船體振動(dòng)第一章

1、 第第1 1章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 返回總目錄船船 體體 振振 動(dòng)動(dòng)H u l l V I b r a t I o n 返回首頁(yè) 第第1 1章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n 返回首頁(yè) 第第1 1章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n實(shí)際工程結(jié)構(gòu)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)力學(xué)模型力學(xué)模型三維船體結(jié)構(gòu)三維船體結(jié)構(gòu)一維船體梁一維船體梁 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n1、系統(tǒng)的自由度數(shù)、系統(tǒng)的

2、自由度數(shù) 一個(gè)系統(tǒng)于任何瞬間在空間位一個(gè)系統(tǒng)于任何瞬間在空間位置的廣義坐標(biāo)數(shù)目。置的廣義坐標(biāo)數(shù)目。彈性體彈性體無(wú)限自由度系無(wú)限自由度系統(tǒng)統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)離散系統(tǒng)離散系統(tǒng) 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n2. 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng) 一個(gè)系統(tǒng)于任何瞬間在空間的一個(gè)系統(tǒng)于任何瞬間在空間的位置由一個(gè)廣義坐標(biāo)確定。位置由一個(gè)廣義坐標(biāo)確定。典型的單自由度系統(tǒng)典型的單自由度系統(tǒng): :彈簧彈簧- -質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量系統(tǒng) 梁上固定一臺(tái)電動(dòng)機(jī)，當(dāng)電機(jī)沿鉛直梁上固定一臺(tái)電動(dòng)機(jī)，當(dāng)電機(jī)沿鉛直方向振動(dòng)時(shí)，可視為集中質(zhì)量。如不方向振動(dòng)時(shí)，可視為集中質(zhì)量。如不計(jì)梁的質(zhì)量，

3、則相當(dāng)于一根無(wú)重彈簧，計(jì)梁的質(zhì)量，則相當(dāng)于一根無(wú)重彈簧，系統(tǒng)簡(jiǎn)化成彈簧系統(tǒng)簡(jiǎn)化成彈簧- -質(zhì)量系統(tǒng)質(zhì)量系統(tǒng) 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n3、靜荷重和動(dòng)荷重、靜荷重和動(dòng)荷重靜荷重靜荷重：靜止地或極為緩慢地作用于系統(tǒng)上的荷重，而：靜止地或極為緩慢地作用于系統(tǒng)上的荷重，而且該荷重不會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生慣性力，或者慣性力與荷重比且該荷重不會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生慣性力，或者慣性力與荷重比較起來(lái)極其微小，從而可以認(rèn)為是靜荷重。較起來(lái)極其微小，從而可以認(rèn)為是靜荷重。動(dòng)荷重動(dòng)荷重：隨時(shí)間變化的或者能使結(jié)構(gòu)系統(tǒng)產(chǎn)生很大慣性隨時(shí)間變化的或者能使結(jié)構(gòu)系統(tǒng)產(chǎn)生很大慣性力的荷重。力的荷重。 返回首頁(yè) 動(dòng)荷重

4、分類(lèi)：動(dòng)荷重分類(lèi)：H u l l V i b r a t I o n1）沖擊作用和突加力作用，如打樁力、炮彈在結(jié)構(gòu)上）沖擊作用和突加力作用，如打樁力、炮彈在結(jié)構(gòu)上 彈著點(diǎn)的沖擊力；彈著點(diǎn)的沖擊力；2）按諧和規(guī)律變化的動(dòng)荷重，主要是由旋轉(zhuǎn)機(jī)械的不）按諧和規(guī)律變化的動(dòng)荷重，主要是由旋轉(zhuǎn)機(jī)械的不平衡力引起的；平衡力引起的；3）作用點(diǎn)移動(dòng)或變化的動(dòng)荷重，如車(chē)行駛時(shí)對(duì)于鋼軌）作用點(diǎn)移動(dòng)或變化的動(dòng)荷重，如車(chē)行駛時(shí)對(duì)于鋼軌的作用力；的作用力；4）基座運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的慣性力，如重型鍛錘、機(jī)動(dòng)行駛、）基座運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的慣性力，如重型鍛錘、機(jī)動(dòng)行駛、人工爆破、地震地面運(yùn)動(dòng)等引起的作用力。人工爆破、地震地面運(yùn)動(dòng)等引起的作

5、用力。5）流動(dòng)的脈動(dòng)壓力，如水、空氣、風(fēng)力、空氣壓力波）流動(dòng)的脈動(dòng)壓力，如水、空氣、風(fēng)力、空氣壓力波引起的作用力。引起的作用力。1.2.1 自由振動(dòng)方程自由振動(dòng)方程)(stxkmgxm 當(dāng)物塊偏離平衡位置為當(dāng)物塊偏離平衡位置為x x距離時(shí)，物塊的距離時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為運(yùn)動(dòng)微分方程為 kxxm 20nxx其中nkm取物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸軸順彈簧變形方向鉛直向下為正。當(dāng)物塊順彈簧變形方向鉛直向下為正。當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí)，由平衡條件，得到在靜平衡位置時(shí)，由平衡條件，得到stkmg 無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程 彈簧的靜變形彈簧的靜變形

6、固有圓頻率固有圓頻率 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n其通解其通解為：為：12cossinnnxCtCt01xC txtxx00000sincos002xC其中其中C1和和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。設(shè)為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。設(shè)t=0時(shí)，時(shí)， 可解可解00 xxxx ， 返回首頁(yè)1.2.1 自由振動(dòng)方程自由振動(dòng)方程H u l l V i b r a t I o nsin()nxAt220000()arctg()nnxAxxx兩種形式描述的物兩種形式描述的物塊振動(dòng)，稱(chēng)為無(wú)阻塊振動(dòng)，稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)尼自由振動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)自由振動(dòng)。自由振動(dòng)。

7、無(wú)阻尼的自由振動(dòng)是以其靜平衡位置為振動(dòng)中心的無(wú)阻尼的自由振動(dòng)是以其靜平衡位置為振動(dòng)中心的簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng) 初相位角 振 幅 返回首頁(yè)1.2.1 自由振動(dòng)方程自由振動(dòng)方程H u l l V i b r a t I o n1.2.2 振幅、初相位和頻率振幅、初相位和頻率系統(tǒng)振動(dòng)的周期22nmTk系統(tǒng)振動(dòng)的頻率122nkfTm系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率為2nf圓頻率 是物塊在自由振動(dòng)中每2 秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。f、 只與振動(dòng)系統(tǒng)的彈簧常量k和物塊的質(zhì)量 m 有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)。因此，通常將頻率f 稱(chēng)為頻率，圓頻率 稱(chēng)為固有圓頻率。 nnn 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n周期T

8、的單位為秒頻率f的單位為赫茲（Hz），圓頻率 的單位為弧度/秒（rad/s）。 返回首頁(yè)1.2.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示)2sin()cos(tAtAx )sin()sin(22tAtAx 如果視如果視x為位移，則簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度就是位移表達(dá)為位移，則簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度就是位移表達(dá)式關(guān)于時(shí)間式關(guān)于時(shí)間t的一階和二階導(dǎo)數(shù)，即的一階和二階導(dǎo)數(shù)，即H u l l V i b r a t I o n 返回首頁(yè)1.2.2 1.2.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示可見(jiàn)，若位移為簡(jiǎn)諧函數(shù)，其速度和加速度也是簡(jiǎn)諧函數(shù)，具可見(jiàn)，若位移為簡(jiǎn)諧函數(shù)，其速度和加速度也是

9、簡(jiǎn)諧函數(shù)，具有相同的頻率。有相同的頻率。在相位上，速度和加速度分別超前位移在相位上，速度和加速度分別超前位移 和和 。2 xx 2重要特征重要特征: :簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度大小與位移成正比，但方向總是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度大小與位移成正比，但方向總是與位移相反，始終指向平衡位置。與位移相反，始終指向平衡位置。可得到加速度與位移有如下關(guān)系可得到加速度與位移有如下關(guān)系H u l l V i b r a t I o n用彈簧靜變形量用彈簧靜變形量 st表示固有圓頻率的計(jì)算公式表示固有圓頻率的計(jì)算公式 物塊靜平衡位置時(shí)物塊靜平衡位置時(shí)stkmg nkm固有圓固有圓 頻率頻率stngstmgk 返回首頁(yè)1.2 .

10、3 系統(tǒng)固有頻率的求解系統(tǒng)固有頻率的求解H u l l V i b r a t I o n 固有頻率的求法固有頻率的求法2-靜伸長(zhǎng)法靜伸長(zhǎng)法 返回首頁(yè) 第第1 1章章 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n 固有頻率的求法固有頻率的求法3-能量法能量法計(jì)算固有頻率的能量法的理論基礎(chǔ)是機(jī)械能守恒定律。計(jì)算固有頻率的能量法的理論基礎(chǔ)是機(jī)械能守恒定律。 無(wú)阻尼單自由振動(dòng)系統(tǒng)中，勢(shì)能與動(dòng)能之和保持不變。無(wú)阻尼單自由振動(dòng)系統(tǒng)中，勢(shì)能與動(dòng)能之和保持不變。VT常量式中式中T是動(dòng)能，是動(dòng)能，V是勢(shì)能。如果取平衡是勢(shì)能。如果取平衡位置位置O為勢(shì)能的零點(diǎn)，

11、系統(tǒng)在任一位置為勢(shì)能的零點(diǎn)，系統(tǒng)在任一位置222121kxVxmT 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)在平衡位置時(shí)，x=0,速度為最大，勢(shì)能為零，速度為最大，勢(shì)能為零，動(dòng)能具有最大值動(dòng)能具有最大值Tmax；當(dāng)系統(tǒng)在最大偏離位置時(shí)，速度為零，動(dòng)能為零，而當(dāng)系統(tǒng)在最大偏離位置時(shí)，速度為零，動(dòng)能為零，而勢(shì)能具有最大值勢(shì)能具有最大值Vmax。由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 maxmaxVT用能量法計(jì)算固有頻率的公式用能量法計(jì)算固有頻率的公式 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n用能量法計(jì)算固有頻率的公式用能量法計(jì)算固有頻

12、率的公式 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n)sin(tAxn1 1）系統(tǒng)自由振動(dòng)表示為：）系統(tǒng)自由振動(dòng)表示為： AAxnmaxmaxx，2 2）系統(tǒng)的最大動(dòng)能及最大勢(shì)能為：）系統(tǒng)的最大動(dòng)能及最大勢(shì)能為：22maxmax22max2max2121,21x21KAKxVAMMTn3 3）由機(jī)械能守恒：）由機(jī)械能守恒： 得得maxmaxVTnkm例例2 船舶振動(dòng)記錄儀的原理圖如圖所示。重物船舶振動(dòng)記錄儀的原理圖如圖所示。重物P連同桿連同桿BD對(duì)于對(duì)于支點(diǎn)支點(diǎn)B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IB ,求重物求重物P在鉛直方向的振動(dòng)頻率。已知在鉛直方向的振動(dòng)頻率。已知彈簧彈簧AC的彈簧

13、剛度系數(shù)是的彈簧剛度系數(shù)是k。 解解： 這是單自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。這是單自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。系統(tǒng)的位置可由桿系統(tǒng)的位置可由桿BD自水平的自水平的平衡位置量起的平衡位置量起的 角來(lái)決定。角來(lái)決定。221BI系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能設(shè)系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則其運(yùn)動(dòng)方程設(shè)系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則其運(yùn)動(dòng)方程sin()nt 角速度為角速度為dcos()dnntt 22maxmax1122BBnTII 返回首頁(yè)系統(tǒng)的最大動(dòng)能為系統(tǒng)的最大動(dòng)能為H u l l V i b r a t I o n如取平衡位置為系統(tǒng)的勢(shì)能零點(diǎn)。設(shè)在平衡位置時(shí)，彈簧的伸如取平衡位置為系統(tǒng)的勢(shì)能零點(diǎn)。設(shè)在平衡位置時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為長(zhǎng)量為 。此時(shí)，彈性力

14、。此時(shí)，彈性力Fst=k ,方向向上。方向向上。 0)(FBm0s PlbFt0s Plbkt該系統(tǒng)的勢(shì)能該系統(tǒng)的勢(shì)能)(21)(21st222st2stPlkbkbPlbkV2221kbV 222max2max2121kbkbV22221122BnIkb2nBkbI 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o nstst等效法等效法0eqeqqkqm 0kxxm 加的力或力矩。需要在這一坐標(biāo)方向施位移，廣義坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位等效剛度：使系統(tǒng)在eqk向施加的力或力矩。向施加的力或力矩。度，需要在這一坐標(biāo)方度，需要在這一坐標(biāo)方加速加速?gòu)V義坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位廣義坐標(biāo)方向產(chǎn)生單位等效質(zhì)量：使

15、系統(tǒng)在等效質(zhì)量：使系統(tǒng)在eqm 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n1.2.4 固有頻率的求法固有頻率的求法40eqeqqkqm 0nqqtpCtpCqnncoscos21 sinnqAt2eq200eqn0000arctannnkqAqmpp qqqq系統(tǒng)的固有頻率；振動(dòng)的振幅；振動(dòng)的位相； 初始廣義坐標(biāo)； 初始速度。 返回首頁(yè)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n例例 在圖中，已知物塊的質(zhì)量為在圖中，已知物塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1、k2，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線(xiàn)振動(dòng)系統(tǒng)的固

16、有頻率。，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線(xiàn)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。 解解：（：（1）并聯(lián)情況。彈簧并聯(lián)的特征是：）并聯(lián)情況。彈簧并聯(lián)的特征是：二二彈簧變形相等彈簧變形相等。 振動(dòng)過(guò)程中，物塊始終作平行移動(dòng)。處振動(dòng)過(guò)程中，物塊始終作平行移動(dòng)。處于平衡位置時(shí)，兩根彈簧的靜變形都是于平衡位置時(shí)，兩根彈簧的靜變形都是 st，而彈性力分別是，而彈性力分別是 st11kF st22kF 系統(tǒng)平衡方程是系統(tǒng)平衡方程是0 xFst2121)(kkFFmg 返回首頁(yè)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n如果用一根彈簧剛度系數(shù)為如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧來(lái)代替原來(lái)的兩

17、根彈簧，的彈簧來(lái)代替原來(lái)的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來(lái)兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，則使該彈簧的靜變形與原來(lái)兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，則 stkmg 21kkkst2121)(kkFFmgk稱(chēng)為稱(chēng)為并聯(lián)彈簧的等效并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)。剛度系數(shù)。并聯(lián)后的等效彈簧剛并聯(lián)后的等效彈簧剛度系數(shù)是各并聯(lián)彈簧度系數(shù)是各并聯(lián)彈簧剛度系數(shù)的算術(shù)和。剛度系數(shù)的算術(shù)和。系統(tǒng)的固有頻率系統(tǒng)的固有頻率121122nkkkmm 返回首頁(yè)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n（2）串聯(lián)情況。串聯(lián)彈簧的特征是：）串聯(lián)情況。串聯(lián)彈簧的特征是：二二彈簧受力相等彈簧受力相等。

18、 當(dāng)物塊在靜平衡位置時(shí)，它的靜位移st等于每根彈簧的靜變形之和，即 st = 1st + 2st 由于每根彈簧所受的拉力都等于由于每根彈簧所受的拉力都等于重力重力mg，故它們的靜變形分別為，故它們的靜變形分別為1st1kmg2st2kmg如果用一根彈簧剛度系數(shù)為如果用一根彈簧剛度系數(shù)為 k 的彈的彈簧來(lái)代替原來(lái)的兩根彈簧，此彈簧簧來(lái)代替原來(lái)的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于的靜變形等于kmgst 返回首頁(yè)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n如果用一根彈簧剛度系數(shù)為如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k 的彈簧來(lái)代替原來(lái)的的彈簧來(lái)代替原來(lái)的兩根彈簧，此彈簧的靜變

19、形等于兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于kmgst21111kkkkk kkk1212k稱(chēng)為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)1st1kmg2st2kmg串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和12121122()nk kkmm kk 返回首頁(yè)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n 返回首頁(yè)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n例題例題 1、 試分別應(yīng)用靜變形法、能量法和等效法計(jì)算圖示系統(tǒng) 的固有頻率。（15分） 返回首頁(yè)1.2.4 等效

20、剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n例題例題 1、 試分別應(yīng)用靜變形法、能量法和等效法計(jì)算圖示系統(tǒng) 的固有頻率。（15分） 返回首頁(yè)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n例題例題 1、 試分別應(yīng)用靜變形法、能量法和等效法計(jì)算圖示系統(tǒng) 的固有頻率。（15分）例題例題2、 質(zhì)量為質(zhì)量為m的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿AB的質(zhì)量不計(jì)，的質(zhì)量不計(jì)，兩彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為兩彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1和和k2,又又AC=a，AB=b，求物塊，求物塊的自由振動(dòng)頻率。的自由振動(dòng)頻率。 解解：將各彈簧的剛度

21、系數(shù)按：將各彈簧的剛度系數(shù)按靜力等效的原則，折算到質(zhì)靜力等效的原則，折算到質(zhì)量所在處。量所在處。 先將剛度系數(shù)先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)換算至質(zhì)量量m所在處所在處C的等效剛度系的等效剛度系數(shù)數(shù)k 。 返回首頁(yè)C1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n先將剛度系數(shù)先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)量換算至質(zhì)量m所在處所在處C的等效剛度系數(shù)的等效剛度系數(shù)k 。 返回首頁(yè)C設(shè)在設(shè)在C處作用一力處作用一力F，按靜力平衡的，按靜力平衡的關(guān)系，作用在關(guān)系，作用在B處的力為處的力為bFa此力使此力使B B 彈簧彈簧 k2 產(chǎn)生產(chǎn)生 變形，變形，222bkFabac而此變形使

22、而此變形使C點(diǎn)發(fā)生的變形為點(diǎn)發(fā)生的變形為 得到作用在得到作用在C處而與處而與k2彈簧等效的剛度系數(shù)彈簧等效的剛度系數(shù) 222abkFkc1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o nC222abkFkc物塊的自由振動(dòng)頻率為物塊的自由振動(dòng)頻率為122212()nk kkbmm a kb k與彈簧k1串聯(lián)221222122212221kbkabkkabkkabkkk 返回首頁(yè)得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i

23、b r a t I o n練習(xí)題練習(xí)題1、 質(zhì)量為質(zhì)量為m的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿AB的質(zhì)量不計(jì)，的質(zhì)量不計(jì)，兩彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為兩彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1和和k2,又又AC=a，AB=b，求物塊，求物塊的自由振動(dòng)頻率。的自由振動(dòng)頻率。 返回首頁(yè)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n 返回首頁(yè)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n 返回首頁(yè)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n例例1 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m的物塊從的物

24、塊從 h 的的高處自由落下，與一根抗彎剛度為高處自由落下，與一根抗彎剛度為EI、長(zhǎng)為的簡(jiǎn)支梁作塑性碰撞，不、長(zhǎng)為的簡(jiǎn)支梁作塑性碰撞，不計(jì)梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動(dòng)的計(jì)梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動(dòng)的頻率、振幅和最大撓度。頻率、振幅和最大撓度。 stng 返回首頁(yè)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)解解：當(dāng)梁的質(zhì)量可以略去不計(jì)時(shí)，梁可以用一根彈簧：當(dāng)梁的質(zhì)量可以略去不計(jì)時(shí)，梁可以用一根彈簧來(lái)代替，于是這個(gè)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成彈簧來(lái)代替，于是這個(gè)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。如果質(zhì)量系統(tǒng)。如果知道系統(tǒng)的靜變形知道系統(tǒng)的靜變形 則求出系統(tǒng)的固有頻率則求出系統(tǒng)的固有頻率 stH u l l V i b r a t I o

25、 n由材料力學(xué)可知，簡(jiǎn)支梁受集由材料力學(xué)可知，簡(jiǎn)支梁受集中載荷作用，其中點(diǎn)靜撓度為中載荷作用，其中點(diǎn)靜撓度為EImgl483st求出系統(tǒng)的固有頻率為求出系統(tǒng)的固有頻率為348nEIml中央受集中載荷的簡(jiǎn)支梁的等效彈簧剛度系數(shù)為中央受集中載荷的簡(jiǎn)支梁的等效彈簧剛度系數(shù)為348lEIk 返回首頁(yè)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn)O，建立坐標(biāo)系，并以撞擊時(shí)刻，建立坐標(biāo)系，并以撞擊時(shí)刻為零瞬時(shí)，則為零瞬時(shí)，則t=0時(shí)，有時(shí)，有st0 xghx20自由振動(dòng)的振幅為自由振動(dòng)的振幅為2

26、2200stst()2nxAxh)9611 (48233stst2ststmaxmglEIhEImglhA梁的最大撓度梁的最大撓度 返回首頁(yè)1.2.4 等效剛度系數(shù)等效剛度系數(shù)H u l l V i b r a t I o n1.2.4 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動(dòng)軸等，在運(yùn)內(nèi)燃機(jī)的曲軸、輪船的傳動(dòng)軸等，在運(yùn)轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)扭振。轉(zhuǎn)中常常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)扭振。 扭振系統(tǒng)稱(chēng)為扭振系統(tǒng)稱(chēng)為扭擺扭擺。OA 為一鉛直圓軸，圓盤(pán)對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為為一鉛直圓軸，圓盤(pán)對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IO。在研究扭擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，假定在研究扭擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，假定OA的質(zhì)量略的質(zhì)量略去不計(jì)，圓盤(pán)的位置可由圓盤(pán)

27、上任一根半徑去不計(jì)，圓盤(pán)的位置可由圓盤(pán)上任一根半徑線(xiàn)和該線(xiàn)的靜止位置之間的夾角線(xiàn)和該線(xiàn)的靜止位置之間的夾角 來(lái)決定，來(lái)決定，稱(chēng)稱(chēng)扭角扭角。圓軸的抗扭剛度系數(shù)為圓軸的抗扭剛度系數(shù)為kn，表示使，表示使圓盤(pán)產(chǎn)生單位扭角所需的力矩。圓盤(pán)產(chǎn)生單位扭角所需的力矩。 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程建立該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程建立該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程nOkI 扭振的運(yùn)動(dòng)規(guī)律扭振的運(yùn)動(dòng)規(guī)律00cossinnnntt對(duì)于單自由度振動(dòng)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，盡管前述直線(xiàn)振動(dòng)和對(duì)于單自由度振動(dòng)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，盡管前述直線(xiàn)振動(dòng)和當(dāng)前扭振的結(jié)構(gòu)形式和振動(dòng)形式均不一樣，但其振當(dāng)

28、前扭振的結(jié)構(gòu)形式和振動(dòng)形式均不一樣，但其振動(dòng)規(guī)律、特征是完全相同的。動(dòng)規(guī)律、特征是完全相同的。 20n nnOkI固有圓頻率固有圓頻率 返回首頁(yè)1.2.4 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)H u l l V i b r a t I o n圖圖 (a)所示為扭振系統(tǒng)兩個(gè)軸并聯(lián)的情況；圖所示為扭振系統(tǒng)兩個(gè)軸并聯(lián)的情況；圖(b)為兩為兩軸串聯(lián)的情況；圖軸串聯(lián)的情況；圖(c)則為進(jìn)一步簡(jiǎn)化的等效系統(tǒng)。則為進(jìn)一步簡(jiǎn)化的等效系統(tǒng)。2121nnnnnkkkkk并聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)并聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)21nnnkkk串聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù)串聯(lián)軸系的等效剛度系數(shù) 返回首頁(yè)1.2.4 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)H u l l V i

29、b r a t I o n 返回首頁(yè) 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)1.3.1 簡(jiǎn)諧激振力作用下強(qiáng)迫簡(jiǎn)諧激振力作用下強(qiáng)迫振動(dòng)的概念及方程的求解振動(dòng)的概念及方程的求解1 基本概念基本概念自由振動(dòng)自由振動(dòng)無(wú)阻尼無(wú)阻尼等幅振動(dòng)等幅振動(dòng)有阻尼有阻尼振動(dòng)衰減至終止振動(dòng)衰減至終止有阻尼有阻尼等幅振動(dòng)等幅振動(dòng)外部激振力外部激振力強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng) 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)1.3.1 簡(jiǎn)諧激振力作用下強(qiáng)迫

30、簡(jiǎn)諧激振力作用下強(qiáng)迫振動(dòng)的概念及方程的求解振動(dòng)的概念及方程的求解1 基本概念基本概念直接作用于系統(tǒng)直接作用于系統(tǒng)系統(tǒng)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)外部激振力外部激振力 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)1.3.1 簡(jiǎn)諧激振力作用下強(qiáng)迫簡(jiǎn)諧激振力作用下強(qiáng)迫振動(dòng)的概念及方程的求解振動(dòng)的概念及方程的求解2 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n0( )sinP tPt0sinmxKxPt1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼

31、強(qiáng)迫振動(dòng)1.3.1 簡(jiǎn)諧激振力作用下強(qiáng)迫簡(jiǎn)諧激振力作用下強(qiáng)迫振動(dòng)的概念及方程的求解振動(dòng)的概念及方程的求解3 強(qiáng)迫振動(dòng)方程的求解強(qiáng)迫振動(dòng)方程的求解非齊次微分方程非齊次微分方程0sinmxKxPt 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n20sinPxxtM3 強(qiáng)迫振動(dòng)方程的求解強(qiáng)迫振動(dòng)方程的求解非齊次微分方程通解非齊次微分方程通解齊次微分方程齊次微分方程通解通解非齊次微分方程特解非齊次微分方程特解 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n112cossinnnxAtAt2sinnxBt

32、3 強(qiáng)迫振動(dòng)方程的求解強(qiáng)迫振動(dòng)方程的求解非齊次微分方程特解非齊次微分方程特解非齊次微分方程通解非齊次微分方程通解 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n2sinnxBt021 ()nPKB21 ()stnx1122cossinsin1 ()stnnnxxAtAtt求得待定系數(shù)求得待定系數(shù)強(qiáng)迫振動(dòng)方程的解強(qiáng)迫振動(dòng)方程的解 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n其中其中A1和和A2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。設(shè)為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。設(shè)t=0時(shí)，時(shí)， 可解可解

33、00 xxxx ，10;Ax02201 ()stnnxxA0022cossinsinsin1 ()1 ()ststnnnnnnnxxxxxtttt與初始條件相關(guān)與初始條件相關(guān)與初始條件無(wú)關(guān)與初始條件無(wú)關(guān)按固有頻率振動(dòng)按固有頻率振動(dòng)按激勵(lì)頻率振動(dòng)按激勵(lì)頻率振動(dòng) 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n0022cossinsinsin1 ()1 ()ststnnnnnnnxxxxxtttt伴隨的自伴隨的自由振動(dòng)由振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 阻尼阻尼在有阻尼的情況下，振動(dòng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后在有阻尼的情況下，振動(dòng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后0022cossinsinsi

34、n1 ()1 ()ststnnnnnnnxxxxxtttt2sinsin1 ()stnxxtAt令：211 ()n動(dòng)力放大系數(shù)動(dòng)力放大系數(shù)sinstxt 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n討論討論1：01振幅趨近于靜伸長(zhǎng)，激振力可看做靜力振幅趨近于靜伸長(zhǎng)，激振力可看做靜力 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n211 ()n動(dòng)力放大系數(shù)動(dòng)力放大系數(shù)n討論討論2：0質(zhì)量塊趨于靜止質(zhì)量塊趨于靜止 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t

35、 I o n211 ()n動(dòng)力放大系數(shù)動(dòng)力放大系數(shù)n討論討論3：1質(zhì)量塊振幅大于靜伸長(zhǎng)。質(zhì)量塊振幅大于靜伸長(zhǎng)。 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n211 ()n動(dòng)力放大系數(shù)動(dòng)力放大系數(shù)n2討論討論4：1共振現(xiàn)象共振現(xiàn)象 1.3.2 共振與拍振現(xiàn)象共振與拍振現(xiàn)象H u l l V i b r a t I o n211 ()n動(dòng)力放大系數(shù)動(dòng)力放大系數(shù)n 1.3.2 共振與拍振現(xiàn)象共振與拍振現(xiàn)象H u l l V i b r a t I o n1 共振現(xiàn)象共振現(xiàn)象n10022cossinsinsin1 ()1 ()ststnnnnnnnx

36、xxxxtttt222sinsinsinsin1 ()1 ()1 ()ststnststnnnnnnxtxtxxtt2sinsin001 ()nnstnttx 1.3.2 共振與拍振現(xiàn)象共振與拍振現(xiàn)象H u l l V i b r a t I o n由羅必塔法則由羅必塔法則cos()sinlimsincos222nnnnnstststnnnntttxxxttt2sinsin1 ()nnstnttx00cossinsincos22ststnnnnnnxxxxxttttt1 共振現(xiàn)象共振現(xiàn)象 1.3 1.3 無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n00cos

37、sinsincos22ststnnnnnnxxxxxtttttcos2stnnxtt非等幅周期振動(dòng)非等幅周期振動(dòng)0022cossinsinsin1 ()1 ()ststnnnnnnnxxxxxtttt2. 拍振現(xiàn)象拍振現(xiàn)象假設(shè)假設(shè)1：初始條件為零，即：初始條件為零，即000,0 xx假設(shè)假設(shè)2：激振力頻率和固頻：激振力頻率和固頻率接近，但不相同，即率接近，但不相同，即2n 2(sinsin)(sinsin)1 ()(1)(1)ststnnnnnnnxxxtttt(sinsin)(1)(1)stnnnnxxtt2n 1n21nnsincos2nstxxtt 2. 拍振現(xiàn)象拍振現(xiàn)象H u l l

38、V i b r a t I o n 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications 1.3 .4 1.3 .4 系統(tǒng)振動(dòng)的復(fù)數(shù)表示法系統(tǒng)振動(dòng)的復(fù)數(shù)表示法記 , 復(fù)數(shù)1i ecossini tzxiyAAtiAt復(fù)數(shù)Z的實(shí)部和虛部可分別表示為emR ( )cosI ( )sinxzAtyzAt簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移x與它的復(fù)數(shù)表示z的關(guān)系可寫(xiě)為Re( )xz3. 用復(fù)數(shù)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)用復(fù)數(shù)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng) 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.11.3.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表示用復(fù)數(shù)

39、表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度加速度為 ()2eeiti tzi AA222()eei titzi AA它包含了振動(dòng)的振幅和相角兩個(gè)信息。用復(fù)指數(shù)形式描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)將給運(yùn)算帶來(lái)很多方便。 Re( )cosxzAtResincos()2xZAtAt 22Recoscos()xZAtAt 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.21.3.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 1. 兩個(gè)同頻率振動(dòng)的合成兩個(gè)同頻率振動(dòng)的合成有兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)xAt111sin()xAt222sin()由于A1 、A2的角速度相等，旋轉(zhuǎn)時(shí)它們之間的夾

40、角( )保持不變，合矢量A也必然以相同的角速度 作勻速轉(zhuǎn)動(dòng) 12 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications 1.3 1.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.3.21.3.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 由矢量的投影定理 xAtAtAt1122sin()sin()sin()coscossinsinarctan()coscos()sinsin(221122112221122211AAAAAAAAAA =A1 +A2即兩個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的結(jié)果仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率與原來(lái)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相同，其振幅和初相角用上式確定。 返回首頁(yè) 第第1 1章章 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)單自

41、由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n1.4 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)1.4.1 阻尼的概念和分類(lèi)阻尼的概念和分類(lèi)阻尼：使系統(tǒng)的振動(dòng)受到阻滯和減弱，阻尼：使系統(tǒng)的振動(dòng)受到阻滯和減弱，系統(tǒng)的能量隨時(shí)間而損耗的阻力。系統(tǒng)的能量隨時(shí)間而損耗的阻力。外阻尼外阻尼內(nèi)阻尼內(nèi)阻尼干摩擦阻力干摩擦阻力粘性阻力粘性阻力流體動(dòng)力阻力流體動(dòng)力阻力材料內(nèi)阻尼材料內(nèi)阻尼結(jié)構(gòu)內(nèi)阻尼結(jié)構(gòu)內(nèi)阻尼 H u l l V i b r a t I o n1.4 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)1.4.1 阻尼的概念和分類(lèi)阻尼的概念和分類(lèi)外阻尼外阻尼干摩擦阻力：當(dāng)系統(tǒng)與外界的固體表面相干摩擦阻力：當(dāng)系統(tǒng)

42、與外界的固體表面相接觸時(shí)，運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的摩擦阻力。接觸時(shí)，運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的摩擦阻力。 H u l l V i b r a t I o nxxNFd1.4 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)1.4.1 阻尼的概念和分類(lèi)阻尼的概念和分類(lèi)外阻尼外阻尼線(xiàn)性粘性阻力：當(dāng)系統(tǒng)與外界粘性流體接線(xiàn)性粘性阻力：當(dāng)系統(tǒng)與外界粘性流體接 觸時(shí)，或在粘性流體中以觸時(shí)，或在粘性流體中以 低速運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的阻力。低速運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的阻力。 H u l l V i b r a t I o nxCFd1.4 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)1.4.1 阻尼的概念和分類(lèi)阻尼的概念和分類(lèi)外阻尼外阻尼流體動(dòng)力阻力：當(dāng)系統(tǒng)與外界的粘性流體流體動(dòng)力阻力：當(dāng)

43、系統(tǒng)與外界的粘性流體接觸或在粘性流體中以較高速度運(yùn)動(dòng)接觸或在粘性流體中以較高速度運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的阻力。時(shí)所產(chǎn)生的阻力。 H u l l V i b r a t I o n2xxxbFd1.4 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)1.4.1 阻尼的概念和分類(lèi)阻尼的概念和分類(lèi)內(nèi)阻尼內(nèi)阻尼材料內(nèi)阻尼材料內(nèi)阻尼材料不是完全彈性材料不是完全彈性能量逸散：一部分能量能量逸散：一部分能量轉(zhuǎn)化為熱能而損耗轉(zhuǎn)化為熱能而損耗 H u l l V i b r a t I o n1.4 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)1.4.1 阻尼的概念和分類(lèi)阻尼的概念和分類(lèi)內(nèi)阻尼內(nèi)阻尼材料內(nèi)阻尼材料內(nèi)阻尼遲滯圈的面積表示了遲滯圈的面積表示了單

44、位體積的材料單位體積的材料在一個(gè)振動(dòng)循環(huán)在一個(gè)振動(dòng)循環(huán)中所損耗的能量中所損耗的能量 H u l l V i b r a t I o n1.4 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)1.4.1 阻尼的概念和分類(lèi)阻尼的概念和分類(lèi)內(nèi)阻尼內(nèi)阻尼結(jié)構(gòu)內(nèi)阻尼：是由于系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)引起的。結(jié)構(gòu)內(nèi)阻尼：是由于系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)引起的。力與位移的遲滯圈力與位移的遲滯圈 H u l l V i b r a t I o nxcFc它與物體的形狀、尺寸及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，單位是牛頓米/秒(Ns/m)。 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n線(xiàn)性粘性阻力：當(dāng)系統(tǒng)與外界粘性流體接線(xiàn)性粘性阻力：當(dāng)系統(tǒng)與外界粘性流體接 觸時(shí)

45、，或在粘性流體中以觸時(shí)，或在粘性流體中以 低速運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的阻力。低速運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的阻力。運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程 圖示為一有阻尼的彈簧圖示為一有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模質(zhì)量系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型。以靜平衡位置型。以靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，選為坐標(biāo)原點(diǎn)，選x軸鉛直軸鉛直向下為正，有阻尼的自由振動(dòng)微分方程向下為正，有阻尼的自由振動(dòng)微分方程 kxxcxm 220nxnxx0222 npnrr221222nnrnnrnn 返回首頁(yè)2nkm2ncm衰減系數(shù)，單位1/秒(1/s) solution of the form rtex H u l l V i b r a t I o n1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減

46、振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 022 xpxnxn 運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程 221222nnrnnrnn 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o nnn不同的阻尼比將影響解的結(jié)果（運(yùn)動(dòng)形式）不同的阻尼比將影響解的結(jié)果（運(yùn)動(dòng)形式）1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 22nrnn 222212e(ee)nnntntntxCCnrr21)(e21tCCxnt 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n111.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 臨界情形是從衰減振動(dòng)過(guò)渡到非周期運(yùn)動(dòng)的臨界狀臨界情形是從衰減振動(dòng)過(guò)渡到非周期運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)。這

47、時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運(yùn)動(dòng)規(guī)律在性質(zhì)上態(tài)。這時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運(yùn)動(dòng)規(guī)律在性質(zhì)上發(fā)生變化的重要臨界值。發(fā)生變化的重要臨界值。設(shè)設(shè)cc為為臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù)，由于，由于 =n/ =1，即，即222cncnmmkm 阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是 稱(chēng)為阻尼比的原因。稱(chēng)為阻尼比的原因。 22cnncnmncmcc只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 返回首頁(yè)具有臨界阻尼的系統(tǒng)與過(guò)阻尼系統(tǒng)比較，它為最小阻尼系具有臨

48、界阻尼的系統(tǒng)與過(guò)阻尼系統(tǒng)比較，它為最小阻尼系統(tǒng)。因此質(zhì)量統(tǒng)。因此質(zhì)量m將以最短的時(shí)間回到靜平衡位置，并不作將以最短的時(shí)間回到靜平衡位置，并不作振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，臨界阻尼的這種性質(zhì)有實(shí)際意義，例如大炮發(fā)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，臨界阻尼的這種性質(zhì)有實(shí)際意義，例如大炮發(fā)射炮彈時(shí)要出現(xiàn)反彈，應(yīng)要求發(fā)射后以最短的時(shí)間回到原射炮彈時(shí)要出現(xiàn)反彈，應(yīng)要求發(fā)射后以最短的時(shí)間回到原來(lái)的靜平衡位置，而且不產(chǎn)生振動(dòng)，這樣才能既快又準(zhǔn)確來(lái)的靜平衡位置，而且不產(chǎn)生振動(dòng)，這樣才能既快又準(zhǔn)確地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界阻尼器才能滿(mǎn)足這種地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界阻尼器才能滿(mǎn)足這種要求。要求。H u l l V i b r a t I o

49、 n1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) tntnCCx21-2-1ee1nnr11Otxnrr21)(e21tCCxnt 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n22nrnn 1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) nndri（nn） 221222nndnndrninnirninni 221ndnin，。12e(cossin)ntndndxCtCt其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。設(shè)t = 0時(shí)， 可解00 xxxx ，002ndnxxCC1=x0 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n1.4 單自由度系統(tǒng)

50、的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 220002000()tanndndxnxAxxxnxesin()ntndxAt初相位角 振 幅阻尼振動(dòng)振幅；ntAe 這種情形下，自由振動(dòng)不是等幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)，是按負(fù)指數(shù)衰減的這種情形下，自由振動(dòng)不是等幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)，是按負(fù)指數(shù)衰減的衰減運(yùn)動(dòng)。衰減運(yùn)動(dòng)的頻率為衰減運(yùn)動(dòng)。衰減運(yùn)動(dòng)的頻率為 nd。 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 衰減振動(dòng):物塊在平衡位置附近作具有振動(dòng)性質(zhì)的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，但它的振幅不是常數(shù)，隨時(shí)間的推延而衰減。有阻尼的自由振動(dòng)視為準(zhǔn)周期振動(dòng)。 esin()ntndxAt 返回首頁(yè)

51、H u l l V i b r a t I o n1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 2222111 ()dndnnTTnT為無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期。阻尼對(duì)周期的影響有阻尼自由振動(dòng)的周期有阻尼自由振動(dòng)的周期Td ：物體由最大偏離位置起經(jīng)過(guò)物體由最大偏離位置起經(jīng)過(guò)一次振動(dòng)循環(huán)又到達(dá)另一最大偏離位置所經(jīng)過(guò)的時(shí)間。一次振動(dòng)循環(huán)又到達(dá)另一最大偏離位置所經(jīng)過(guò)的時(shí)間。由于阻尼的存在，使衰減振動(dòng)的周期加大。通常 很小，阻尼對(duì)周期的影響不大。例如，當(dāng)=0.05時(shí)，Td=1.00125T，周期 Td 僅增加了 0.125%。當(dāng)材料的阻尼比 1時(shí)，可近似認(rèn)為有阻尼自由振動(dòng)的周期與無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周

52、期相等。 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n設(shè)衰減振動(dòng)經(jīng)過(guò)一周期Td，在同方向的相鄰兩個(gè)振幅分別為Ai和Ai+1，即()1esin()esin()iidntind in tTindidAAtAAtT兩振幅之比為1ednTiiAA稱(chēng)為振幅減縮率或減幅系數(shù)。如仍以 =0.05為例，算得 ,物體每振動(dòng)一次，振幅就減少27%。由此可見(jiàn) ，在欠阻尼情況下，周期的變化雖然微小，但振幅的衰減卻非常顯著 ，它是按幾何級(jí)數(shù)衰減的。 e1.37dnT 返回首頁(yè)1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 阻尼對(duì)周期的影響H u l l V i b r a t I o n振幅減縮率的

53、自然對(duì)數(shù)稱(chēng)為對(duì)數(shù)減縮率對(duì)數(shù)減縮率或?qū)?shù)減幅系數(shù)，以 表示ln例例1. 在欠阻尼（在欠阻尼（ 1）的系統(tǒng)中，）的系統(tǒng)中，在振幅衰減曲線(xiàn)的包絡(luò)線(xiàn)上，已測(cè)在振幅衰減曲線(xiàn)的包絡(luò)線(xiàn)上，已測(cè)得相隔得相隔N個(gè)周期的兩點(diǎn)個(gè)周期的兩點(diǎn)P、R的幅值的幅值之比之比xP/xR=r r，如圖所示，試確定此，如圖所示，試確定此振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比 。 返回首頁(yè)dnttdndnneeelnln)(112221dnT221dnT 1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) 解：振動(dòng)衰減曲線(xiàn)的包絡(luò)線(xiàn)方程

54、為ntAxe設(shè)P、R兩點(diǎn)在包絡(luò)線(xiàn)上的幅值為xP、xR ，則有rdnNTRPxxe當(dāng) 21時(shí) 此式對(duì)估算小阻尼系統(tǒng)的z值是很方便的。例如，經(jīng)過(guò)10個(gè)周期測(cè)得P、R兩點(diǎn)的幅值比r=2，將N=10、r=2代入上式，得到該系統(tǒng)的阻尼比011. 0202lnNN2lnln2rrrln122N 返回首頁(yè)H u l l V i b r a t I o n1.4 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)解題步驟：解題步驟：由阻尼比確定運(yùn)動(dòng)性質(zhì)由阻尼比確定運(yùn)動(dòng)性質(zhì)給出方程的通解給出方程的通解由初始條件得到問(wèn)題的解由初始條件得到問(wèn)題的解H u l l V i b r a t I o n1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系

55、統(tǒng)的衰減振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n例2： 如圖所示振動(dòng)系統(tǒng)，其彈簧系數(shù)K=250N/cm，阻尼系數(shù)C=0.6N.s/cm，物體重9.8N。設(shè)將物體從靜平衡位置壓低1cm，然后無(wú)初速度釋放，求此后運(yùn)動(dòng)方程的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)解。1.4 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)由阻尼比確定運(yùn)動(dòng)性質(zhì)由阻尼比確定運(yùn)動(dòng)性質(zhì)所以物體將做衰減振動(dòng)所以物體將做衰減振動(dòng)1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n例2： 如圖所示振動(dòng)系統(tǒng)，其彈簧系數(shù)K=250N/cm，阻尼系數(shù)C=0.6N.s/cm，物體重9.8N。設(shè)將物體從靜平衡位置壓低1cm

56、，然后無(wú)初速度釋放，求此后運(yùn)動(dòng)方程的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)解。508 . 998250mKn16 . 0508 . 929806 . 02nmC1.4 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)給出方程的通解給出方程的通解1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n例2： 如圖所示振動(dòng)系統(tǒng)，其彈簧系數(shù)K=250N/cm，阻尼系數(shù)C=0.6N.s/cm，物體重9.8N。設(shè)將物體從靜平衡位置壓低1cm，然后無(wú)初速度釋放，求此后運(yùn)動(dòng)方程的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)解。)cos(tAexndnt40508 . 0130506 . 02nndnn式中1.4 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)由初

57、始條件得到問(wèn)題的解由初始條件得到問(wèn)題的解1.4 單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的衰減振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n例2： 如圖所示振動(dòng)系統(tǒng)，其彈簧系數(shù)K=250N/cm，阻尼系數(shù)C=0.6N.s/cm，物體重9.8N。設(shè)將物體從靜平衡位置壓低1cm，然后無(wú)初速度釋放，求此后運(yùn)動(dòng)方程的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)解。0,1, 00 xcmxt則cmnxxxAnd25. 1)(20200536)arctan(0000 xnxxnd)053640cos(25. 1030text1.5 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)1.5.1 簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)基本方程基本方

58、程1.5 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n)sin(0tPKxxCxM )sin(202tMPxxnxn 非齊次微分方程非齊次微分方程通解通解齊次微分方程齊次微分方程通解通解非齊次微分方程非齊次微分方程特解特解1.5 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)1.5.1 簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)1.5 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) )sin(202tMPxxnxn )sincos()(21tAtAetxndndnt)cos()sin(43tAtAx非齊次微分非齊次微分方程特解方程特解1.5 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)1.5.1 簡(jiǎn)

59、諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)1.5 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n)sin(202tMPxxnxn )cos()sin(43tAtAx)sin(tAx342423tanAAAAA非齊次微分方程通解非齊次微分方程通解1.5 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)1.5.1 簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)1.5 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o nnnn，)sin()sincos(21tAtAtAexndndnt2222012arctan)2()1 (1stxKPA初始條

60、件初始條件1.5 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)1.5.1 簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)自由振動(dòng)項(xiàng)自由振動(dòng)項(xiàng)伴隨自由振動(dòng)項(xiàng)伴隨自由振動(dòng)項(xiàng)強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)1.5 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) H u l l V i b r a t I o n00)0()0(0 xxxxt，時(shí)候，當(dāng))sin(sin)sin()cos(cos)sin()sincos()(000tAtntAetnxxtxetxndndndtndndndtnn1.5 有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)1.5.1 簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)自由振動(dòng)項(xiàng)和伴隨自由振動(dòng)項(xiàng)是衰減振動(dòng)自由振動(dòng)項(xiàng)和伴隨