13—立體幾何中的向量方法

1、13立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法【基礎(chǔ)鞏固基礎(chǔ)鞏固】1.已知已知 a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若若 ab,則則與與的值可以是的值可以是()(A)2,(B)- ,(C)-3,2(D)2,22. 如 圖 所 示如 圖 所 示 ,PD 垂 直 于 正 方 形垂 直 于 正 方 形 ABCD 所 在 平 面所 在 平 面 ,AB=2,E 為為 PB 的 中的 中點點,cos=,若以若以 DA,DC,DP 所在直線分別為所在直線分別為 x,y,z 軸建立空間直角坐標系軸建立空間直角坐標系,則點則點 E 的坐標為的坐標為()(A)(1,1,1)(B)(1,1, )(C)(1,

2、1, )(D)(1,1,2)3.正方體正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為的棱長為 a,點點 M 在在 AC1上且上且=,N 為為 B1B 的中點的中點,則則|為為()(A)a(B)a(C)a(D)a4.如圖所示如圖所示,已知已知 PA平面平面 ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,則則|等于等于()5.若向量若向量 a=(1,2),b=(2,-1,2)且且 a 與與 b 的夾角的余弦值為的夾角的余弦值為 ,則則=.6.已知已知 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),點點 P(x,-1,3)在平面在平面 ABC 內(nèi)內(nèi),則則 x=.【空間三種角】【空間三種角】1異

3、面直線所成角異面直線所成角設(shè)異面直線設(shè)異面直線 a，b 所成的角為所成的角為，則則 cos |ab|a|b|， 其中其中 a，b 分別是直線分別是直線 a，b 的方向向量的方向向量2直線與平面所成角直線與平面所成角如圖所示如圖所示，設(shè)設(shè) l 為平面為平面的斜線的斜線，lA，a 為為 l 的方向向量的方向向量，n 為平面為平面的法向的法向量量，為為 l 與與所成的角所成的角，則則 sin |cosa，n|an|a|n|3二面角二面角(1)若若 AB， CD 分別是二面角分別是二面角-l-的兩個平面內(nèi)與的兩個平面內(nèi)與棱棱l 垂直的異面直線垂直的異面直線， 則二面角則二面角(或其補角或其補角)的大小

4、就是向量的大小就是向量AB與與 CD的夾角的夾角，如圖如圖(1)平面平面與與相交于直線相交于直線 l，平面平面的法向量為的法向量為 n1，平面平面的法向量為的法向量為 n2， n1，n2，則二面角則二面角 -l -為為或或設(shè)二面角大小為設(shè)二面角大小為，則則|cos |cos |n1n2|n1|n2|，如圖如圖(2)(3)精選文檔2考點一考點一異面直線所成角異面直線所成角典例引領(lǐng)典例引領(lǐng)(2015全國卷全國卷)如圖如圖，四邊形四邊形 ABCD 為菱形為菱形，ABC120，E，F(xiàn) 是平是平面面ABCD 同一側(cè)的兩點同一側(cè)的兩點，BE平面平面 ABCD，DF平面平面 ABCD，BE2DF，AEEC(

5、1)證明證明：平面平面 AEC平面平面 AFC；(2)求直線求直線 AE 與直線與直線 CF 所成角的余弦值所成角的余弦值即時應(yīng)用即時應(yīng)用如圖如圖，四周體四周體 ABCD 中中，O 是是 BD 的中點的中點，CACBCDBD2，ABAD 2(1)求證：求證：AO平面平面 BCD；(2)求異面直線求異面直線 AB 與與 CD 所成角的余弦所成角的余弦值值考點二考點二直線與平面所成角直線與平面所成角典例引領(lǐng)典例引領(lǐng)(2016全國丙卷全國丙卷)如圖如圖，四棱錐四棱錐 P-ABCD 中中，PA底面底面 ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 為線段為線段 AD 上一點上一點，AM2MD，N

6、 為為 PC 的中點的中點(1)證明證明 MN平面平面 PAB；(2)求直線求直線 AN 與平面與平面 PMN 所成角的正弦值所成角的正弦值精選文檔3即時應(yīng)用即時應(yīng)用(2016合肥市其次次質(zhì)量檢測合肥市其次次質(zhì)量檢測)如圖如圖，六面體六面體 ABCD-HEFG 中中，四邊形四邊形 ABCD 為為菱形菱形，AE，BF，CG，DH 都垂直于平面都垂直于平面 ABCD若若 DADHDB4，AECG3(1)求證：求證：EGDF；(2)求求 BE 與平面與平面 EFGH 所成角的正弦值所成角的正弦值考點三考點三二面角二面角典例引領(lǐng)典例引領(lǐng)(2016全國乙卷全國乙卷)如圖如圖， 在以在以 A， B， C，

7、 D， E， F 為頂點的五面體中為頂點的五面體中， 面面 ABEF為正方形為正方形，AF2FD，AFD90，且二面角且二面角 D-AF-E 與二面角與二面角 C-BE-F 都都是是60(1)證明：平面證明：平面 ABEF平面平面 EFDC；(2)求二面角求二面角 E-BC-A 的余弦值的余弦值即時應(yīng)用即時應(yīng)用(2017河北省三市聯(lián)考河北省三市聯(lián)考)如圖如圖，三棱柱三棱柱 ADE-BCG 中中，四邊形四邊形 ABCD 是矩形是矩形，F(xiàn) 是是EG 的中點的中點，EAAB，ADAEEF1，平面平面 ABGE平面平面 ABCD(1)求證：求證：AF平面平面 FBC；(2)求二面角求二面角 B-FC-

8、D 的正弦值的正弦值精選文檔413立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法基礎(chǔ)鞏固基礎(chǔ)鞏固1.已知已知 a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若若 ab,則則與與的值可以是的值可以是(A)(A)2,(B)- ,(C)-3,2(D)2,2解析解析:由題意知由題意知,解得解得或或2.如圖所示如圖所示,PD 垂直于正方形垂直于正方形 ABCD 所在平面所在平面,AB=2,E 為為 PB 的中點的中點,cos=,若若以以 DA,DC,DP 所在直線分別所在直線分別為為 x,y,z 軸建立空間直角坐標系軸建立空間直角坐標系,則則點點 E 的坐標為的坐標為(A)(A)(1,1,1)(B)(1,1,

9、 )(C)(1,1, )(D)(1,1,2)解析解析:設(shè)設(shè) P(0,0,z),依題意知依題意知 A(2,0,0),B(2,2,0),則則 E(1,1, ),精選文檔5于是于是=(0,0,z),=(-1,1, ),cos=.解得解得 z=2,由題圖知由題圖知 z=2,故故 E(1,1,1).3.正方體正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為的棱長為 a,點點 M 在在 AC1上且上且=,N 為為 B1B 的中點的中點,則則|為為(A)(A)a(B)a(C)a(D)a解析解析:以以 D 為原點建立如圖所示的空間直角坐標系為原點建立如圖所示的空間直角坐標系 Dxyz,則則 A(a,0,0),C1(

10、0,a,a),N(a,a, ).設(shè)設(shè) M(x,y,z).點點 M 在在 AC1上且上且=,(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z)x= a,y= ,z= .M(, , ),|=精選文檔6=a.故選故選 A.4.如圖所示如圖所示,已知已知 PA平面平面 ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,則則|等于等于(C)(A)6(B)6(C)12(D)144解析解析:由于由于=+,所以所以=+2=36+36+36+236cos 60=144.所以所以|=12.5.若向量若向量 a=(1,2),b=(2,-1,2)且且 a 與與 b 的夾角的余弦值為的夾角的余弦值為 ,則則=.解析解析:由已知

11、得由已知得 =,8=3(6-),解得解得=-2 或或=.答案答案:-2 或或6.已知已知 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),點點 P(x,-1,3)在平面在平面 ABC 內(nèi)內(nèi),則則 x=.解析解析:依據(jù)共面對量定理設(shè)依據(jù)共面對量定理設(shè)=+,即即(x-4,-2,0)=(-2,2,-2)+(-1,6,-8),由此得由此得解得解得=-4,=1,所以所以 x=4+8-1=11.答案答案:111異面直線所成角異面直線所成角設(shè)異面直線設(shè)異面直線 a，b 所成的角為所成的角為，則則 cos |ab|a|b|， 其中其中 a，b 分別是直線分別是直線 a，b 的方向向量的方向向量精選文檔

12、72直線與平面所成角直線與平面所成角如圖所示如圖所示，設(shè)設(shè) l 為平面為平面的斜線的斜線，lA，a 為為 l 的方向向量的方向向量，n 為平面為平面的法向的法向量量，為為 l 與與所成的角所成的角，則則 sin |cosa，n|an|a|n|3二面角二面角(1)若若 AB， CD 分別是二面角分別是二面角-l-的兩個平面內(nèi)與的兩個平面內(nèi)與棱棱l 垂直的異面直線垂直的異面直線， 則二面角則二面角(或其補角或其補角)的大小就是向量的大小就是向量AB與與 CD的夾角的夾角，如圖如圖(1)平面平面與與相交于直線相交于直線 l，平面平面的法向量為的法向量為 n1，平面平面的法向量為的法向量為 n2， n

13、1，n2，則二面角則二面角 -l -為為或或設(shè)二面角大小為設(shè)二面角大小為，則則|cos |cos |n1n2|n1|n2|，如圖如圖(2)(3)考點一考點一異面直線所成角異面直線所成角典例引領(lǐng)典例引領(lǐng)(2015全國卷全國卷)如圖如圖， 四邊形四邊形 ABCD 為菱形為菱形， ABC120， E， F 是平面是平面 ABCD同一側(cè)的兩點同一側(cè)的兩點，BE平面平面 ABCD，DF平面平面 ABCD，BE2DF，AEEC(1)證明：平面證明：平面 AEC平面平面 AFC；(2)求直線求直線 AE 與直線與直線 CF 所成角的余弦值所成角的余弦值解解：(1)證明證明：連接連接 BD，設(shè)設(shè) BDAC 于

14、點于點 G，連接連接 EG，F(xiàn)G，EF在菱形在菱形 ABCD 中中，不妨設(shè)不妨設(shè) GB1由由ABC120，可得可得 AGGC 3由由 BE平面平面 ABCD，ABBC，可知可知 AEEC又又 AEEC，所以所以 EG 3，且且 EGAC在在 RtEBG 中中，可得可得 BE 2，故故 DF22在在 RtFDG 中中，可得可得 FG62在直角梯形在直角梯形 BDFE 中中，由由 BD2，BE 2，DF22，可得可得 EF3 22從而從而 EG2FG2EF2，所以所以 EGFG又又 ACFGG，所以所以 EG平面平面 AFC由于由于 EG平面平面 AEC，精選文檔8所以平面所以平面 AEC平面平面

15、 AFC(2)以以 G 為坐標原點為坐標原點，分別以分別以 GB，GC的方向為的方向為 x 軸軸，y 軸正方向軸正方向，| GB|為單位長度為單位長度，建立空間直角建立空間直角坐標系坐標系 G-xyz由由(1)可得可得 A(0， 3，0)，E(1,0,2)，F(xiàn)1，0，22 ，C(0,3，0)，所以所以 AE(1，3， 2)，CF1， 3，22 故故 cos AE， CFAE CF| AE| CF|33所以直線所以直線 AE 與直線與直線 CF 所成角的余弦值為所成角的余弦值為33由題悟法由題悟法用向量法求異面直線所成角的一般步驟用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立

16、空間直角坐標系；選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系；(2)確定異面直線上兩個點的坐標確定異面直線上兩個點的坐標，從而確定異面直線的方向向量；從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦等于兩向量夾角余弦值的確定值兩異面直線所成角的余弦等于兩向量夾角余弦值的確定值即時應(yīng)用即時應(yīng)用如圖如圖，四周體四周體 ABCD 中中，O 是是 BD 的中點的中點，CACBCDBD2，ABAD 2(1)求證：求證：AO平面平面 BCD；(2)求異面直線求異面直線 AB 與與 CD 所成角的余弦值所成角的余弦值解

17、：解：(1)證明：連接證明：連接 OC，由由 CACBCDBD2，ABAD 2，O 是是 BD 的的中點中點，知知 CO 3，AO1，AOBD在在AOC 中中，AC2AO2OC2，則則 AOOC又又 BDOCO，因此因此 AO平面平面 BCD(2)如圖建立空間直角坐標系如圖建立空間直角坐標系 O-xyz，則則 A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，D(1,0,0)， AB(1,0，1)， CD(1， 3，0)，|cos AB， CD| AB CD| AB| CD|24即異面直線即異面直線 AB 與與 CD 所成角的余弦值為所成角的余弦值為24考點二考點二直線與平面所成角直線與平

18、面所成角典例引領(lǐng)典例引領(lǐng)(2016全國丙卷全國丙卷)如圖如圖，四棱錐四棱錐 P-ABCD 中中，PA底面底面 ABCD，ADBC，AB精選文檔9ADAC3，PABC4，M 為線段為線段 AD 上一點上一點，AM2MD，N 為為 PC 的中點的中點(1)證明證明 MN平面平面 PAB；(2)求直線求直線 AN 與平面與平面 PMN 所成角的正弦值所成角的正弦值解：解：(1)證明：由已知得證明：由已知得 AM23AD2取取 BP 的中點的中點 T，連接連接 AT，TN，由由 N為為 PC 的中點知的中點知 TNBC，TN12BC2又又 ADBC，故故 TN 綊 AM，所以四邊所以四邊形形AMNT

19、為平行四邊形為平行四邊形，于是于是 MNAT由于由于 MN 平面平面 PAB，AT平面平面 PAB，所以所以 MN平面平面 PAB(2)取取 BC 的中點的中點 E，連接連接 AE由由 ABAC 得得 AEBC，從而從而 AEAD，且且 AE AB2BE2AB2BC22 5以以 A 為坐標原點為坐標原點， AE的方向為的方向為 x 軸正方向軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系建立如圖所示的空間直角坐標系 A-xyz由題意知由題意知 P(0,0,4)，M(0,2,0)，C( 5，2,0)，N52，1，2，PM(0,2，4)， PN52，1，2， AN52，1，2設(shè)設(shè) n(x，y，z)為平面為平

20、面 PMN 的法向量的法向量，則則nPM0，n PN0，即即2y4z0，52xy2z0，可取可取 n(0,2,1)于是于是|cosn， AN|n AN|n| AN|8 525所以直線所以直線 AN 與平面與平面 PMN 所成角的正弦值為所成角的正弦值為8 525由題悟法由題悟法向量法求線面角的向量法求線面角的 2 大途徑大途徑(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角或其補角)(2)通過平面的法向量來求通過平面的法向量來求， 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角即求出

21、斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角， 取其余角就是斜線和取其余角就是斜線和平面所成的角平面所成的角即時應(yīng)用即時應(yīng)用(2016合肥市其次次質(zhì)量檢測合肥市其次次質(zhì)量檢測)如圖如圖，六面體六面體 ABCD-HEFG 中中，四邊形四邊形 ABCD 為為菱形菱形，AE，BF，CG，DH 都垂直于平面都垂直于平面 ABCD若若 DADHDB4，AECG3(1)求證：求證：EGDF；(2)求求 BE 與平面與平面 EFGH 所成角的正弦值所成角的正弦值精選文檔10解：解：(1)證明：連接證明：連接 AC，由由 AE 綊 CG 可知四邊形可知四邊形 AEGC 為平行四邊形為平行四邊形，所以所以 EGAC，

22、而而 ACBD，ACBF，所以所以 EGBD，EGBF，由于由于 BDBFB，所以所以 EG平面平面 BDHF，又又 DF平面平面 BDHF，所以所以 EGDF(2)設(shè)設(shè) ACBDO，EGHFP，由已知可得由已知可得，平面平面 ADHE平面平面 BCGF，所以所以 EHFG，同理可得：同理可得：EFHG，所以四邊形所以四邊形 EFGH 為平行四邊形為平行四邊形，所以所以 P 為為 EG 的中點的中點，O 為為 AC 的中點的中點，所以所以 OP 綊 AE，從而從而 OP平面平面 ABCD，又又 OAOB，所以所以 OA，OB，OP 兩兩垂直兩兩垂直，由平面幾何學(xué)問由平面幾何學(xué)問，得得 BF2分

23、別以分別以 OA， OB， OP的方向為的方向為 x 軸軸，y 軸軸，z 軸的正方向軸的正方向，建立空間直角坐標系建立空間直角坐標系 O-xyz，則則 B(0,2,0)，E(2 3，0,3)，F(xiàn)(0,2,2)，P(0,0,3)，所以所以 BE(2 3，2,3)， PE(2 3，0,0)， PF(0,2，1)設(shè)平面設(shè)平面 EFGH 的法向量為的法向量為 n(x，y，z)，由由PEn0，PFn0可得可得x0，2yz0，令令 y1，則則 z2所以所以 n(0,1,2)設(shè)設(shè) BE 與平面與平面 EFGH 所成角為所成角為，則則 sin | BEn| BE|n|4 525所以所以 BE 與平面與平面 E

24、FGH 所成角的正弦值為所成角的正弦值為4 525考點三考點三二面角二面角典例引領(lǐng)典例引領(lǐng)(2016全國乙卷全國乙卷)如圖如圖，在以在以 A，B，C，D，E，F(xiàn) 為頂點的五面體中為頂點的五面體中，面面 ABEF 為正方形為正方形，AF2FD，精選文檔11AFD90，且二面角且二面角 D-AF-E 與二面角與二面角 C-BE-F 都是都是 60(1)證明：平面證明：平面 ABEF平面平面 EFDC；(2)求二面角求二面角 E-BC-A 的余弦值的余弦值解：解：(1)證明：由已知可得證明：由已知可得 AFDF，AFFE，所以所以 AF平面平面 EFDC又又 AF平面平面 ABEF，故平面故平面 A

25、BEF平面平面 EFDC(2)過過 D 作作 DGEF，垂足為垂足為 G由由(1)知知 DG平面平面 ABEF以以 G 為坐標原點為坐標原點，GF的方向為的方向為 x 軸正方向軸正方向， | GF|為單位長為單位長， 建立如圖所示的空間直角坐標系建立如圖所示的空間直角坐標系 G -xyz由由(1)知知DFE 為二面角為二面角 D -AF-E 的平面角的平面角，故故DFE60，則則 DF2，DG 3，可得可得 A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3，0,0)，D(0，0， 3)由已知得由已知得 ABEF，所以所以 AB平面平面 EFDC又平面又平面 ABCD平面平面 EFDCCD，故故 ABCD，CDEF由由 BEAF，可得可得 BE平面平面 EFDC，所以所以CEF 為二面角為二面角 C-BE-F 的平面角的平面角，CEF60從而可得從而可得 C(2,0， 3)所以所以 EC(1,0， 3)， EB(0,4,0)， AC(3，4， 3)， AB(4,0,0)設(shè)設(shè) n(x，y，z)是平面是平面 BCE 的法向量的法向量，則則n EC0，n EB0，即即x 3z0，4y0，所以可取所以可取 n(3,0， 3)設(shè)設(shè) m 是平面是平面 ABCD 的法向量的法向量，則則m AC0，m AB0，同理可取同理可取 m(0，3，4)則則 cos n，mnm|n|m