概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第3章 第四節(jié)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

1、概率統(tǒng)計(jì)兩事件兩事件A, B獨(dú)立的定義是：獨(dú)立的定義是：若若P (AB) = P (A) P(B)則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件 A, B相互獨(dú)立相互獨(dú)立 .第三節(jié)第三節(jié) 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 兩隨機(jī)變量獨(dú)立概念的引出兩隨機(jī)變量獨(dú)立概念的引出 問(wèn)：?jiǎn)枺?若若 X, Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任意的是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)任意的x, y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP則能否得出則能否得出 X, Y 相互相互獨(dú)立獨(dú)立 ？概率統(tǒng)計(jì)一一. 隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義設(shè)設(shè) (X,Y) 的的 聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)為為F(x,y) ).(),(yFxF

2、YX及及若對(duì)任意的若對(duì)任意的 x, y都有都有:(,)()()P Xx YyP XxP Yy( , )( )( )XYF x yFxFy即即則則 稱(chēng)稱(chēng) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X和和 Y是是相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的.二二. 當(dāng)當(dāng) (X,Y) 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP (,)ijxy(,)X Y是是的所有可能的取值的所有可能的取值概率統(tǒng)計(jì)例例1. 設(shè)設(shè) X,Y 相互獨(dú)立，它們的分布律分別為相互獨(dú)立，它們的分布律分別為:10X3132P321Y414241P求求: (X,Y) 的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律.解解:(,)i jijPP X

3、x Yy2123412 ()()ijP XxP Yy01(0,1)PP XY ,X Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立(0)(1)P XP Y從而：從而：概率統(tǒng)計(jì)依次可得依次可得 (X,Y) 的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為:XY32112212412201211221211從此例可得出：對(duì)離散型隨機(jī)變量而言，已知聯(lián)合分布律從此例可得出：對(duì)離散型隨機(jī)變量而言，已知聯(lián)合分布律可求出其相應(yīng)的邊緣分布律，但反之則不然。而一旦已知可求出其相應(yīng)的邊緣分布律，但反之則不然。而一旦已知 X,Y 相互獨(dú)立條件后，則可由邊緣分布律直接求得其聯(lián)合相互獨(dú)立條件后，則可由邊緣分布律直接求得其聯(lián)合分布律。分布律。11(1,1)PP XY(

4、1)(1)P XP Y1113412概率統(tǒng)計(jì) 三三. 當(dāng)當(dāng) (X,Y) 為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和YX)()(),(yfxfyxfYX 設(shè)設(shè) (X,Y) 服從正態(tài)分布，其邊緣分布密度為：服從正態(tài)分布，其邊緣分布密度為：例例2.2121()211( ),2xXfxe 2222()221( )2yYfye x y 概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)問(wèn): X 和和 Y 相互獨(dú)立的充分必要條件是什么相互獨(dú)立的充分必要條件是什么?解解:22112212()()2212( )( )11() ()22XYxyfxfyee )()(21212222212121 yxe( )( )( , )XYfxfyf x

5、 y要要 則比較可知其充分必要條件是：則比較可知其充分必要條件是：0 概率統(tǒng)計(jì)(1) 聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度(2) 檢驗(yàn)檢驗(yàn) X 和和 Y 是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立(3) (X,Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)(4)2,(dcYbXP 例例3.求求:解解: (1). 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y) 在矩形域在矩形域: 內(nèi)服從均勻分布內(nèi)服從均勻分布dycbxa ,(X,Y) 服從均勻分布服從均勻分布由題意在由題意在區(qū)域內(nèi)區(qū)域內(nèi)dycbxa ,概率統(tǒng)計(jì)1,()()( , )0axb cydba dcf x y 其其它它在矩形在矩形 上上:dycbxa ,( )(

6、, )Xfxf x y dy ( )( , )Yfyf x y dx 所以，其聯(lián)合概率密度為：所以，其聯(lián)合概率密度為：1()()dcdyba dcba 1()()badxba dcdc 概率統(tǒng)計(jì)在其它域上在其它域上:0)(,0)( yfxfYX1( )0Xaxbfxba 其其它它1( )0Ycydfydc 其其它它(2).11,( )( )0XYaxb cydfxfyba dc 其其它它),(yxf 所以得其邊緣概率密度分別為：所以得其邊緣概率密度分別為：與與XY和和相互獨(dú)立相互獨(dú)立概率統(tǒng)計(jì)(3).:時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)cyax ( , )( , )xyF x yf x y dxdy 0 視它為不視它

7、為不可能事件可能事件( , )( , )xyF x yf x y dxdy 1()()xyacdxdyba dc )()(cdabcyax abcd oxyabcd oyxxyo dxdy :時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng)dycbxa 概率統(tǒng)計(jì):,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)dycbx ( , )( , )xyF x yf x y dxdy 1()()byacdxdyba dc ()()ycdc :,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)bxady ( , )( , )xyF x yf x y dxdy 1()()dxcadxdyba dc )()(abax abcd oxyabcd oyx概率統(tǒng)計(jì):,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)dybx xydxdyyxfyxF),(),(dx

8、dycdabbadc )(11 0()(),()()( , ),1xaxaycaxb cydba dcycF x yxb cyddcxayd axbbaxbyd 或或ycyc或或abcd xyo故故(X,Y)的聯(lián)合分的聯(lián)合分布函數(shù)為布函數(shù)為概率統(tǒng)計(jì)(4).(,)2cdP Xb Y ()()2()()cdbacba dc 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午12時(shí)時(shí)30分在某地會(huì)面。分在某地會(huì)面。設(shè)甲在時(shí)間設(shè)甲在時(shí)間12:15到到12:45之間到達(dá)某地之間到達(dá)某地是均勻分布；乙獨(dú)立地到達(dá)，而且到達(dá)是均勻分布；乙獨(dú)立地到達(dá)，而且到達(dá)時(shí)間在時(shí)間在12:00到到13:00之間也是均勻分布之間也是均勻分布.

9、 試求：試求：(1) 先到的人等待另一人到達(dá)的先到的人等待另一人到達(dá)的 時(shí)間不超過(guò)時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率分鐘的概率. (2) 甲先到的概率甲先到的概率( ,)2cdF b 12 例例4.概率統(tǒng)計(jì)設(shè)設(shè) X：甲到達(dá)時(shí)刻，甲到達(dá)時(shí)刻， Y：乙到達(dá)時(shí)刻：乙到達(dá)時(shí)刻若以若以12時(shí)為起點(diǎn)，以分為單位，依題意：時(shí)為起點(diǎn)，以分為單位，依題意：X U ( 15, 45 ), Y U ( 0, 60 )1,1545( )300,Xxfx 其其它它1,060( )600,Yxfy 其其它它1,1545,060( , )18000,xyf x y 其其它它先到的人等待另一人先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)到達(dá)的時(shí)間

10、不超過(guò)5分鐘分鐘的概率的概率甲先到甲先到的概率的概率解解:且有：且有： 所求為所求為 ：P( |X - Y | 5 ) 及及 P( X Y ) 概率統(tǒng)計(jì)45515511800 xxdy dx P(| X-Y| 5) 1040 xy01545605xy 5xy =1/6=1/2x1545xy y0106040 P ( X Y )45601511800 xdy dx 解解:= P( -5 X -Y 5 ) 概率統(tǒng)計(jì)類(lèi)似的問(wèn)題如：類(lèi)似的問(wèn)題如： 甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨(dú)甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨(dú) 立地到達(dá)，并且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可立地到達(dá)，并且每艘船在一晝夜間到達(dá)

11、是等可 能的能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小時(shí)，乙船需停泊小時(shí)，乙船需停泊 2小時(shí)小時(shí) 而該碼頭只能停泊一艘船而該碼頭只能停泊一艘船 試求：其中一艘船要等待碼頭空出的概率試求：其中一艘船要等待碼頭空出的概率.概率統(tǒng)計(jì) 在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等可在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等可能的能的. 若收到兩個(gè)互相獨(dú)立的這種信號(hào)的時(shí)間間隔若收到兩個(gè)互相獨(dú)立的這種信號(hào)的時(shí)間間隔小于小于0.5 秒，則信號(hào)將產(chǎn)生互相干擾秒，則信號(hào)將產(chǎn)生互相干擾. 求：發(fā)生兩信號(hào)互相干擾的概率求：發(fā)生兩信號(hào)互相干擾的概率.把長(zhǎng)度為把長(zhǎng)度為a 的線段在任意兩點(diǎn)折斷成為三線段的線段在任意兩點(diǎn)折斷成為三線

12、段求：它們可以構(gòu)成三角形的概率求：它們可以構(gòu)成三角形的概率.長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為a概率統(tǒng)計(jì) 四四. 個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念n定義定義1.121212(,)()()()nnXXXnF xxxFxFxFx12,nXXX則稱(chēng)則稱(chēng)是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。定義定義2.1212,;,mnxxxyyy若對(duì)所有的若對(duì)所有的有：有：若對(duì)所有的若對(duì)所有的有：有：12,nxxx1212112212(,;,)(,)(,)mnmnF xxxyyyF xxxFyyy12,F F F1212(, ,), ( , , , )mnX XXY YY其中其中依次為隨機(jī)變量依次為隨機(jī)變量1212(,;,)mnX

13、XXY YY和和的分布函數(shù)。則稱(chēng)的分布函數(shù)。則稱(chēng)12(, ,)mX XX12( , , , )nY YY和和是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。關(guān)于關(guān)于 的邊緣的邊緣分布函數(shù)分布函數(shù) iX概率統(tǒng)計(jì)若連續(xù)型隨機(jī)向量（若連續(xù)型隨機(jī)向量（X1, ,Xn）的概率密度）的概率密度函數(shù)函數(shù) f (x1, , xn)可表示為可表示為 n 個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) g1, ,gn 之積，其中之積，其中g(shù)i 只依賴于只依賴于 xi，即，即 f (x1, ,xn) = g1(x1) gn(xn) 則則 X1, , Xn 相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且 Xi 的邊緣密度的邊緣密度f(wàn)i ( xi ) 與與 gi ( xi ) 只相差一個(gè)常數(shù)因子只相差一個(gè)常數(shù)因子.關(guān)于獨(dú)立性的三個(gè)結(jié)果：關(guān)于獨(dú)立性的三個(gè)結(jié)果：定理定理1概率統(tǒng)計(jì) 若若 X1, , Xn 相互獨(dú)立，而：相互獨(dú)立，而： Y1