導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用(理論)

1、導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的引入為我們研究函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的曲線帶來很大的方便，尤其是可以利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性問題和最值問題，更可以用導(dǎo)數(shù)來解決部分結(jié)合問題另外導(dǎo)數(shù)的工具性和導(dǎo)數(shù)的幾何意義也使得導(dǎo)數(shù)與解析幾何、不等式、函數(shù)、甚至數(shù)列知識(shí)更加緊密的聯(lián)系在一起.近年來，導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)在高考中的地位日益突出，本文就簡(jiǎn)單談?wù)剬?dǎo)數(shù)在函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾 何中的應(yīng)用.1 導(dǎo)數(shù)的定義的相關(guān)定義很多人知道，對(duì)于很多問題，采用用高等數(shù)學(xué)的方法和初等數(shù)學(xué)的方法都可以 解答，但是高等數(shù)學(xué)的方法相對(duì)于初等數(shù)學(xué)的方法可以使一些概念更準(zhǔn)確，對(duì)某些問題的理解會(huì)更深刻，使一些證明更嚴(yán)謹(jǐn)或更簡(jiǎn)單，并為許多問題

2、提供的解題 途徑我們高中對(duì)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)只是出略的，更多相關(guān)的知識(shí)要高等數(shù)學(xué)中才會(huì)學(xué) 習(xí)，但我們應(yīng)該明白高中出現(xiàn)的函數(shù)幾乎都是可導(dǎo)函數(shù) 但我們還是要注重有關(guān) 概念的辨析，避免應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決相關(guān)問題是出現(xiàn)錯(cuò)誤為了更清楚地了解導(dǎo)數(shù)的 定義我們應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義方式.1.1 函數(shù)連續(xù)的定義定義1若函數(shù)f(x)在X0的附近包括X0點(diǎn)本身有定義,并且lim f x f Xo.則稱f (x)在Xo連續(xù),或稱Xo點(diǎn)是 f (x)的連續(xù)點(diǎn).X xo1.2 導(dǎo)數(shù)的定義定義 2 設(shè)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)xo的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,若極限f x f xolimo存在，貝 U 稱函數(shù)f(x)在Xo處可導(dǎo),并稱該極限為函數(shù)

3、 y =f(x)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù),記作f X.注：(1)函數(shù)應(yīng)在點(diǎn) xo的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在.X(2)在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，x 趨近于 0 可正、可負(fù)、但不為 o,y可能為 o.(3)是函數(shù) y=f (x)對(duì)自變量 x 在 x 范圍內(nèi)的平均變化率,它的幾何意義是 XXxox Xo過曲線y f(x)上點(diǎn)(xo,f (Xo)及點(diǎn)(Xo+ X ,f (XoXo)的割線斜率.導(dǎo)數(shù)f Xolim口一X是函數(shù)y f(x)在點(diǎn)Xo的處瞬時(shí)變化率,x oX它反映的函數(shù)yf(x)在Xo點(diǎn)處變化的快慢程度，它的幾何意義是曲線y f(x)上點(diǎn)(Xo,f (Xo)處的切線的斜率.若極限 lim一X)一不存在，

4、則稱函數(shù) y=f (x)在點(diǎn)Xo處不可導(dǎo).x ox如果函數(shù) y=f (x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)y f (x)在開區(qū) 間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；此時(shí)對(duì)于每 一個(gè)x (a,b),都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f x,從 而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)f x,稱這個(gè)函數(shù).2 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的應(yīng)用2.1 利用導(dǎo)數(shù)作函數(shù)的圖像中學(xué)數(shù)學(xué)教材中介紹的描點(diǎn)法作函數(shù)圖像，作圖比較粗糙不準(zhǔn)確，一般只適 用于簡(jiǎn)單的函數(shù)，但對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)就很難做出.現(xiàn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來作函數(shù)圖 像就相當(dāng)?shù)暮?jiǎn)便.作函數(shù)圖像的一般步驟：(1)求出函數(shù)的定義域；(2) 考察函數(shù)的奇偶性、周期性；(3) 求函數(shù)的一些特殊點(diǎn)，如與兩坐標(biāo)軸的

5、交點(diǎn)等(列表)；(4) 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)，凸性區(qū)間及拐點(diǎn)(列表)；(5) 考察漸進(jìn)線；(6) 畫圖.例 1 作函數(shù)y x36x215x 2o的圖像.解: (1)函數(shù)的定義域(，)(2)曲線與 x, y 軸交點(diǎn)分別為(51o5,o),( 1,o),(P15,o),(o, 2o).2 2(3) 令y 3x212x 153(x 5)(x 1) o解得x 5,1令y 6x 126(x 2) o解得 x 2(4)現(xiàn)列表討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、凸性區(qū)間及拐點(diǎn)：X(,5)-5(5, 2)-2(2,1)1(1,)y+00+y0+y/凹80 極大凸26 拐點(diǎn)凹-28 極小/凹(5) 無漸進(jìn)線作圖：

6、2.2 利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的值在一些含位置參數(shù)的題中，有我們通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)之似乎可以化簡(jiǎn)函數(shù)，從而 更快速的求出參數(shù)例 2 已知函數(shù)f(x)務(wù)二x R在區(qū)間-1, 1上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值x22所組成的集合 A.又f(x)在-1,1上是增函數(shù)f (x)0對(duì)x 1,1恒成立，即x2ax 2 0對(duì)x 1,1恒成立.設(shè)(x)x2ax 2,那么問題就等價(jià)于f (x)24 2ax 2x72T72(x 2)22(x2ax 2)T72(x 2)0.(1) 0(1) 0所以 A= a| 1 a 12.3 判斷函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的 知識(shí).通常用定義來判斷，但

7、當(dāng)函數(shù)表達(dá)式較復(fù)雜時(shí)判斷f(xj f(X2)正負(fù)較困難.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，只需求出f (X),再考慮f(X)的正負(fù)即可. 此方法簡(jiǎn)單快捷而且適用面廣例 3 已知f(x) x3bx2cx d是定義在R 上的函數(shù)，其圖像交x軸于A、B、C 三點(diǎn)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(2,0),且f(x)在-1,0和0,2有相反的單調(diào)性(1) 求 C 的值(2) 若函數(shù)f(x)在0,2和4,5也有相反的單調(diào)性，f(x)的圖像上是否存在一點(diǎn) M ,使得f(x)在點(diǎn) M 的切線斜率為 3b?若存在，求出 M 點(diǎn)的坐標(biāo).若不 存在，說明理由.解 分析：(1)f x 3x22bx c,f(x)在-1,0和0,2有

8、相反的單調(diào)性.x=0 是f x的一個(gè)極值點(diǎn)，故f 00.c=0/口22(2)f x 0得3x 2bx 0,x10,x2- b3因?yàn)閒(x)在0,2和4,5有相反的單調(diào)性，f x在0,2和4,5有相反的符號(hào).2故2-b 4, 6 b 3.3假設(shè)存在點(diǎn) M(Xo,y。)使得f (x)在點(diǎn) M 的切線斜率為 3b,則f (x。)3b.即3xo 2bx。3b 0.4b24 3 ( 3b) 4b(b 9)，而f x。3b.故不存在點(diǎn) M(X。，y。)使得f (x)在點(diǎn) M 的切線斜率為 3b .2.4 研究方程的根我們知道在解決一元二次方程根的時(shí)候通常會(huì)用到偉大定理，但有很多關(guān)于方程根的問題如果僅僅用偉

9、大定理來解決的話會(huì)顯得很吃力，并且找不著下手的方向此時(shí)我們可以嘗試用導(dǎo)數(shù)的方法來解決有關(guān)問題例 4 若 m 3,則方程x3mxx210在 0,2 上有多少根？解設(shè)f x x3mx21,貝Uf X3x22mx當(dāng) m3 且x 0,2時(shí)，f x 0,故f(x)在 0,2 上單調(diào)遞減，而f(x)在 x 0 與 x 2 處都連續(xù)，且f(0) 1 0,f(2) 9 4m 0故f (x)在 0,2 上只有一個(gè)根.導(dǎo)數(shù)有一個(gè)很好的作用就是降次，我們可以三次函數(shù)降為更為熟悉的二次 函數(shù)，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.2.5 求函數(shù)極值或最值最值問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn).它涉及到了高中數(shù)學(xué)知識(shí) 的各個(gè)方面，要

10、解決這類問題往往需要各種技能，并且需要選擇合理的解題途徑 用導(dǎo)數(shù)解決這類問題可以使解題過程簡(jiǎn)化，步驟清晰，學(xué)生也好掌握.應(yīng)注意函數(shù)的極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，極值是一個(gè)局部性概念，最值是某個(gè)區(qū)間的整體 性概念利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極(最)值解答這類問題的方法是：(1) 根據(jù)求導(dǎo)法則對(duì)函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)(2) 令導(dǎo)數(shù)等于 0,解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).(3) 分區(qū)間討論，得數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(4) 判斷極值點(diǎn)，求出極值.(5) 求出區(qū)間端點(diǎn)值與極值進(jìn)行比較，求出最值.出函例 5 設(shè)X!、x2是函數(shù)f (x) ax3bx2a2x a 0的兩個(gè)極值點(diǎn).(1)若X!=-1,X2=2,求函數(shù)f (x)的解析式;若|xi|+ X2=

11、22，求f (x)的最大值;即:函數(shù)p(a)在區(qū)間(0,4上是增函數(shù)，在區(qū)間4,6上是減函數(shù)，當(dāng)a=4 時(shí)，p(a)有極大值為 96,p(a)在(0,6上的最大值是 96,b 的最大值為 46.從以上例題的分析可以看出導(dǎo)數(shù)定義在求極限導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的 最值問題，不等式問題,發(fā)揮著重要作用，因此我們應(yīng)予高度重視，充分理解導(dǎo)數(shù)定 義概念的實(shí)質(zhì)，把握導(dǎo)數(shù).應(yīng)用的場(chǎng)合及關(guān)鍵點(diǎn)，只有這樣在各類考試中方能得心應(yīng)手.例 6(2005 年山東卷)已知函數(shù) x 1 是函數(shù)f(x) mx33(m 1)x2nx 1的一個(gè)極值點(diǎn)，其中m, n R, m 0.(1) 求m與n的關(guān)系表達(dá)式;(2) 求f (x)的

12、單調(diào)區(qū)間；當(dāng)x 1,1時(shí)，函數(shù)y f(x)的圖像上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m,求m的取值范圍.解分析：f (x)ax3bx2a2x a依題意有f 10,f20,3a2b a2012a 4b a20解得 a 6b 9,f (x)6x29x236 x. 2(2)f (x) 3ax2bx2a(a0),依題意,x1、x2是方程f(x)0的兩個(gè)根且|刈2(x1x2)2x1x2X1X28.(2b3a)2(a3) 2I 3a8,b23a2(6a).=22,設(shè)p(a) 3a2(6a),則p a9a2由p a 0得 0 a 4,由p a 0得 a 4.2bx0+ x2a2aa 6.x 3ax2b20,0分析：

13、這類題目解決的關(guān)鍵在于深刻理解并靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，第 1 小題根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，可確定m與n的關(guān)系；第 2 小題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可根 據(jù)求導(dǎo)法得到，列出表格,答案一目了然；第 3 小題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合一 元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.解 f (x) 3mx26(m 1)x 3m n由 x 1 是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，知f(1) 0,即3m 6(m 1) n 0,n 3m 62(2)由(1),得f (x) 3mx26(m 1)x 3m 53m(x 1)x (1)m2由 m 0 知，11 x,當(dāng)x變化時(shí)，f (x)與f (x)的變化如下:m3 導(dǎo)數(shù)在證明等式和不等式問題中的應(yīng)用3.1

14、導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用x(,1 2)m1 Jm(1 -,1) m1(1,)g(x)00000g(x)遞減極小值遞增極大值遞減由上可知,f(x)在區(qū)間(1,)和(2,1 -)上遞減,在區(qū)間(1m2-,1)上遞增.m由已知得f(x) 3m,即mx22(m 1) 20,即當(dāng)x22(1)xm設(shè)g(x)x22(1-0m12)x ,其函數(shù) 開口向上，由題意式m恒成立 ,所以g(1)g(1)0解之得，-3m 0,所以0即m的取值范圍為(詁.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，將不等式的部分 或者全部投射到函數(shù)上直接或等價(jià)變形后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng) 的函數(shù).通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)

15、的單調(diào)性或利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算來求出函數(shù)的最值將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題即轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)值的大小，或者函數(shù)值在給 定的區(qū)間上恒成立等.例 7 求證：ex1 x(x 0)分析:本題通過導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，自然地將導(dǎo)數(shù)與不等式結(jié)合在一起，靈活考查了學(xué)生全面分析解決問題的能力先構(gòu)造函數(shù)f(x) ex1 x;再對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，得到f(x);然后觀察得到當(dāng) x 0 時(shí)，f(x)0,即f(x)在 x 0時(shí)是增函數(shù)；最后可得當(dāng) x 0 時(shí)，f(x) f(0) 0,即ex1 x.解：令f (x) ex1 x貝Uxf(x) e 10f (x)在(0,)上是增函數(shù).當(dāng) x 0 時(shí)，f(x) f (0)0即ex1

16、 x(x 0).3.2 在恒等式證明方面的應(yīng)用此類問題證明的關(guān)鍵是把恒等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題 數(shù)達(dá)到解決問題的目的.例 8 求證:arctan x arccot x 2證明：設(shè)arctan x arc cotx f (x)貝Uf (x)從而f (x) c(c 為常數(shù))令 x 1 得f(x)4 4 2,于是arctan x arc cot x然后利用函數(shù)的導(dǎo)4 導(dǎo)數(shù)在數(shù)列問題中的應(yīng)用數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的部分，也是個(gè)難點(diǎn).事實(shí)上數(shù)列可看作是自變 量為正整數(shù)的特殊的函數(shù)，所以可以利用數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來解決數(shù) 列的有關(guān)問題20 x ；200得 x 0 或x一320f (x)在區(qū)間(0,

17、)上是增函數(shù)，在區(qū)間320因此，當(dāng)x20時(shí)函數(shù)f (x)取到最大值.對(duì)n*,f(n) n2(10 n).f(7)147f(6)144f(n)max147所以數(shù)列an的最大項(xiàng)為a7147.5 導(dǎo)數(shù)在解析幾何問題中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)，豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和解法，給許多繁難問題提供了一 種通用的解題方法，也給許多常規(guī)問題的解法提供了新的視角.利用導(dǎo)數(shù)解決解 析幾何中的切線、中點(diǎn)弦問題，正是其中一個(gè)方面.5.1 利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，把二次曲線方程看作：y 是 x 的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)2 2求導(dǎo)法則，可輕松求出切線的斜率.如對(duì)圓 x a x bR2,兩邊對(duì)x求導(dǎo),則有2 x a 2

18、 y b yx0,所以在切點(diǎn) m, n 處的切線斜率k yxlxmyn -.從而求出切線方程是 xama ybnb R2.n b類似地可輕松求出過橢圓、雙曲線、拋物線等曲線上的點(diǎn)的切線方程.9 已知數(shù)列an的通項(xiàng)ann2(10 n) n,求數(shù)列an的最大項(xiàng).作輔助函數(shù)f(x)x2(10 x)(x 0),則f (x)20 x3x2.(x)(x)20(亍)是減函數(shù).如果以圓、橢圓等圖形的中心為中心，按比例縮小圖形，貝定存在同類的圓、 橢圓等與弦 AB 中點(diǎn) M 相切(如圖 1).此時(shí)縮小的曲線方程如2 2tR 匚1,兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可發(fā)現(xiàn)并不改變?cè)蘴a tb求導(dǎo)的結(jié)果因此，利用導(dǎo)數(shù)法求中點(diǎn)弦的斜率

19、，就是yx在中點(diǎn)處的值.5.2 求中點(diǎn)弦方程 例 10 已知雙曲線方程2x2y22, (1)求以A 2,1為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程；(2)過點(diǎn)B1,1,能否作直線 L,使 L 與所給雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且 點(diǎn) B是弦PQ的中點(diǎn)？這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明 理由.解對(duì)2x2y22兩邊求導(dǎo)，得4x(1) 以A 2,1為中點(diǎn)的弦的斜率為y 1 2(x 1)(2) 以B 1,1為中點(diǎn)的弦的斜率為y 12(x 1),即2x y 12x24x 30,直線 l 不存在2yyx|x 2,y 102,所以所求中點(diǎn)弦所在直線方程2,所以所求中點(diǎn)弦所在直線方程2y22聯(lián)立消去 y 得8 0,無實(shí)根.因此直線