8.4正定二次型

1、8.4 正定二次型正定二次型授課題目：授課題目：8.4 正定二次型正定二次型授課時(shí)數(shù)：授課時(shí)數(shù)：4學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：掌握正定二次型的定義、性質(zhì)及掌握正定二次型的定義、性質(zhì)及 判定判定教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：正定二次型的性質(zhì)及判定條件正定二次型的性質(zhì)及判定條件教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：正定二次型的判定條件正定二次型的判定條件數(shù)域數(shù)域F上文字上文字x1, x2, xn的二次型的二次型f (x1, x2, xn)=XTAX可以看成是定義在可以看成是定義在Fn上的上的n元數(shù)值函數(shù)，對(duì)任意元數(shù)值函數(shù)，對(duì)任意=(c1,c2,cn)TF n有有f (c1,c2,cn)=TA為為F中惟一確定的數(shù)，即中惟一確定

2、的數(shù)，即f：F nF為以為以F n中的向中的向量為變量的數(shù)值函數(shù)從這一觀點(diǎn)出發(fā)，我們可量為變量的數(shù)值函數(shù)從這一觀點(diǎn)出發(fā)，我們可以根據(jù)下列定義，對(duì)二次型進(jìn)行適當(dāng)分類(lèi)以根據(jù)下列定義，對(duì)二次型進(jìn)行適當(dāng)分類(lèi)一一. 實(shí)二次型的分類(lèi)實(shí)二次型的分類(lèi)定義定義1n元實(shí)二次型元實(shí)二次型f(x1, x2, xn)=XTAX，如，如果對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù)果對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù)(c1,c2,cn),都有都有1)f(c1,c2,cn)0, 則稱該二次型為正定的；則稱該二次型為正定的；2)f(c1,c2,cn) 0, 則稱該二次型為負(fù)定的；則稱該二次型為負(fù)定的；3)f(c1,c2,cn)0, 則稱該二次型為半正定的

3、；則稱該二次型為半正定的；4)f(c1,c2,cn)0, 則稱該二次型為半負(fù)定的；則稱該二次型為半負(fù)定的；5)f(c1,c2,cn)0,即不是半正定的又不是半即不是半正定的又不是半負(fù)定的負(fù)定的, 則稱其為不定的則稱其為不定的211d x222d x 2nnd xf(x1, x2, xn)=21x22x2nx+是正定的，但二次型是正定的，但二次型21x22x2rx+(r0, i=1,2, ,n.二二. 實(shí)二次型正定性的判定實(shí)二次型正定性的判定定理定理8.4.1可逆線性替換不改變實(shí)二次型的正定可逆線性替換不改變實(shí)二次型的正定性性1. 可逆線性替換與實(shí)二次型的正定性可逆線性替換與實(shí)二次型的正定性證若

4、證若f(x1, x2, xn)XTAX正定，經(jīng)可逆線性正定，經(jīng)可逆線性替換替換X=PY化為化為g(y1, y2, , yn)=YTBY(其中其中B=PTAP), 對(duì)任意一組不全為對(duì)任意一組不全為0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)=(c1,c2,cn)T, 注意到注意到P可逆且可逆且0，有，有P0, 從而有從而有g(shù)(c1,c2,cn)=TB=T(PTAP)=(P)TA(P)0這說(shuō)明二次型這說(shuō)明二次型g(y1, y2, , yn)=YTBY正定正定反之，若二次型反之，若二次型g(y1, y2, , yn)=YTBY正定，對(duì)任正定，對(duì)任意一組不全為意一組不全為0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)=(c1,c2,cn)T有有P-10,從而從而

5、TAP=T(P-1)TB(P-1)=(P-1)TB(P-1)0.這說(shuō)明二次型這說(shuō)明二次型f(x1, x2, xn)=XTAX正定正定定理定理8.4.2若若n元實(shí)二次型元實(shí)二次型f(x1, x2, xn)=XTAX的秩為的秩為r，正慣性指標(biāo)為，正慣性指標(biāo)為p，則，則正定的充要條件是正定的充要條件是nrp；1) f(x1, x2, xn)負(fù)定的充要條件是負(fù)定的充要條件是nr且且p0；2) f(x1, x2, xn)半正定的充要條件是半正定的充要條件是rp；3) f(x1, x2, xn)不定的充分必要條件是不定的充分必要條件是r p0.5) f(x1, x2, xn)半負(fù)定的充要條件是半負(fù)定的充要

6、條件是p0；4) f(x1, x2, xn)2. 實(shí)二次型正定性的判定實(shí)二次型正定性的判定12()Tnf x xxX AX 推論推論1n元實(shí)二次型元實(shí)二次型正定的充分必要條件是：它的典范形為正定的充分必要條件是：它的典范形為21y22y2ny+三三. 正定矩陣正定矩陣必要條件是：必要條件是：正定正定12()nf x xx 顯然，顯然，n元實(shí)二次型是負(fù)定的充分元實(shí)二次型是負(fù)定的充分12()nf x xx1. 實(shí)正定矩陣的定義實(shí)正定矩陣的定義證明設(shè)證明設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，若是實(shí)對(duì)稱矩陣，若A是正定的，則實(shí)是正定的，則實(shí)12()Tnf x xxX AX 是正定的是正定的(負(fù)定的負(fù)定的,半正定的半正定的

7、,半負(fù)定的半負(fù)定的,不定的不定的),則相應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣則相應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣A稱為是正定的稱為是正定的(負(fù)定的負(fù)定的,半正定的半正定的,半負(fù)定的半負(fù)定的,不定的不定的).定義定義2若實(shí)二次型若實(shí)二次型推論推論2實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定的充分必要條件是：是正定的充分必要條件是：它與單位矩陣合同它與單位矩陣合同,即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣C,使使A=CTC2. 實(shí)正定矩陣的性質(zhì)及判定實(shí)正定矩陣的性質(zhì)及判定故存在可逆矩陣故存在可逆矩陣C, 使得使得A=CTIC=CTC, 反之亦然反之亦然.推論推論3若若A正定，則正定，則0.A 是正定的是正定的, 由推論由推論1知知, 正定二次型的典范形為正定二次

8、型的典范形為21y22y2ny+證明若證明若A正定，由推論正定，由推論2知，存在可逆矩陣知，存在可逆矩陣C，使使A=CTC，從而，從而20TTAC CCCC 二次型二次型12()Tnf x xxX AX 111212122212kkkkkkkaaaaaaPaaa 定義定義3設(shè)設(shè)A=(aij)是實(shí)對(duì)稱矩陣，對(duì)于是實(shí)對(duì)稱矩陣，對(duì)于1kn，位于的前位于的前k行行k列交叉處的元素所構(gòu)成的行列式列交叉處的元素所構(gòu)成的行列式稱為稱為A的的k階順序主子式階順序主子式(aij=aji)是正定的，以是正定的，以Ak表示位于表示位于A的前的前k行行k列交列交叉處的元素所構(gòu)成的矩陣叉處的元素所構(gòu)成的矩陣, 則以則以

9、Ak為矩陣的實(shí)二為矩陣的實(shí)二次型次型1211(,)nnTnijijijf x xxX AXa x x12(,)kkfx xx12(,)kc cc定理定理8.4.3 實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定的充分必要條件是正定的充分必要條件是：是：A的一切順序主子式皆大于的一切順序主子式皆大于0證明必要性證明必要性, 設(shè)二次型設(shè)二次型,對(duì)任意一組不全為對(duì)任意一組不全為0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)有有1212(,)(,0,0)0kkkfc ccf c cc 12(,)kkfx xx (1kn).所以二次型所以二次型0.kA 是正定的，由推論是正定的，由推論3知知充分性充分性 對(duì)對(duì)A的階的階n用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法.n1結(jié)

10、論顯然結(jié)論顯然.假設(shè)對(duì)假設(shè)對(duì)n1充分性成立，即對(duì)于充分性成立，即對(duì)于n1階的實(shí)對(duì)階的實(shí)對(duì)稱矩陣稱矩陣An-1若其一切順序主子式皆大于若其一切順序主子式皆大于0則其必則其必為正定的為正定的0A 1nTnnAa 要證明對(duì)于要證明對(duì)于n充分性也成立充分性也成立,只需證明再添加條件只需證明再添加條件時(shí)，時(shí)，A為正定矩陣由歸納假設(shè)知，為正定矩陣由歸納假設(shè)知，矩陣矩陣An-1與單位矩陣與單位矩陣I n-1合同，即有合同，即有n1階階可逆可逆矩陣矩陣Q使得使得QT An-1AQ= I n-1，將，將A分塊為分塊為其中其中1,2,1,nnnnaaa 1001QC 10CQ111TTnTnnIQC ACQa 1

11、201TnIQC 令令則則于是于是再令再令210C2112()TTCC AC C 101TTnIQ 1TnTnnIQQa 101TnIQ 100nId TTnndaQQ 同樣地同樣地于是于是其中其中22120dA CC13010nICd 310Cd123C C C 12310CCCCQd將上式兩邊求行列式得將上式兩邊求行列式得又令又令 也有也有從而從而C的行列式有的行列式有321123TTTTC ACC C C AC C C 1010nId 100nId 1010nId 因而對(duì)可逆矩陣因而對(duì)可逆矩陣C有有這說(shuō)明矩陣這說(shuō)明矩陣A合同于單位矩陣合同于單位矩陣In，故，故A正定正定=In222123

12、1231223(,)34544f x xxxxxx xx x 320242025A 12()Tnf x xxX AX 推論推論4 n元實(shí)二次型元實(shí)二次型正定的充分必要條件是：實(shí)對(duì)稱矩陣正定的充分必要條件是：實(shí)對(duì)稱矩陣A的一切順的一切順序主子式皆大于序主子式皆大于0例例1判斷實(shí)二次型判斷實(shí)二次型是否正定是否正定解該二次型的矩陣為解該二次型的矩陣為由定理由定理8.4.3知，該二次型是正定的知，該二次型是正定的例例2設(shè)二次型設(shè)二次型30, 3280,24320242280,025A 12()Tnf x xxX AX 22221211211(,)nnnnPPf x xxP yyyPP A的一切順序主子

13、式為的一切順序主子式為的順序主子式的順序主子式Pi均不為均不為0，則存在可逆線性替換，則存在可逆線性替換X=CY使使12111000100000001nccCc 1,11,11,11,00nnnnnaaxaax 證明證明用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法n1結(jié)論顯然假設(shè)結(jié)結(jié)論顯然假設(shè)結(jié)論對(duì)論對(duì)n1成立，考慮成立，考慮n令令 121,1nc cc , 其中其中為齊次線性方程組為齊次線性方程組12()Tnf x xxX AX 11C 1,11,1111,11,10000nTnnnnaaC ACaad 100nnAd 121,nc cc 的非的非0解（若解（若xn=0，則，則是齊次線是齊次線矛盾）于是對(duì)二次型

14、矛盾）于是對(duì)二次型作可逆線性替換作可逆線性替換X=C1Y, 得得10nAX 110nnPA的非的非0解解, 這與這與性方程組性方程組1nnnPdP 12()Tnf x xxX AX 1211111(,)nnnnnnyPyyAyPy 211nnnCAPPd 兩端取行列式得兩端取行列式得所以所以從而有從而有1111111(,)(,)nnnnyg yyyyAy 1111,0nnyzDDyz令令由歸納假設(shè)知，存在由歸納假設(shè)知，存在使得使得11(,)ng yy 121111112(,)nnnnPPzPzzzPP 2001DC 12()Tnf x xxX AX 22221211211(,)nnnnPPf x xxP yyyPP 令令, 取取C=C1C2 , 則二次型則二次型經(jīng)可逆線性替換經(jīng)可逆線性替換X=CY有有3. 實(shí)半正定矩陣的判定實(shí)半正定矩陣的判定12()Tnf x xxX AX ()TAA 12(,)nf x xx12