可用--幾何概型

1、問題情境：問題情境：問題問題1 1：射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán)，從外：射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán)，從外向內(nèi)為白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色金向內(nèi)為白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色金色靶心叫色靶心叫“黃心黃心” 奧運會的比賽靶面直徑為奧運會的比賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為，靶心直徑為12.2cm，運動員在運動員在70m外射假設射箭外射假設射箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)都能中靶，且射中靶面內(nèi)任意任意一點一點都是等可能的，那么射中都是等可能的，那么射中黃心的概率有多大？黃心的概率有多大？122cm（1 1）試驗中的基本事件是什么？）試驗中的基本事件是什么？l能用古典概型描述該事件

2、的概率嗎？為什么？能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？（2 2）每個基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？）每個基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？ 射中靶面上每一點都是一個基本事件射中靶面上每一點都是一個基本事件, ,這一點可這一點可以是靶面直徑為以是靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的任意一點的大圓內(nèi)的任意一點. .（3 3）符合古典概型的特點嗎？）符合古典概型的特點嗎？問題問題2:2:取一根長度為取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？的概率有多大？3m（1 1）試驗中的基本事件是什么？）試驗中的基本事件是

3、什么？l能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？（2 2）每個基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？）每個基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？（3 3）符合古典概型的特點嗎？）符合古典概型的特點嗎？ 從每一個位置剪斷都是一個基本事件從每一個位置剪斷都是一個基本事件, ,剪斷位剪斷位置可以是長度為置可以是長度為3m的繩子上的任意一點的繩子上的任意一點. .問題問題3: 有一杯有一杯1升的水，其中漂浮有升的水，其中漂浮有1個微個微生物，用一個小杯從這杯水中取出生物，用一個小杯從這杯水中取出0.1升，升，求小杯水中含有這個微生物的概率求小杯水中含有這個微生物的概率.（1 1）試

4、驗中的基本事件是什么？）試驗中的基本事件是什么？l能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？（2 2）每個基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？）每個基本事件的發(fā)生是等可能的嗎？（3 3）符合古典概型的特點嗎？）符合古典概型的特點嗎？ 微生物出現(xiàn)的每一個位置都是一個基本事件微生物出現(xiàn)的每一個位置都是一個基本事件, ,微生物微生物出現(xiàn)位置可以是出現(xiàn)位置可以是1 1升水中的任意一點升水中的任意一點. . (1)一次試驗可能出現(xiàn)的結果有無限多個；一次試驗可能出現(xiàn)的結果有無限多個； (2) 每個結果的發(fā)生都具有等可能性每個結果的發(fā)生都具有等可能性 l上面三個隨機試驗有什么共

5、同特點？上面三個隨機試驗有什么共同特點？ 對于一個隨機試驗對于一個隨機試驗, ,我們將每個基本事件我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點點, ,該區(qū)域中每一個點被取到的該區(qū)域中每一個點被取到的機會都一樣機會都一樣; ;而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到中而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到中述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點. .這里的區(qū)域這里的區(qū)域可以是線段可以是線段, ,平面圖形平面圖形, ,立體圖形等立體圖形等. .用這種方用這種方法處理隨機試驗法處理隨機試驗, ,稱為稱為幾何概型幾何概型. .數(shù)學理論：數(shù)

6、學理論： 將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到可能性，就得到幾何概型幾何概型古典概型的本質(zhì)特征：古典概型的本質(zhì)特征：1、樣本空間中樣本點個數(shù)有限，、樣本空間中樣本點個數(shù)有限，2、每一個樣本點都是等可能發(fā)生的、每一個樣本點都是等可能發(fā)生的幾何概型的本質(zhì)特征：幾何概型的本質(zhì)特征：3 3、事件、事件A就是所投擲的點落在就是所投擲的點落在S中的可度量圖形中的可度量圖形A中中 1 1、有一個可度量的幾何圖形、有一個可度量的幾何圖形S；2 2、試驗、試驗E看成在看成在S中隨機地投擲一點；中隨機地投擲一點；l如何求幾何概型的概率？如何求幾何概型的

7、概率？122cmP(A)=01. 0122412 .124122 3m1m1mP(B)=31P(C)=1 . 011 . 0 注意：注意：D的測度不能為的測度不能為0, ,其中其中“測度測度”的意義的意義依依D確定確定. .當當D分別為線段分別為線段, ,平面圖形平面圖形, ,立體圖形立體圖形時時, ,相應的相應的“測度測度”分別為長度分別為長度, ,面積面積, ,體積等體積等. . 一般地一般地, ,在幾何區(qū)域在幾何區(qū)域D中隨機地取一點中隨機地取一點, ,記事記事件件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)內(nèi)”為事件為事件A, ,則事件則事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為: :P(A)

8、=的的測測度度的的測測度度Dd數(shù)學運用：數(shù)學運用： 例例1：某人午覺醒來某人午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了發(fā)現(xiàn)表停了,他打他打開收音機開收音機,想聽電臺報時想聽電臺報時,求他等待的時求他等待的時間不多于間不多于10分鐘的概率分鐘的概率.解：設解：設A=等待的時間不多于等待的時間不多于10分鐘分鐘.我們所關心我們所關心的事件的事件A恰好是打開收音機的時刻位于恰好是打開收音機的時刻位于50,60時間時間段內(nèi)段內(nèi),因此由幾何概型的求概率的公式得因此由幾何概型的求概率的公式得答：答：“等待的時間不超過等待的時間不超過1010分鐘分鐘”的概率為的概率為 1660 501( ),606P A 例例2：一海豚在水池中

9、自由游弋，水池長：一海豚在水池中自由游弋，水池長30m，寬，寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸小于的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸小于2m的概率的概率30m20m2 m 解：設事件解：設事件A“海豚嘴尖離岸邊小于海豚嘴尖離岸邊小于2m”（見陰影部分）（見陰影部分） P（A） dD的測度的測度302026 161840.313020600答答:海豚嘴尖離岸小于海豚嘴尖離岸小于2m的概率約為的概率約為0.31.例例3 3：取一個邊長為：取一個邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓的正方形及其內(nèi)切圓( (如圖如圖),),隨隨機地向正方形內(nèi)丟一粒豆子機地向正方形內(nèi)丟一粒豆子, ,求豆子落入圓內(nèi)的概率求豆子落入圓內(nèi)

10、的概率. .解解: :記記“豆子落入圓內(nèi)豆子落入圓內(nèi)”為事件為事件A, ,則則P(A)=4422 aa正正方方形形面面積積圓圓面面積積答答:豆子落入圓內(nèi)的概率為豆子落入圓內(nèi)的概率為4 撒豆試驗撒豆試驗：向正方形內(nèi)撒：向正方形內(nèi)撒n顆豆子，其中有顆豆子，其中有m顆落在顆落在圓內(nèi)，當圓內(nèi)，當n很大時，頻率接近于概率很大時，頻率接近于概率nAPm)(nm4.4mn練一練練一練練習練習2. .在在1L高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子, ,從中隨機取出從中隨機取出10mL, ,含有麥銹病種子的概率是多少含有麥銹病種子的概率是多少? ?解解: :取出取出10mL種子

11、種子, ,其中其中“含有病種子含有病種子”這一事件這一事件高為高為A, ,則則P( (A)=)=1001100010 所所有有種種子子的的體體積積取取出出種種子子的的體體積積答答: :含有麥銹病種子的概率為含有麥銹病種子的概率為0.01練習練習1. 1. 在數(shù)軸上，設點在數(shù)軸上，設點x-3,3x-3,3中按均勻分布出中按均勻分布出現(xiàn)，記現(xiàn)，記a(-1,2a(-1,2為事件為事件A A，則，則P P（A A）= =（ ）A A、1 B1 B、0 C0 C、1/2 D1/2 D、1/31/3C023-3-1 練習練習3：在正方形：在正方形ABCD內(nèi)隨機取一點內(nèi)隨機取一點P，求，求APB 90的概率

12、的概率BCADP22)2(21)(aaDdAP 的測度的測度的測度的測度.8 APB 90？. 00)(2 aDdBP的測度的測度的測度的測度概率為概率為0 0的事件可能發(fā)生！的事件可能發(fā)生！回顧小結：回顧小結：1.1.幾何概型的特點：幾何概型的特點：、事件、事件A就是所投擲的點落在就是所投擲的點落在S中的可度量圖形中的可度量圖形A中中 、有一個可度量的幾何圖形、有一個可度量的幾何圖形S；、試驗、試驗E看成在看成在S中隨機地投擲一點；中隨機地投擲一點；2.2.古典概型與幾何概型的區(qū)別古典概型與幾何概型的區(qū)別. .相同：相同：兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的；兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的；不同：

13、不同：古典概型要求基本事件有有限個，古典概型要求基本事件有有限個， 幾何概型要求基本事件有無限多個幾何概型要求基本事件有無限多個. . 回顧小結：回顧小結：3.3.幾何概型的概率公式幾何概型的概率公式. . 4.4.幾何概型問題的概率的求解幾何概型問題的概率的求解. . 課后作業(yè)：課后作業(yè)：課本課本 P P103103 習題習題3.3 3.3 No.1No.1、2 2、3 3、4.4.復習回顧：復習回顧：1.1.幾何概型的特點：幾何概型的特點：、事件、事件A就是所投擲的點落在就是所投擲的點落在S中的可度量圖形中的可度量圖形A中中 、有一個可度量的幾何圖形、有一個可度量的幾何圖形S；、試驗、試驗

14、E看成在看成在S中隨機地投擲一點；中隨機地投擲一點；2.2.古典概型與幾何概型的區(qū)別古典概型與幾何概型的區(qū)別. .相同：相同：兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的；兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限個，古典概型要求基本事件有有限個， 幾何概型要求基本事件有無限多個幾何概型要求基本事件有無限多個. . 3.3.幾何概型的概率公式幾何概型的概率公式. . 4.4.幾何概型問題的概率的求解幾何概型問題的概率的求解. . ( )AP A 構構成成事事件件 的的區(qū)區(qū)域域的的測測度度（面面積積或或體體積積）試試驗驗的的全全部部結結果果所所構構成成的的區(qū)區(qū)域域的的測測度度（面面

15、積積或或體體積積）. .、體積)、體積)D的測度(長度、面積D的測度(長度、面積、體積)、體積)d的測度(長度、面積d的測度(長度、面積P(A)P(A)例例2.2.甲、乙二人約定在下午甲、乙二人約定在下午1212點到點到1717點之間在某地會面，點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去先到者等一個小時后即離去, ,設二人在這段時間內(nèi)的各時刻設二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率。到達是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率。解：解： 以以 X , YX , Y 分別表示甲、乙二人到達的時刻，于是分別表示甲、乙二人到達的時刻，于是05, 05.XY 即即 點點 M M 落在圖中的陰影部落在圖中的陰影部分分. .所有的點構成一個正所有的點構成一個正方形，即有方形，即有無窮多個結果無窮多個結果. .由于每人在任一時刻到達由于每人在任一時刻到達都是等可能的，所以落在正都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點是方形內(nèi)各點是等可能的等可能的. .M(X,Y)y543210 1 2 3 4 5x二人會面的充要條件是：二人會面的充要條件是： | 1,XY2 25 5. .9 92 25 54 42 21 12 22 25 5正正方方形形的的面面積積陰陰影影部部分分的的面面積積P P( (A A) )2 20 1 2 3 4 5xy54