微積分的基本定理

1、微積分的基本定理微積分的基本定理一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入1205(2)3tdt12013x dx1.1.定積分的定義定積分的定義: :2112.?dxx 由由定定積積分分的的定定義義可可以以計(jì)計(jì)算算嗎嗎 niinbafnabdxxf1lim xxf1 解解：令令（1 1）分割）分割 ,121個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)上上等等間間隔隔的的插插入入，在在區(qū)區(qū)間間 n 個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間等等分分成成，將將區(qū)區(qū)間間n21 , 2 , 11 ,11ninini 每每個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為 nix1nni111 （2）近似代替）近似代替 , 2 , 111ninii 取取211dxx 試試一一試試：利利用用定定

2、積積分分的的定定義義計(jì)計(jì)算算（3）求和）求和xnifSdxxnin 121111 ninni11111 niin111 12121111nnnn怎么求怎么求探究新知：探究新知：tOy tyy BniSSSSS 21a aybSa(t )0t1it 1it nb(t )nt 1t2S1S2 iS nS1h2hihnhA by aybyS ttvSii 1 嗎嗎？表表示示，你你能能分分別別用用內(nèi)內(nèi)的的位位移移為為設(shè)設(shè)這這個(gè)個(gè)物物體體在在時(shí)時(shí)間間段段的的速速度度為為在在任任意意時(shí)時(shí)刻刻由由導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的概概念念可可知知，它它是是運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的物物體體的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)規(guī)規(guī)律律如如圖圖：一一個(gè)個(gè)作作變變速速直直

3、線線S,tvtySbatytvttyy 1 itynab ttyi 1iihS tDPC tan ttyi 1D PC aybyS badtty tyy ay byniSSSSS 21 111 iiiitynabttyttvS ttvSniin 11lim niintty11lim dttvba aybydttySba 二、二、微積分基本定理微積分基本定理 牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式 ,f xa bF xf x 如如果果是是區(qū)區(qū)間間上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)并并且且則則 bafx dxF bF a bbaafx dxF xF bF a 或或 的的導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)叫叫做做的的原原函函數(shù)數(shù)，叫叫做

4、做xxfxfxFF牛頓萊布尼茨公式溝通了導(dǎo)數(shù)與積分之間的關(guān)系牛頓萊布尼茨公式溝通了導(dǎo)數(shù)與積分之間的關(guān)系求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題.微積分的基本定理微積分的基本定理nx1nnx 1x1lnxasin xcos xsin x cos xxexalnxaaxec0函數(shù)函數(shù)f(x)導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)回顧：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式回顧：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式logaxln x被積被積函數(shù)函數(shù)f(x)一個(gè)原一個(gè)原函數(shù)函數(shù)F(x)新知：基本初等函數(shù)的原函數(shù)公式新知：基本初等函數(shù)的原函數(shù)公式ccxnx111nxn sin xcos x sin xcos xxalnxaax

5、exe1xln|x微積分的基本定理微積分的基本定理 .dxx1x22;dxx11:131221計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分例例 ,x1xln1因?yàn)榻?121|xlndxx1所以.2ln1ln2ln ,x1x1, x2x222因?yàn)閐xx1xdx2dxx1x23123131231312x1|x.32213119 120212212113212332141_xtdtxdxxxxdxedx 1322ln 921ee 練習(xí)練習(xí)1:微積分的基本定理微積分的基本定理例例2 2 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式20(2sincos)|xxx.23 例例3 3 設(shè)設(shè) , 求求 . 215102

6、)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)時(shí)，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12微積分的基本定理微積分的基本定理 301141222.:cos;.xxdxdxx 例例計(jì)計(jì)算算下下列列定定積積分分 11222sincos,xx 解解因因?yàn)闉?01222cossin|xdxx 所所以以1120022sinsin. 212222,lnxxxx因因?yàn)闉?331111122xxdxdxdxxx3311222|lnxx 8262 322 32222.lnlnln微積分的基本定理微積分的基本定

7、理22005:sin,sin,sin.xdxxdxxdx例計(jì)算下列定積分00|xcosdxxsin, xsinxcos因?yàn)榻?;20coscos22|xcosdxxsin ; 2cos2cos202|xcosdxxsin0 0 .00cos2cos微積分的基本定理微積分的基本定理問(wèn)題：?jiǎn)栴}：通過(guò)計(jì)算下列定積分，進(jìn)一步說(shuō)明其定通過(guò)計(jì)算下列定積分，進(jìn)一步說(shuō)明其定積分的幾何意義。積分的幾何意義。通過(guò)計(jì)算結(jié)果能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)通過(guò)計(jì)算結(jié)果能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示發(fā)現(xiàn)的結(jié)論論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示發(fā)現(xiàn)的結(jié)論2sin xdx20sin xdx微積分的基本定理微積分的基本定理我們發(fā)現(xiàn)：我們發(fā)現(xiàn)

8、：（）定積分的值可取正值也可取負(fù)值，還可以是（）定積分的值可取正值也可取負(fù)值，還可以是0 0；（2 2）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x x軸上方時(shí)，定積分的值取正值；軸上方時(shí)，定積分的值取正值；（3 3）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x x軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值；軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值；（4 4）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x x軸上方的面積等于位于軸上方的面積等于位于x x軸下方軸下方的面積時(shí)，定積分的值為的面積時(shí)，定積分的值為0 0得到定積分的幾何意義：得到定積分的幾何意義：曲邊梯形面積的曲邊梯形面積的。微積分的基本定理微積分的基本定理的解析式求且點(diǎn)是一次函數(shù)，其圖象過(guò)、已知)

9、(, 1)(),4 , 3()(110 xfdxxfxf微積分與其他函數(shù)知識(shí)綜合舉例：微積分與其他函數(shù)知識(shí)綜合舉例：微積分的基本定理微積分的基本定理的最大值。求、已知)(,)2()(21022afdxxaaxaf微積分的基本定理微積分的基本定理練一練：練一練：已知已知f(x)=ax+bx+c,且且f(-1)=2,f(0)=0,的值求cbadxxf, 2)(10微積分的基本定理微積分的基本定理小結(jié)小結(jié)1.微積分基本定理微積分基本定理 bbaafx dxF xF bF a 被積被積函數(shù)函數(shù)f(x)一個(gè)原一個(gè)原函數(shù)函數(shù)F(x)2.基本初等函數(shù)的原函數(shù)公式基本初等函數(shù)的原函數(shù)公式ccxnx111nxn

10、 sin xcos x sin xcos xxalnxaaxexe1xln|x ,f xa bF xf x 如如果果是是區(qū)區(qū)間間上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)且且則則作業(yè)：作業(yè)：P55 A組組 1 B組組 1、3微積分的基本定理微積分的基本定理牛頓牛頓 牛頓，是英國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓，是英國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。16421642年年1212月月2525日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村沃爾索普村,1727,1727年年3 3月月2020日在倫敦病逝日在倫敦病逝。 牛頓牛頓16611661年入英國(guó)劍橋大學(xué)三

11、一學(xué)年入英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院，院，16651665年獲文學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在年獲文學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。16671667年年回劍橋后當(dāng)選為三一學(xué)院院委，次年獲回劍橋后當(dāng)選為三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。碩士學(xué)位。16691669年任盧卡斯教授直到年任盧卡斯教授直到17011701年。年。16961696年任皇家造幣廠監(jiān)督，并年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。移居倫敦。17031703年任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)年任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)。17061706年受女王安娜封爵。他晚年潛心年受女王

12、安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學(xué)與神學(xué)。于自然哲學(xué)與神學(xué)。 牛頓在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是微積分牛頓在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是微積分和經(jīng)典力學(xué)的創(chuàng)建。和經(jīng)典力學(xué)的創(chuàng)建。微積分的基本定理微積分的基本定理萊布尼茲萊布尼茲萊布尼茲，德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，和牛頓萊布尼茲，德國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人；同為微積分的創(chuàng)始人；16461646年年7 7月月1 1日生于日生于萊比錫，萊比錫，17161716年年1111月月1414日卒于德國(guó)的漢諾日卒于德國(guó)的漢諾威。他父親是萊比錫大學(xué)倫理學(xué)教授，家威。他父親是萊比錫大學(xué)倫理學(xué)教授，家庭豐富的藏書引起他廣泛的興趣。庭豐富的藏書引起他廣泛的興趣。16611661年年入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，又曾到耶拿大學(xué)入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，又曾到耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)幾何，學(xué)習(xí)幾何，16661666年在紐倫堡阿爾特多夫取得法學(xué)博士學(xué)位年在紐倫堡阿爾特多夫取得法學(xué)博士學(xué)位。他當(dāng)時(shí)寫的論文。他當(dāng)時(shí)寫的論文論組合的技巧論組合的技巧已含有數(shù)理邏已含有數(shù)理邏輯的早期思想，后來(lái)的工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。輯的早期思想，后來(lái)的工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。16671667年他投身外交界，曾到歐洲各國(guó)游歷。年他投身外交界，曾到歐洲各國(guó)