數字電路復習題

1、邏輯代數 最小項 邏輯函數的卡諾圖化簡法 第第2章章 邏輯代數邏輯代數2.1 邏輯代數邏輯代數又稱布爾代數。它是分析和設計現代數字邏輯電路不可缺少的數學工具。邏輯代數有一系列的定律、定理和規(guī)則，用于對數學表達式進行處理，以完成對邏輯電路的化簡、變換、分析和設計。邏輯關系指的是事件產生的條件和結果之間的因果關系。在數字電路中往往是將事情的條件作為輸入信號，而結果用輸出信號表示。條件和結果的兩種對立狀態(tài)分別用邏輯“1” 和“0”表示。2.1 2.1 邏輯代數邏輯代數1 1、基本公式基本公式交換律：A + B = B + AA B = B A結合律：A + B + C = (A + B) + C A

2、 B C = (A B) C 分配律：A + BC = ( A + B )( A + C )A ( B + C ) = AB + AC A 1 = AA 0 = 0A + 0 = AA + 1 = 10-1律：A A = 0A + A = 1互補律：2.1.1邏輯代數的基本定律和恒等式重疊律：A + A = AA A = AAA BAB() ()ABACABCABAAAABA()吸收律 其它常用恒等式 ABACBCAB + ACABACBCDAB + AC反演律：（摩根定理）AB = A + B A + B = A B2、基本公式的證明例 證明ABA BABA B，列出等式、右邊的函數值的真值

3、表(真值表證明法)011 = 001+1=00 01 1110 = 101+0=00 11 0101 = 100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10 0A+BA+BA B A BABA B 2.1.2 邏輯代數的基本規(guī)則 1. 代入規(guī)則： 在包含變量A邏輯等式中，如果用另一個函數式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。這一規(guī)則稱為代入規(guī)則。例：B (A + C) = BA+BC，用A + D代替A，得B (A +D) +C = B(A +D) + BC = BA + BD + BC代入規(guī)則可以擴展所有基本公式或定律的應用范圍對于任意一個邏輯表達式L，若將其中所有的與（ ）換成

4、或（+），或（+）換成與（）；原變量換為反變量，反變量換為原變量；將1換成0，0換成1；則得到的結果就是原函數的反函數。2. 反演規(guī)則：)(1)(DCBADCB)(AL 0 CDBAL例2.1.1 試求 的非函數解：按照反演規(guī)則，得 LABAC 對于任何邏輯函數式，若將其中的與（ ）換成或（+），或（+）換成與（）；并將1換成0，0換成1；那么，所得的新的函數式就是L的對偶式，記作 。 L()()LABAC例: 邏輯函數 的對偶式為3. 對偶規(guī)則：當某個邏輯恒等式成立時，則該恒等式兩側的對偶式也相等。這就是對偶規(guī)則。利用對偶規(guī)則，可從已知公式中得到更多的運算公式，例如，吸收律“或-與”表達式“

5、與非-與非”表達式 “與-或-非”表達式“或非或非” 表達式“與-或” 表達式 2.1.3 邏輯函數的代數法化簡 DCACL DC A C = )DC)(CA( )C+D()CA( DCCA 1、邏輯函數的最簡與-或表達式在若干個邏輯關系相同的與-或表達式中，將其中包含的與項數最少，且每個與項中變量數最少的表達式稱為最簡與-或表達式。2、邏輯函數的化簡方法 化簡的主要方法：公式法（代數法）圖解法（卡諾圖法）代數化簡法： 運用邏輯代數的基本定律和恒等式進行化簡的方法。 1AA并項法: CBA CBAL BA)CC(BA 1 AAABBA 吸收法： A + AB = A 消去法： BABAA CA

6、BAB CAB 配項法： CA=AB BAFEBCDABAL )(CBAAB)( CBCAABL A+AB=A+BCBCAABL CBAACAAB)( CBACABCA=AB )()(BCACACABAB )CC(DBADBA)DD(ABL DBADBA=AB )(DDBAAB BAAB BAAB BAAB CDBADCBAABDDBADABL 例2.1.7 已知邏輯函數表達式為，要求：（1）最簡的與-或邏輯函數表達式，并畫出相應的邏輯圖；（2）僅用與非門畫出最簡表達式的邏輯圖。解： B A L AB BA & & & & & CBACBA CBACBA

7、 CBACBA B L CBA 1 1 1 A C CBA 1 1 1 CBACBAL 例2.1.8 試對邏輯函數表達式進行變換，僅用或非門畫出該表達式的邏輯圖。解： CBACBAL 練習：化簡下列各式練習：化簡下列各式1. L=AB(BC+A)2. L=ABC(B+C)3.L=ABC+ABC+ABC+A+BC4.L=AB+ABC+A(B+AB)ABAB+C10作業(yè)：1. p64 2.1.4(2,5,6,7,9,10) / p75 2.3.12. 證明下列等式成立：1) AB+BCD+AC+BC=AB+C2) AB+BC+AC=(A+B)(B+C)(A+C)3) AB+BC+CA=AB+BC+

8、CA4) ABC+ABC+ABC=ABCC5) ABC+ABC=AB+BC+CAn個變量X1, X2, , Xn的最小項是n個因子的乘積，每個變量都以它的原變量或非變量的形式在乘積項中出現，且僅出現一次。一般n個變量的最小項應有2n個。 BAACBA、 、A(B+C)等則不是最小項。例如，A、B、C三個邏輯變量的最小項有（23）8個，即 CBACBACBABCACBACBACABABC、1. 最小項的意義2.2 .1 最小項的定義及其性質2.2 2.2 最小項表達式最小項表達式對于變量的任一組取值，全體最小項之和為1。對于任意一個最小項，只有一組變量取值使得它的值為1； 對于變量的任一組取值，

9、任意兩個最小項的乘積為0；CBABCACBACBACBACABABCCBAABC0 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 01 10 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 01 11 10 00 00 01 10 00 00 00 01 10 01 10 00 00 00 00 01 10 00 01 11 10 00 00 00 00 00 00 01 10 01 11 11 10 00 00 00 00 00 00

10、01 1三個變量的所有最小項的真值表 2、最小項的性質 如何編號？如何編號？3 變量邏輯函數的最小項有變量邏輯函數的最小項有 23 = 8 個個 將輸入將輸入變量取值為變量取值為 1 的代以原變的代以原變量，取值為量，取值為 0 的代以反變的代以反變量，則得相量，則得相應最小項。應最小項。 簡記符號簡記符號例如例如 CBA1015m5m44100CBAABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小項最小項A B CCBACBACBABCACBACBACABm7m6m5m4m3m2m1m0輸入組合對應輸入組合對應的十進制數的十進制數765432103、

11、最小項的編號： 2.2.2 邏輯函數的最小項表達式 ( , ,)()()L A B CAB CCA BB Cl為“與或”邏輯表達式； l 在“與或”式中的每個乘積項都是最小項。例1 將( , ,)L A B CABAC化成最小項表達式ABCABCABCABC= m7m6m3m5 (7, 6 3 5)m, ,()L ABCABCABCABCABC邏輯函數的最小項表達式：( , ,)()L A B CABABC AB 例2 將 化成最小項表達式 a.去掉非號()()L A,B,CABABCAB()AB AB CAB()()AB AB CABb.去括號ABCABCAB()ABCABCAB CCABC

12、ABCABCABC3576(3,5,6,7)mmmmm思考：1、若一個N變量的邏輯函數F，具有u項最小項，則其反函數F應有幾個最小項？2、設有同變量的兩個邏輯函數F1和F2，他們分別包含最小項數目為u1和u2，且u1u2，則：F=F1+F2包含的最小項數最少為幾項？F=F1F2中包含的最小項數最多為幾項？1.邏輯代數與普通代數的公式易混淆，化簡過程要求對所有公式熟練掌握；2.代數法化簡無一套完善的方法可循，它依賴于人的經驗和靈活性；3.用這種化簡方法技巧強，較難掌握。特別是對代數化簡后得到的邏輯表達式是否是最簡式判斷有一定困難?？ㄖZ圖法可以比較簡便地得到最簡的邏輯表達式。代數法化簡在使用中遇到

13、的困難：2.3 2.3 邏輯函數的卡諾圖化簡法邏輯函數的卡諾圖化簡法2.3.1 用卡諾圖表示邏輯函數1、卡諾圖的引出卡諾圖：將n變量的全部最小項都用小方塊表示，并使具有邏輯相鄰的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，這樣,所得到的圖形叫n變量的卡諾圖。邏輯相鄰的最小項：如果兩個最小項只有一個變量互為反變量，那么，就稱這兩個最小項在邏輯上相鄰。如最小項m6=ABC、與m7 =ABC 在邏輯上相鄰m7m6 卡諾圖是邏輯函數的圖形表示方法，它以其發(fā)明者美卡諾圖是邏輯函數的圖形表示方法，它以其發(fā)明者美國貝爾實驗室的工程師卡諾而命名。國貝爾實驗室的工程師卡諾而命名。AB10100100011110 m0

14、m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCD三變量卡諾圖四變量卡諾圖BABABAAB兩變量卡諾圖m0m1m2m3ACCCBABCACBABCACBACBACBAABCCAB m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ADBB2、卡諾圖的特點:各小方格對應于各變量不同的組合，而且上下左右在幾何上相鄰的方格內只有一個因子有差別，這個重要特點成為卡諾圖化簡邏輯函數的主要依據。 3. 已知邏輯函數畫卡諾圖當邏輯函數為最小項表達式時，在卡諾圖中找出和表達式中最小項對應的小方格填上1，其余的小方格填上0（有

15、時也可用空格表示），就可以得到相應的卡諾圖。任何邏輯函數都等于其卡諾圖中為1的方格所對應的最小項之和。例1：畫出邏輯函數L(A, B, C, D)= m(0, 1, 2, 3, 4, 8, 10, 11, 14, 15)的卡諾圖 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 10 11 01 00 CD 00 01 11 10 AB L ( ,)()()()L A B C DABCD ABCD ABCD()()ABCD ABCDLABCDABCDABCDABCDABCD例2 畫出下式的卡諾圖 10 11 01 00 CD 00 01 11 10 AB L 00000 1 1

16、1 1 1 1 1 1 1 1 1 解1. 將邏輯函數化為最小項表達式2. 填寫卡諾圖 ),(m15131060例例3：試將函數：試將函數 填入卡諾圖。填入卡諾圖。解：首先將解：首先將 Z 變換為與或式變換為與或式()()()ZA B CDA BCDA B CD CD ZABCD 2.3.2 用卡諾圖化簡邏輯函數 1、化簡的依據DABDADBA DBACDBADCBA BDABCDADCBA m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 ADABDDBA DADDA 2、化

17、簡的步驟用卡諾圖化簡邏輯函數的步驟如下：(4) 將所有包圍圈對應的乘積項相加。(1) 將邏輯函數寫成最小項表達式(2) 按最小項表達式填卡諾圖，凡式中包含了的最小項，其對應方格填1，其余方格填0。(3) 合并最小項，即將相鄰的1方格圈成一組(包圍圈)，每一組含2n個方格，對應每個包圍圈寫成一個新的乘積項。本書中包圍圈用虛線框表示。畫包圍圈時應遵循的原則： （1）包圍圈內的方格數一定是2n個，且包圍圈必須呈矩形。（2）循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。（3）同一方格可以被不同的包圍圈重復包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。（4） 一個包圍圈的方格數要盡可能

18、多,包圍圈的數目要可能少。 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 00 01 11 10 AB CD 00 01 11 10 DBBDL BD 例 :用卡諾圖法化簡下列邏輯函數（2）畫包圍圈合并最小項，得最簡與-或表達式 解：(1) 由L 畫出卡諾圖 m)D,C,B,A(L(0，2，5，7，8，10，13，15) L C 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1

19、 1 0 1 0 0 1 D A B DB 1 1 1 00 AB L 01 10 11 CD 11 00 00 01 10 011 1111111111110( , , ,)(0 3,5 7,811,1315)L A B C DmLDCBB例: 用卡諾圖化簡 1 1 1 00 AB L 01 10 11 CD 11 00 00 01 10 011 1111111111110CD圈0LBCDLDCB圈1練習：利用卡諾圖化簡L=(AB+BD)C+(A B)D+CDL=AD+BD+CD+ABC2.2.5 含無關項的邏輯函數及其化簡1、什么叫無關項：在真值表內對應于變量的某些取值下，函數的值可以是任意的，或者這些變量的取值根本不會出現，這些變量取值所對應的最小項稱為無關項或任意項。在含有無關項邏輯函數的卡諾圖化簡中，它的值可以取0或取1，具體取什么值，可以根據使函數盡量得到簡化而定。無關項在卡諾圖化簡函數中的應用。無關項在卡諾圖化簡函數中的應用。例：化簡具有約束項的函數：例：化簡具有約束項的函數：解：首先將解：首先將m項、項、d 項填卡諾圖，其余項填卡諾圖，其余位置填位置填0，如圖所示。然后按規(guī)則畫方，如圖所示。然后按規(guī)則畫方格群，整理出化簡后的函數式為：格群，整理出化簡后的函數式為：ZCDAB