第三章流體運(yùn)動學(xué)一

1、第三章第三章 流體運(yùn)動學(xué)流體運(yùn)動學(xué) 3.13.1流動描述流動描述 3.23.2描述描述 流體運(yùn)動的基本概念流體運(yùn)動的基本概念 3.33.3流體運(yùn)動的連續(xù)性方程流體運(yùn)動的連續(xù)性方程 3.43.4流體微團(tuán)運(yùn)動分析流體微團(tuán)運(yùn)動分析本章要點(diǎn)本章要點(diǎn): : 熟練掌握熟練掌握恒定流與非恒定流、均勻與非均勻流、恒定流與非恒定流、均勻與非均勻流、過流斷面和流量等基本概念；過流斷面和流量等基本概念；掌握掌握連續(xù)性微分方程、連續(xù)性微分方程、一維連續(xù)性方程、流體微團(tuán)的運(yùn)動分析；一維連續(xù)性方程、流體微團(tuán)的運(yùn)動分析；理解理解流管、流管、元流、總流、流線、跡線、一維流和二維流及三維流、元流、總流、流線、跡線、一維流和二維

2、流及三維流、有壓流動和無壓流動等基本概念；有壓流動和無壓流動等基本概念；了解了解描述流體運(yùn)動描述流體運(yùn)動的拉格朗日法、歐拉法。的拉格朗日法、歐拉法。3.13.1流動描述流動描述 流體運(yùn)動學(xué)研究流體的運(yùn)動規(guī)律，包括描述流流體運(yùn)動學(xué)研究流體的運(yùn)動規(guī)律，包括描述流體運(yùn)動的方法、質(zhì)點(diǎn)速度、加速度的變化和所遵循體運(yùn)動的方法、質(zhì)點(diǎn)速度、加速度的變化和所遵循的規(guī)律。本章不涉及流體的動力學(xué)性質(zhì)，所研究的的規(guī)律。本章不涉及流體的動力學(xué)性質(zhì)，所研究的內(nèi)容及其結(jié)論，對無粘性流體和粘性流體均適用。內(nèi)容及其結(jié)論，對無粘性流體和粘性流體均適用。 描述流體運(yùn)動有兩種方法，有描述流體運(yùn)動有兩種方法，有歐拉歐拉（Leonhar

3、d Leonhard EulerEuler，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家，公元，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家，公元1707170717831783年）法和年）法和拉格朗日拉格朗日(Lagrange(Lagrange，J.J.法國數(shù)學(xué)家、法國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，公元天文學(xué)家，公元173617361813)1813)法。法。流體和固體不同，流體運(yùn)動是由無數(shù)質(zhì)點(diǎn)流體和固體不同，流體運(yùn)動是由無數(shù)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的連續(xù)介質(zhì)的流動。怎樣用數(shù)學(xué)物理構(gòu)成的連續(xù)介質(zhì)的流動。怎樣用數(shù)學(xué)物理的方法來描述流體的運(yùn)動？這是從理論上的方法來描述流體的運(yùn)動？這是從理論上研究流體運(yùn)動規(guī)律首先要解決的問題。研究流體運(yùn)動規(guī)律首先要解決的問題。一、拉格

4、朗日法一、拉格朗日法 拉格朗日法是把流體運(yùn)動看作拉格朗日法是把流體運(yùn)動看作無數(shù)個質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的總和，以部分質(zhì)無數(shù)個質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的總和，以部分質(zhì)點(diǎn)作為觀察對象加以描述，將這些點(diǎn)作為觀察對象加以描述，將這些質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動匯總起來，就得到整個流質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動匯總起來，就得到整個流動。拉格朗日法也稱為質(zhì)點(diǎn)系法。動。拉格朗日法也稱為質(zhì)點(diǎn)系法。 拉格朗日法為識別所指定的質(zhì)拉格朗日法為識別所指定的質(zhì)點(diǎn)，用起始時刻（點(diǎn)，用起始時刻（tt0）的坐標(biāo)）的坐標(biāo)( (a，b，c) )作為該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。其位移就作為該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。其位移就是起始坐標(biāo)和時間變量的連續(xù)函數(shù)是起始坐標(biāo)和時間變量的連續(xù)函數(shù)（圖（圖31）。）。 zxyacbr0yxz

5、rt圖圖3 31 1質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡 式中式中a、b、c、t稱為拉格朗日變數(shù)。確定稱為拉格朗日變數(shù)。確定a、b、c就可以就可以確定該質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。確定該質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。( , , , )( , , , )( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t31 當(dāng)研究某一指定流體質(zhì)點(diǎn)時起始坐標(biāo)當(dāng)研究某一指定流體質(zhì)點(diǎn)時起始坐標(biāo)a a，b b，c c是常數(shù)，是常數(shù)，式式( (31) )所表達(dá)的是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。速度和加速度都是針對所表達(dá)的是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。速度和加速度都是針對某一流體質(zhì)點(diǎn)而言的，所以，將式某一流體質(zhì)點(diǎn)而言的，所以，將式( (31) )對時間進(jìn)

6、行一階和二對時間進(jìn)行一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，在求導(dǎo)過程中階偏導(dǎo)數(shù)，在求導(dǎo)過程中a，b，c視為常數(shù)，便得該質(zhì)點(diǎn)的速視為常數(shù)，便得該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。度和加速度。加速度加速度 222222zztuatytuatxtuazzyyxx33 速度速度 ttcbaztzuttcbaytyuttcbaxtxuzyx),(),(),(32 速度速度 ttcbaztzuttcbaytyuttcbaxtxuzyx),(),(),( 拉格朗日法是質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方法的擴(kuò)展，其基本特點(diǎn)是追蹤拉格朗日法是質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方法的擴(kuò)展，其基本特點(diǎn)是追蹤單個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，物理概念清晰明了，與研究固體質(zhì)點(diǎn)的方法單個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，物理概念清晰明了，

7、與研究固體質(zhì)點(diǎn)的方法一致。但是，由于流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡極其復(fù)雜，應(yīng)用這種方一致。但是，由于流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡極其復(fù)雜，應(yīng)用這種方法描述流體的運(yùn)動在數(shù)學(xué)上存在困難，在實(shí)用上也不需要了解法描述流體的運(yùn)動在數(shù)學(xué)上存在困難，在實(shí)用上也不需要了解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的全過程。所以，除個別的流動，都應(yīng)用歐拉法描述，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的全過程。所以，除個別的流動，都應(yīng)用歐拉法描述，本書后敘內(nèi)容均屬歐拉法。本書后敘內(nèi)容均屬歐拉法。二、歐拉法二、歐拉法 歐拉法是以流動的空間作為觀察對象，觀察不同時刻各歐拉法是以流動的空間作為觀察對象，觀察不同時刻各空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動參數(shù)，將各個時刻的情況匯總起來，空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動參數(shù)，將各

8、個時刻的情況匯總起來，就描述了整個流動。歐拉法也稱為流場法。就描述了整個流動。歐拉法也稱為流場法。 由于歐拉法以流動空間作為觀察對象，每時刻各空間點(diǎn)由于歐拉法以流動空間作為觀察對象，每時刻各空間點(diǎn)都有確定的運(yùn)動參數(shù)，這樣的空間稱為流場，包括速度場、都有確定的運(yùn)動參數(shù)，這樣的空間稱為流場，包括速度場、壓強(qiáng)場、密度場等壓強(qiáng)場、密度場等. . 采用歐拉法，流場中任意一個運(yùn)動要素可以表示為空間采用歐拉法，流場中任意一個運(yùn)動要素可以表示為空間坐標(biāo)和時間的函數(shù)，比如在直角坐標(biāo)系中流速是隨空間坐標(biāo)坐標(biāo)和時間的函數(shù)，比如在直角坐標(biāo)系中流速是隨空間坐標(biāo)（x x，y y，z z）和時間）和時間t t而變化的。因此

9、流體質(zhì)點(diǎn)的速度可以表而變化的。因此流體質(zhì)點(diǎn)的速度可以表示為示為式中，空間坐標(biāo)式中，空間坐標(biāo)x x，y y，z z和時間變量和時間變量t t稱為歐拉變數(shù)。稱為歐拉變數(shù)。( , )uu x y z t （35）),(tzyxpp(,)xyzt(, )(, )(, )xxyyzzuuxyz tuuxyz tuuxyz t37 36 35 34 流體質(zhì)點(diǎn)的速度在各坐標(biāo)軸上的投影可表示流體質(zhì)點(diǎn)的速度在各坐標(biāo)軸上的投影可表示為為當(dāng)當(dāng)t t為常數(shù)，為常數(shù)，x，y，z為變數(shù)時，我們可以求得在同一時刻流場為變數(shù)時，我們可以求得在同一時刻流場中不同空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度分布情況（中不同空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的速度分布情

10、況（流速場流速場）。當(dāng)）。當(dāng)x，y，z 為常數(shù)，為常數(shù)，t為變數(shù)時，我們可以求得在某一坐標(biāo)點(diǎn)上，不同時為變數(shù)時，我們可以求得在某一坐標(biāo)點(diǎn)上，不同時刻通過的流體的速度變化情況?？掏ㄟ^的流體的速度變化情況。 流場中，不同坐標(biāo)點(diǎn)上的流速分布在同一時刻是不同的，流場中，不同坐標(biāo)點(diǎn)上的流速分布在同一時刻是不同的，另一方面，同一坐標(biāo)點(diǎn)上，不同時刻通過的流體質(zhì)點(diǎn)流速也是另一方面，同一坐標(biāo)點(diǎn)上，不同時刻通過的流體質(zhì)點(diǎn)流速也是不同的。不同的。 例如氣象預(yù)報(bào)就是由設(shè)在各地的氣象臺例如氣象預(yù)報(bào)就是由設(shè)在各地的氣象臺( (站站) )在規(guī)定的同一在規(guī)定的同一時間進(jìn)行觀測，并把觀測到的氣象資料匯總，繪制成該時刻的時間進(jìn)行

11、觀測，并把觀測到的氣象資料匯總，繪制成該時刻的天氣因子，據(jù)此發(fā)布預(yù)報(bào)，這樣的方法就是歐拉法。天氣因子，據(jù)此發(fā)布預(yù)報(bào)，這樣的方法就是歐拉法。三、流體質(zhì)點(diǎn)的加速度，質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)三、流體質(zhì)點(diǎn)的加速度，質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)拉格朗日法以個別質(zhì)點(diǎn)為對象，式拉格朗日法以個別質(zhì)點(diǎn)為對象，式( (33) )即為指定質(zhì)點(diǎn)即為指定質(zhì)點(diǎn)（起始坐標(biāo)（起始坐標(biāo)a，b，c）的加速度表達(dá)式。下面討論歐拉法質(zhì)點(diǎn)加）的加速度表達(dá)式。下面討論歐拉法質(zhì)點(diǎn)加速度的表達(dá)式，求質(zhì)點(diǎn)的加速度，就要跟蹤觀察這個質(zhì)點(diǎn)沿程速度的表達(dá)式，求質(zhì)點(diǎn)的加速度，就要跟蹤觀察這個質(zhì)點(diǎn)沿程速度的變化，這樣一來，速度表達(dá)式中的坐標(biāo)速度的變化，這樣一來，速度表達(dá)式中的坐標(biāo)x，y，

12、z是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡上的空間點(diǎn)坐標(biāo)，不能視為常數(shù)，而是時間動軌跡上的空間點(diǎn)坐標(biāo)，不能視為常數(shù)，而是時間t t的函數(shù)，即的函數(shù)，即xx(t)、yy(t)、z=z(t）。因此，加速度需按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。因此，加速度需按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)出：導(dǎo)出： duu dxu dyu dzadtx dty dtuztdtxyzuuuuuzuuxyt （38） 式式(38)、(39) 是歐拉法描述流體運(yùn)動中質(zhì)點(diǎn)加速度的是歐拉法描述流體運(yùn)動中質(zhì)點(diǎn)加速度的表達(dá)式，式中包括因表達(dá)式，式中包括因速度場隨時間變化引起的加速度速度場隨時間變化引起的加速度，稱，稱為為當(dāng)?shù)丶铀俣犬?dāng)?shù)丶铀俣然蚧驎r變加速度時變加速度；速度場隨

13、位置變化引起的加速度；速度場隨位置變化引起的加速度 稱為稱為遷移加速度遷移加速度或或位變加速度位變加速度，舉例說明如下：，舉例說明如下：xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyxyzzduuuuauuudtxyzduuuuauuututuudtxyzduuuuauuudtxyzt（39） 分量形式分量形式ut,yyyxxxzzzxyzxyzxyzuuuuuuuuuuuuuuuuuuxyzxyzxyz 水箱中的水經(jīng)收縮管流出水箱中的水經(jīng)收縮管流出( (圖圖32) )，若水箱無來水補(bǔ)充，若水箱無來水補(bǔ)充, , 水位逐漸降低，管軸線上質(zhì)點(diǎn)的速度隨時間減小，當(dāng)?shù)丶铀偎恢饾u降低，管軸線上質(zhì)點(diǎn)的速

14、度隨時間減小，當(dāng)?shù)丶铀俣榷?為負(fù)值。同時管道收縮，質(zhì)點(diǎn)的速度隨遷移而增大為負(fù)值。同時管道收縮，質(zhì)點(diǎn)的速度隨遷移而增大, ,有遷移加速度有遷移加速度 為正值，所以該質(zhì)點(diǎn)的加速度為：為正值，所以該質(zhì)點(diǎn)的加速度為：xutxxuuxxuutuaxxxx 若水箱有水補(bǔ)充，水位保持不變，若水箱有水補(bǔ)充，水位保持不變，質(zhì)點(diǎn)的速度不隨時間變化，當(dāng)?shù)丶铀儋|(zhì)點(diǎn)的速度不隨時間變化，當(dāng)?shù)丶铀俣榷?為零為零, ,但仍有遷移加速但仍有遷移加速 度，該質(zhì)點(diǎn)的加速度為度，該質(zhì)點(diǎn)的加速度為 。xxxuaux圖圖32xut若出水管是等直徑的直管，且水位若出水管是等直徑的直管，且水位H保持不變保持不變( (圖圖3333) )，則管

15、內(nèi)流動的液體質(zhì)點(diǎn)，既無當(dāng)?shù)丶铀俣?，也無遷移加速度，則管內(nèi)流動的液體質(zhì)點(diǎn)，既無當(dāng)?shù)丶铀俣?，也無遷移加速度， 。0 xa （312） 圖圖3333等直徑直管出流等直徑直管出流 例例3 31 1 已知速度場已知速度場 ， ， ，試求試求 時，位于時，位于 處質(zhì)點(diǎn)的加速度。處質(zhì)點(diǎn)的加速度。 解解 將將 代入速度場方程，代入速度場方程，得：得： 222xutxyzxtuzzytuyst3(0.8,0.8,0.4)3 ,0.8 ,0.8 ,0.4ts xm ym zmsmux/2 . 98 . 028 . 0232smuy/6.24.08.03smuz/4 . 34 . 08 . 03zuuyuuxuut

16、uaxzxyxxxx6 .2526 . 222 . 922/ sm2/8.1smay2/8 . 6smaz2222/55.26smaaaazyx由式（由式（3939）得：）得： 3.23.2歐拉法的基本概念歐拉法的基本概念一、流線一、流線1 1流線的概念流線的概念 為了將流動的數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)換成流動圖像，特引入流線為了將流動的數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)換成流動圖像，特引入流線的概念。的概念。所謂流線是某一瞬時無窮多流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動趨勢的所謂流線是某一瞬時無窮多流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動趨勢的連線，線上每一點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在該時刻的速度矢量，都與曲線連線，線上每一點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在該時刻的速度矢量，都與曲線相切相切（圖（圖34）。在運(yùn)動流體的流場整

17、個空間可以繪制出）。在運(yùn)動流體的流場整個空間可以繪制出一系列流線，稱為流線族，流線族構(gòu)成的流線圖稱為流譜。一系列流線，稱為流線族，流線族構(gòu)成的流線圖稱為流譜。圖圖34某時刻的流線圖某時刻的流線圖u1u2u3u4u51 2 3 4 5 圖37圖38圖352. 2. 流線的性質(zhì)流線的性質(zhì) 流線是一條光滑連續(xù)的曲線（含直線）；除了駐點(diǎn)流線是一條光滑連續(xù)的曲線（含直線）；除了駐點(diǎn)( (圖圖35中中A點(diǎn)流速為點(diǎn)流速為0）流線不能中斷；流線不能相交和轉(zhuǎn)折（否則）流線不能中斷；流線不能相交和轉(zhuǎn)折（否則位于交點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)，在同一時刻就有與兩條流線相切的兩個位于交點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)，在同一時刻就有與兩條流線相切的兩個

18、速度矢量速度矢量, ,這是不可能的這是不可能的););流線的疏密表示流動的快慢程度，流線的疏密表示流動的快慢程度，也就是表達(dá)了流速的大??；流線之間夾角的大小，表明流動變也就是表達(dá)了流速的大??；流線之間夾角的大小，表明流動變化快慢程度，也就是流線的彎曲程度表示流動變化快慢程度?；炻潭?，也就是流線的彎曲程度表示流動變化快慢程度。 歸納起來流線的性質(zhì)主要有歸納起來流線的性質(zhì)主要有: : . .同一時刻的不同流線，不能相交；同一時刻的不同流線，不能相交； 根據(jù)流線定義，在交點(diǎn)處的液體質(zhì)點(diǎn)的流速應(yīng)同時與這兩根據(jù)流線定義，在交點(diǎn)處的液體質(zhì)點(diǎn)的流速應(yīng)同時與這兩條流線相切，即一個質(zhì)點(diǎn)不可能同時有兩個速度向

19、量；條流線相切，即一個質(zhì)點(diǎn)不可能同時有兩個速度向量； . .流線不能是折線，而是一條光滑的曲線；流線不能是折線，而是一條光滑的曲線； 流體是連續(xù)介質(zhì)，各運(yùn)動要素是空間的連續(xù)函數(shù)；流體是連續(xù)介質(zhì)，各運(yùn)動要素是空間的連續(xù)函數(shù)； . .流線簇的疏密反映了速度的大??；流線密的地方流速流線簇的疏密反映了速度的大小；流線密的地方流速大，流線疏的地方流速小；大，流線疏的地方流速?。?. .流線彎曲程度越大，流速變化越快流線彎曲程度越大，流速變化越快, ,流線保持平行，流流線保持平行，流速不發(fā)生變化。速不發(fā)生變化。 3 3流線方程流線方程 根據(jù)流線的定義，可得出流線的微分方程。如圖所示，在根據(jù)流線的定義，可得

20、出流線的微分方程。如圖所示，在流線流線AB上取一微分段上取一微分段ds，將其看作是直線，此時流速矢量，將其看作是直線，此時流速矢量u與與微分段微分段ds重合。速度重合。速度u在各坐標(biāo)軸上的投影為在各坐標(biāo)軸上的投影為ux、uy、uz，ds在在坐標(biāo)軸上的投影為坐標(biāo)軸上的投影為dx、dy、dz。,xyzdxds dyds dzdsuuuuuu,yxzuuudxdydzdsudsudsuxyzdxdydzdsuuuu流線的微分方程流線的微分方程zxyds udydxdzuyuxuzAB圖圖36 式中式中ux、uy、uz 是空間坐標(biāo)是空間坐標(biāo)x，y，z和時間和時間t 的函的函數(shù)。所以流線是針對某一時刻而

21、言的，時間數(shù)。所以流線是針對某一時刻而言的，時間t的變化會引的變化會引起速度的變化，流線的位置形狀也會隨之變化。只有當(dāng)起速度的變化，流線的位置形狀也會隨之變化。只有當(dāng)流速流速不隨時間變化時流線才能不隨時間變化。不隨時間變化時流線才能不隨時間變化。4 4跡線方程跡線方程 跡線是指某一質(zhì)點(diǎn)在某一時段內(nèi)的運(yùn)動軌跡線。流跡線是指某一質(zhì)點(diǎn)在某一時段內(nèi)的運(yùn)動軌跡線。流體質(zhì)點(diǎn)在某一時段的運(yùn)動軌跡稱為跡線。由運(yùn)動方程：體質(zhì)點(diǎn)在某一時段的運(yùn)動軌跡稱為跡線。由運(yùn)動方程：便可得到跡線的微分方程：便可得到跡線的微分方程：dtudzdtudydtudxzyxdtudzudyudxzyx 流線和跡線是兩個不同的概念，但在

22、恒定流中，流線不隨流線和跡線是兩個不同的概念，但在恒定流中，流線不隨時間變化，流線上的質(zhì)點(diǎn)繼續(xù)沿流線運(yùn)動，此時流線和跡線在時間變化，流線上的質(zhì)點(diǎn)繼續(xù)沿流線運(yùn)動，此時流線和跡線在幾何上是一致的，兩者重合。幾何上是一致的，兩者重合。 例例32 32 已知速度場已知速度場 。試。試求：流線方程及求：流線方程及 時的流線圖。時的流線圖。 （319） 0,zyxubtuau2, 1, 0ttt 解解 : :由流線的微分方程式由流線的微分方程式xyzdxdydzdsuuuubtdyadx可得：可得： 其中其中t是參變量，積分得：是參變量，積分得： 或或 所得流線方程是直線方程，不同時刻所得流線方程是直線方

23、程，不同時刻 的的流線圖是三組不同斜率的直線如流線圖是三組不同斜率的直線如( (圖圖37)37)。cbtxaybtyxca(0,1,2)ttt時流線圖時流線圖t=1t=1時流線圖時流線圖 t =2t =2時流線圖時流線圖圖圖37二、流管、過流斷面、元流和總流二、流管、過流斷面、元流和總流圖圖3 38 8流束流束1. 1. 流管、流束流管、流束 在流場中任取不與流線重合的封閉曲線，過曲線上各點(diǎn)在流場中任取不與流線重合的封閉曲線，過曲線上各點(diǎn)作流線，所構(gòu)成的管狀表面稱為流束作流線，所構(gòu)成的管狀表面稱為流束( (圖圖3 38 8) )。 因?yàn)榱骶€不能相交，所以流體不能由流管壁出入。因?yàn)榱骶€不能相交，

24、所以流體不能由流管壁出入。2. 2. 過流斷面過流斷面 在流束上作出的與流線正交的橫斷面就是過流斷面。當(dāng)在流束上作出的與流線正交的橫斷面就是過流斷面。當(dāng)流流線相互平行時，過流斷面才是平面線相互平行時，過流斷面才是平面，否則為曲面，否則為曲面( (圖圖3 3- -9 9) ) 。3 3元流和總流元流和總流 元流是過流斷面無限小的流束，元流是過流斷面無限小的流束，幾何特征與流線相同。由于元流的幾何特征與流線相同。由于元流的過流斷面無限小，斷面上各點(diǎn)的運(yùn)過流斷面無限小，斷面上各點(diǎn)的運(yùn)動參數(shù)如動參數(shù)如z( (位置高度位置高度) )、u( (流速流速) )、p( (壓強(qiáng)壓強(qiáng)) )均相同。均相同。 總流是

25、過流斷面為有限大小的流束，是由無數(shù)元流構(gòu)成總流是過流斷面為有限大小的流束，是由無數(shù)元流構(gòu)成的，斷面上各點(diǎn)的運(yùn)動參數(shù)一般情況下是不同的。的，斷面上各點(diǎn)的運(yùn)動參數(shù)一般情況下是不同的。圖圖3-93-9 單位時間通過某一過流斷面的流體體積稱為該斷面的體積單位時間通過某一過流斷面的流體體積稱為該斷面的體積流量，簡稱流量，液體一般用體積流量；單位時間通過某一過流量，簡稱流量，液體一般用體積流量；單位時間通過某一過流斷面的流體質(zhì)量稱為質(zhì)量流量，氣體一般用質(zhì)量流量。以流斷面的流體質(zhì)量稱為質(zhì)量流量，氣體一般用質(zhì)量流量。以dA表示過流斷面的微元面積，表示過流斷面的微元面積， 表示該點(diǎn)的速度，則：表示該點(diǎn)的速度，則

26、： 體積流量：體積流量： 質(zhì)量流量：質(zhì)量流量： 對于均質(zhì)不可壓縮液體，密度對于均質(zhì)不可壓縮液體，密度 為常數(shù)，則：為常數(shù)，則：uAudAQ)(3smmAQudA)(skgQQm三、流量、斷面平均流速三、流量、斷面平均流速1 1流量流量2 2斷面平均流速斷面平均流速 總流過流斷面上各點(diǎn)的流速一般是不相等的，以管流總流過流斷面上各點(diǎn)的流速一般是不相等的，以管流為例，管壁附近流速較小，軸線上流速最大為例，管壁附近流速較小，軸線上流速最大( (圖圖3- -10) )。為。為了便于計(jì)算，設(shè)想過流斷面上流速均勻分布，通過的流量了便于計(jì)算，設(shè)想過流斷面上流速均勻分布，通過的流量與實(shí)際流量相同，流速定義與實(shí)際

27、流量相同，流速定義v為該斷面的平均流速，即為該斷面的平均流速，即AvAudAQAQv 或或uv圖圖3- -10 圓管流速分布圖圓管流速分布圖 例例33 33 已知半徑為已知半徑為r0的圓管中，過流斷面上的流速分的圓管中，過流斷面上的流速分布為布為 ，式中，式中 umax是軸線上斷面最大流速，是軸線上斷面最大流速，y為距管壁的距離為距管壁的距離( (圖圖312) )。試求通過的流量和斷面平均流速。試求通過的流量和斷面平均流速v。 解解 在過流斷面半徑在過流斷面半徑 處，取環(huán)形微元面處，取環(huán)形微元面積積 , ,面上各點(diǎn)流速面上各點(diǎn)流速u相等流量：相等流量： （324） （323） 710max)(

28、ryuuyrr0rdrdA2m ax4960QvuA圖311000710max0)()(2rAyrdyrryudAQ012max700max1070249()60rury ydyr ur四、四、 流動的分類流動的分類 歐拉法描述運(yùn)動，各運(yùn)動要素是空間坐標(biāo)和時間變量的歐拉法描述運(yùn)動，各運(yùn)動要素是空間坐標(biāo)和時間變量的函數(shù)，如函數(shù)，如 。在歐拉法的范疇內(nèi)，按不同的。在歐拉法的范疇內(nèi)，按不同的時空標(biāo)準(zhǔn)對流動進(jìn)行分類。時空標(biāo)準(zhǔn)對流動進(jìn)行分類。1. 1. 恒定流和非恒定流恒定流和非恒定流 以時間為標(biāo)推，若各空間點(diǎn)上的運(yùn)動要素以時間為標(biāo)推，若各空間點(diǎn)上的運(yùn)動要素( (速度、壓強(qiáng)、速度、壓強(qiáng)、密度等密度等)

29、)皆不隨時間變化，這樣的流動是恒定流，反之是非恒皆不隨時間變化，這樣的流動是恒定流，反之是非恒定流，對于恒定流，流場方程為：定流，對于恒定流，流場方程為：(, )uuxyz t( , , )( , , )( , , )uu x y zpp x y zx y z（314） 比較恒定流與非恒定流，前者歐拉變數(shù)中減去了時間變量，比較恒定流與非恒定流，前者歐拉變數(shù)中減去了時間變量，從而使問題的求解大為簡化。實(shí)際工程中，多數(shù)系統(tǒng)正常運(yùn)行從而使問題的求解大為簡化。實(shí)際工程中，多數(shù)系統(tǒng)正常運(yùn)行時是恒定流，或雖然是非恒定流，但運(yùn)動參數(shù)隨時間的變化緩時是恒定流，或雖然是非恒定流，但運(yùn)動參數(shù)隨時間的變化緩慢，仍可

30、近似按恒定流處理。在上一節(jié)列舉的水箱出流的例子慢，仍可近似按恒定流處理。在上一節(jié)列舉的水箱出流的例子中，水位保持不變的是恒定流，水位隨時間變化的是非恒定流。中，水位保持不變的是恒定流，水位隨時間變化的是非恒定流。 2 2一維流、二維流和三維流一維流、二維流和三維流 以空間為標(biāo)準(zhǔn)，若各空間點(diǎn)上的運(yùn)動參數(shù)以空間為標(biāo)準(zhǔn)，若各空間點(diǎn)上的運(yùn)動參數(shù)( (主要是速度主要是速度) )是三個空間坐標(biāo)和時間變量的函數(shù)，是三個空間坐標(biāo)和時間變量的函數(shù)， ，流動是，流動是三維流動。三維流動。（315）( , , , )uu x y z t 若運(yùn)動參數(shù)只是一個空間坐標(biāo)和時間變化的函數(shù)，這樣的若運(yùn)動參數(shù)只是一個空間坐標(biāo)和

31、時間變化的函數(shù)，這樣的流動是一維流動。如管道和渠道內(nèi)的流動，流束方向的尺寸遠(yuǎn)流動是一維流動。如管道和渠道內(nèi)的流動，流束方向的尺寸遠(yuǎn)大于橫向尺寸，流速取斷面的平均速度，流動可視為一維流大于橫向尺寸，流速取斷面的平均速度，流動可視為一維流動動 。3 3均勻流和非均勻流均勻流和非均勻流 若質(zhì)點(diǎn)流動過程中運(yùn)動要素不隨空間坐標(biāo)的變化而變化，若質(zhì)點(diǎn)流動過程中運(yùn)動要素不隨空間坐標(biāo)的變化而變化，這種流動稱為均勻流，反之則是非均勻流。比如遷移加速度為這種流動稱為均勻流，反之則是非均勻流。比如遷移加速度為零，流動就是均勻流。在上一節(jié)列舉的水箱出流的例子中，等零，流動就是均勻流。在上一節(jié)列舉的水箱出流的例子中，等直

32、徑直管內(nèi)流動直徑直管內(nèi)流動( (圖圖33)是均勻流，而變直徑管道內(nèi)流動是均勻流，而變直徑管道內(nèi)流動( (圖圖32) )是非均勻流；水位保持不變的等直徑直管內(nèi)的流動是恒定是非均勻流；水位保持不變的等直徑直管內(nèi)的流動是恒定均勻流。均勻流。運(yùn)動參數(shù)只是兩個空間坐標(biāo)運(yùn)動參數(shù)只是兩個空間坐標(biāo)(x(x，y)y)和時間變量的函數(shù)和時間變量的函數(shù) ，流，流動是二維流動。如水流繞過很長的動是二維流動。如水流繞過很長的圓柱體，忽略兩端的影響，流動可圓柱體，忽略兩端的影響，流動可簡化為二維流動簡化為二維流動( (圖圖312) )。( , , )uu x y t圖圖312( , )uu x txy 均勻流具有以下特性

33、：均勻流具有以下特性： 均勻流的流線彼此是平行直線，其過流斷面為平面，且均勻流的流線彼此是平行直線，其過流斷面為平面，且過流斷面的形狀和尺寸沿程不變；過流斷面的形狀和尺寸沿程不變； 均勻流中，同一流線上流速保持恒定，各過流斷面流速均勻流中，同一流線上流速保持恒定，各過流斷面流速分布相同，平均流速相等；分布相同，平均流速相等； 均勻流過流斷面上動均勻流過流斷面上動水壓強(qiáng)和靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律相同水壓強(qiáng)和靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律相同。 非均勻流非均勻流 非均勻流的運(yùn)動要素隨空間位置的改變而改變。其非均勻流的運(yùn)動要素隨空間位置的改變而改變。其流線不流線不能成為相互平行的直線能成為相互平行的直線，按照流線的彎曲程

34、度，可分為漸變流，按照流線的彎曲程度，可分為漸變流和急變流。和急變流。 漸變流：流線漸變流：流線近似于平行直線近似于平行直線時的流動稱為漸變流（緩時的流動稱為漸變流（緩變流）。漸變流過水?dāng)嗝嫔系膭訅簭?qiáng)可近似的看做與靜水壓強(qiáng)變流）。漸變流過水?dāng)嗝嫔系膭訅簭?qiáng)可近似的看做與靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律相同。是否視為漸變主要取決于流動邊界。分布規(guī)律相同。是否視為漸變主要取決于流動邊界。 急變流：流線之間夾角很大（曲率半徑很?。r稱為急急變流：流線之間夾角很大（曲率半徑很?。r稱為急變流。急變流的動水壓強(qiáng)與靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律不同。變流。急變流的動水壓強(qiáng)與靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律不同。 均勻流均勻流漸變流漸變流均勻流均勻流急變

35、流急變流均勻流均勻流急變流急變流均勻流均勻流均勻流和非均勻流圖示均勻流和非均勻流圖示靜水壓強(qiáng)分布圖靜水壓強(qiáng)分布圖動水壓強(qiáng)分布圖動水壓強(qiáng)分布圖靜水壓強(qiáng)分布圖靜水壓強(qiáng)分布圖動水壓強(qiáng)分布圖動水壓強(qiáng)分布圖急變流過流斷面上的動水壓強(qiáng)分布圖急變流過流斷面上的動水壓強(qiáng)分布圖 4 4有壓流與無壓流：有壓流與無壓流： 有壓流：無自由表面，表面壓強(qiáng)不等于零的流動。有壓流：無自由表面，表面壓強(qiáng)不等于零的流動。 無壓流：有自由表面；或雖然無自由表面，但是表面壓無壓流：有自由表面；或雖然無自由表面，但是表面壓強(qiáng)等于零的流動。強(qiáng)等于零的流動。 例例3 344已知速度場為已知速度場為 。試問：。試問：(1)(1)t2s2s

36、時，在時，在(2(2，4)4)點(diǎn)的加速度是多少點(diǎn)的加速度是多少?(2)?(2)流動是恒定流還流動是恒定流還是非恒定流？是非恒定流？ 解解(1).(1).由歐拉法加速度公式可得由歐拉法加速度公式可得 將將 代入上式得代入上式得 : :(69(46 )yx tixuytj22()()4646.( 6 )() (4 )(46 )(166 )6.9.xxxxyxauuuutxyttttuyyxyxyxttx4, 2,2yxst2/4smaxyuuxuutuayyyxyy)6()96()9()64()96(ttxyttxyxy22/6)95 . 1)(64(smtxy222/2 . 7smaaayx (

37、2). (2).因速度場隨時間變化，此流動是非恒定流?；蛴蓵r因速度場隨時間變化，此流動是非恒定流?；蛴蓵r變導(dǎo)數(shù)變導(dǎo)數(shù) 此流動是非恒定流。此流動是非恒定流。 (46 )(69 )0yxuuijyx ixy jttut3.33.3流體運(yùn)動的連續(xù)性方程流體運(yùn)動的連續(xù)性方程 連續(xù)性方程是流體力學(xué)基本方程之一，是連續(xù)性方程是流體力學(xué)基本方程之一，是質(zhì)量守質(zhì)量守恒原理恒原理的流體力學(xué)表達(dá)式。的流體力學(xué)表達(dá)式。1.1.流體運(yùn)動的連續(xù)性微分方程流體運(yùn)動的連續(xù)性微分方程 Oxyzdxdydz 從平衡流體中選取一六面體作為隔離體，各邊長從平衡流體中選取一六面體作為隔離體，各邊長分別為分別為dx，dy，dz，形心點(diǎn)

38、在形心點(diǎn)在O（x，y，z）處，其密）處，其密度為度為。 O點(diǎn)的流速在各坐標(biāo)軸上的投影為點(diǎn)的流速在各坐標(biāo)軸上的投影為ux，uy，uz 。( , , )pp x y zM2dyy2dyy OxyzdxdydzN()()22yyudydyudxdzdtyy左面流入的液體質(zhì)量：左面流入的液體質(zhì)量：右面流出的液體質(zhì)量：右面流出的液體質(zhì)量：()()22yyudydyudxdzdtyy（325） () ()22() ()22()()yyyyyyyud yd yud x d z d tyyud yd yud x d z d tyyuud x d y d z d tyyud x d y d z d ty 則，在

39、則，在y方向流入流出的液體的質(zhì)量差為：方向流入流出的液體的質(zhì)量差為：()yyuMdxdydzdty ()xxuMd x d y d z d tx ()zzuMd x d y d z d tz （326） ()()()yxzyzuuuMxMMdxdydzdtxyz （328） )()()xyzdxduuuyddxzdttdydzdtxyz)()()0 xyzuuutxyz同理同理x和和z方向流入與流出的的液體質(zhì)量差為：方向流入與流出的的液體質(zhì)量差為： 根據(jù)質(zhì)量守恒定律，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，dtdt時段內(nèi)流入、流出六面體的時段內(nèi)流入、流出六面體的流體質(zhì)量之差，應(yīng)等于六面體內(nèi)因密度變化所引起的質(zhì)流體質(zhì)

40、量之差，應(yīng)等于六面體內(nèi)因密度變化所引起的質(zhì)量增量量增量。 整理得：整理得：其物理意義是：流體在單位時間內(nèi)流其物理意義是：流體在單位時間內(nèi)流經(jīng)單位體積的空間時，流出和流入的經(jīng)單位體積的空間時，流出和流入的質(zhì)量之差等于其內(nèi)部流體質(zhì)量變化。質(zhì)量之差等于其內(nèi)部流體質(zhì)量變化。上式是連續(xù)性微分方程的一般形式。對于均質(zhì)的不可壓縮上式是連續(xù)性微分方程的一般形式。對于均質(zhì)的不可壓縮流體，密度流體，密度常數(shù)，上式可簡化為：常數(shù)，上式可簡化為：0zuyuxuzyx （332） 其物理意義是：流體在單其物理意義是：流體在單位時間內(nèi)流經(jīng)單位體積的位時間內(nèi)流經(jīng)單位體積的空間時，流出和流入的質(zhì)空間時，流出和流入的質(zhì)量之差等

41、于零。量之差等于零。對于不可壓縮的二元流體連續(xù)性方程可寫為對于不可壓縮的二元流體連續(xù)性方程可寫為0 xyuuxy連續(xù)性方程中沒有涉及到任何力，描述的是流體的運(yùn)動規(guī)連續(xù)性方程中沒有涉及到任何力，描述的是流體的運(yùn)動規(guī)律，律，它適用于一切流體和流動形態(tài)它適用于一切流體和流動形態(tài)。 例例3 355已知速度場已知速度場 ， ， ， 試問流動是否滿足連續(xù)性條件。試問流動是否滿足連續(xù)性條件。)(122xyux)2(1xyuy)2(1tzuz2t)()()0 xyzuuutxyztt2xxyxxux2)()(220)()()(zuyuxutzyx()(2)2yuxyxyy()( 2 )2zutztzz 代入得

42、：代入得： 答：流動滿足連續(xù)性條件。答：流動滿足連續(xù)性條件。 解解 ：此流動為：此流動為可壓縮流體的非恒定流動可壓縮流體的非恒定流動，由連續(xù)性微分，由連續(xù)性微分方程一般式計(jì)算。方程一般式計(jì)算。 例例3 36 6 速度場速度場 其中其中c c為常數(shù)。試求坐標(biāo)為常數(shù)。試求坐標(biāo)z z方程的速度分量方程的速度分量uz。222,xyucx yz uy zcx yzcxyzyzyuy22cxyzxux2yzyuxuzuyxz2)(2zuyzC 0zuyuxuzyx 解解 ：流動為：流動為不可壓縮流體空間流動不可壓縮流體空間流動，由不可壓縮，由不可壓縮流體連續(xù)性微分式方程式積分可得：流體連續(xù)性微分式方程式積

43、分可得：2.2.連續(xù)性微分方程對總流的積分連續(xù)性微分方程對總流的積分 設(shè)恒定總流，以過流斷面設(shè)恒定總流，以過流斷面1 1l l、2 22 2及側(cè)壁面圍成的固定空間為控制體，體及側(cè)壁面圍成的固定空間為控制體，體積為積為( (圖圖3 31717) )。將不可壓縮液體的連續(xù)。將不可壓縮液體的連續(xù)性微分方程式對控制體空間積分，根據(jù)性微分方程式對控制體空間積分，根據(jù)高斯高斯( (GaussGauss) )定理定理0)(dAudvzuyuxuAnzyVx 式中：式中：A為體積為體積V的封閉表面；為在微元面積的封閉表面；為在微元面積dAdA外法線方外法線方向的投影。因側(cè)表面上向的投影。因側(cè)表面上un0，于是

44、上式化簡為：，于是上式化簡為： 上式第一項(xiàng)上式第一項(xiàng)u1的方向與的方向與dA1外法線方向相反，取負(fù)號。由外法線方向相反，取負(fù)號。由此得到：此得到：02121dAudAuAA（334） 圖317 即即 或或 式中式中v1、v2總流的斷面總流的斷面1 11 1和和2 22 2的平均流速。的平均流速。 上式稱為液體總流的連續(xù)性方程。是控制液體總流運(yùn)動的上式稱為液體總流的連續(xù)性方程。是控制液體總流運(yùn)動的基本方程?；痉匠?。 例例3 37 7 變直徑水管如圖所示，已知粗管直徑為變直徑水管如圖所示，已知粗管直徑為200200mmmm，斷面平均流速度為斷面平均流速度為0.80.8m ms s，細(xì)管直徑為，細(xì)

45、管直徑為100100mmmm。試求細(xì)管段的。試求細(xì)管段的斷面平均流速。斷面平均流速。 解解 由液體總流連續(xù)性方程式由液體總流連續(xù)性方程式 dAudAuAA212121QQ（335） （336） 2211AvAv2112AAvvsmdd/2 . 3)(221圖318變直徑水管d1d22211AvAv 例例3 388輸水管道經(jīng)三通管分流已知管徑輸水管道經(jīng)三通管分流已知管徑d1d2200mm，d3100mm斷面平均流速斷面平均流速v13ms， v2 2m2ms s。試求斷面的。試求斷面的平均流速平均流速 v3 。 解解 流入和流出三通管的流量應(yīng)相等，流入和流出三通管的流量應(yīng)相等， 321QQQ332

46、211AvAvAv13123()()4/dvvvm sd圖319v1v2v3第四節(jié)第四節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動的分析流體微團(tuán)運(yùn)動的分析 本章第二節(jié)介紹了歐拉法的基本概念，這些概念是以本章第二節(jié)介紹了歐拉法的基本概念，這些概念是以流線流線為基礎(chǔ)建立的總流運(yùn)動基本概念。按連續(xù)介質(zhì)模型，流體是由為基礎(chǔ)建立的總流運(yùn)動基本概念。按連續(xù)介質(zhì)模型，流體是由無數(shù)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的，認(rèn)識流場的特點(diǎn)，需從分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動入手。無數(shù)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的，認(rèn)識流場的特點(diǎn)，需從分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動入手。一、微團(tuán)運(yùn)動的分解一、微團(tuán)運(yùn)動的分解 按連續(xù)介質(zhì)模型，流體是由無數(shù)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的流動空間相比按連續(xù)介質(zhì)模型，流體是由無數(shù)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的流動空間相比無限小，又含有大量

47、分子的微元體，其無限小，又含有大量分子的微元體，其尺度效應(yīng)尺度效應(yīng)( (變形、旋轉(zhuǎn)、變形、旋轉(zhuǎn)、膨脹膨脹) )可以忽略。流體微團(tuán)則是由大量流體質(zhì)點(diǎn)組成的可以忽略。流體微團(tuán)則是由大量流體質(zhì)點(diǎn)組成的具有尺度具有尺度效應(yīng)的微小流體團(tuán)效應(yīng)的微小流體團(tuán)，習(xí)慣上稱為微團(tuán)，微團(tuán)是流體運(yùn)動單元。，習(xí)慣上稱為微團(tuán)，微團(tuán)是流體運(yùn)動單元。 剛體力學(xué)早已證明，剛體的一般運(yùn)動，可以分解為剛體力學(xué)早已證明，剛體的一般運(yùn)動，可以分解為移動移動和和轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動兩部分。流體是有流動性且極易變形的連續(xù)介質(zhì)，流體微兩部分。流體是有流動性且極易變形的連續(xù)介質(zhì)，流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中，除團(tuán)在運(yùn)動過程中，除移動移動和和轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動之外，還將有之外，還將有變形運(yùn)動變形運(yùn)動，18581858年德國力學(xué)家亥姆霍茲提出速度分解定理，從理論上解決了這年德國力學(xué)家亥姆霍茲提出速度分解定理，從理論上解決了這個問題。個問題。 某時刻某時刻t在流場中取微團(tuán)，令其在流場中取微團(tuán)，令其中 一 點(diǎn)中 一 點(diǎn) 為 基 點(diǎn) ， 速為 基 點(diǎn) ， 速度度 ，在點(diǎn)的鄰域任取一，在點(diǎn)的鄰域任取一點(diǎn)點(diǎn)M M，該點(diǎn)速度用泰勒，該點(diǎn)速度用泰勒(TayLor.G)(TayLor.G)級級數(shù)前兩項(xiàng)表示：數(shù)前兩項(xiàng)表示：