立體幾何體積問題

1、立體幾何體積問題1在如下列圖的五面體 ABCDEF中，四邊形 ABCD為菱形，且 DAB 60 , EF/平面 ABCD， EA ED AB 2EF2， M為BC中點.1求證 FM /平面BDE ；2假設(shè)平面 ADE 平面ABCD，求F到平面BDE的距離【答案】1見解析;5【解析】試趣分析:(1)取UD中點N,連接AfNaFN.由線面咅亍的刮定定理可得平面BDE 再EFH平面痂CQ可得EF仃由！由題意可證存四邊斃EFyD為平行四邊形故得FNHEDf從而得到平 面由面面平行的判走可得平面MFNJJ平面SDEf由此可得結(jié)論成立. 由 得FMfl平 面BDE,故尸到平面購逕的距離等于M到平面另DE的

2、距飢 取血的中點連接EHtBH ?可證 得耳丄皿,丄血),從而可得一平面ABCD f在此根底上可得也, 也-然后設(shè)戸到 卡面RDEd距離為央，由理bcm =*Sf-aor 可得所企試題解析(1)取CD中雖旳，連接的刖，因為n衛(wèi)分CD.nc中點，所人wy小6又匚平面BDE.且測0平面RDE#所以AA-/7平面EDE #因為 EF/平面 A£CD , EFu平面.4BEF ?平面 ABCDr平面 ABEF = AB ? 所以EF打屈.又 AB = CD=2DN=2EF=2f 倍 MCD ?所認 EF HCD EF = DN 所U四邊形*ND為平彳亍四邊形.mz：v/£p.X&#

3、163;Z>ct匚面召Q(mào)E且FV工平面SDE ?所以.FW /平面BDE ,又FNMN = Nf所以平面MFNH平面££)&又MFu平面妞耳7所VXFMH平面EDE.2由1得FM /平面BDE ,所以F到平面BDE的距離等于 M到平面BDE的距離.取AD的中點H，連接EH,BH ,因為四邊形ABCD為菱形，且DAB60， EA EDAB2EF，所以EHAD，BH AD因為平面ADE平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，所以EH平面ABCD， EHBH?因為EHBH.3，所以BE 、6，學所以S BDE1、6 2 即F到平面BDE的距離為' 15 .

4、6 215?222設(shè)F到平面BDE的距離為h，又因為S BDM1S 1BCD,34 32 242所以由V BDM1VM BDE，得331, 15h 3232解得h2、如圖，在五面體 ABCDEF中，底面 ABCD為正方形， E DC，平面ABCD 平求五面體 ABCDE的F體積.【答案】見解析(2)3【律析】試盤分析:(1)要證繼疑直可先證線面垂直，有"E丄CF*因此只要再證課丄AD,這可由面面垂宜的 性質(zhì)走理得.仍丄平面CDEF ,從而得到結(jié)論；這個參面體可分拆為一個三根M-DEFfct四棱F-ABCDf它們的高易作出，分別求出體 積艮阿試題解析：(I )因為平面ABCDL平面CD

5、M,平面ABCDC平面CDE匚匚D, AD1CD,所嘆他丄平面3氐 又邙U平面切圧貝ij AD1CF.又因為旅丄圧ADME-A.所以O(shè)F丄平面AED, DEU平面AED,從而有CF1DE.連接FA, FD,過F作FM丄CD于M ,因為平面 ABCD丄平面CDEF且交線為 CD, FM丄CD,所以FM丄平面ABCD.因為 CF= DE, DC= 2EF= 4,且 CF丄 DE,所以FM= CM= 1 ,學W 4所以五面體的體積V= Vf-abcd+ Va def=3、如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為菱形，BAD 60，點M在線段PC上，且PM 2MC , O為AD的中點I假設(shè)PA P

6、D，求證平面POBn假設(shè)平面 PAD 平面ABCD，平面PAD ；PAD為等邊三角形，且AB 2，求三棱錐P OBM的體積.【答案】I見解析；n【解析】試題分析：1由PA = PD得P0丄Q底面為菱形，月0丄肋，利用面面垂亙判定定理證明;法一：由面PAD一面ABCD ?推出尸0±0B ,計第出3法二：推出戸0丄面AECD,尖計章出Sx = 2“F-0血=-PQB =亍冬= 3 5-CSC解析；(I )TP4FD, AO=OD,P0丄AD,$然后3又匚底面ABCD為菱形Zbad=&ob, /.bo丄ayPDn0O=O,二 AD丄平面 POBX ADGF面 PAID., ./.F

7、面 POR丄平面 PAD;II 萬法一T平面 唄D丄平面ABCD,平面 WKD仃平面ABO AD, PO±AD；二F>0丄平面ABCD?TO*匚平面ASCD.PO1OB'WAD 為等邊三甬形，-W= = 2. PO = Ji ；T 鹿面 ABCD 為菱形，ZBAD=50% A3 = U0二書1 iq.'.二一x_ffOxPO= x燈R=2 22由(1 ) AD丄平面POB .'.BC丄平面POB22 12 132fp-02W = C-PQS =亍 X AFQB X0C = xxx 2 =方法平面PAD丄平面 ABCD,平面 PAD P平面ABCD=AD

8、PO丄AD, PO丄平面 ABCD,PAD為等邊三角形，AD AB 2, AO 3 ,底面ABCD為菱形，/BAD=60,ab2由(I )B0丄AD： S°bc1 BCOB123322/ PM=2MC2VP OBMVM POB_ VC POB|VpOBC21S OBCPO2133233333334、多面體ABCDEF中，四邊形ABFE為正方形，CFE DEF 90，DE 2CF EF 2， G 為 AB 的中點,GD 3.I求證 AE 平面CDEF ;n求六面體 ABCDEF的體積.【答案】1見解析283解析砲分析；取宓中點N帚正方形性質(zhì)得EF.再相據(jù)勾股定理計算得GN丄刀N、 因為

9、GNHAE ?所以根據(jù)線面垂直判定是理得結(jié)果井割成吩如3噸+冬込gE，再根據(jù)錐休體積公 式束彳本積即可試題解析；I 取EF中點卯誰接GNP.V.根將題青可知、四邊形 膽EF是邊枚為2的正方形,所以.GV丄EF易束得J?Ar = a/B+EV7 = y/s ?所以GW + D0 =2；+M=9=GDS 于罡 G¥丄DN 而EFcDN=瑪所以GN一平CDEF-又因為G2L血，所以血丄平面CDKF.n連接 CE，貝"V六面體ABCDEF =V四棱錐C-ABFE V三棱錐A-CDE由I可知AE 平面CDEF , CF所以V四棱錐-ABFE13 %方形ABFE CF平面ABFE .1

10、V三棱錐 A-CDE3 S CDE AE所以V六面體ABCDEFI5.如圖，正方形 ABCD中， AB 2 2 ,AC與BD交于O點，現(xiàn)彳將ACD沿AC折起得到三棱錐D ABC , M , N分別是OD , OB的中點.(1)求證 AC MN ； 設(shè) BiBCBAC 60，假設(shè)三棱錐 A BCG的體積為1,求點G到平面ABB的距離【答案】1見解析22 155【睥祈】試題分析二(1)由四邊形EBGC星菱形可得耳C丄皿二從而可證得耳C丄平面ABCl?所丄XO .又由 M = g可得丿o丄熱6可得丄0 平面碼qc- 設(shè)菱形的邊長為廠扌豳條件可得 AC=A£. =*C = x,根JE三棱雄用

11、一ECC的體積為1可得"2 .適而得到BO=Ji ? AB = & , 3 二乎-設(shè)點G到平面 伽的距冉為乩根擔等積沬，即由%_沖=乙_畔二1可得h =5-；即為所求的距離.試題解析1)證明四邊形BB1C1C是菱形， BCBG, ABB1C, AB BC| B,-B C平面ABG ,又AO平面ABG , QCAO ./ ABAG , O是BG的中點， AOEC , BCBGO , AO 平面 BB1C1C .設(shè)菱形砒GC的邊長為和 又日芒C*二60J是等邊三角形，那么尿?=工由1知曲0_耳0,又。是場c的中點J又厶4C=60JIBC是等邊三角形#那么AC =ABX =JTC

12、= a ；在衛(wèi)工MCO 中A0=4aC1-CO1二巳* 斗£沁 也斗兀血12卑“右宀1,聲得工三2,在Rt ABO中,BO 、BC2 CO23x .3 ,2S ABB1ABB1B212BB1C1Va BCC1得 3 S ABB1 h3在 Rt BCO 中,AB .BOAB 2 AO設(shè)點C1到平面ABB1的距離為h ,由 VC1 ABB1VA x 、6 ,2解得h2155即點G到平面ABR的距離為2.1557、如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，BE 平面ABCD ,I證明平面AEC 平面BED ；II假設(shè) ABC 120 , AE EC,三棱錐E ACD的體積為 6，求該三

13、棱錐的側(cè)3面積【答案】I見解析II3+2 5定定理知M丄平面宓D,由面面垂直冊利定宦理知平面應(yīng)C亠平面BED,仃I設(shè)朋口通過解直角三角形俗且& GC、G執(zhí)GD用工表示出來，在RtAEC,用如表示EG,衽R3BG中】用域表示£3. 根據(jù)條件三棱錐E-ACD的體積為國求出V,即可求出三棱E-ACD的血面積3試題解析；因?qū)澦倪呅涡?，所以乂丄眇因平猗曲UD所以處丄坯，故M丄平又C=平面AEC.所以平面且me亠平面BEDX,GB=GD=- 學2“I設(shè) AB=X，在菱形 ABCD 中，由 “BC=120，可得 AG=GC2因為處丄FG所以RAEC中，可得EG- X.7尊宀亨故心由匪丄平面

14、ABCD, DAFSS為直角三角冊"可得BF=S已扣得三棱錐E-ACD的體積抵g = |x<C- GD-SEJ Js從而可得AC-ED= 6 .所以A EAC的面積為3, iEAD的面積與iECD的面積均為.故三複錐"仞的側(cè)面積為卄2農(nóng)&如圖，正三棱錐 P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6,頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D, D在平面PAB內(nèi)的正投影為點 E,連結(jié)PE并延長交AB于點G.I證明 G是AB的中點；在圖中作出點 E在平面PAC內(nèi)的正投影F說明作法及理由，并求四面體PDEF的體 積.4【答案】I見解析；n作圖見解析，體積為 3 .【解析】試題分析

15、；證明曲丄M由P4PR可得G是曲的中點.II在平面噸內(nèi)，過點E作何的平行 纟膠 丹于點碼 戸即為E在平面PAC內(nèi)的正投鬆根據(jù)正三棱錐的側(cè)面是直甬三角形且卩4 J可得 DE = 2 PE =皿在等腥直角三角形砂中,可得EF = PF二2.四面體PDEF的係口 r=-xix2x2x2 = .3 23試題解析I因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以AB PD.因為D在平面PAB內(nèi)的正投影為E，所以ABDE.所以AB平面PED，故AB PG.又由可得，PA PB，從而G是AB的中點.II在平面PAB內(nèi)，過點E作PB的平行線交PA于點F , F即為E在平面PAC內(nèi)的 正投影理由如下由可得PB PA ,

16、PB PC，又EF/ PB ,所以EF PA, EF PC,因此EF 平面PAC，即點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.連結(jié)CG ,因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心.CD -CG.由I知，G是AB的中點，所以D在CG上，故3 學由題設(shè)可得 FC 丄平而PAB, DE 丄平而 PAB,PC, itPE = -PGTDE = -PC由，正三棱錐的側(cè)面杲直垢三角形且PA - 6 可得 2; PE 2/2.在等睡直垢三角形EFF中，可帚EF = PF八所以四面體PD些的體積=丄乂丄瓦2汰2 乂 2 = ?.學科.網(wǎng)3 23(I )證明 AC HD'5(n)假設(shè) AB

17、5,AC 6,AE ,0D'49、如圖，菱形 ABCD的對角線 AC與BD交于點0,點E, F分別在 AD, CD上, AE=CF, EF 交BD于點H,將 DEF沿EF折到 D'EF的位置HD . n證明0D OH，再證OD 平面D' ABCFE的體積.2 2，求五棱錐D' ABCFE的體積.試題解析 I由得ACBD, AD CD.【答案】I丨詳見解析；n23方2【解析】試題分析 I證AC / EF，再證ACABC，最后根據(jù)錐體的體積公式求五棱錐AD CDAE CF又由AE CF得，故AC / EF.由此得貯RDEF丄也兒 所丄加1(ID由EFllAC得集二普

18、1/£J AD由 A£= 5 JC = &得 DO = BO=-Q = 4.所 dOHiDE =DH=M于是 0Df2 + 0H: = (22 +1: = 9 =v 故 OZV_O乩由(I) W AC - HDf - XAC -BDDCHDr = H f所AC丄平更陰Q；于是月C OD一學科調(diào)又由 O"丄OHZACCOH =O,所從 ODf_平面.4BC.又由務(wù)三鬻得躋嶺11969MOS=-X6XS-X-X3=_.脫五樓錐。®E體積叫苧2屁普10、如圖，四棱錐 P ABC D 中，PA 平面 ABCD, AD/ BC , AB ADAC 3?PA BC 4, M為線段AD上一點，AM 2MD , N為PC的中點.I證明MN /平面PAB ；II求四面體N BCM的體積.4,5【答案】I見解析；II 3【解析】從而得到MW AT