2018年高三高中奧數(shù)有關(guān)函數(shù)通性的試題選講例題

1、奧數(shù) 有關(guān)函數(shù)通性的試題選講【內(nèi)容綜述】函數(shù)是數(shù)學(xué)上的一個基本而又重要的概念，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，它幾乎滲透到各個分支中。函數(shù)的性質(zhì)主要指函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和周期性。函數(shù)圖象的對稱性反映了函數(shù)圖象的局部與整體的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\用函數(shù)的對稱性，往往可使問題簡化。 函數(shù)的奇偶性是對稱性中最重要的特殊情形。函數(shù)的單調(diào)性可用函數(shù)值的比較給出證明，禾U用函數(shù)的單調(diào)性，可以比較實數(shù)的大小，證明一些不等式和 確定某些函數(shù)的值域及最值。設(shè)f是D上的函數(shù)，如果存在常數(shù)TM0,使得對每個xD,都有f(x+T)=f(x-T)=f(x)成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T為f(x)的一個周期，如果f(x)的所有正周期中存在最小

2、值，稱為周期函數(shù)f(x)的最小正周 期，一般說函數(shù)的周期都是指最小正周期。例題分析：例1已知函數(shù)y=f(x)(xR,且x豐0)，對任意非零實數(shù)W都有、二一7 0，使得對每一x都有f(x+b)=f(x)。2.就a=1舉出一個這種函數(shù)f(x)的例子，但f(x)不能是常數(shù)。分析 這是一道探索存在性的問題，題中給出的已知條件只有唯一的一個含有a的方程，直覺告訴我們，f(x)的周期定與a有關(guān)，于是，我們可從原方程出發(fā)，邊遞推邊探索。將代入有解1,帝弟-扌+屮啪帶“詞故f(x+a)=f(x-a)與邛初+創(chuàng)制卄”*州訓(xùn)樸14胃1也詡即f(x)是一個周期函數(shù)，且周期b=2a。2現(xiàn)在我們來構(gòu)造一個周期為2的，滿

3、足(1)式的函數(shù)f(x)，由于(1)式可化為這使我們想到最熟悉的周期函數(shù)：正余弦，但同時應(yīng)注意到2f(x)-1非負(fù)、周期為2，所以可令2/0門1=例3證明：函數(shù)二廠可以表示為兩個單調(diào)遞增的多項式函數(shù)之差。證：注意到恒等式IH榊陽呻H悴硼說明一般地，任意實系數(shù)多項式可表示為兩個單調(diào)遞增的多項式函數(shù)之差。例4設(shè)二次函數(shù)-I的圖象以y軸為對稱軸，已知曲十0*1，而且若點(2 在CI訛的圖象上，則點川訓(xùn)在函數(shù)*二匸門的圖象上。(1)求卜;I的解析式而函數(shù)g(x)|*(*+】尸 *+珂+1都是單調(diào)遞增的多項式函數(shù)，從而命題得證。不難證實它的確滿足條件。說明f(x)不唯一，顯然，函數(shù)分別是減函數(shù)，增函數(shù)的

4、 的范圍，求出它們的交即可。解（1）因的對稱軸為y軸，故斡0,從而八甸（彳）*衛(wèi)+*。 設(shè)血打在柑/（*）的圖象上，即扌廠昭*,則點樹才州在州40的圖象上，即故!11，因此，nn （2）由（1）可得豐閲gS）-t（k） $ +（彳-屮+2_o|陽)-剛 *)4陽-43+ *制P -扌同理，當(dāng)綜上討論，存在唯一的實數(shù) ：丨k，使得對應(yīng)的滿足要求。（2）設(shè)-I以，問是否存在實數(shù)-：,使增函數(shù)。分析 由已知條件/卜;I的解析式不難求得，欲求 ，可按定義分別求出內(nèi)是減函數(shù)，在一吃-可）和（W內(nèi)是,0)xl x2設(shè)，則砒在rr只需轉(zhuǎn)剛胡d訕和,但然而當(dāng)函數(shù)。E(?J鐘，i；，內(nèi)是減要使內(nèi)為減函數(shù),，因此

5、，我們只要，所以日曲時內(nèi)是增函數(shù)。例5奇函數(shù)H悄的定義域為R當(dāng)呆卩時，1；卅川札設(shè)函數(shù)八八-心的值域為 血說，劃忖），求a，b的值。分析 可先由已知條件寫出m：在R上的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性分情形討論張*的最大值和最小值，從而得到關(guān)于a、b的方程。解：丫=了或是奇函數(shù)當(dāng)蓋4時，函數(shù)式為卄*幾2*分以下情形討論:T 時，由同時存在,因為與(3)J；-一時，由(5)U 1 2時，由-2ca0。證明（i）f（x）是奇函數(shù)；（ii）f（x）是周期函數(shù)，并求出其周期；（iii）f（x）在（0,4a）內(nèi)為減函數(shù)。證：（i）對定義域中的x，由題設(shè)知在定義域中存在対兀使忙 F -乃，/（対）叩（站）（1）訂卩si訓(xùn)定義域中的數(shù),，則10-/（可）*（花）+fg-/（i）f(x)為奇函數(shù)(ii)因f(a)=1, f(-a)=-f(a)=-1,心”)+1mm若f（x）工0,則/(x + 4) =/( + 3a仍有f（x+4a）=f（x）。 f（x）為周期函數(shù)，4a是它的一個周期。7(切了E) +1,01)-/(乃)所以畑）即在（2a,4a）內(nèi)，f（x）也是減函數(shù)，從而命題得證。4-若f（x）=0，則(兀 +2a)Teww-/（兀+4小七力0+帀）+ %彳（卯j(p)VWf(；I：卜JV-(