則稱則稱 1 , 2 , , n 為為 Rn 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基. 4. 標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法定理定理 2.18 設(shè)設(shè) 1 , 2 , s ( s 2 ) 是是 Rn 中的中的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組，令一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組，令222231111333111122211 TTTTTT則則 1 , 2 , , s 是一個(gè)正交向量組，并且滿足是一個(gè)正交向量組，并且滿足 1 , 2 , , s 1 , 2 , , s . 1 , 2 , , n 標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化(或單位化或單位

7、化)，即令，即令), 2, 1(,1njjjj 就得到就得到 Rn 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 1 , 2 , , n .例例 2 利用利用schmidt正交化方法將下列向量組化為正交化方法將下列向量組化為正交單位向量組正交單位向量組 1 = (1, 1, 1, 1)T , 2 = (3, 3, -1, -1)T , 3 = (-2, 0, 6, 8)T 五、正交矩陣五、正交矩陣1. 定義定義定義定義 2.23 設(shè)設(shè) A 為一個(gè)為一個(gè) n 階實(shí)矩陣，如果階實(shí)矩陣，如果 A滿足滿足ATA = E則稱則稱 A 為一個(gè)為一個(gè) n 階階正交矩陣正交矩陣.2. 矩陣為正交矩陣的條件矩陣為正交矩陣的條件定理定理 2.19 n 階實(shí)矩陣階實(shí)矩陣 A 為正交矩陣的充分必為正交矩陣的充分必要條件是要條件是 A 可逆，并且可逆，并且 A-1 = AT .推論推論 n 階實(shí)矩陣階實(shí)矩陣 A 為正交矩陣的充分必要條為正交矩陣的充分必要條 件是件是AAT = E .n 階實(shí)矩陣階實(shí)矩陣 A 為正交矩陣的充分必要條件是為正交矩陣的充分必要條件是 A 的列的列向量組和行向量組均為向量組和行向量組均為 Rn 的標(biāo)準(zhǔn)正交基的標(biāo)準(zhǔn)正交基.3. 正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì)(1) 如果如果 A 是正交矩