經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第一章極限與連續(xù)

1、第一章極限與連續(xù)函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最根本的概念之一.它不僅是初等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，也是高等數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象微積分學(xué)是研究函數(shù)關(guān)系的一門數(shù)學(xué)學(xué)科極限方法是微積分學(xué)的根本方法， 微積分學(xué)中的許多概念都是在極限概念的根底上建立的.連續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)，微積分學(xué)是以連續(xù)函數(shù)作為主要研究對(duì)象的.本章在中學(xué)的根底上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的常見函數(shù)，學(xué)習(xí)函數(shù)極限的概念及其運(yùn)算，討論函數(shù)的連續(xù)性，為學(xué)習(xí)微積分打下根底§ 1.1函數(shù)在客觀世界中，一切事物都在運(yùn)動(dòng)變化著.在某一變化過(guò)程中始終保持不變的量稱為常量，在這一過(guò)程中不斷變化，可以取不同值的量稱為 變量變量的變化并不是孤立的，一些變

2、量之間相互依賴、遵循著一定的規(guī)律在變化函數(shù)就是用來(lái)描述這種依賴關(guān)系的.一、函數(shù)及其特性1 函數(shù)的概念引例 某種商品的銷售價(jià)格為 p，那么銷售收入 R與銷售量Q之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系為R pQ 當(dāng)銷售量Q取定某一數(shù)值時(shí)，銷售收入R就會(huì)按照這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系有一個(gè)確定的數(shù)值與 之對(duì)應(yīng)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù).定義1設(shè)x和y是某一變化過(guò)程中的兩個(gè)變量，如果x在某實(shí)數(shù)集D中每取一個(gè)值，y按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么稱變量y是變量x的函數(shù)，記作y f(x), x D,其中x叫做自變量，y叫做因變量 x的取值范圍D稱為函數(shù)的 定義域，而數(shù)集f(D) y|y f(x),x d稱為函數(shù)y f (x)的值域

3、當(dāng)x x0時(shí)，與x0相對(duì)應(yīng)的y值稱為函數(shù)值，記作y x 或f(X。)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不僅可以像上面引例那樣用一個(gè)解析式表示，還可以用圖像或表格來(lái)表示.例如，某氣象站用自動(dòng)溫度記錄儀記下某日氣溫的變化，如圖1.1所示這是用圖像法表示一晝夜里溫度T (°C與時(shí)間t (h丨之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.又如，某商店的運(yùn)動(dòng)服銷售價(jià)格p元與尺碼S cm之間的關(guān)系如下表所示：尺899100105110115120碼S505價(jià)二120126132138144150156162這是用表格法表示的函數(shù)關(guān)系，其定義域是D 85,90,95,100,105,110,115,120 .函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是確定函數(shù)的兩個(gè)

4、要素.兩個(gè)函數(shù)，如果它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，那么它們就是相同的函數(shù)，與自變量和因變量用什么字母表示無(wú)關(guān).有些函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的自變量x的不同的值，不能用一個(gè)統(tǒng)一的解析式表示出來(lái)，而要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的解析式來(lái)表示，這種在自變量的不同取值范圍內(nèi)用不同的解析式表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)例1我國(guó)寄到國(guó)內(nèi)外埠信函的郵資標(biāo)準(zhǔn)是：首重100克內(nèi)，每重 20克缺乏20克按20克續(xù)重時(shí)情況略。設(shè)信函的重量為x克，郵資為f(x)元，那么郵資與信函的重量的函數(shù)關(guān)系可表示為:f(x)1.2,當(dāng)0x20,2.4,當(dāng)20x40,3.6 ,當(dāng)40x60,4.8,當(dāng)60x80,6.0,當(dāng)80x100例2設(shè)函數(shù)f(x)3x

5、 1,1,2x,求定義域和函數(shù)值f(1)、f(0)、f(4),并作出此函數(shù)的圖像.解 函數(shù)的定義域Df( 1)312 ,f(0) 1 ,4f(4)216 圖像如圖1.2所示.t(h)圖1.1圖1.23.函數(shù)的幾種特性函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)y f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，對(duì)于任意的 x1, x2 (a,b)，當(dāng)x, x2時(shí)， 就有 f(x,)f(X2)，那么稱函數(shù)yf (x)在(a, b)內(nèi)是單調(diào)增加 的；當(dāng)x,x?時(shí)，就有f (Xi) f(X2)，那么稱函數(shù)y f (x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)減少的.單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).相應(yīng)地，區(qū)間(a,b)稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.單調(diào)增加函數(shù)

6、的圖像是隨著x的增大而上升的曲線； 單調(diào)減少函數(shù)的圖像是隨著x的增大而下降的曲線.2例如，函數(shù)y x ,圖像如圖1.3所示.由圖可以看出，它在(，0)內(nèi)是單調(diào)減少的， 在(0,)內(nèi)是單調(diào)增加的.函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)y f (x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，假設(shè)對(duì)任意的x D，都有f ( x)f (x)，那么稱函數(shù)y f (x)為奇函數(shù)；假設(shè)對(duì)任意的x D，都有f( x) f (x),那么稱函數(shù)y f (x)為偶函數(shù).如果函數(shù)yf(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，我們那么稱它為非奇非偶函數(shù).奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.例如，函數(shù)f(x) x3是奇函數(shù)，函數(shù) f(x) 1 x2是

7、偶函數(shù)，函數(shù) f(x) 11是非x奇非偶函數(shù).函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)y f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，假設(shè)存在一個(gè)正數(shù)M，使得對(duì)于任意的x (a,b)，都有f(x) M，那么稱函數(shù)y f (x)在(a,b)內(nèi)有界，否那么稱函數(shù)y f (x)在 (a,b)內(nèi)無(wú)界.函數(shù)y f (x)在(a,b)內(nèi)有界，從圖形直觀地看，其圖像介于兩條水平直線之間.例如，對(duì)于任意的x R，都有sinx 1，所以y sinx在(，)內(nèi)有界，如圖函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)y f(x)，假設(shè)存在正數(shù)T，使得對(duì)于任意的x D，有x T D，且有f(x T) f (x)恒成立，那么稱函數(shù) yf (x)為周期函數(shù)，滿足這個(gè)式子的最小

8、正數(shù)T稱為函數(shù)的周期.例如，y si nx , y cosx都是以2 為周期的函數(shù)；y tanx , y cotx都是以為周期的函數(shù).二、初等函數(shù)1.根本初等函數(shù)在微積分學(xué)中，我們將常量函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這六類函數(shù)統(tǒng)稱為根本初等函數(shù)常量函數(shù)ycc為常數(shù)常量函數(shù)的定義域是(7)，其圖像是一條過(guò)點(diǎn)(0,c)，且平行于x軸的一條直線,如圖1.5所示.幕函數(shù)yx為常數(shù)例如，函數(shù)y2 x,yx ,y x,3y x ,1y等都是幕函數(shù).x指數(shù)函數(shù)yx aa0且 a1,a為常數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域是(7)，值域是(0,).:當(dāng)0 a 1時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng)AJcy cJy a

9、x (0 a 1)1厶 ax (a 1)0x0rx0x圖1.6 對(duì)數(shù)函數(shù)y log a x a 0且a1, a為常數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是0,，值域是a 1時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加，如圖1.7所示.當(dāng)0 a 1時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng)圖1.5圖1.7以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)稱為 常用對(duì)數(shù)，記作ylg x ；以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)稱為自然對(duì)e 2.71828 .正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù)等六種，值域是1,1 它是奇函數(shù)，周期為2 .圖，值域是1,1 它是偶函數(shù)，周期為 2數(shù)，記作y In x，其中e是一個(gè)無(wú)理數(shù),三角函數(shù)三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、 函數(shù).正弦函數(shù)y sinx,定義域是， 像如圖1.8

10、 所示.余弦函數(shù)y cosx，定義域是圖1.9,k Z ，值域是，.它是奇 2Z ，值域是，它是奇函數(shù)，圖1.8正切函數(shù)y tanx，定義域是 x x 2k函數(shù)，無(wú)界函數(shù)，周期為.圖像如圖1.10所示.余切函數(shù)y cotx，定義域是 x | x k , k無(wú)界函數(shù)，周期為.圖像如圖1.11所示.1secx cosx1 cscx sin x正割函數(shù)y secx.同角三角函數(shù)的關(guān)系有：余割函數(shù)y cscx .同角三角函數(shù)的關(guān)系有:反三角函數(shù)反三角函數(shù)包括反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)、反余切函數(shù)等函數(shù).反正弦函數(shù)y arcsinx，其定義域是1,1,值域是,.單調(diào)增加且有界，奇2 2函數(shù)圖像如

11、圖1.12 所示.反余弦函數(shù)y arccosx，其定義域是1,1，值域是0,.單調(diào)減少且有界.圖像如圖1.13所示.反正切函數(shù)y arctanx ,其定義域是( 奇函數(shù).圖像如圖1.14所示.反余切函數(shù)y arc cot x，其定義域是(像如圖1.15所示.)，值域是(，).單調(diào)增加且有界，2 2)，值域是(0,).單調(diào)減少且有界.圖圖 1.142復(fù)合函數(shù)定義2設(shè)y是u的函數(shù)y f (u), u是x的函數(shù)u (x)，如果函數(shù)u (x)的值域 與函數(shù)y f (u)的定義域的交集非空，那么稱函數(shù)y f (x)是由y f(u)和u (x)復(fù) 合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱 復(fù)合函數(shù)，其中u叫做中間變量.復(fù)合函數(shù)

12、可以由兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成，也可以由多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成.例如，由函數(shù) y u和u 1 2x可以復(fù)合成函數(shù) y . 1 2x ；由函數(shù)y ln u和 utanx可以復(fù)合成函數(shù) y ln tan x ；由函數(shù)y 3u, u sinv和v 5x可以復(fù)合成函sin 5x數(shù)y 3.注意：不是任意兩個(gè)函數(shù)都可以構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù).例如，y arccosu和u x2 3就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，因?yàn)閥 arccosu的定義域D 1,1與u x2 3的值域3,)的 交集為空集.為了研究函數(shù)的需要，有時(shí)我們要將一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成假設(shè)干個(gè)根本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單arcs in xe ；解y cos2 x是由COSX復(fù)合而成的;d 5

13、x 1是由yu51復(fù)合而成的;arcs in . xe 是由yarcsinv , vx復(fù)合而成的;3 In tan x2 是由3ln2u , u tanv, v x復(fù)合而成的.其分解方法是“由函數(shù)，這里的簡(jiǎn)單函數(shù)是指由根本初等函數(shù)經(jīng)有限次四那么運(yùn)算所得的函數(shù).外到里，逐層分解指出以下函數(shù)是由哪些根本初等函數(shù)或簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的:cos2 x ；3ln sin x23初等函數(shù)并且能用一個(gè)解析等都是初等函數(shù).定義3由根本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四那么運(yùn)算或有限次復(fù)合所構(gòu)成, 式表示的函數(shù)，稱為 初等函數(shù).x2例如，y 3x2 2x 5, y 二 e 2 , y In x 71 J2本教材我們研究的函數(shù)，

14、主要為初等函數(shù)三、常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題，首先要構(gòu)建該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，即找出該實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系.例4;生產(chǎn)一瓶純潔水的本錢為0.4元，可獲利潤(rùn)0.05元.該廠每月最多支出本錢6萬(wàn)元.假設(shè)每月按 30天計(jì)算，問(wèn)該食品廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，才能使利潤(rùn)最大？并求出最大 利潤(rùn).解 設(shè)該食品廠每月有 x天生產(chǎn)果奶，那么每月有 30 x天生產(chǎn)純潔水.依題意有，生產(chǎn)果奶的本錢為2000x 1.8元,利潤(rùn)為2000x 0.3元；生產(chǎn)純潔水的本錢為3000 30 x 0.4元，禾U潤(rùn)為3000 30 x 0.05元.從而有總本錢模型 C(x)2000x 1.83000 30x0.42400x36000

15、,總利潤(rùn)模型 L(x)2000x 0.33000 30x0.05450x4500 .因該廠每月本錢支出不超過(guò)6萬(wàn)元，所以有2400x 36000 60000，得到x 10 .顯然，當(dāng)x 10時(shí)才能使利潤(rùn)最大，即該食品廠每月應(yīng)有10天生產(chǎn)果奶，20天生產(chǎn)純潔水，才能使利潤(rùn)最大.最大利潤(rùn)為L(zhǎng)(10) 450 10 4500 9000元.通過(guò)這個(gè)例子，我們可以歸納解決這種問(wèn)題的一般步驟為：了解問(wèn)題的實(shí)際背景， 然后進(jìn)行科學(xué)的抽象、 概括，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題；運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解答函數(shù)問(wèn)題，得出函數(shù)問(wèn)題的解；將所得函數(shù)問(wèn)題的解代入實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行驗(yàn)證，看是否符合實(shí)際，并對(duì)實(shí)際問(wèn)題作答.實(shí)際上

16、，上述步驟也是 數(shù)學(xué)建模的三個(gè)步驟：建立數(shù)學(xué)模型；求解數(shù)學(xué)模型；解決實(shí)際問(wèn)題.2 需求函數(shù)與供給函數(shù)需求量是指在某一特定時(shí)期內(nèi)，在一定條件下消費(fèi)者愿意購(gòu)置某種商品的數(shù)量.需求量受多種因素的影響， 如商品的價(jià)格、消費(fèi)者的偏好與收入、相關(guān)商品的價(jià)格、消費(fèi)者對(duì)該商 品未來(lái)價(jià)格的預(yù)期、季節(jié)等，其中商品的價(jià)格是影響需求量的最重要因素.為了使研究的問(wèn)題簡(jiǎn)化， 我們假定除商品的價(jià)格外，其他因素都保持不變， 那么需求量Q可看作價(jià)格p的函數(shù)，我們稱之為 需求函數(shù)，記作Q f(p).需求函數(shù)的圖像稱為需求曲 線.一般地，需求量隨價(jià)格的上漲而減少因此，需求函數(shù)Q f (p)是單調(diào)減少的函數(shù).需求函數(shù)的反函數(shù) p f

17、 1(Q)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也稱為需求函數(shù)，有時(shí)稱為價(jià)格函數(shù).市場(chǎng)統(tǒng)計(jì)資料說(shuō)明，常見的需求函數(shù)有以下幾種類型：線性需求函數(shù)： Q a bp圖1.16丨，二次需求函數(shù)： Q a bp cp2圖1.17，指數(shù)需求函數(shù)：Q ae bp圖1.18，其中a , b , c均為大于零的常數(shù).圖 1.17例5商場(chǎng)某種計(jì)算器的銷售量Q是價(jià)格p的線性函數(shù).當(dāng)單價(jià)為100元時(shí)，可售出1500個(gè)；當(dāng)單價(jià)為120元時(shí)，可售出1200個(gè).試求該種計(jì)算器的需求函數(shù)和價(jià)格函數(shù).解設(shè)該種計(jì)算器的需求函數(shù)為 Q a bp，根據(jù)題意得：1500 a 100b1200 a 120b解之，得a 3000, b 15 于是所求的需求函數(shù)為 Q

18、 300015p .需求函數(shù)的反函數(shù) p 200，即是所求的價(jià)格函數(shù).15供給量是指生產(chǎn)者在某一價(jià)格水平上愿意出售且有可供出售的商品的數(shù)量.供給量受多種因素的影響，如商品的價(jià)格、生產(chǎn)者的生產(chǎn)技術(shù)與管理水平、相關(guān)商品的價(jià)格、生產(chǎn)者對(duì)該商品未來(lái)價(jià)格的預(yù)期、 政府的稅收與補(bǔ)貼政策等，其中商品的價(jià)格是影響供給量的最重要因素.我們假定除商品的價(jià)格外，其他因素都保持不變， 那么供給量Q可看作價(jià)格 p的函數(shù)，我們稱之為供給函數(shù)，記作Q g(p) 供給函數(shù)的圖像稱為供給曲線.一般地，供給量隨價(jià)格的上漲而增加因此，供給函數(shù)Q g(p)是單調(diào)增加的函數(shù).常見的供給函數(shù)有線性函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，其中，線性供

19、給函數(shù)為Q cp d，其中c , d均為大于零的常數(shù)，如圖 1.19所示.圖 1.18如果市場(chǎng)上某種商品的需求量與供給量相等,那么該商品市場(chǎng)處于均衡狀態(tài).這時(shí)的商品價(jià)格P。稱為市場(chǎng)均衡價(jià)格.圖1.20中，線性需求函數(shù)Qd a bp與線性供給函數(shù)Qs cp d的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是 市場(chǎng)均衡價(jià)格.當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格p po時(shí)，供給量將增 加而需求量將減少，這時(shí)會(huì)出現(xiàn)“供大于求的現(xiàn)象；當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格p p0時(shí)，供給量將減少而需求量將增加，這時(shí)會(huì)出現(xiàn)“供不應(yīng)求的現(xiàn)象.當(dāng)商品市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)時(shí)，有QdQs Qo, Qo稱為市場(chǎng)均衡數(shù)量例6商場(chǎng)某種計(jì)算器的單價(jià)為 100元時(shí)，代理商可提供 1150個(gè)，售價(jià)每提高10

20、元, 代理商可多提供200個(gè).試求該計(jì)算器的供給函數(shù)解設(shè)該計(jì)算器的供給函數(shù)為 Q cp d，依題意有1150 100c d1350 110c d ，解得，c 20,d 850,于是所求供給函數(shù)為Q 20p 850.例7求例5、例6中該種計(jì)算器的市場(chǎng)均衡價(jià)格和市場(chǎng)均衡數(shù)量.Q 3000 15p解 解由需求函數(shù)和供給函數(shù)組成的方程組，得到p0110元，Q 20p 850Q。1350 個(gè).3.本錢函數(shù)、收入函數(shù)和利潤(rùn)函數(shù)產(chǎn)品總本錢是以貨幣形式表現(xiàn)的企業(yè)生產(chǎn)和銷售產(chǎn)品的全部費(fèi)用支出，它分為固定本錢和變動(dòng)本錢兩局部固定本錢是指不隨產(chǎn)品產(chǎn)量變動(dòng)的那局部本錢，如企業(yè)管理人員的薪金 和保險(xiǎn)費(fèi)、固定資產(chǎn)的折舊和

21、維護(hù)費(fèi)、辦公費(fèi)等.變動(dòng)本錢是指因產(chǎn)品產(chǎn)量變動(dòng)而變動(dòng)的那 局部本錢，如原材料費(fèi)、包裝費(fèi)、計(jì)件工人的工資等.假設(shè)用Q表示產(chǎn)量， C表示本錢，那么產(chǎn)品總本錢與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系可表示為C Co C1(Q)，其中Co為固定本錢，C1(Q)為變動(dòng)本錢我們稱之為 總本錢函數(shù)，即 C C(Q) Co C1(Q).當(dāng)Q 0時(shí)，C(0) 0 , C (0) C。.這說(shuō)明當(dāng)產(chǎn)量為0時(shí)，變動(dòng)本錢為0,此時(shí) 的本錢函數(shù)值就是固定本錢.本錢函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)，其圖像稱為本錢曲線評(píng)價(jià)企業(yè)的本錢管理總體水平時(shí)，需要計(jì)算產(chǎn)品的平均本錢：其中9(2!稱為平均變動(dòng)本錢.銷售某產(chǎn)品的收入 R等于產(chǎn)品銷售價(jià)格 p乘以銷售量Q，即R

22、p Q.我們稱之為 收入函數(shù) ，即 R R(Q) p Q 收入扣除本錢就是利潤(rùn)用 L 表示利潤(rùn)，那么 利潤(rùn)函數(shù) 為L(zhǎng) L(Q) R(Q) C(Q) 一般地， 當(dāng)L(Q) > 0時(shí)，生產(chǎn)處于盈利狀態(tài)； 當(dāng)L(Q) v 0時(shí)，生產(chǎn)處于虧損狀態(tài)；當(dāng)L(Q) = 0時(shí)，生產(chǎn)處于保本狀態(tài)使 L(Q) 0的點(diǎn)Q0稱為盈虧平衡點(diǎn).例 8 某企業(yè)生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，在對(duì)新產(chǎn)品定價(jià)時(shí)該企業(yè)作了市場(chǎng)調(diào)查根據(jù)調(diào)查得出 需求函數(shù)為 Q 900 18 p 該產(chǎn)品的固定本錢是 2700元，單位產(chǎn)品的變動(dòng)本錢為 10 元. 為獲得最大利潤(rùn)，新產(chǎn)品的價(jià)格應(yīng)定為多少元？解 以Q表示產(chǎn)量，C表示本錢，p表示價(jià)格，那么總本錢函數(shù)

23、為C(Q) 2700 10Q 將需求函數(shù)Q 90018p代入C(Q)中，總本錢函數(shù)變?yōu)椋篊(p) 11700 180p，2收入函數(shù)為 R(p) p 900 18p900p 18p2，利潤(rùn)函數(shù)為 L(p) R(p) C(p) 18p2 1080p 1170018 p 30 2 4500容易看出，當(dāng)價(jià)格定為 p 30 元時(shí)，利潤(rùn) L 4500元為最大利潤(rùn)在此價(jià)格下，該新 產(chǎn)品的銷售量為Q 900 18 30 360 單位 .§1.2 極限及其運(yùn)算在中國(guó)古代、古希臘、古巴比倫、古埃及的早期數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中都有涉及極限的方法古希臘的阿基米德 公元前 287- 前 212 用邊數(shù)越來(lái)越多的正多邊形去

24、逼近圓的面積， 稱為“窮 竭法中國(guó)魏晉時(shí)期的劉徽在其?九章算術(shù)注? 公元 263中，對(duì)于計(jì)算圓的面積提出了 著名的“割圓術(shù) ：“割之彌細(xì)，所失彌少割之又割，以至于不可割，那么與圓周合體，而無(wú) 所失矣意思是說(shuō)，圓內(nèi)接正 n邊形的邊數(shù)n越大，正n邊形的面積Sn就越接近圓的面積S ；當(dāng)n充分大時(shí)，Sn就等于S 這些都是原始的極限方法.一、數(shù)列的極限按照一定的次序排列起來(lái)的一列數(shù)x1 x2 x3xn稱為數(shù)列，記為Xn，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，Xn稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)1當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，觀察以下數(shù)列的變化趨勢(shì):1112 3 4123,4,n,0,1,0,1,1)n2如圖1.21所示，隨著數(shù)列的項(xiàng)數(shù)

25、n越來(lái)越大,1數(shù)列的項(xiàng)越來(lái)越趨近0 ,當(dāng)nn無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列-的項(xiàng)無(wú)限趨近于 0；如圖1.22無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列yn圖 1.21如圖1.23增大時(shí),數(shù)列如圖1.24之間擺動(dòng)，當(dāng)何一個(gè)常數(shù).所示,yn隨著數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n越來(lái)越大,-的項(xiàng)無(wú)限趨近于1 ；1所示，隨著數(shù)列的項(xiàng)數(shù) n越來(lái)越大,數(shù)列數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限增大，并不趨近于任何一個(gè)常數(shù);所示，隨著數(shù)列的項(xiàng)數(shù) n越來(lái)越大，數(shù)列n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列 1( 1)的項(xiàng)始終在yn的項(xiàng)越來(lái)越趨近1，當(dāng)nyn1.22n的項(xiàng)亦越來(lái)越大當(dāng) n無(wú)限的項(xiàng)在0與1兩數(shù)0與1之間擺動(dòng)，并不趨近于任牛yn5 4321 -yn n圖 1.23圖 1.24定義1對(duì)于數(shù)列yn，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)

26、限增大時(shí)，yn無(wú)限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,那么稱A為數(shù)列 yn的極限，記作lim ynA 或 ynnA (n )這時(shí)亦稱該數(shù)列收斂于A;如果數(shù)列 yn沒有極限,那么稱該數(shù)列是發(fā)散的.1n由例 1 可知，lim 0 , lim1, limn n n n 1 nn 與 lim -nn1均不存在.因此，數(shù)21n11 n列一收斂于0,數(shù)列 收斂于1,而數(shù)列n與 一均是發(fā)散的. nn 12數(shù)列可以看作是定義在自然數(shù)集上的函數(shù).下面將這種特殊函數(shù)的極限概念推廣到一般函數(shù).二、函數(shù)的極限1.當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)f (x)的極限“ x 表示x的絕對(duì)值無(wú)限增大，它包含 無(wú)限增大兩種情況.x取正值無(wú)限增大，記作 xx定

27、義2如果當(dāng)x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù) 稱A為函數(shù)f (x)當(dāng)x 時(shí)的極限，記作x取正值無(wú)限增大和 x取負(fù)值而絕對(duì)值；x取負(fù)值而絕對(duì)值無(wú)限增大，記作f (x)無(wú)限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,那么im f (x) A 或 f (x) A x1例2 觀察當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)f (x)的變化趨勢(shì)x1解 由圖1.25可以看出，曲線f(x)無(wú)論是沿著x軸的正向還是沿著 x軸的負(fù)向延x伸，都與x軸越來(lái)越接近，即當(dāng) x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)f(x)的值無(wú)限趨近于0因1此有l(wèi)im 0 .x x有時(shí)，我們僅討論當(dāng) x時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì).定義3如果當(dāng)X時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,那么稱A為函數(shù)f (x)當(dāng)

28、X時(shí)的極限，記作lim f(x)或 f(x) A(x).如果當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,那么稱A為函數(shù)f (x)當(dāng)時(shí)的極限，記作lim f(x)f(x)A(x).1由上述定義有，lim 0 ,x xlimxlimx圖 1.26圖 1.25根據(jù)定義2與定義3,容易得到下面的結(jié)論:lim f (x) AJim f (x) Jim f(x)觀察當(dāng)x 時(shí),函數(shù)f(x) arctanx的變化趨勢(shì).由圖1.14可以看出,lim arctanx, lim arctanxx2 x2因?yàn)閘imxarcta n x limxarctan x ,所以lim arctanx不存在.x2.當(dāng)xx0時(shí)

29、，函數(shù)f (x)的極限xo 表示x無(wú)限趨近于xoX可以不等于xo，它包含兩種趨近方式:X從X。的右側(cè)無(wú)限趨近于 X。，記作xx0，此時(shí)有x X。；x從Xo的左側(cè)無(wú)限趨近于 Xo，記作XXo，此時(shí)有X Xo .定義4設(shè)函數(shù)y f (X)在點(diǎn)Xo的左右近旁有定義，如果當(dāng)X無(wú)限趨近于定值Xo X可以不等于Xo時(shí)，函數(shù)f(X)無(wú)限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,那么稱A為函數(shù) f(X)當(dāng)X趨 向于Xo時(shí)的極限，記作lim f (x) A 或 f (x) A(xxo).X X根據(jù)定義4，容易得到下面結(jié)論: lim xX XoXo ； lim cXC c為常數(shù).Xo觀察并求以下極限: lim XX 1 lim J

30、X 1 x 1如圖1.27所示，當(dāng)X無(wú)限趨近于1時(shí)，函數(shù)f(X) X 1無(wú)限趨近于2,所以有l(wèi)im X 12 ;X 1Xo1沒有定義，但X無(wú)論X21從圖1.28可以看出，函數(shù)f(x)雖然在X 1從1的右側(cè)還是左側(cè)無(wú)限趨近于1，對(duì)應(yīng)的函數(shù)f (X)X21的值都無(wú)限趨近于 2,所以X 1有 lim*1X 1 x 1圖 1.27圖 1.28有時(shí)，我們只需要討論或只能考慮當(dāng)XXo 或 XXo時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì).定義5如果當(dāng)X Xo時(shí)，函數(shù)f (X)無(wú)限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,那么稱A為函數(shù)f (x)當(dāng)XXo時(shí)的右極限，記作lim f (x)X XA 或 f (xoo) A.如果當(dāng)XXo時(shí)，函數(shù)f(x)

31、無(wú)限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,那么稱A為函數(shù)f (X)當(dāng)XXo時(shí)的左極限，記作lim f(x) A 或 f (x00) A.x Xo左極限、右極限統(tǒng)稱為 單側(cè)極限根據(jù)定義4與定義5,容易得到極限與單側(cè)極限的關(guān)系：lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A xx0x X0xx0例5沁2設(shè) f (x)x0，試判斷l(xiāng)im f (x)是否存在.xx0解因?yàn)?lim f (x)x 0limx 022，且 lim f (x) lim x 0 , lim f (x) lim f (x),x 0x 0x 0x 0所以lim f (x)不存在.x 0三、無(wú)窮小與無(wú)窮大1 無(wú)窮小定義6如果函

32、數(shù)f (x)在自變量x的某個(gè)變化過(guò)程中以0為極限，那么稱函數(shù)f (x)是該變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱 無(wú)窮小無(wú)窮小常以希臘字母，等表示.例如，因?yàn)閘im x 10,所以x 11時(shí)的無(wú)窮?。灰?yàn)閘imxex 0，所以ex1時(shí)的無(wú)窮?。灰?yàn)閘imX x0,所以時(shí)的無(wú)窮小.注意：無(wú)窮小與自變量的變化趨勢(shì)密切相關(guān).例如,x 1是x 1時(shí)的無(wú)窮小，而小的常數(shù)的極限不為零，因而不是無(wú)窮小因?yàn)槌?shù)0的極限是0,所以0是無(wú)窮小中唯它在x 2時(shí)卻不是無(wú)窮小，所以，說(shuō)一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮小時(shí)須指明自變量的變化趨勢(shì).一個(gè)非零的絕對(duì)值“很無(wú)窮小不是一個(gè)“很小的常數(shù)，而是一個(gè)以0為極限的函數(shù).一的常數(shù).無(wú)窮小具有以下性質(zhì):性

33、質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍然是無(wú)窮小;性質(zhì)2有限個(gè)無(wú)窮小的乘積仍然是無(wú)窮小;性質(zhì)3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍然是無(wú)窮小.、 1求 lim xsin x 0解因?yàn)閘im xx 00，所以x是x 0時(shí)的無(wú)窮小.1sin x11，所以sin 是有界函x數(shù)根據(jù)性質(zhì)3有,xsin1是x0時(shí)的無(wú)窮小，即xlimx 0.1xsinx2 無(wú)窮大定義7如果在自變量x的某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)f (x)的絕對(duì)值無(wú)限增大，那么稱函數(shù)限增大，所以ex是x時(shí)的無(wú)窮大它們可分別記作:,limx 0In xf(x)是該變化過(guò)程中的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大，記作lim f (x)x x(x )1 1 1例如，當(dāng)x0時(shí)，丄的絕對(duì)值1無(wú)限

34、增大，所以丄是x 0時(shí)的無(wú)窮大;x時(shí),時(shí)，In x的絕對(duì)值In x無(wú)限增大，所以Inx是x 0時(shí)的無(wú)窮大；當(dāng) xlim exx注意：無(wú)窮大與自變量的變化趨勢(shì)密切相關(guān).例如,丄是xx0時(shí)的無(wú)窮大，而它在X時(shí)卻是無(wú)窮小，所以，說(shuō)一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮大時(shí)須指明自變量的變化趨勢(shì).一個(gè)函數(shù)是xx0或x時(shí)的無(wú)窮大，按照極限的定義，這個(gè)函數(shù)在x X?；驎r(shí)極限是不存在的.我們只是為了方便記它為lim f(x)x x或 lim f (x)x3無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系1前面提到，函數(shù)x是x 0時(shí)的無(wú)窮小，而它的倒數(shù) 一在xx0時(shí)卻是無(wú)窮大；函數(shù)時(shí)的無(wú)窮大，而它的倒數(shù)ex在x時(shí)卻是無(wú)窮小.1- 是無(wú)窮大;f(x)般地，無(wú)窮小

35、與無(wú)窮大之間有如下關(guān)系:在自變量的某一變化過(guò)程中，如果f (x)是無(wú)窮小，且f(x) 0,那么1反之，如果f(x)是無(wú)窮大，那么是無(wú)窮小.f(x)四、極限的四那么運(yùn)算法那么在求一些較復(fù)雜的函數(shù)的極限時(shí),有時(shí)需要用到極限的四那么運(yùn)算法那么.設(shè) lim f (x) A , lim g(x)xB，那么x0xxolimX X°f(X)g(x)lim f (x)x xlim g(x) A B ；x xolimx X0f(x)g(x)lim f (x)X X0lim g(x) A B ,xxo特別地，有l(wèi)im Cf (x)X x0limX xof(x)C為常數(shù)，lim f (x) mX X0li

36、m f(x)x xoAmm為正整數(shù)；f(x)lim f(x)A lim f (x)A B 0 .x X。g(x)lim g(x)BX x0說(shuō)明：以上法那么對(duì)自變量的其他變化趨勢(shì)同樣成立；法那么和法那么可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形法那么要求參與運(yùn)算的各個(gè)函數(shù)的極限要存在.極限的四那么運(yùn)算法那么說(shuō)明：函數(shù)的和、差、積、商分母極限不為零的極限分別等于它們的極限的和、差、積、商.7 求 lim x2 2x 5 .x 1原式 lim x2x 1lim 2x lim 5x 1lim x 2x 12limx求limx 2 x 1因?yàn)閘im xx 2所以limx 2 x 1lim xx 2lim xx 2lim

37、1x 2lim 1x求 ximFlimx0 ,法那么不能用.又因?yàn)閘imx30，所以2lim x 1根據(jù)無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系，有l(wèi)imx例10x2求limx 3 x 3所以應(yīng)先整理函數(shù)解因lim x 30，法那么不能用.又因?yàn)?lim x29x 3x 39-，約去不為零的無(wú)窮小因子x 1后再求極限.3所以lim x一9x 3 x 3lim x 36.x 3例11求limxsin x解因當(dāng)x時(shí)，分子、分母的極限都不存在，法那么不能用.這里用無(wú)窮小的性1因?yàn)閘imx xsin x質(zhì)3求極限.1,所以 lim 沁lim 1 sinxx xxx例12求limx 12x21解因當(dāng)x時(shí),都是無(wú)窮大，法那么

38、不能用這里先對(duì)函數(shù)進(jìn)行通分，然后再求極限.1 2 lim x 1 x 1 x 1x 1lim x 1 x 11limx 1 x 1五、兩個(gè)重要的極限1. limsnx 1x 0 x由圖像1.29可以看出,lim sinxx 0例13求以下極限: lim ;x 0sinxlimxsin5x ；;解limx 0sinxlim x 0 sin x因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí)，5x5x t，那么原式變?yōu)閘im竺x 1x 1 xlimx.1sinxTlim 1X 0sin x limx515ILnts叫11Xn5XsmoH XX in smlI X所以limxsin 5x0 x5 sin 5xlim5x 0 5x5佃

39、沁.令5x 0 5ximo11n tsi2. lim 1x.1.1sinsinlimxlimx 1x11 01xxx省略換元的步驟,由圖像1.30可以看出,limXe,這里的e 2.7 . e和一樣，也是一個(gè)無(wú)理數(shù)，它們是數(shù)學(xué)中最重要的兩個(gè)常數(shù).圖 1.301-X- 3mHX-31-X- 3mHX 一31mHX-3Im例14求以下極限: lim 1XX12 ； lim 1XX3X； limXX11 ;X1 lim 1 xx 0X2x112x 2解lim11211lim 1lim1X2x2x2x2x2x lim 1XX1XX 1X11 1 1 exelimX1Xlim 1X1X lim 11X

40、Xlim 11ex 011XX§ 1.3函數(shù)的連續(xù)性日常生活中的許多現(xiàn)象,它們的變化可分為兩種情況:一種是連續(xù)的變化，比方植物的生長(zhǎng)、氣溫的升降、時(shí)間的流逝等；一種是間斷或跳躍的變化，比方火車票價(jià)隨站點(diǎn)的不同 而間斷的變化這些變化反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性問(wèn)題.、連續(xù)性的概念為了描述函數(shù)的連續(xù)性，我們引入函數(shù)增量的概念.1 函數(shù)的增量在介紹函數(shù)增量之前，我們先介紹鄰域這個(gè)概念對(duì)于一個(gè)定點(diǎn) x0以及某個(gè)正數(shù)，我們稱 x0,x0 為點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域；稱Xo, XoXo,Xo為點(diǎn)Xo的一個(gè)去心鄰域.現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)介紹函數(shù)增量的概念定義1設(shè)函數(shù)y f (x)在xo的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義當(dāng)自變量

41、x從xo變化到X!時(shí)，稱 Xi Xo為自變量的增量或改變量，記作 X，即X Xi Xo.于是Xi Xo X 相應(yīng) 地，函數(shù)值也由f(xo)變化到f(Xo X)，稱f(X。 X) f (Xo)為函數(shù)的增量或改變 量，記作 y，即yf(Xox) f(Xo),如圖1.31 注意： x可以是正值，也可以是負(fù)值；而y可能是正值或負(fù)值，還可能是零.例1設(shè)函數(shù)y x2，求以下情形下函數(shù)的增量： x從1變到1.o1 ； x從1變到1 X.解 y f(1.01) f (1)1.012120.0201；2 2 2 y f(1 x) f(1)1 x 122 x x 2 連續(xù)函數(shù)定義2設(shè)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)Xo及其附

42、近有定義，如果當(dāng)自變量X在Xo處的增量 x趨近于零時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的增量y趨近于零，即lim y 0,x 0那么稱函數(shù)y f (x)在點(diǎn)xo連續(xù)；否那么稱函數(shù)y f (x)在點(diǎn)xo不連續(xù)或間斷圖1.31中，當(dāng) x趨近于零時(shí)，y亦趨近于零，故函數(shù) y f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).圖1.32中，當(dāng)x逐漸變小乃至趨于零時(shí)，y趨于一個(gè)不為零的定值： 線段MN的長(zhǎng)度 MN , 故函數(shù)y f (x)在點(diǎn)xo處間斷.圖 1.32在極限lim yx o 7o，即 limx of (XoX) f(Xo) o 中,令X xoX，當(dāng) X o時(shí)，Xxo，那么上述極限可寫為lim f (xox)x of (Xo)lim f

43、(x)f (xo)o ,X Xo即 lim f (x)f (xo).X Xo于是，我們有函數(shù)f (x)在Xo點(diǎn)連續(xù)的另一個(gè)定義:定義3如果函數(shù)f (X)在點(diǎn)Xo及其附近有定義，且lim f (x)X Xof (Xo)，那么函數(shù)y f (x)在點(diǎn)Xo連續(xù)，此時(shí)Xo稱為連續(xù)點(diǎn)；否那么稱函數(shù)yf (X)在點(diǎn)Xo間斷，此時(shí)Xo稱如果 lim f (x) f(xo)X Xo,那么稱函數(shù)y f (x)在Xo點(diǎn)左連續(xù)；如果yf (x)在xo點(diǎn)右連續(xù).lim f (x)f (xo)，那么稱函數(shù)x X)根據(jù)定義3，我們可以知道,函數(shù)y f (x)在點(diǎn)xo處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件: 函數(shù)y f (x)在點(diǎn)xo及其附

44、近有定義;lim f (x)存在；X Xo lim f (x)f (xo).如果以上三個(gè)條件中的任何一條不被滿足，那么函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo間斷.sin xx例2討論函數(shù)f(x) 1X 1x oo x 1在點(diǎn)x o和x 1處的連續(xù)性x 1解 先討論在點(diǎn)X o處的連續(xù)性.函數(shù)f(x)在點(diǎn)X o及其附近有定義，且f(o) 1 ；X Xo因 lim f (x) lim Sin xx 0x 01, lim f(x)xx 0lim 1x 01，有 lxm0 f (x)1 ； lim f (x)x 0f (0) 所以，函數(shù)f (x)在點(diǎn)x 0處連續(xù).再討論在點(diǎn)x1處的連續(xù)性.因limx 1f(x)lim

45、 1x 11 , limx 1f(x)lim xx 1有l(wèi)im f (x)不存在.x 1所以，函數(shù) f (x)在點(diǎn)x 1處間斷.如果函數(shù)f (x)在開區(qū)間a,b內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱函數(shù)f (x)在開區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)；如果函數(shù)f (x)在開區(qū)間a,b內(nèi)連續(xù)，且在左端點(diǎn) xa處右連續(xù)，在右端點(diǎn)左連續(xù)，那么稱函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù).二、初等函數(shù)的連續(xù)性一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的所謂定義區(qū)間，是指包含在函數(shù)定義域內(nèi)的x函數(shù) y 在定義域1 V1 x區(qū)間.例如，函數(shù) y 2 x x2在定義域1,2上連續(xù);1,0)(0,)內(nèi)連續(xù).于是，我們就有了一種求函數(shù)極限的簡(jiǎn)單方法如果f (

46、x)是初等函數(shù)，且 x0是函數(shù)f(x)定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，那么lim f(x)x X0f(Xo) 這樣，求函數(shù)極限的問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值的問(wèn)題.例3求以下極限: lim 2 x x2 ；X 1 lim xln 1ix -3-X X-1 mo H X 解limx 12 x2x2 112 . 2limx ln1丄1ln 132ln 2;1x 一3x33因?yàn)楹瘮?shù)f (x)在點(diǎn)x 0處無(wú)定義，所以不能直接利用函數(shù)的連續(xù)性1, x 1求極限先分子、分母同乘1. 1 x，整理后再求極限.limx 01、1 xx 1<1 xx 1a/1xlim limx 0 11 x 1、1x x 0 11 x1-1 x

47、三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1最大值最小值定理丨假設(shè)函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，那么它在這個(gè)區(qū)間上一定有最大值和最小值.如圖1.33所示，f (x)在a,b上連續(xù)，f (x)在點(diǎn)捲處取得最大值 M，在點(diǎn)X2處取 得最小值m .性質(zhì)2 介值定理假設(shè)函數(shù)y f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，m和M分別是f (x) 在a,b上的最小值和最大值， 那么對(duì)介于m與M之間的任一實(shí)數(shù) C，在a,b內(nèi)至少存在一 點(diǎn)，使得f ( ) C .如圖1.34所示，對(duì)于任意的實(shí)數(shù) C m C M，直線y C與連續(xù)曲線y f (x) 至少有一個(gè)交點(diǎn)，假設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，那么有f( ) C .性質(zhì)3零點(diǎn)定理丨假設(shè)函數(shù)y f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f (x)在區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)，即f(a) f (b)