不可壓縮粘性流體流動§1粘性流體中應(yīng)力

1、第七章不可壓縮粘性流體的流動1 粘性流體中的應(yīng)力2 不可壓縮粘性流體運(yùn)動的基本方程4 邊界層的概念5 邊界層微分方程6 邊界層動量積分式7 平板邊界層的近似計算8 曲面邊界層的流動分離9 繞流物體的阻力1 粘性流體中的應(yīng)力（簡介）應(yīng)力的表示法：ijp 第一個下標(biāo)表示應(yīng)力作用面的法線方向；第二個下標(biāo)表示應(yīng)力作用方向。iip理想流體沒有切向力，只有法向力實(shí)際流體既有法向力，也有切向力，如圖，由于應(yīng)力的對稱性，應(yīng)力中只有6個分量是獨(dú)立的。它們是：主應(yīng)力：xxyyzzppp切應(yīng)力：xyyxxzzxzyyzpppppp 2xxuppx對不可壓流體，主應(yīng)力可表示為： 2zzwppz 2yyvppy一般情況

2、下，三個法向應(yīng)力不相等，其關(guān)系是：1()3xxyyzzpppp 對理想流體：xxyyzzpppp()()()xyyxyzzyzxxzvuppxywvppyzuwppzx切應(yīng)力可表示為：這說明粘性流體中三個互相垂直的法向應(yīng)力的平均值的負(fù)值等于該點(diǎn)的動壓強(qiáng)。7-2 不可壓粘性流體運(yùn)動的基本方程簡介 將微元體所受的慣性力、質(zhì)量力和表面力代入牛頓第二定理Fma222222()xxpuuuafxxyz可得不可壓粘流的運(yùn)動微分方程：N-S方程222222()yypvvvafyxyz222222()zzpwwwafzxyz21DVfpVDt此式稱為NS方程222222222222222222()()()xy

3、zuuuupuuuuvwftxyzxxyzvvvvpvvvuvwftxyzyxyzwwwwpwwwuvwftxyzzxyz矢量表達(dá)：將加速度展開有: N-S方程與連續(xù)性方程聯(lián)立，四個方程四個未知數(shù)u、v、w和p，方程為封閉的方程組。 加上初始條件，邊界條件，就可以解該方程。實(shí)際上N-S方程是非線性偏微分方程，很難求解。它的解有以下幾種處理方法：精確解： N-S方程中的加速度對流項(xiàng)是非線性項(xiàng)，這使得方程的求解非常困難。對于某些簡單的流動，非線性對流項(xiàng)消失，N-S方程變?yōu)榫€性的方程，用解析的方法求出其解，這類解稱為精確解。 在文獻(xiàn)中能查到的精確解至今為止只有幾十個，而且其中的大部分不能夠直接應(yīng)用到

4、實(shí)際問題中去。近似解： 小雷諾數(shù)Re情況，此時粘性力較慣性力大得多?？梢匀炕虿糠值睾雎詰T性力得到簡化的線性方程。 大雷諾數(shù)Re情況，若將粘性力全部略去，只在貼近物面很薄的一層“邊界層”中考慮粘性的影響，且根據(jù)問題的特點(diǎn)，略去粘性力中的某些項(xiàng)，從而得到簡化的邊界層方程（仍是非線性的）。 對于中等雷諾數(shù)Re的情況，慣性力和粘性力都必須保留，此時只能通過其它途徑簡化問題，或者利用數(shù)值計算方法求N-S方程的數(shù)值解。 7-4 邊界層的概念 1、邊界層的形成：當(dāng)流體繞流物體時，物面情況如圖邊界層外邊界線當(dāng)Re很小時，沿y軸方向，速度緩慢增加，直至無窮遠(yuǎn)才達(dá)到 。V當(dāng)Re很大時，整個流場可以明顯地分成性質(zhì)

5、很不相同的兩個區(qū)域。 1） 緊貼物面非常薄的一層區(qū)域稱為邊界層。 在該區(qū)域內(nèi)，速度分量u 沿物面的法向變化非常迅速，即 很大。雖然在大Re數(shù)情形，但因 很大，故粘性應(yīng)力uyuyuy仍然可以達(dá)到很高的數(shù)值。它所起的作用與慣性力同等重要。因此在邊界層內(nèi)不能全部忽略粘性力。 我們將這種在大雷諾數(shù)下緊靠物面處流速從零急劇增加到與來流同量級大小的薄層稱為邊界層。uy2） 邊界層外的整個流動區(qū)域稱為外部流動區(qū)域。 在該區(qū)域內(nèi)， 很小，因此粘性應(yīng)力在大Re數(shù)情形下比慣性力小得多可以將粘性力全部略去，因而把流體近似地看成是理想的。對于均勻來流繞過物體的流動而言，在整個外部流動區(qū)域中不僅可把流體視為理想的，而且

6、運(yùn)動是無旋的。 邊界層的內(nèi)外邊界是沒有 明顯的分界線，一般在實(shí)際應(yīng)用中，把邊界層厚度規(guī)定為：0.99V當(dāng)物面法向速度達(dá)到 時的法向距離定義為邊界層厚度，用來表示。流體在前駐點(diǎn)處速度為零，0，沿流動方向增加。附面層外邊界線與流線不重合，流線可深入到邊界層內(nèi)。邊界層具有以下特點(diǎn)： 0py uy1.與物體的長度相比，附面層的厚度很小2.在內(nèi)， 很大。3.沿流動方向增大。4.由于很小，可以近似認(rèn)為附面層內(nèi)外同一截面上的壓力相等，即 對于平板還有 全流場壓力不變。0px證明：如圖，在11截面上有 則0py111ppVV 112222pVpVgggg1 V1220在22截面上有 則0py222ppVV由于

7、1和2同屬邊界層外邊界上，可看成無旋流，由勢流的伯努利方程：12VVV而1212pppp即0pxyx 層流邊界層 5.邊界層內(nèi)的流動也可分為層流和紊流，當(dāng)兩種狀態(tài)都存在，稱混合邊界層。如圖混合邊界層 V0 V0 xc U UU粘性底層層流邊界層層流邊界層紊流邊界層紊流邊界層過渡過渡區(qū)區(qū)邊界層界限邊界層界限xcrxyUxUxx 56R510310exexcRxV *由層流轉(zhuǎn)化成紊流的雷諾數(shù)為：轉(zhuǎn)捩點(diǎn)：二、排移厚度 、動量損失厚度*0(1)udyU定義：邊界層內(nèi)的速度為 ，外部勢流的速度為 。對于平板( , )u x y( )U x( )U xV排移厚度 由于流速受到壁面的阻滯而降低，使得邊界層內(nèi)

8、通過的流量與理想流體時通過的流量減少，相當(dāng)于邊界層的固體邊界向流動內(nèi)區(qū)域移動了 。* 的物理意義：*0(1)udyU *00(1)uUUdyUUudy由第一項(xiàng) 表示當(dāng)流體是理想流體，通過面積1時的質(zhì)量流量，圖中矩形面積abcd。U 第二項(xiàng) 表示由于粘性有邊界層存在，通過面積1時的質(zhì)量流量，圖中面積acda。0udy*U 為理想流體和實(shí)際流體通過同一面積的質(zhì)量流量的差 ，圖中面積abca，也可看成以速度U通過面積 時的質(zhì)量流量。*1稱為動量損失厚度。*0(1)uudyUU 邊界層內(nèi)流速的降低不僅使通過的流體質(zhì)量減少，而且也使通過的流體的動量減少。兩者相差相當(dāng)于將固體壁面向流動內(nèi)部移動一個的 距離

9、。*定義：物理意義：例：已知二元平板層流邊界層的速度分布可用如下函數(shù)近似：sin()uU abyc其中U為無窮遠(yuǎn)處來流，a.b.c 為待定常數(shù),試用邊條及外部勢流的銜接條件確定 a.b.c，并求出 , 。*y7-5 邊界層微分方程（簡介）流體繞物體的流動勢流區(qū)邊界層區(qū)勢流理論邊界層方程直接解N-S方程推導(dǎo)邊界層方程是簡化的N-S方程基本思想： N-S描述了流體所受的慣性力、壓力、質(zhì)量力和粘性力之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。如果某種力與其它力相比是小量，則這個力就可以忽略不計。 在邊界層中，邊界層厚度與物體的長度的比值 是一個小量。/L記為1L 引入特征量:將N-S方程中的各物理量無量綱化。,xyuvpxyu

10、vpLUVP這些無量綱化的物理量與1具有相同的量級N-S方程的無量綱化222222()()( )uVLuPpuLuuvxUyxULUxy 1111121211222222222()()()( )()()VvV LvPLpVvVLvuvUxyyULUUUxUy 121111121211連續(xù)性方程()0uVLvxUy111分析各量綱略去小量得：2200uupuuvxyxypyuvxy 第二個方程得到重要得結(jié)論： 邊界層的壓強(qiáng)沿y方向是不變的由伯努利方程得1dpdUUdxdx邊界層微分方程組可改寫為：2200uudUuuvUxydxypyuvxy邊界條件為00yuv()U(x)yu或簡化的邊界層微分

11、方程仍是非線性的，在個別情況可用相似性法求解，一般情況要用級數(shù)展開法和數(shù)值計算法。工程上大量應(yīng)用一種近似解的方法即邊界層動量積分式。7-6 邊界層動量積分關(guān)系式 取一控制體，其邊界由壁面、邊界層外緣和相距為dx的兩個橫截面構(gòu)成。討論控制體內(nèi)質(zhì)量和動量的變化經(jīng)AB流入的質(zhì)量和動量：20u dy經(jīng)CD流出的質(zhì)量和動量2200()du dyu dy dxdx0udy000()()dududx dyudyudy dxdxdx經(jīng)邊界層外緣AC流入控制體的質(zhì)量應(yīng)等于CD面上流出減AB面上流入0()dudy dxdx故由AC流入的動量流量為0()dUudy dxdx規(guī)定流出為正，流入為負(fù)，控制體內(nèi)流體動量變

12、化量為200)ddu dyUudy dxdxdx再討論受力情況AB面上受力：pCD面上受力：()()dppdxddx由于AC處于邊界層外()sin2dp dxpACpddx壁面BD上的受力：0dxAC面上受力：邊界上，可看成理想流體，粘性切應(yīng)力可忽略，只有受壓力21()xxxFQ VVx方向總的受力為：00()()ddppppdxdxdxpddxdxdpdxdx由動量方程有0()dpdxdx200)ddu dyUudy dxdxdx化簡：2000)dddpu dyUudydxdxdx 注意到dpdUUdxdx00000dddUUudyUudyudydxdxdxddUuUdyudydxdx可將方

13、程改寫為000()ddUdUu uU dyUudydxdxdx均質(zhì)不可壓縮流體常數(shù)，有2000(1)(1)duudUuUdyUdydxUUdxU將 代入*0(1)uudyUU*0(1)udyU方程是以x為變量的一階常微分方程，它有三個未知量，因此方程不封閉，需要補(bǔ)充兩個關(guān)系式才能求解。*00u、 、或*021(2)ddUdxU dxU各項(xiàng)除以 得卡門動量積分關(guān)系式2U7-7 平板邊界層的近似計算*021(2)ddUdxU dxU對于平板問題：*02ddxU三個未知數(shù)，需要補(bǔ)充兩個方程，一般是給定u和 ，u和 的近似表達(dá)式越接近實(shí)際，求出的 就越精確。*0(1)uudyUU00( )x由UVco

14、nst一、層流平板邊界層1、假設(shè)速度分布為一多項(xiàng)式：23401234ucc yc yc yc y2、多項(xiàng)式系數(shù)的確定，條件00 ,0c0yu有已知板長為L板寬為B,求平板上的摩擦阻力和邊界層的厚度。步驟：a),yuUV有2341234Uccccb)c)d),0uyy2312340234cccc0 ,0yuv222002c0yuy得234202c0yucy得可解得5個系數(shù) 13434022,2,0UUUccccc,0 ,0uUyuUvxxe)002yuUy故速度分布為：342( )2( )( )uyyyU3、 的補(bǔ)充式04、求*037(1)315uudyUU5、將 和 代入動量積分式：0*02d

15、dxU有：372315ddxU是常微分方程372315ddxU積分2126137xcU當(dāng)0,00 xc故25.845.845.84exxxxxRUUeR 隨 x 而 ，隨 而 ，即邊界層厚度隨流動方向增厚且雷諾數(shù)越大，邊界層越薄。注意：邊界層厚度表達(dá)式不止一個，但與x 和 的規(guī)律不變。eR6、求摩擦阻力0由20210.343exUUReLVLALbRLb沿板長積分2000.686DeLLdFRbxU A式中用摩擦阻力系數(shù)表示阻力：令 有212DfFcU A1.732feLcR二、平板湍流邊界層簡介 層流邊界層限于臨界雷諾數(shù)以下的區(qū)域，對于大多數(shù)工程問題，都是大于臨界雷諾數(shù)的湍流邊界層問題。為了

16、計算簡單，一般認(rèn)為湍流邊界層從前緣點(diǎn)開始，其計算方法與層流邊界層相同，只不過速度分布 借用圓管紊流 次方規(guī)律：1/ 71/ 7max0max()( )uyuyuru17 208V切應(yīng)力分布也借用圓管紊流規(guī)律：由此解出 和 。結(jié)果比較：fc1） 的比較：層流： 5.84exxR紊流：與 正比 12x50.381exxR45x與 正比2） 的比較：1.732feLcRfc層流：紊流：50.074feLcR對一定的 ，紊流的摩阻系數(shù)大于層流的摩阻系數(shù)。eLR紊流邊界層的厚度比層流邊界層的厚度隨 x 增加而增加得快。三、平板混合邊界層簡介 當(dāng)流體繞流平板時，在前端出現(xiàn)的是層流邊界層，只有超過一定的位置

17、后，邊界層才會完全變成湍流。 0ABxc 從層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯狞c(diǎn)稱為轉(zhuǎn)捩點(diǎn)，此時的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)。56Re510310ccxV x計算思路：計算oA段層流的摩阻系數(shù)計算oB整板上的摩阻系數(shù)計算oA段紊流的摩阻系數(shù)foAc層foBc紊foAc紊混合邊界層的摩阻系數(shù)：fc （ ）foAc層foBc紊foAc紊7-8 曲面邊界層的流動分離 在正常情況下，邊界層中的流動方向與主流方向一致，但是對非流線型物體，往往會發(fā)生下列現(xiàn)象： 物面上的邊界層在某個位置上與物面分離，所謂分離是指在物面附近出現(xiàn)與主流方向相反的回流。 邊界層分離又稱為邊界層的脫體，分離點(diǎn)又稱為脫體點(diǎn)。流線型物體在非正常情況下也能產(chǎn)生

18、分離。 在某些特殊情況下，分離了的邊界層有可能再次附著在物面上，從而在物面附近形成封閉的回流區(qū)， 一、分離流動的特點(diǎn) 對平板邊界層有 且在邊界層外邊界上各點(diǎn)的速度為常數(shù)。當(dāng)流體繞流曲面時，由于 固壁曲面使過流截面發(fā)生變化，因而邊界層外邊界上的速度 則各點(diǎn)的壓力 p 也不相等，即 這對流動有很大影響。0,0ppxyUc0,0ppyx討論流體繞流曲面時壓力和速度的變化:00puxxoM oMAB在 段：流體降壓增速當(dāng)?shù)竭_(dá)曲面最高點(diǎn) M處，壓力降至最小，速度達(dá)到最大。0px MA 0dpdx0ux在 段，由于過流截面的變化，流體的動能減小壓力要升高 此時，流體的動能不僅要克服摩擦阻力，還要轉(zhuǎn)化成壓能

19、，使得流體速度急劇減小，邊界層厚度不斷增厚，到達(dá)曲面A點(diǎn)時邊界層內(nèi)流體的動能被耗盡，這部分流體便停止不前。而此同時，主流的流體可伸入邊界層內(nèi)，使得A點(diǎn)后的流體壓力繼續(xù)升高，曲面附近的流體被迫反向倒流而使邊界層與壁面分開，這種現(xiàn)象稱為邊界層分離。A點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。發(fā)生分離后，主流和回流碰撞產(chǎn)生漩渦，在物體后部形成尾渦區(qū)，漩渦的運(yùn)動要消耗能量，使得物體后部的壓力不能恢復(fù)到物體前部的壓力，使得物體前后形成壓力差，產(chǎn)生阻力。這種阻力稱壓差阻力。 在分離點(diǎn)及其上下游作速度剖面圖，可以發(fā)現(xiàn)，在分離點(diǎn)A上滿足 00yuy 上式是普朗特首先作為分離判據(jù)提出來的，顯然在分離點(diǎn)上 。 0wA點(diǎn)之前：00yuyA點(diǎn)之

20、后：00yuyA點(diǎn)：二、分離機(jī)理 順壓梯度區(qū) ，由于順壓差引起邊界層區(qū)中流動加速 ，動能不斷增加，因而邊界層中流動不會出現(xiàn)滯止。 逆壓梯度區(qū) ，逆壓差引起邊界層區(qū)中流動減速 ，另一方面主流區(qū)提供給邊界區(qū)的動能又有所減小。故在逆壓梯度作用下，可能首先產(chǎn)生滯止。 0dpdx 0dpdx00yuy00yuy 逆壓梯度越大，則越易產(chǎn)生分離。在逆壓梯度區(qū)足夠長的區(qū)域中，最終將產(chǎn)生分離。由此可知：粘性流體在低壓增速區(qū)域不會發(fā)生邊界層分離，只有在增壓降速過程才有可能發(fā)生分離。分離條件：1）逆壓流動2）粘性的滯止作用 0dpdx00yuy三、銳緣效應(yīng) 在自然界或在工程問題中，我們發(fā)現(xiàn)，流體繞過任何物體的尖緣時

21、，總要出現(xiàn)分離。 迎流面為順壓梯度區(qū)，背流面為逆壓梯度區(qū)。當(dāng)流體繞過此物體時，由于流體離心作用，在2點(diǎn)附近壓力最低。曲率越大，則此點(diǎn)壓力越低，因此，對于曲率大的物體邊緣，在其背流面很容易產(chǎn)生分離。當(dāng)邊緣為尖角時，則必然產(chǎn)生分離。 分離點(diǎn)的位置與物體的形狀有關(guān)：鈍頭體，分離點(diǎn)靠前，后面的渦區(qū)大；流線形的物體分離點(diǎn)靠后，甚至可不分離。 沿汽車外表面在檔風(fēng)玻璃前和尾部都會發(fā)生附面層分離。 7-9 繞流物體的阻力 物體在粘性流體中運(yùn)動時，會受到阻力作用。平板的阻力計算已介紹，曲面受到的阻力一般需通過試驗(yàn)來確定。如圖將一翼形固定，讓氣流以 繞翼形流動，這時，翼形受到的作用一、繞流阻力的計算：0u力為 F

22、,可將 F 分解成 FL 和 FDFFDFLu0p升力LLFVFDF繞流阻力 繞流阻力從機(jī)理上可分析是由兩部分組成：一是由粘性直接作用的結(jié)果,二是由粘性間接作用的結(jié)果，其物理表達(dá)式為：cossinDllFdLpdL 是作用在壁面上的切應(yīng)力，由它引起的阻力稱摩擦阻力。212DDFcV A p是作用在壁面上的壓應(yīng)力,由它引起的阻力稱壓差阻力。式中： 阻力系數(shù)雖然產(chǎn)生阻力的機(jī)理分析得很清楚，但要從量上求出各部分的大小卻很困難依靠實(shí)驗(yàn)和因次分析法可得到阻力計算式DcA迎流面積（與來流垂直）二、影響FD的因素：1、與粘性有關(guān)。 ，摩阻增大。2、與物體形狀有關(guān)，與物體的方位有關(guān)。在相同條件下，迎流面積越大

23、，尾部漩渦區(qū)越大，前后壓差越大，壓阻增大。與物體所放的方位有關(guān)，同是流線形的機(jī)翼，有攻角和無攻角的渦區(qū)不同。3、與物體的粗糙度有關(guān)。表面粗糙度越大，越易形成紊流邊界層使得摩阻增大，但紊流度越大，流體的動能越大，分離點(diǎn)后移，壓阻減小?？赡芸傋枇p小。要綜合考慮。光滑柱面4、與來流 有關(guān)，即與 有關(guān)。VeR 越大越易形成紊流邊界層，摩阻增大但分離點(diǎn)后移壓阻減小eR粗糙柱面 大量試驗(yàn)表明，在不同雷諾數(shù)條件下，流動現(xiàn)象的差異是明顯的。 以繞流小球流動為例： 在Re1條件下其特點(diǎn)為：流動上下，前后對稱，呈穩(wěn)定層流狀態(tài)。物體阻力來源于物面粘性切應(yīng)力的合力，即摩擦阻力。 在 35Re3040條件下，其特點(diǎn)為在背風(fēng)面出現(xiàn)對稱旋渦區(qū)。物體阻力由兩部分組成：摩擦阻力和壓差阻力（物面上壓力的合力在流動方向的分量）。摩擦阻力與壓差阻力具有同等重要性。 在3040Re8090條件下，其特點(diǎn)為在背風(fēng)區(qū)的對渦區(qū)出現(xiàn)擺動，但仍呈層流狀態(tài)。物體阻力由摩擦阻力和壓差阻力組成，它們具有同等重要性。 在8090Re150300條件下，其特點(diǎn)是在背風(fēng)面旋渦交替脫落，從而形成兩排向下游運(yùn)動的渦列，通常稱它為卡門