第一章函數(shù)極限連續(xù)映射與

1、第一章第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù)1.1.1 1 映射與函數(shù)映射與函數(shù)一、集合、區(qū)間與鄰域一、集合、區(qū)間與鄰域具有某種特定性質(zhì)并且可以彼此區(qū)別的事物的具有某種特定性質(zhì)并且可以彼此區(qū)別的事物的集合里的每一個(gè)事物稱為集合的集合里的每一個(gè)事物稱為集合的元素元素.總體，稱為總體，稱為集合集合. .,;xAxA 若某個(gè)元素 屬于集合則記作若某個(gè)元素 屬于集合則記作,.xAxA 若某個(gè)元素 不屬于集合則記作若某個(gè)元素 不屬于集合則記作24.RN 例如：，例如：，特點(diǎn)：確定、互異、無序特點(diǎn)：確定、互異、無序.無限集合無限集合.N例4全體自然數(shù). 常記為例4全體自然數(shù). 常記為例2全體實(shí)數(shù).例2全

2、體實(shí)數(shù).R常記為常記為.R 例3全體正實(shí)數(shù). 常記為例3全體正實(shí)數(shù). 常記為 (二)、集合的表示法(二)、集合的表示法1.列舉法：按任意順序列出集合的所有元素，列舉法：按任意順序列出集合的所有元素，并用花括號括起來.并用花括號括起來.2320.xx 例例1 1方方程程的的根根有限集合有限集合 , , ,1,2 .Aa b c dB例如：，例如：， 2.P aa描述法：設(shè)為某個(gè)與 有關(guān)的條件或描述法：設(shè)為某個(gè)與 有關(guān)的條件或 AP aa法則， 為滿足的一切 構(gòu)成的集合，法則， 為滿足的一切 構(gòu)成的集合， .Aa P a 則記為則記為 21,Ax xnnN例如例如 2320Bx xx 1,2 .

3、表示集合與集合之間關(guān)系的圖形稱為表示集合與集合之間關(guān)系的圖形稱為文氏圖.文氏圖.(三)、全集與空集(三)、全集與空集由所研究的所有對象構(gòu)成的集合稱為由所研究的所有對象構(gòu)成的集合稱為全集全集，,. 不含任何元素的集合稱不含任何元素的集合稱空集 記作空集 記作為為 210,x xxR例如:例如:(四)、子集(四)、子集. AB稱稱 是是則則的子集.的子集.，AB如如果果集集合合 的的任任一一元元素素都都是是集集合合的的元元素素,.ABBA或或記作記作I記記作作,.ABABBA與 相等 記作或與 相等 記作或.AA 空集為任意集合 的子集，即空集為任意集合 的子集，即(五)、集合的運(yùn)算(五)、集合的

4、運(yùn)算 ;ABx xAxB 且且交集:交集:ABA BABBA 若若 與與 互互為為子子集集，即即且且稱稱 ;ABx xAxB 或或并集:并集: 51,2,4,62,4,7 .AB例設(shè)，例設(shè)， 1,2,4,6,7 , AB 2,4 .AB 6120 .AxxBx x例設(shè)，例設(shè)， 1ABx x 則，則， 02 .ABxx 7125 .Ax xBxx例設(shè)，例設(shè)， 1,25 ,ABx xx 則或則或.AB AB .ABx xAxB且且差集:差集:AB 81,2,4,62,4,7 .AB例設(shè)，例設(shè)， 1,6 ,AB則則 7 .BA .Ax xUxA 且且補(bǔ)集：補(bǔ)集：AA .AAUAA 顯然，顯然，CAA

5、 也可記作也可記作,ABxAyB設(shè) 與 是兩個(gè)非空集合所有設(shè) 與 是兩個(gè)非空集合所有 ,x yA二元有序元素組構(gòu)成的集合，稱為 與二元有序元素組構(gòu)成的集合，稱為 與,ABB 笛卡爾乘積 記作笛卡爾乘積 記作的即的即 91,2,3 ,2,3 .AB例設(shè)例設(shè) 1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3AB則則 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3BB ,.ABx y xA yB六、集合的笛卡爾乘積六、集合的笛卡爾乘積或直積或直積 ,RRx y xR yRxoy 表示平面上表示平面上2,.RRR 所有點(diǎn)的集合常記作所有點(diǎn)的集合常記作N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q

6、-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集.元素全部是數(shù)的集稱為元素全部是數(shù)的集稱為數(shù)集數(shù)集合合（七）、（七）、（八）、邏輯量詞（八）、邏輯量詞：或?qū)λ械幕驅(qū)λ械? 表示存在表示存在: 表示對每一個(gè)或?qū)θ我獾谋硎緦γ恳粋€(gè)或?qū)θ我獾膎N 例如：，例如：，00 xxxRxxx ，.xR 九、絕對值九、絕對值區(qū)間區(qū)間: : 是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù). .,.a bRab且且x axb稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間, ,( , ).a b記作記作oxab這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn). .x axb稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間, , .a b記作記作（十）、（十）、

7、 區(qū)間區(qū)間x axb稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間, , , ).a b記作記作x axb稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間, ,( , .a b記作記作 ,)ax ax (, )bx xb oxaoxb無限區(qū)間無限區(qū)間有限區(qū)間有限區(qū)間ab（十一）、鄰域（十一）、鄰域: :0,0.x 設(shè) 與 是兩個(gè)實(shí)數(shù)且設(shè) 與 是兩個(gè)實(shí)數(shù)且0,x鄰鄰點(diǎn)點(diǎn)做做域域的的中中心心叫叫. 鄰鄰域域做做的的半半徑徑叫叫 0,U x 0 ,U x 記作記作0,x 點(diǎn) 的去心的 鄰域點(diǎn) 的去心的 鄰域 00 ,0.U xxxx00,xxxx 數(shù)集稱為數(shù)集稱為點(diǎn) 的 鄰域點(diǎn) 的 鄰域00.x xxx xx00 x 0 x 二、二、 映射與函

8、數(shù)映射與函數(shù)D定義：若 是一個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，設(shè)有一個(gè)定義：若 是一個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，設(shè)有一個(gè)fxD 對應(yīng)規(guī)則 ，使每一個(gè)，都有一個(gè)確定對應(yīng)規(guī)則 ，使每一個(gè)，都有一個(gè)確定yfD的實(shí)數(shù) 與之對應(yīng)，則稱為定義在 上的一的實(shí)數(shù) 與之對應(yīng)，則稱為定義在 上的一yx.個(gè)函數(shù)，或稱變量 是變量 的函數(shù)個(gè)函數(shù)，或稱變量 是變量 的函數(shù) yfxxD.記作，記作，1111AB 數(shù)數(shù) 集集集集集集映映 射射函函 數(shù)數(shù)對對 應(yīng)應(yīng)多多多多xy稱為自變量， 稱為因變量.稱為自變量， 稱為因變量. DD f .集合 稱為函數(shù)的定義域，也可以記作集合 稱為函數(shù)的定義域，也可以記作 000,xD fxy 當(dāng)時(shí) 與對應(yīng)的數(shù)值稱為函

9、數(shù)當(dāng)時(shí) 與對應(yīng)的數(shù)值稱為函數(shù) 000,yfxxxyfx在處的函數(shù)值 記作在處的函數(shù)值 記作00.x xyy 或或 ,Zfy yfxxD f全體函數(shù)值的集合全體函數(shù)值的集合.稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域 ,;DRZRfx當(dāng)時(shí)為一元函數(shù)當(dāng)時(shí)為一元函數(shù)2,DRZRf當(dāng)時(shí)為二元函數(shù)當(dāng)時(shí)為二元函數(shù),nDRZRfn當(dāng)時(shí)為 元函數(shù)當(dāng)時(shí)為 元函數(shù) 12,.nyfx xx 記為記為 12,;yfx x 記為記為函數(shù)的兩個(gè)要素：函數(shù)的兩個(gè)要素：兩個(gè)函數(shù)只要兩個(gè)函數(shù)只要 f 和和 相同，則這兩個(gè)函數(shù)相同，則這兩個(gè)函數(shù) D f ;D f對應(yīng)規(guī)律對應(yīng)規(guī)律 f ; 定義域定義域必相等必相等.例如例如 1,fxx 與與 2

10、2sincos,h xxxx ,.表現(xiàn)形式不同 卻是兩個(gè)相同的函數(shù)表現(xiàn)形式不同 卻是兩個(gè)相同的函數(shù)定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值。數(shù)值。2xyxyx與不是相同的函數(shù)，因?yàn)槎x域不同.與不是相同的函數(shù)，因?yàn)槎x域不同.211525xx 解：解：2111arcsin.525xyx 例求函數(shù)的定義域例求函數(shù)的定義域155xx 4655xx 45x 4, 5D 即即 lg 32.1xyx 例求函數(shù)的定義域例求函數(shù)的定義域3010 xx 解解311xxx 或或113xx 或或 , 11,3D 即即32253lg.4xxxye 例例求求函函數(shù)數(shù)的的

11、定定義義域域2514xx 解解254xx2540 xx14x 1, 4D 即即 241111.fxxxff afxfffxy 例設(shè)，求，例設(shè)，求， 1f 解解21111 21f aaa 21111fxxx231xx21111fyyy 2111yy 21ffxfxfx 222111xxxx4321xx定義定義:( , )( ),Cx y yf xxD點(diǎn)集稱為點(diǎn)集稱為如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，22yx 例如：例如：( ).yf x 函數(shù)的圖形函數(shù)的圖形對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，叫做對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，叫做單值函數(shù)單值函數(shù)，否則叫做否則叫做多值函數(shù)

12、多值函數(shù)221,0,( )1,0 xxf xxx 例如例如在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, , 對應(yīng)法則用不同的對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù), ,稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù). . ,D 22025( )241 ,2 ,3 ,1 .xxf xxxDffffx 例設(shè)，例設(shè)，求 及求 及 0,22,4D 解解 21201211214xxfxxx 2113135xxxx 0,4 1123,f 2224,f 2339f 631 .fxx例用分段函數(shù)表示例用分段函數(shù)表示解 由絕對值定義知，解 由絕對值定義知，101xx當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)， 11xx 101xx當(dāng)，即時(shí)，

13、當(dāng)，即時(shí)，11xx 311311xxfxxx 2141xxxx 1,0,sgn0,0,1,0.xyxxx 符號函數(shù)符號函數(shù): :例例: 5/7= 0, -2.8=-3, 1.42=1 : 5/7= 0, -2.8=-3, 1.42=1 取整函數(shù)取整函數(shù): 設(shè)設(shè) 為任一函數(shù)為任一函數(shù),不超過不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 為為 的取整部分的取整部分,計(jì)為計(jì)為 xxxx ,0F x y 對應(yīng)規(guī)則是用一個(gè)方程表示的函數(shù)對應(yīng)規(guī)則是用一個(gè)方程表示的函數(shù)稱為稱為隱函數(shù).隱函數(shù).2241sin0.xxyxyexy 例例如如：，等等0,00,:( )1,.ttvttt 單位函數(shù)單位函數(shù)三、反函數(shù)三、反函數(shù)一、反

14、函數(shù)一、反函數(shù) yfxyZf設(shè)，若有一個(gè)確定的且滿足設(shè)，若有一個(gè)確定的且滿足 yfxxD f的與之對應(yīng)，其對應(yīng)規(guī)則記作的與之對應(yīng)，其對應(yīng)規(guī)則記作 11fZfxfy ，這個(gè)定義在上的函數(shù)稱為，這個(gè)定義在上的函數(shù)稱為 yfx. 的反函數(shù)，或稱它們互為反函數(shù)的反函數(shù)，或稱它們互為反函數(shù) yfx 也稱為直接函數(shù).也稱為直接函數(shù). 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱對稱. .yx ,0,( ),xa bD fMf xM 若有成立若有成立（一）、函數(shù)的有界性（一）、函數(shù)的有界性: : ( ),.f xa b則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在上上有有界界否否則則稱稱無無界界abab三、函數(shù)

15、的幾種簡單性質(zhì)三、函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)（二）、函數(shù)的單調(diào)性（二）、函數(shù)的單調(diào)性: : 1212,xxa bD fxx若、當(dāng)時(shí)，若、當(dāng)時(shí)， ( ),;f xa b則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的12()(),f xf x 恒有恒有ab ( ),f xa b則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上是是單單調(diào)調(diào)減減少少的的. .12()(),f xf x 恒有恒有 1212,xxa bD fxx若、當(dāng)時(shí)，若、當(dāng)時(shí)， yfx xyab（三）、函數(shù)的奇偶性（三）、函數(shù)的奇偶性: : ,D fxD f 設(shè)關(guān)于原點(diǎn)對稱若有設(shè)關(guān)于原點(diǎn)對稱若有()( )fxf x ( )f x則稱為偶函數(shù).則稱為

16、偶函數(shù).偶偶函函數(shù)數(shù) ,D fxD 設(shè)關(guān)于原點(diǎn)對稱若有設(shè)關(guān)于原點(diǎn)對稱若有()( )fxf x ( )f x則稱為奇函數(shù).則稱為奇函數(shù).奇函數(shù)奇函數(shù) 221cos2132xxxfxxxfxxeefx 例討論下列函數(shù)的奇偶性例討論下列函數(shù)的奇偶性 1fx解解 2cosxx2cosxx fx fx為偶函數(shù)為偶函數(shù) 2fx 21xx 21xx fx fx為奇函數(shù)為奇函數(shù) 3fx 解： （ ）解： （ ） 2xxee 2xxee 2xxee fx fx為奇函數(shù)為奇函數(shù) 32xxeefx （四）、函數(shù)的周期性（四）、函數(shù)的周期性: : 0yfxafxfxa 設(shè)，若，使得設(shè)，若，使得 yfx. 恒成立，則稱

17、為周期函數(shù)恒成立，則稱為周期函數(shù)a滿足這個(gè)等式的最小正數(shù) ，稱為函數(shù)的周期.滿足這個(gè)等式的最小正數(shù) ，稱為函數(shù)的周期.（一）、基本初等函數(shù)（一）、基本初等函數(shù) log1,0 ,ayxaa三角函數(shù)和反三角函數(shù)三角函數(shù)和反三角函數(shù).（二）、初等函數(shù)（二）、初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次yC ，xya ，的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成，并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成，并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為的函數(shù)，稱為初等函數(shù)初等函數(shù). 五、五、初等函數(shù)初等函數(shù)yx ，復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) ,yf uuxyfx設(shè)稱是由設(shè)稱是由,.ux稱稱 為為 中中 間間

18、 變變 量量為為 自自 變變 量量sinyx 例如：例如：sin(ln )yx ,.yf uux 復(fù)合而成的函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)sin ,;yu ux是由復(fù)合而成的函數(shù)是由復(fù)合而成的函數(shù)sin ,ln;yu ux是由復(fù)合而成的函數(shù)是由復(fù)合而成的函數(shù)cot2xy ,yu cot ,uv .2xv 21sinxye ,uye 2,uv sin,vw 1.wx 復(fù)合函數(shù)的分解：復(fù)合函數(shù)的分解： 由外到內(nèi)逐層分解，力求使由外到內(nèi)逐層分解，力求使每一層為基本初等函數(shù)，至少為簡單函數(shù)。簡單每一層為基本初等函數(shù)，至少為簡單函數(shù)。簡單函數(shù)指的是由基本初等函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算后形成的函數(shù)指的是由基本初等函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算后形成的函數(shù)。函數(shù)。雙曲函數(shù)雙曲函數(shù),(,),(,).2xxffeeyshxDz 雙雙曲曲正正弦弦函函數(shù)數(shù): :,(,),1,).2xxffeeychxDz 雙雙曲曲余余弦弦函函數(shù)數(shù): :,(,),( 1,1).xxffxxeeythxDzee 雙雙曲曲正正切切函函數(shù)數(shù): :雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式();sh xyshxchy