彈塑性力學(xué)第四章

1、本章討論彈性力學(xué)的第三個基本規(guī)律。本章討論彈性力學(xué)的第三個基本規(guī)律。應(yīng)力、應(yīng)變之關(guān)系，這是變形體力學(xué)研究問題基礎(chǔ)之一。在前面第二、應(yīng)力、應(yīng)變之關(guān)系，這是變形體力學(xué)研究問題基礎(chǔ)之一。在前面第二、三章分別討論了變形體的平衡規(guī)律和幾何規(guī)律（包括協(xié)調(diào)條件）。三章分別討論了變形體的平衡規(guī)律和幾何規(guī)律（包括協(xié)調(diào)條件）。 ji,j+ fi = 0 ij =( ui,j+ uj,i)/2 共共9個方程，但需確定的未知函數(shù)共個方程，但需確定的未知函數(shù)共15個：個： ui， ij= ji， ij= ji， ij = ji = fij ( kl ) 還需要根據(jù)材料的物理性質(zhì)來建立應(yīng)力與還需要根據(jù)材料的物理性質(zhì)來建立

2、應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系：應(yīng)變間的關(guān)系： 1.1 應(yīng)變能應(yīng)變能U 和應(yīng)變能密度和應(yīng)變能密度 W（比能）（比能） 如果彈性體的外力的施加是緩慢進(jìn)行的，物體無動能，物體發(fā)生變形，如果彈性體的外力的施加是緩慢進(jìn)行的，物體無動能，物體發(fā)生變形，產(chǎn)生變形能，也無熱能耗散，則根據(jù)能量守恒，外力實功轉(zhuǎn)化成應(yīng)變產(chǎn)生變形能，也無熱能耗散，則根據(jù)能量守恒，外力實功轉(zhuǎn)化成應(yīng)變能貯存在彈性體中。能貯存在彈性體中。 外力做實功外力做實功 A： A=U 物體的應(yīng)變能物體的應(yīng)變能U VWdVUW：應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度單位體積的應(yīng)變能。單位體積的應(yīng)變能。 1.2 1.2 應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度W與材料的本構(gòu)關(guān)系與材料的本構(gòu)關(guān)系 當(dāng)外

3、載當(dāng)外載 ， 緩慢施加過程緩慢施加過程中，考察外力施加過程中，瞬時外力功中，考察外力施加過程中，瞬時外力功增量變化。增量變化。 iieffiieFFx2x1x3oFf在某一時刻在某一時刻t： iieffiieFF產(chǎn)生產(chǎn)生 iieuujiijeejiijee應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度W 的表達(dá)式？的表達(dá)式？時刻達(dá)到時刻達(dá)到 t + t：位移有增量位移有增量 iieuu應(yīng)變增量應(yīng)變增量 jiijee外力功增量外力功增量 ： SVdSuFdVufA ：函數(shù)增量：函數(shù)增量 VisiiiVWdVUdSuFdVuf應(yīng)變能增量應(yīng)變能增量 A A 中有體積分和面積分，利用柯西公式和散度定理將面中有體積分和面積分，利

4、用柯西公式和散度定理將面積分換成體積分。積分換成體積分。 SVdSuFdVufAiiiiVsVAfu dVF u dSUWdV()iiijijSSF u dSu n dS (),jiijVudV 代入外力功增量代入外力功增量 ,()iji jijii jVVAfu dVu dV ijijVVdVWdVU ijijWW為為 ij的函數(shù)。的函數(shù)。 因為因為W只取決于彈性體的初始應(yīng)變狀態(tài)和最終應(yīng)變狀態(tài)，與變形過程只取決于彈性體的初始應(yīng)變狀態(tài)和最終應(yīng)變狀態(tài)，與變形過程（加載路線）無關(guān)，所以（加載路線）無關(guān)，所以 W 為它的全微分為它的全微分 ijijWW比較上面二式，得：比較上面二式，得： )(kli

5、jijijfW本構(gòu)關(guān)系（方程）本構(gòu)關(guān)系（方程） 適用于各種彈性情況（線性、非線性）適用于各種彈性情況（線性、非線性） ijijWWijijW 由由 ijijW積分得積分得 ijijijWW0應(yīng)變能密度定義式。應(yīng)變能密度定義式。 應(yīng)變能密度定義式應(yīng)變能密度定義式ijijijWW0一些書上寫為一些書上寫為ijijddWWij0 ij ij ijd ijdWW ij 2.1 各向異性材料各向異性材料 在線彈性體應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榫€性關(guān)系，材料均勻在線彈性體應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榫€性關(guān)系，材料均勻和小變形情況和小變形情況,以及當(dāng)以及當(dāng) ij=0 時時 ij=0。用指標(biāo)符號表示：用指標(biāo)符號表示： ij = Eijkl

6、kl Eijkl 共有共有81個元素（四階張量常數(shù)）。個元素（四階張量常數(shù)）。 由于由于 ij = ji ， kl = lk =c T123123332211 T123123332211Eijkl 減少為減少為6 6=36個獨立系數(shù)，用矩陣表示本構(gòu)關(guān)系個獨立系數(shù)，用矩陣表示本構(gòu)關(guān)系 2.1 各向異性材料各向異性材料 =c 666261262221161211CCCCCCCCCC 2.1 各向異性材料各向異性材料 根據(jù)根據(jù) ijijW， 得得 ijklklijklijW2則則 C 為對稱矩陣為對稱矩陣 C= CT。 2.1 各向異性材料各向異性材料2.1 各向異性材料各向異性材料 *對各向異性材

7、料的本構(gòu)關(guān)系可見，剪應(yīng)變引起正應(yīng)力，正應(yīng)變對各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系可見，剪應(yīng)變引起正應(yīng)力，正應(yīng)變也產(chǎn)生剪應(yīng)力。也產(chǎn)生剪應(yīng)力。 彈性材料性質(zhì)一般都具有某些對稱性，利用對稱可進(jìn)一步簡化彈性材料性質(zhì)一般都具有某些對稱性，利用對稱可進(jìn)一步簡化 C 中系數(shù)。中系數(shù)。 Eijkl 的獨立系數(shù)為的獨立系數(shù)為21個個材料為各向異性線彈性材料。材料為各向異性線彈性材料。 2.2 具有一個彈性對稱面的材料具有一個彈性對稱面的材料 x2x1x3彈性主軸彈性主軸若物體內(nèi)各點都有這樣一若物體內(nèi)各點都有這樣一個平面，對此平面對稱方個平面，對此平面對稱方向其彈性性質(zhì)相同，則稱向其彈性性質(zhì)相同，則稱此平面為彈性對稱面，垂此平

8、面為彈性對稱面，垂直彈性對稱面的方向稱為直彈性對稱面的方向稱為彈性主軸。彈性主軸。 如取彈性對稱面為如取彈性對稱面為x1 x2面，面， x3為彈性為彈性主軸或主軸或材料主軸，并取另一坐標(biāo)系材料主軸，并取另一坐標(biāo)系xi ，且，且x1 = x1，x2=x2，x3=-x3。在兩個坐標(biāo)下，彈。在兩個坐標(biāo)下，彈性關(guān)系保持不變，則性關(guān)系保持不變，則 C C 中元素減少為中元素減少為1313個獨立系數(shù)。個獨立系數(shù)。 x2x1x3彈性主軸彈性主軸x3Qij x1 x2x3 x1 = x1 1 0 0 x2=x2 0 1 0 x3=-x3 0 0 -1 代入代入 klljkijiQQklljkijiQQ得得 1

9、1xx22xx33xx2121xxxx1313xxxx2323xxxx應(yīng)變張量具有相同關(guān)系應(yīng)變張量具有相同關(guān)系 。代入兩組坐標(biāo)系下的彈性方程代入兩組坐標(biāo)系下的彈性方程 =c , 比較得比較得 6655454436332623221613121100000000CCCCCCCCCCCCCC稱對2.3 具有三個正交彈性對稱面的材料具有三個正交彈性對稱面的材料正交各向異性材料正交各向異性材料 木材、增強纖維復(fù)合材料屬此種材料。取木材、增強纖維復(fù)合材料屬此種材料。取x1，x2 ， x3為彈性主軸。為彈性主軸。 C中獨立系數(shù)減少為中獨立系數(shù)減少為9個：個： 2.3 具有三個正交彈性對稱面的材料具有三個正

10、交彈性對稱面的材料正交各正交各 向異性材料向異性材料 665544332322131211000000000000CCCCCCCCCC稱對特點：正應(yīng)變僅引起正應(yīng)力，剪應(yīng)變僅產(chǎn)生剪應(yīng)力。特點：正應(yīng)變僅引起正應(yīng)力，剪應(yīng)變僅產(chǎn)生剪應(yīng)力。 2.4 2.4 橫觀各向同性材料橫觀各向同性材料彈性體對一個軸對稱彈性體對一個軸對稱 若通過物體每一點可作這樣的軸（如若通過物體每一點可作這樣的軸（如x3軸），在此軸成垂直的平面內(nèi)，所有射線軸），在此軸成垂直的平面內(nèi)，所有射線方向的彈性性質(zhì)都是相同的，稱這個平面方向的彈性性質(zhì)都是相同的，稱這個平面為各向同性面，如地層屬于此類。為各向同性面，如地層屬于此類。 C C

11、中中獨立系數(shù)為獨立系數(shù)為5 5個：個： x1x2x3x1x2各向同性面各向同性面 2.4 2.4 橫觀各向同性材料橫觀各向同性材料彈性體對一個軸對稱彈性體對一個軸對稱 )(00000000000012114444331311131211CCCCCCCCCCC稱對2.5 2.5 各向同性材料各向同性材料 各個方向彈性性質(zhì)一樣，各個方向彈性性質(zhì)一樣，C中僅有中僅有2個獨立個獨立系數(shù)：系數(shù)： 111212111211111211121112000000000()00()0()CCCCCCCCCCCCC對稱2.5 2.5 各向同性材料各向同性材料 200020002000200202GGGGGG對稱1

12、2111211,2 ,2CCCGCG令則3.1 本構(gòu)關(guān)系用本構(gòu)關(guān)系用 、G表示表示 采用指標(biāo)符號表示：采用指標(biāo)符號表示： ijijkkijijijGG22 其中其中 ekk 應(yīng)變第一不變量（體積應(yīng)變）應(yīng)變第一不變量（體積應(yīng)變） 3.1 本構(gòu)關(guān)系用本構(gòu)關(guān)系用 、G表示表示 或或 kkijijkkijijijGGGG2321221kk應(yīng)力第一不變量應(yīng)力第一不變量； 3.1 本構(gòu)關(guān)系用本構(gòu)關(guān)系用 、G表示表示 兩個第一不變量關(guān)系兩個第一不變量關(guān)系 Gkkkk23 Ge2313.2 3.2 本構(gòu)關(guān)系用彈性模量本構(gòu)關(guān)系用彈性模量E和泊松系數(shù)和泊松系數(shù) 表示表示 令令 )21)(1 (E)1 (2EG或或 )()23(GGGE)(2G3.2 3.2 本構(gòu)關(guān)系用彈性模量本構(gòu)關(guān)系用彈性模量E和泊松系數(shù)和泊松系數(shù) 表示表示 則本構(gòu)關(guān)系變?yōu)椴牧狭W(xué)中最初見到的廣義虎克定理的形式：則本構(gòu)關(guān)系變?yōu)椴牧狭W(xué)中最初見到的廣義虎克定理的形式： )(1zyxxE)(1xzyyE)(1yxzzEyzyzE)1 (2zxzxE)1 (2xyxyE)1 (2 采用指標(biāo)符號采用指標(biāo)符號表示：表示： kkijijijE)1 (1kkijijijE211kkkkE21e21E3Kee )21 ( 33E323)21