揚(yáng)帆遠(yuǎn)航【數(shù)學(xué)模型】

1、揚(yáng)帆遠(yuǎn)航揚(yáng)帆遠(yuǎn)航數(shù)學(xué)模型（第三版）P44數(shù)學(xué)模型（第四版）P47揚(yáng)帆遠(yuǎn)航海面上東風(fēng)勁吹，帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)。稍有常識(shí)的人都知道，為了借助風(fēng)力，船應(yīng)該先朝東北方向前進(jìn)，然后再轉(zhuǎn)向東南方，才能到達(dá)B點(diǎn)。這里要解決的問題是，確定起航時(shí)的航向（與正東方向的夾角）及帆的朝向（帆面與航向的夾角）。AB 風(fēng)向風(fēng)向北北航向航向帆船帆船帆帆AB 北北模型分析：模型分析：帆船在航行過程中既受到風(fēng)風(fēng)通過帆船對(duì)船的推力對(duì)船的推力 ，又受到風(fēng)對(duì)船體的阻力風(fēng)對(duì)船體的阻力 ，需要對(duì)這兩種力作合理、簡(jiǎn)化分析，找出它們?cè)诤较虻姆至ΑAB 風(fēng)的推力 分解為 ，其中 垂直于帆， 平行于帆。 又分解為 ，即為風(fēng)在航向的推

2、力。風(fēng)的阻力 分解為 ，其中 為風(fēng)在航向的阻力。 12121112ffp12ppp1p因?yàn)?和 的方向反，所以船受到的凈推力為 1f1p11fp模型假設(shè)：模型假設(shè)：記帆的迎風(fēng)面積為 ，船的迎風(fēng)面積為 。1、風(fēng)通過帆對(duì)船的推力 與 成正比，風(fēng)對(duì)船體的阻力 與 成正比，比例系數(shù)相同（記作 ），且 遠(yuǎn)大于 。2、 的分力 與帆面平行，可以忽略。3、分力 與 垂直于船身，可以被船舵抵消，不予考慮。4、航速 與凈推力 成正比，比例系數(shù)記作 。1s2sp2k1s2s2s1s2f11ffp2p1kv模型建立：模型建立：根據(jù)模型假設(shè)和力的分解圖，容易得到以下關(guān)系1ks2pks1sin()11sinfsin()

3、sin1cospp111()vkfp1cosvv111()coskfp記船在正東方向的速度分量為 ，則1vAB p1p2p121f2f按照流體力學(xué)的知識(shí)，在航行速度不大的情況下，航速與凈推力成正比。于是航向和帆的朝向的確定，應(yīng)該使船在正東方向的速度，即凈推力在正東方向的分力達(dá)到最大。1v本題就是要確定和，使船在正東方向的速度 達(dá)到最大。1111cos()cosvvkfp模型求解：模型求解：這本來是一個(gè)二元函數(shù)的極值問題，但是由 、 知， 與 無關(guān)，首先只需在 固定時(shí)使 最大，解出 ，然后再求 ，使 最大。用初等數(shù)學(xué)的辦法即可求解。1cospp1111cos()cosvvkfp1p1f1v111

4、1cos()cosvvkfp1sin()sinf固定時(shí)：11coscos(2 )2f 1cos(2 )cos2積化和差公式積化和差公式所以當(dāng) 時(shí)， 最大211(1cos)2f將 、 代入 得1cospp11(1cos)2f1v111(1cos)coscos2vkp1sinsincoscos2 111(1 cos )coscos2vkp12=1coscoscos2kp1211coscos2kp由 、 記 、 則1ks2pks122kk212211spts 121coscosvkt22coscoskt221coscosk tt2222111coscos44k tttt22211cos42k ttt顯然， 時(shí) 最大。由 且 遠(yuǎn)大于 可知1cos2t1v212211spts 1s2s11cos426075結(jié)果分析：結(jié)果分析：航向 角應(yīng)該在 和 之間（具體數(shù)值取決于 和 的比值），帆的朝向 角為 的一半，這是