概率論與數(shù)理統(tǒng)計：8-3正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗

1、第八章、假設(shè)檢驗第八章、假設(shè)檢驗第一節(jié)：假設(shè)檢驗第一節(jié)：假設(shè)檢驗第二節(jié)：正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗第二節(jié)：正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗第三節(jié)：正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗第三節(jié)：正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗第六節(jié)：分布擬合檢驗第六節(jié)：分布擬合檢驗第八節(jié)：假設(shè)檢驗問題的第八節(jié)：假設(shè)檢驗問題的P值法值法第三節(jié)第三節(jié) 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗單個正態(tài)總體單個正態(tài)總體的方差檢驗的方差檢驗兩個正態(tài)總體兩個正態(tài)總體的方差檢驗的方差檢驗一、單個一、單個總體總體 的情況的情況),(2 N , , ),( 22均為未知均為未知設(shè)總體設(shè)總體 NX , : , : 20212020 HH(1) 要求檢驗假設(shè)要求檢驗假

2、設(shè): : , ,21的樣本的樣本為來自總體為來自總體 XXXXn . 0為已知常數(shù)為已知常數(shù)其中其中 , 22的無偏估計的無偏估計是是由于由于 S , 0為真時為真時當(dāng)當(dāng)H 1,1 ,1 202或過分小于或過分小于不應(yīng)過分大于不應(yīng)過分大于附近擺動附近擺動在在比值比值 s , 設(shè)顯著水平為設(shè)顯著水平為),1()1( ,22020 nSnH 為真時為真時當(dāng)當(dāng) , )1( 2022作為統(tǒng)計量作為統(tǒng)計量取取 Sn , )1()1( 22021202kSnkSn 或或拒絕域的形式拒絕域的形式 :21的值由下式確定的值由下式確定和和此處此處kk , 00HHP拒絕拒絕為真為真.)1( )1(2202120

3、220 kSnkSnP指它們的和集指它們的和集為了計算方便為了計算方便, , 習(xí)慣上取習(xí)慣上取,2 )1(120220 kSnP,2 )1(220220 kSnP . )1( , )1( 22/222/11 nknk 故得故得拒絕域為拒絕域為: : )1( 202 sn)1(22/1 n )1( 202 sn或或. )1(22/ n (2)單邊檢驗問題的拒絕域單邊檢驗問題的拒絕域 ) ( 設(shè)顯著水平為設(shè)顯著水平為 , : , : 20212020 HH右邊假設(shè)檢驗右邊假設(shè)檢驗: : , 2120要小要小中的中的都比都比中的全部中的全部因為因為 HH , , 221往往偏大往往偏大的觀察值的觀察

4、值為真時為真時當(dāng)當(dāng)sSH拒絕域的形式為拒絕域的形式為: :.2ks :的值由下式確定的值由下式確定此處此處 k , 00HHP拒絕拒絕為真為真2202kSP )1()1(20202202 knSnP) (. )1()1(2022022202 因為因為knSnP, , 00 HHP拒絕拒絕為真為真要使要使. )1()1( 2022202 knSnP只需令只需令),1()1( 222 nSn 因為因為, )1()1(220 nkn 所以所以),1(1 220 nnk 故故),1(12202 nns 右邊檢驗問題的拒絕域為右邊檢驗問題的拒絕域為).1()1( 22022 nsn 即即同理左邊檢驗問題

5、同理左邊檢驗問題: : , : , : 20212020 HH拒絕域為拒絕域為).1()1(212022 nsn . 2檢驗法檢驗法上述檢驗法稱為上述檢驗法稱為 解解 ,5000:,5000: 2120 HH要檢驗假設(shè)要檢驗假設(shè),26 n,02. 0 ,500020 ,314.44)25()1(201. 022/ n)02. 0( 例例1 某廠生產(chǎn)的某種型號的電池某廠生產(chǎn)的某種型號的電池, , 其壽命長期以其壽命長期以來服從方差來服從方差 = =5000 ( (小時小時2 2) ) 的正態(tài)分布的正態(tài)分布, , 現(xiàn)有一現(xiàn)有一批這種電池批這種電池, , 從它生產(chǎn)情況來看從它生產(chǎn)情況來看, , 壽命

6、的波動性有壽命的波動性有所變化所變化. . 現(xiàn)隨機(jī)的取現(xiàn)隨機(jī)的取26只電池只電池, , 測出其壽命的樣本測出其壽命的樣本方差方差 = =9200(小時小時2 2). ). 問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化? ?2 2s,524.11)25()1(299. 022/1 n )1( 202 sn,524.11拒絕域為拒絕域為: : )1( 202 sn或或. 4.3144 465000920025)1( 202 sn因為因為 , 4.3144 , 0H所以拒絕所以拒絕 認(rèn)為這批電池的壽命的波動性較以往的

7、有顯著認(rèn)為這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化的變化. .如果只假設(shè)切割長度服從正態(tài)分布如果只假設(shè)切割長度服從正態(tài)分布, , 問該機(jī)切割的問該機(jī)切割的金屬棒長度的標(biāo)準(zhǔn)差有無顯著變化金屬棒長度的標(biāo)準(zhǔn)差有無顯著變化? ?)05. 0( 例例2 2 某切割機(jī)在正常工作時某切割機(jī)在正常工作時, , 切割每段金屬棒的平切割每段金屬棒的平均長度為均長度為10.5cm, 標(biāo)準(zhǔn)差是標(biāo)準(zhǔn)差是0.15cm, 今從一批產(chǎn)品中今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取隨機(jī)的抽取 15 段進(jìn)行測量段進(jìn)行測量, 其結(jié)果如下其結(jié)果如下: :7 .102 .107 .105 .108 .106 .109 .102 .103 .103 .

8、105 .104 .101 .106 .104 .10解解 , , ),( 22均為未知均為未知因為總體因為總體 NX ,15. 0:,15. 0: 10 HH要檢驗假設(shè)要檢驗假設(shè) ,0225. 0:,0225. 0: 2120 HH即即,15 n,48.10 x,05. 0 ,056. 02 s )1( 202 sn 因為因為 ,844. 430225. 0056. 014 查表得查表得,629. 5)14()1(2975. 022/1 n,119.26)14()1(2025. 022/ n0225. 0056. 014)1( 202 sn于是于是 ,0H所以拒絕所以拒絕認(rèn)為該機(jī)切割的金屬棒

9、長度的標(biāo)準(zhǔn)差有顯著變化認(rèn)為該機(jī)切割的金屬棒長度的標(biāo)準(zhǔn)差有顯著變化. . ,119.26844. 43 例例3 某廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力指標(biāo)服從正態(tài)分布某廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力指標(biāo)服從正態(tài)分布, , 現(xiàn)隨機(jī)抽取現(xiàn)隨機(jī)抽取 9 根根, , 檢查其折斷力檢查其折斷力, , 測得數(shù)據(jù)如下測得數(shù)據(jù)如下( (單位單位: :千克千克) ): 289, 268, 285, 284, 286, 285, 286, 298, 292. 問是否可相信該廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力的方差問是否可相信該廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力的方差為為20?解解 ,20:,20: 2120 HH按題意要檢驗按題意要檢驗, 9 n,89.287 x,3

10、6.202 s查表得查表得)05. 0( ,18. 2)8(2975. 0 , 5 .17)8(2025. 0 ,14. 82036.208)1( 202 sn于是于是 , 5 .1714. 818. 2 , 0H故接受故接受認(rèn)為該廠生產(chǎn)銅絲的折斷力的方差為認(rèn)為該廠生產(chǎn)銅絲的折斷力的方差為20. .解解 , 1 . 0:, 1 . 0: 2120 HH要檢驗假設(shè)要檢驗假設(shè),25 n,415.36)24(205. 0 4 .471 . 01975. 024)1( 202 sn因為因為,415.36 ,0H所以拒絕所以拒絕認(rèn)為該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品沒有達(dá)到所要求的精度認(rèn)為該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品沒有達(dá)到所要求的

11、精度. . 例例4 某自動車床生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸服從某自動車床生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布正態(tài)分布, ,按按規(guī)定產(chǎn)品尺寸的規(guī)定產(chǎn)品尺寸的方差方差 不得超過不得超過0.1, 為檢驗該為檢驗該自自動車床的工作精度動車床的工作精度, , 隨機(jī)的取隨機(jī)的取25件產(chǎn)品件產(chǎn)品, , 測得樣本測得樣本方差方差 s2=0.1975, , . . 問該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品是問該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品是否達(dá)到所要求的精度否達(dá)到所要求的精度? ?2 86. 3 x)05. 0( 二、兩個總體二、兩個總體 的情況的情況),(),(222211 NN,),( , 211211的樣本的樣本為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體設(shè)設(shè) NXXXn , 2

12、22121均為未知均為未知又設(shè)又設(shè) , : , : 2221122210 HH需要檢驗假設(shè)需要檢驗假設(shè): : ,),(,222212的樣本的樣本為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 NYYYn ., ,2221SS其樣本方差為其樣本方差為且設(shè)兩樣本獨立且設(shè)兩樣本獨立 , 0為真時為真時當(dāng)當(dāng)H),()(22222121SESE , 1為真時為真時當(dāng)當(dāng)H),()(22222121SESE , 1為真時為真時當(dāng)當(dāng)H , 2221有偏大的趨勢有偏大的趨勢觀察值觀察值SS, 2221kss 故拒絕域的形式為故拒絕域的形式為 :的值由下式確定的值由下式確定此處此處 k , 00HHP拒絕拒絕為真為真 kSSP22

13、212221 )1 (,2221222122212221 因為因為kSSP, , 00 HHP拒絕拒絕為真為真要使要使. 222122212221 kSSP只需令只需令).1, 1(2122212221 nnFSS 根據(jù)根據(jù)抽樣分布抽樣分布定理定理知知).1, 1(212221 nnFssF 檢驗問題的拒絕域為檢驗問題的拒絕域為上述檢驗法稱為上述檢驗法稱為 F 檢驗法檢驗法.).1, 1( 21 nnFk 即即類似的，雙邊檢驗類似的，雙邊檢驗: : , : , : 2221122210HH , : , : 2221122210HH拒絕域為拒絕域為拒絕域為拒絕域為)1,1(及)1,1(212-1

14、22212122221nnFssnnFssF).1,1(2112221nnFssF試對數(shù)據(jù)檢驗假設(shè)試對數(shù)據(jù)檢驗假設(shè) . : , :2221122210 HH)01. 0 ( 取取例例5 在平爐上進(jìn)行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否在平爐上進(jìn)行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率會增加鋼的得率, , 試驗是在同一只平爐上進(jìn)行的試驗是在同一只平爐上進(jìn)行的. . 每煉一爐每煉一爐鋼時除操作方法外鋼時除操作方法外, , 其它條件都盡可能做到相同其它條件都盡可能做到相同. .先采用標(biāo)先采用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐準(zhǔn)方法煉一爐, , 然后用建議的新方法煉一爐然后用建議的新方法煉一爐, , 以后交替

15、進(jìn)行以后交替進(jìn)行, , 各煉了各煉了1010爐爐, , 其得率分別為其得率分別為(1)(1)標(biāo)準(zhǔn)方法標(biāo)準(zhǔn)方法: : 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法新方法: 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 設(shè)這兩個樣本相互設(shè)這兩個樣本相互獨立獨立, , 且分別來自正態(tài)總體且分別來自正態(tài)總體和和),(21 N , ),( 22122均為未知均為未知 N解解,1021 nn拒絕域見表拒絕域見表 8.1. 8.1. 2221 ss

16、)110, 110( 005. 0 F54. 6 2221 ss或或)110, 110( 005. 01 F)9, 9(1005. 0F ,153. 054. 61 2.225,3.325, 2221 ss因為因為,49. 1 2221 ss所以所以,54. 649. 10.153 2221 ss , 0H故接受故接受認(rèn)為兩總體方差相等認(rèn)為兩總體方差相等.兩總體方差相等也稱兩總體具有兩總體方差相等也稱兩總體具有方差齊性方差齊性. . 例例6試對數(shù)據(jù)檢驗假設(shè)試對數(shù)據(jù)檢驗假設(shè) . : , : 2221122210 HH)1 . 0 ( 取取研究由機(jī)器研究由機(jī)器 A 和機(jī)器和機(jī)器 B 生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑

17、隨生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑隨機(jī)抽取機(jī)器機(jī)抽取機(jī)器 A 生產(chǎn)的管子生產(chǎn)的管子 18 只只, , 測得樣差為測得樣差為均未知均未知, , 設(shè)兩樣本相互獨設(shè)兩樣本相互獨);mm(34. 0 221 s).mm(29. 0 222 s抽取機(jī)器抽取機(jī)器B B 生產(chǎn)的管子生產(chǎn)的管子 13 只只, ,測測得樣本方差為得樣本方差為立立, ,且設(shè)由機(jī)器且設(shè)由機(jī)器 A 和機(jī)器和機(jī)器 B 生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分服生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分服從正態(tài)分布從正態(tài)分布),(),(222211 NN)2 , 1(,2 iii 解解,13,1821 nn拒絕域見表拒絕域見表 8 8.1. )1, 1(21nnF )113, 118(1 . 0 F,96

18、. 1 1.96, 2221 ss拒絕域為拒絕域為 0.29,0.34, 2221 ss因為因為1.172221 ss1.96, . 故接受0H 兩臺車床加工同一零件兩臺車床加工同一零件, , 分別取分別取6件和件和9件測量件測量直徑直徑, , 得得: : 假定零件直徑服假定零件直徑服從正態(tài)分布從正態(tài)分布, , 能否據(jù)此斷定能否據(jù)此斷定 0.357.0.345,22 yxss.22yx )05. 0( 解解本題為方差齊性檢驗本題為方差齊性檢驗: :.:,:221220yxyxHH 22yxssF 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量,82. 4)8, 5(025. 0 F,9644. 0357. 0345. 0

19、,148. 0)8, 5(975. 0 F,82. 4148. 0 F , 0H故接受故接受.22yx 認(rèn)為認(rèn)為例例7解解 根據(jù)題中條件根據(jù)題中條件, , 首先應(yīng)檢驗方差的齊性首先應(yīng)檢驗方差的齊性. .:,: 221220yxyxHH 假設(shè)假設(shè),03. 4)9, 9(025. 0 F,248. 0)9, 9(975. 0 F 22yxssF 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量,12. 221. 167. 2 分別用兩個不同的計算機(jī)系統(tǒng)檢索分別用兩個不同的計算機(jī)系統(tǒng)檢索10個資料個資料, , 測得平均檢索時間及方差測得平均檢索時間及方差( (單位單位: :秒秒) )如下如下: :,21. 1,67. 2,179. 3,097. 322 yxssyx假定假定檢索時間服從正態(tài)分布檢索時間服從正態(tài)分布, , 問這兩系統(tǒng)檢索資料問這兩系統(tǒng)檢索資料有無明顯差別有無明顯差別? ? )05. 0( 例例8,03. 412. 2248. 0 F , 0H故接受故接受.22yx 認(rèn)為認(rèn)為 , yx 再驗證再驗證.:,: 10yxyxHH 假設(shè)假設(shè),11 21nnSYXtw 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量.2)1()1( 212222112 nnS