平方差公式教案

1、教學(xué)設(shè)計(jì)（教案）:平方差公式基本信息學(xué) 科數(shù)學(xué)年 級(jí)八年級(jí)教學(xué)形式教 師趙長(zhǎng)伍單 位鳳臺(tái)縣劉集初級(jí)中學(xué)課題名稱平方差公式學(xué)情分析有利因素：學(xué)生已具備了推導(dǎo)平方差公式的知識(shí)與技能；具有獨(dú)立探索，合作交流的習(xí)慣；有對(duì)整式運(yùn)算“快與準(zhǔn)”的追求。不利因素：部分學(xué)生對(duì)單項(xiàng)式乘法、多項(xiàng)式相乘不夠熟練；兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的形式多變，學(xué)生易被迷惑教學(xué)目標(biāo)分析要點(diǎn)：1.知識(shí)目標(biāo)；(1)經(jīng)歷探索平方差公式的過程(2)會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算2.能力目標(biāo)；(1)在探索平方差公式的過程中，培養(yǎng)符號(hào)感和推理能力(2)培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括、動(dòng)手操作等能力3.情感態(tài)度與價(jià)值觀。(1).在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)

2、律，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表示，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷美(2).讓學(xué)生在合作探究的學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)成功的喜悅；培養(yǎng)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)、勇于探索的精神和善于觀察、大膽創(chuàng)新的思維品質(zhì).教學(xué)過程活動(dòng)1：搶答引入 回顧舊知師：1.搶答: 5149= 2.口答: 請(qǐng)同學(xué)們回憶下多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則怎樣敘述的？活動(dòng)2：競(jìng)賽引趣 探究新知（多媒體展示）計(jì)算下列多項(xiàng)式的積（1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1） （4）(1001)(1001)師：這4道題你們會(huì)不會(huì)做？生：會(huì).師：用什么方法做呢？生： 多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式。師：好，現(xiàn)在我們同時(shí)做，看誰做的又對(duì)又快。預(yù)備開始。（老師在臺(tái)

3、上做學(xué)生在下面獨(dú)立做，而后說我完成了，學(xué)生發(fā)出驚嘆）師：我已第一了，看看誰能第二。（學(xué)生先后做完，老師展示答案）師：我們的答案一樣嗎？生：一樣。師：你們想知道我為什么會(huì)做的這么快嗎？生：想。師：我用的方法和你們的不一樣，你們用的是多項(xiàng)式的乘法，而我用的是平方差公式做的，什么是平方差公式呢？大家觀察上面算式，你發(fā)現(xiàn)了規(guī)律就找到了平方差公式，若你發(fā)現(xiàn)了規(guī)律？請(qǐng)你再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)。（給學(xué)生充分的時(shí)間讓他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證）師： 有自己想法的同學(xué)，請(qǐng)把你的想法和你的同桌或小組內(nèi)同學(xué)交流，要注意整理好你的思維把問題說清楚，聽者要注意他闡述的哪兒不到位給予補(bǔ)充。最后小組推選發(fā)言人說明你們小組的觀點(diǎn)。（小組

4、討論,老師加入中間傾聽加以引導(dǎo)）生1：上面四個(gè)算式中每個(gè)因式都是兩項(xiàng)。生2：我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積例如算式（1）是x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（2）是m與2這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（3）是2x與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式（4）是100與1這兩個(gè)數(shù)的和與差的積。 生3：從剛才的運(yùn)算我發(fā)現(xiàn)：師：能不能再舉例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)？生：能例如：我們的搶答題5149=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12 即（50+1）（50-1）=502-12 這同樣可以驗(yàn)證：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差師：為什么會(huì)是這樣的呢？生：因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)

5、式的乘法法則展開后，中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng)，且系數(shù)互為相反數(shù)，所以和為零，只剩下這兩個(gè)數(shù)的平方差了師：很好請(qǐng)用字母表示上述規(guī)律，并對(duì)此規(guī)律進(jìn)行證明生：這個(gè)規(guī)律用符號(hào)表示為：（a+b）（a-b）=a2-b2 證明如下：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2師：同學(xué)們真不簡(jiǎn)單老師為你們感到驕傲能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（a+b）（a-b）=a2-b2起一個(gè)名字呢？生：最終結(jié)果是兩個(gè)數(shù)的平方差，叫它“平方差公式”怎樣？師：有道理這就是我們探究得到的“平方差公式”，請(qǐng)同學(xué)們分別用文字語言和符號(hào)語言敘述這個(gè)公式（多媒體展示） 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差 即：（a+b）（a

6、-b）=a2-b2活動(dòng)3：動(dòng)手操作 驗(yàn)證公式剛才，我們用的多項(xiàng)式乘法證明了平方差公式下面我們能否用圖形來證明呢？這我們以前沒有做過的，下面我們可大膽地嘗試看看能不能有什么發(fā)現(xiàn)。下面請(qǐng)同學(xué)們拿出課前準(zhǔn)備的紙片（多媒體展示紙片圖形），同學(xué)們觀察一下張紙片是什么圖形?生： 正方形師：陰影部分呢？生： 也是正方形師：請(qǐng)同學(xué)們用剪刀從邊長(zhǎng)為a的正方形紙板上，剪下一個(gè)邊長(zhǎng) （圖1）為b的小正方形（如圖1），剩下的圖形面積是多少呢？生：剩下的圖形面積是a2-b2師：然后把剩下的部分用剪刀裁開重新拼圖求出面積，看看你能有什么新的發(fā)現(xiàn)？相信自己、獨(dú)立思考、動(dòng)手試試看，然后請(qǐng)同學(xué)們交流你們的做法。（學(xué)生動(dòng)手操作，

7、老師下去巡視指導(dǎo)）生1：我們小組把剩下的圖形重新拼成長(zhǎng)方形，拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是（a+b），寬是（a-b），面積為（a+b）（a-b），原來剩下的圖形面積a2-b2。所以我們得到（a+b）（a-b）=a2-b2（老師展示動(dòng)畫演示，驗(yàn)證學(xué)生敘述的正確性來激勵(lì)學(xué)生的探索精神） 生2： 我們小組把剩下的圖形裁開重新拼成等腰梯形，拼成的等腰梯形的上底是2b，下底是2a，高為（a-b）面積為（2a+2b）（a-b）2，原來剩下的圖形面積a2-b2。所以我們得到（a+b）（a-b）=a2-b2師：你們太棒了老師都沒有想到你們會(huì)有幾種拼法，好！你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？生1：發(fā)現(xiàn)能利用圖形面積也可以證明平方差公式。生

8、2：可以用幾何方法來解決代數(shù)問題。師：你們說的很好，這就是我們講的數(shù)形結(jié)合思想。活動(dòng)4：填寫表格 探其特征試一試、你能用平方差公式直接計(jì)算下列各式結(jié)果嗎？（a+b)(a-b)aba2b2最后結(jié)果（x+2)(x-2)(3a+b)( 3a-b)(1-5m)(1+5m)（a+b+1）(a+b-1)師：你能發(fā)現(xiàn)平方差公式中a和b代表什么嗎？平方差公式有怎樣的結(jié)構(gòu)特征？生1：公式中的a和b可以是一個(gè)數(shù)也可是字母。生2: 公式中的a和b我認(rèn)為可以是一個(gè)式子，生3：平方差公式是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，有一項(xiàng)完全相同，而另一項(xiàng)互為相反數(shù)。師：對(duì)，你說的很好，它們不公表示數(shù)也可表示單項(xiàng)式與多項(xiàng)式。公式的結(jié)構(gòu)特征：兩個(gè)二

9、項(xiàng)式相乘，若有一項(xiàng)完全相同，而另一項(xiàng)互為相反數(shù). 就能運(yùn)用平方差公式?；顒?dòng)5：研究新知 合作編題師：下面的時(shí)間大家分小組合作，利用平方差公式自已編題?？纯茨慕M編的又快又好。（學(xué)生編題，老師深入到各組巡視，傾聽學(xué)生發(fā)言，看他們的成果并指導(dǎo)）活動(dòng)6：解釋運(yùn)用 解決問題（多媒體展示） 例1：運(yùn)用平方差公式計(jì)算： （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y）例2：計(jì)算： （1）10298 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） 師生共析運(yùn)用平方差公式時(shí)要注意公式的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會(huì)對(duì)號(hào)入座 如例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b同樣的方法

10、可以完成（2）、（3）如果形式上不符合公式特征，可以做一些簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化工作，使它符合平方差公式的特征比如（2）應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化： （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b） 如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征，則應(yīng)考慮多項(xiàng)式的乘法法則（作如上分析后，學(xué)生可以自己完成兩個(gè)例題也可讓學(xué)生的上黑板板演） 例1解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4 （2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2 （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2 例2解：（1）10298=（100+2）（100-2） =1002-

11、22=10000-4=9996 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） =y2-22-（y2+5y-y-5） =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1師：我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么？生：我覺得應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式即整式 （2）只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，若有一項(xiàng)完全相同，而另一項(xiàng)互為相反數(shù). 就能運(yùn)用平方差公式。（3）有些多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式說明：只有符合公式特征的乘法，才能運(yùn)用公式簡(jiǎn)化運(yùn)算，其余的運(yùn)算仍按乘法法則進(jìn)行

12、.生：運(yùn)算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡(jiǎn)才行師：同學(xué)們總結(jié)得很好下面請(qǐng)同學(xué)們完成一組闖關(guān)練習(xí)優(yōu)勝組選派一名代表做總結(jié)發(fā)言活動(dòng)7：反饋練習(xí) 拓展應(yīng)用（多媒體展示）1.下面各式的計(jì)算對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？ (1) (x+2)(x-2)=x-2 (2) (-3a-2)(3a-2)=9a-41、計(jì)算：（1）（a+3b）（a-3b） （2）（3+2a）（-3+2a） （3）（3x+4）（3x-4）-(2x+3)(3x-2) （4）20011999（5）（a-b）（a+b）（a2+b2）3、可根據(jù)教學(xué)時(shí)間適當(dāng)?shù)某槿W(xué)生自編題讓學(xué)生練習(xí)?；顒?dòng)8：反思小結(jié) 布置作業(yè)1、本節(jié)你學(xué)到了什么？2、本節(jié)課你有何收獲？

13、3、通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，你有何感受?4、你還有什么疑惑?強(qiáng)調(diào)：1. 平方差公式： 兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差這個(gè)公式叫做乘法的平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b22兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，若有如下的特點(diǎn)可用平方差公式計(jì)算：有一項(xiàng)完全相同，而另一項(xiàng)互為相反數(shù).3. 使用平方差公式應(yīng)注意的幾個(gè)問題: 公式的字母a、b可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式； 要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式；有些式子表面上不能應(yīng)用公式，但通過適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式 板書設(shè)計(jì) 一、計(jì)算：（1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1） （4）(1001)(1001) 二、平方差公式文字語言：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差 符號(hào)語言：（a+b）（a-b）=a2-b21531 平方差公式（a+b)(a-b)aba2b2最后結(jié)果（x+2)(x-2)(3a+b)( 3a-b)(1-5m)(1+5m)（a+b+1）(a+b-1)例1： 例2：闖關(guān)練習(xí)作業(yè)