第五章不定積分sect51不定積分的概念和性質(zhì)-ppt課件

1、第五章第五章 不定積分不定積分5.1 不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì) 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念 根本積分表根本積分表 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 小結(jié)小結(jié)微微分分學(xué)學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)微分微分積積分分學(xué)學(xué)不定積分不定積分定積分定積分:d ”“記記為為，求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)與與求求微微分分統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為 微微分分運(yùn)運(yùn)算算xxfxFxfxFxFd)()(d ),()()(d ”“記記為為，）（其其逆逆運(yùn)運(yùn)算算稱稱為為 積積分分運(yùn)運(yùn)算算不不定定例例 ),( , cossin xxx ),0(1|ln xxx一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念定義定義 假設(shè)在假設(shè)在 I I

2、 上恒有上恒有 F F(x)=f(x)(x)=f(x)即即 dF(x)=f(x)dxdF(x)=f(x)dx，稱，稱 F(x) F(x) 為為 f(x) f(x) 在在 I I 上的一個(gè)原上的一個(gè)原函數(shù)。函數(shù)。上上的的一一個(gè)個(gè)在在是是原原函函數(shù)數(shù)),( cos sin Ixx,), 0(1|ln上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在是是 xx上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)。，在在也也是是)0 (1 x思索原函數(shù)的表達(dá)式：思索原函數(shù)的表達(dá)式：上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在為為上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，則則在在為為設(shè)設(shè) )( )( )( )( IxfxGIxfxF)()( xfxG )( xF Ix

3、 0) )()( xFxGCxFxG )()(.)()(CxFxG ,|)( )(RCCxFIxf 上上的的原原函函數(shù)數(shù)全全體體為為在在, )( )( 上上的的任任一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在為為其其中中IxfxF：上上的的原原函函數(shù)數(shù)具具有有在在一一般般表表達(dá)達(dá)式式 )( Ixf.)(CxF 恣意常數(shù)恣意常數(shù)積分號(hào)積分號(hào)被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(. . 上上的的）在在（或或數(shù)數(shù)的的一一般般表表達(dá)達(dá)式式）為為數(shù)數(shù)（原原函函上上帶帶有有任任意意常常數(shù)數(shù)的的原原函函在在稱稱 )(

4、)( )( IdxxfxfIxf f(x) 在在 I 上的不定積分也可看成是上的不定積分也可看成是 f(x) 在在 I 上的原函數(shù)全體。上的原函數(shù)全體。不定積分或原函數(shù)的存在性與獨(dú)一性：不定積分或原函數(shù)的存在性與獨(dú)一性：1、存在性：、存在性：1不是每個(gè)函數(shù)在定義區(qū)間上都有原函數(shù)；不是每個(gè)函數(shù)在定義區(qū)間上都有原函數(shù)；2在在 I 上的延續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)即：一定有上的延續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)即：一定有不定積分，不定積分，2、獨(dú)一性：、獨(dú)一性： 是是唯唯一一的的；的的作作為為）（原原函函數(shù)數(shù)族族 )d( 1fxxf不不唯唯一一。在在的的原原函函數(shù)數(shù)的的作作為為）（形式上, C)( )d( 一一般般表表達(dá)

5、達(dá)式式fxFxxf2例例1 ).d1( d xx求求解解),( , 1 Ixx,),( 1 一個(gè)原函數(shù)上上的的在在為為 Ix).,( ,Cd xxx),( , 1)1( ( xx又又).),( ,C)1(d xxx注注是是：的的檢檢驗(yàn)驗(yàn)積積分分結(jié)結(jié)果果正正確確與與否否基基本本方方法法。被積函數(shù)積分結(jié)果的導(dǎo)函數(shù) 例例2 2 設(shè)曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)設(shè)曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)1, 21, 2，且其上任一點(diǎn)處的切，且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程. .解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2)(xxf 即即)(xf是是x2的的一一個(gè)個(gè)

6、原原函函數(shù)數(shù). ,2Cx ,C)(2 xxf由曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)由曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)1，2, 1C 所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy xxd2注注 )(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的一一條條 積積分分曲曲線線. 求不定積分得到一個(gè)積分曲線族求不定積分得到一個(gè)積分曲線族 y=F(x)+C.y=F(x)y=F(x)+Cx斜率斜率f(x)例例3)2( d x微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的:)(d ),( )(dxFxFxF xxfxfd)( ),(=)(xFC ),(d)(dd )1(xfxxfx ;d)(d)(dxxfxxf )(d)(

7、 )2(xFxxF )()(dxFxF由此可知：由此可知：x.C +C,+C. 積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此，對(duì)每一積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此，對(duì)每一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式都可以得出一個(gè)相應(yīng)的積分公式。個(gè)導(dǎo)數(shù)公式都可以得出一個(gè)相應(yīng)的積分公式。二、二、 根本積分表根本積分表 將根本導(dǎo)數(shù)公式從右往左讀，然后稍加整理將根本導(dǎo)數(shù)公式從右往左讀，然后稍加整理可以得出根本積分公式根本積分表?？梢缘贸龈痉e分公式根本積分表。根根本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)); dxx )2( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(;sinCx ;

8、cotarcCx ;arccosCx xdxsin)7(;cosCx xdx)3(;|lnCx );1(11 Cx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsh)14(;chCx xdxch)15(.shCx xdx2sec )8(;tanCx xdx2csc )9(;cotCx 根根本本積積分分表表 求不定積分的根本思想依然是化繁為簡(jiǎn)求不定積分的根本思想依然是化繁為簡(jiǎn)將所求積分化為根本積分表中的積分。將所求積分化為根本積分表中的積分。.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 12

9、5125.7227Cx 根據(jù)冪函數(shù)的積分公式根據(jù)冪函數(shù)的積分公式Cxdxx 11 例例4 4 求求恒等變形法恒等變形法 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf三、三、 不定積分的線性性質(zhì)不定積分的線性性質(zhì) dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是常數(shù)，是常數(shù)，)0 k 例例5 5dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 .C 例6例6 dxaxaxaxannnn)(0111)0( na dxaxdxadxxadxxannnn0111xaxaxnaxnannnn0211121 C 例例7 7dxxxxx )1(122dxxxx

10、x )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 例例8 8dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222）（dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例例9 9 dxx2cos11 dxx2cos21 dxx2cos121.tan21Cx xdx2sec21例例1010 xdx2cot dxx)1(csc2 dxxdx2csc.cotCxx 例例1111 dxexxx1235 dxexx)2)(23()25(21(例例1212 dxxxxxxx2)3)(3 dxxxxx)33(211214312745 dxedxxx)2()23()25(

11、21.)2()2ln1(23)25()2ln5(ln21Cexx Cxxxx )112111433112711453(2111211431127145 * *例例 13 13 已知一曲線已知一曲線 y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x, f(x)處的切線斜率為處的切線斜率為 sec2x+sinx，且此曲線與，且此曲線與 y 軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為(0, 5)，求此曲線，求此曲線 的方程的方程. 解解,sinsec)(2xxxf dxxx sinsec2由由,costanCxx , 5)0( f及及, 6 C得得所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)。是是xxxfsi

12、nsec)(2 3. 根本積分表；根本積分表；5. 不定積分的線性性質(zhì)；不定積分的線性性質(zhì)； 1. 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念： ；)()(xfxF 2. 不定積分的概念：不定積分的概念： ； CxFdxxf)()(4. 求微分與求積分的互逆關(guān)系；求微分與求積分的互逆關(guān)系；四、小結(jié)四、小結(jié)6. 求不定積分的根本方法：將所求積分轉(zhuǎn)化為求不定積分的根本方法：將所求積分轉(zhuǎn)化為根本積分表中的積分。根本積分表中的積分。思索題思索題符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 內(nèi)能否存在原函數(shù)？為什么？?jī)?nèi)能否存在原函數(shù)？為什么？),( 解答：解答：不存在不存在.假設(shè)有原函數(shù)假設(shè)有原函數(shù))(xF 0,0,