初三+圓難題壓軸題答案解析+

1、WORD格式.圓難題壓軸題答案解析1. 解：（ 1）如圖 1，設(shè) O的半徑為 r ，當點 A 在 C 上時，點 E 和點 A 重合，過點 A 作 AH BC于 H， BH=AB?cosB=4， AH=3， CH=4， AC=5，此時 CP=r=5；（ 2）如圖 2，若 AP CE， APCE為平行四邊形， CE=CP，四邊形APCE是菱形，連接 AC、 EP，則 AC EP， AM=CM=，由（ 1）知， AB=AC，則 ACB= B， CP=CE=， EF=2=；（ 3）如圖 3：過點 C 作 CNAD于點 N， cosB= 4 ，5 B 45°， BCG 90°， BG

2、C 45°， AEG=BCGACB= B，當 AEG= B 時， A、 E、 G重合，只能 AGE= AEG， AD BC， GAE GBC，=，即=，解得： AE=3， EN=AN AE=1，CE=專業(yè)資料整理.2. 解：（ 1）若圓 P 與直線 l 和 l 2 都相切，當點 P 在第四象限時，過點 P 作 PH x 軸，垂足為 H，連接 OP，如圖 1 所示設(shè) y=x 的圖象與 x 軸的夾角為當 x=1 時， y=tan =60°由切線長定理得：POH= （ 180°60°）=60° PH=1，tan POH=OH=點 P 的坐標為（， 1

3、）同理可得：當點 P 在第二象限時，點P 的坐標為（， 1）；當點 P 在第三象限時，點P 的坐標為（， 1）；若圓 P 與直線 l 和 l 1 都相切，如圖2 所示同理可得：當點 P 在第一象限時，點P 的坐標為（， 1）；當點 P 在第二象限時，點P 的坐標為（， 1）；當點 P 在第三象限時，點P 的坐標為（， 1）；當點 P 在第四象限時，點P 的坐標為（， 1）若圓 P 與直線 l 1 和 l 2 都相切，如圖3 所示同理可得：當點 P 在 x 軸的正半軸上時，點P 的坐標為（， 0）；當點 P 在 x 軸的負半軸上時，點P 的坐標為（， 0）；當點 P 在 y 軸的正半軸上時，點

4、P 的坐標為（ 0， 2）；當點 P 在 y 軸的負半軸上時，點 P 的坐標為（ 0， 2）綜上所述：其余滿足條件的圓 P 的圓心坐標有：.（， 1）、（， 1）、（， 1）、（， 1）、（， 1）、（， 1）、（， 1）、（， 0）、（， 0）、（0， 2）、（ 0， 2）（2）用線段依次連接各圓心，所得幾何圖形，如圖4 所示由圖可知：該幾何圖形既軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，由對稱性可得：該幾何圖形的所有的邊都相等該圖形的周長=12×（） =8.3. （1）解：連接 OB， OD， DAB=120°，所對圓心角的度數(shù)為240°， BOD=120°，

5、O的半徑為3，劣弧的長為：××3=2；（2）證明：連接AC， AB=BE，點 B 為 AE的中點， F 是 EC的中點， BF 為 EAC的中位線， BF= AC， = ，+=+，=，BD=AC，. BF= BD；（ 3）解：過點 B 作 AE的垂線，與 O的交點即為所求的點 P， BF 為 EAC的中位線，BF AC， FBE=CAE， = ， CAB=DBA，由作法可知BP AE， GBP=FBP，G為 BD的中點，BG= BD， BG=BF，在 PBG和 PBF中， PBG PBF（ SAS）， PG=PF4. 解：（ 1） l 1 l 2， O與 l 1， l 2

6、都相切， OAD=45°，AB=4 cm， AD=4cm， CD=4 cm， AD=4cm，tan DAC=， DAC=60°， OAC的度數(shù)為： OAD+ DAC=105°，故答案為： 105；.（2）如圖位置二，當O1 ，A1 ， C1 恰好在同一直線上時，設(shè)O1 與 l 1 的切點為E，連接 O1E，可得 O1E=2，O1El 1 ，在 Rt A1D1C1 中， A1D1=4， C1D1=4， tan C1A1D1= ， C1A1D1 =60°，在 Rt A1O1E 中， O1A1E= C1A1D1=60°，A1E=，A1 E=AA1 O

7、O1 2=t 2，t 2=，t=+2，OO1=3t=2+6；（3）當直線 AC與 O第一次相切時，設(shè)移動時間為t 1，如圖，此時 O移動到 O2 的位置，矩形 ABCD移動到 A2B2C2D2 的位置，設(shè) O2 與直線 l 1， A2 C2 分別相切于點F，G，連接 O2F，O2G，O2A2，O2 Fl 1， O2G A2G2，由（ 2）得， C2A2 D2=60°， GA2 F=120°， O2 A2F=60°，在 Rt A2O2F 中， O2F=2， A2F=，OO2=3t ， AF=AA2+A2F=4t 1+，4t 1+ 3t 1 =2，t 1 =2，當直線

8、 AC與 O第二次相切時，設(shè)移動時間為t 2，記第一次相切時為位置一，點O1， A1， C1 共線時位置二，第二次相切時為位置三，由題意知，從位置一到位置二所用時間與位置二到位置三所用時間相等，+2（ 2） =t 2（+2），解得： t 2=2+2，.綜上所述，當d 2 時， t 的取值范圍是：2t 2+25. 解：（ 1）證明：如圖 1，CE為 O的直徑， CFE=CGE=90EG EF， FEG=90° CFE=CGE= FEG=90°四邊形EFCG是矩形（2） 存在連接 OD，如圖 2 ，四邊形ABCD是矩形， A= ADC=90°點 O是 CE的中點，OD

9、=OC點 D 在 O上 FCE=FDE， A= CFE=90°， CFE DAB =（ ）2 AD=4， AB=3，BD=5，=（） ?SDABSCFE2= × ×3×4= S 矩形 ABCD=2SCFE= 四邊形EFCG是矩形， FC EG FCE=CEG GDC=CEG， FCE= FDE， GDC=FDE FDE+CDB=90°， GDC+CDB=90° GDB=90°當點E 在點 A（E）處時，點F 在點 B（ F）處，點G在點 D（ G處，如圖2 所示此時， CF=CB=4當點F 在點 D（F）處時，直徑FG BD

10、，如圖 2 所示，.此時 O與射線 BD相切， CF=CD=3當 CF BD時， CF最小，此時點F 到達 F，如圖 2 所示S BCD=BC?CD= BD?CF4×3=5×CFCF= CF4S 矩形 ABCD=，2S2×（）×4矩形 ABCDS矩形 ABCD12矩形 EFCG的面積最大值為12，最小值為 GDC= FDE=定值，點G的起點為 D，終點為G，點 G的移動路線是線段DG GDC=FDE， DCG= A=90°， DCG DAB=DG=點 G移動路線的長為來.6. 解：（ 1）以 AB 為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC，以點 C

11、 為圓心， AC為半徑作 C，交 y 軸于點 P1、 P2在優(yōu)弧 AP1B 上任取一點P，如圖 1，則 APB= ACB= ×60°=30°使 APB=30°的點 P 有無數(shù)個故答案為：無數(shù)（ 2） 當點 P 在 y 軸的正半軸上時，過點 C 作 CG AB，垂足為 G，如圖 1點 A（ 1， 0），點 B（ 5， 0），OA=1， OB=5AB=4點 C 為圓心， CGAB，AG=BG= AB=2OG=OA+AG=3 ABC是等邊三角形，AC=BC=AB=4CG=2 點 C 的坐標為（3， 2）過點 C 作 CD y 軸，垂足為D，連接 CP2，如圖

12、1，點 C 的坐標為（3， 2），. CD=3， OD=2 P1、 P2 是 C與 y 軸的交點， AP1B= AP2B=30°CP2=CA=4， CD=3，DP2=點 C 為圓心， CDP1 P2，P1D=P2D=P2（ 0， 2）P1（ 0， 2+） 當點 P 在 y 軸的負半軸上時，同理可得： P3（ 0， 2） P4 （ 0， 2+）綜上所述：滿足條件的點P 的坐標有：（0，2）、（0，2+）、（0， 2）、（0， 2+）（3）當過點A、 B 的 E 與 y 軸相切于點P 時， APB最大 當點 P 在 y 軸的正半軸上時，連接 EA，作 EH x 軸，垂足為H，如圖 2 E

13、 與 y 軸相切于點P，PE OPEH AB，OP OH， EPO=POH= EHO=90°四邊形OPEH是矩形OP=EH， PE=OH=3 EA=3 EHA=90°， AH=2， EA=3， EH=OP=P（ 0，） 當點 P 在 y 軸的負半軸上時，同理可得： P（ 0，）理由： 若點 P 在 y 軸的正半軸上，在 y 軸的正半軸上任取一點 M（不與點 P 重合），連接 MA， MB，交 E 于點 N，連接 NA，如圖 2 所示 ANB是 AMN的外角， ANB AMB APB=ANB， APB AMB 若點 P 在 y 軸的負半軸上，同理可證得：APB AMB.綜上所

14、述：當點P 在 y 軸上移動時，APB有最大值，此時點 P 的坐標為（ 0，）和（ 0，）7解答：證明：（ 1）如圖，連接PM， PN， P與 x 軸， y 軸分別相切于點M和點 N，PM MF，PN ON且 PM=PN， PMF=PNE=90°且 NPM=90°， PE PF，NPE= MPF=90° MPE，在 PMF和 PNE中， PMF PNE（ ASA），PE=PF，（ 2）解：當 t 1 時，點 E在 y 軸的負半軸上，如圖，由（ 1）得 PMF PNE， NE=MF=t ，PM=PN=1，b=OF=OM+MF=1+t ，a=NE ON=t 1，b a

15、=1+t （ t 1） =2， b=2+a，0 t 1 時，如圖 2，點 E在 y 軸的正半軸或原點上，.同理可證 PMF PNE， b=OF=OM+MF=1+t ，a=ON NE=1 t ， b+a=1+t +1 t =2， b=2 a，（3）如圖 3，（）當1 t 2 時， F（ 1+t ，0）， F 和 F關(guān)于點 M對稱，F(xiàn)（1 t ， 0）經(jīng)過 M、E 和 F三點的拋物線的對稱軸交x 軸于點 Q， （1t， 0） =1t，QOQ由（ 1）得 PMF PNENE=MF=t ， OE=t 1當 OEQ MPF=，解得， t =，當 OEQ MFP時，=，=，解得， t =，（）如圖4，當

16、t 2 時， F（ 1+t ，0）， F 和 F關(guān)于點 M對稱，F(xiàn)（1 t ， 0）經(jīng)過 M、E 和 F三點的拋物線的對稱軸交x 軸于點 Q，Q（ 1t ， 0） OQ=t 1，由（ 1）得 PMF PNE NE=MF=t ， OE=t 1當 OEQ MPF=，無解，.當 OEQ MFP時，=，=，解得， t =2±，所以當 t =， t =， t =2±時，使得以點Q、 O、 E 為頂點的三角形與以點P、 M、F為頂點的三角形相似8. 答：（ 1） DF AB，EF AC， BDF= CEF=90° ABC為等邊三角形， B=C=60° BDF= CE

17、F， B= C， BDF CEF（ 2） BDF=90°， B=60°， sin 60°=， cos60°= BF=m， DF= m， BD= AB=4， AD=4 S ADF=AD?DF=×（ 4） ×m2=m+m同理： SAEF=AE?EF=×（ 4） ×（ 4 m）2=m+2 S=S ADF+S AEF2=m+m+22=（ m 4m8）=（ m 2）2 +3其中 0m 4. 0，024，當 m=2 時， S 取最大值，最大值為3 S與 m之間的函數(shù)關(guān)系為：S（ m 2） 2+3（其中 0 m 4）當 m=2

18、時， S 取到最大值，最大值為3（ 3）如圖 2， A、 D、F、 E 四點共圓， EDF= EAF ADF= AEF=90°， AF是此圓的直徑tan=，EDF tan EAF= =60°，C=tan 60°=設(shè) EC=x，則 EF= x， EA=2x AC=a， 2x+x=A x= EF=， AE= AEF=90°，AF=此圓直徑長為.9.解答：解：（ 1）連接 OA，過點 B作 BH AC，垂足為H，如圖 1 所示 AB與 O相切于點 A， OAAB OAB=90° OQ=QB=1， OA=1 AB= ABC是等邊三角形， AC=AB=

19、， CAB=60° sin HAB= ， HB=AB?sin HAB= ×= S ABC=AC?BH =× ×= ABC的面積為（ 2）當點A 與點 Q重合時，線段 AB與圓 O只有一個公共點，此時=0°；當線段A1B 所在的直線與圓O相切時，如圖2 所示，線段 A1B與圓 O只有一個公共點，此時 OA1 BA1，OA1=1， OB=2，. cos A1OB= A1OB=60°當線段AB 與圓 O只有一個公共點（即A 點）時，的范圍為： 0°60（ 3）連接 MQ，如圖 3 所示 PQ是 O的直徑， PMQ=90°

20、 OAPM， PDO=90° PDO= PMQ PDO PMQ = = PO=OQ=PQ PD=PM， OD=MQ同理： MQ=AO， BM=AB AO=1， MQ= OD= PDO=90°， PO=1，OD=，PD=PM=DM= ADM=90°， AD=A0 OD=， AM= ABC是等邊三角形， AC=AB=BC， CAB=60° BM=AB， AM=BM CMAB AM= ， BM=，AB=. AC= CM= CM的長度為10.解答：（ 1）證明： CD是 O的直徑， DFC=90°，四邊形ABCD是平行四邊形， A= C， ADBC，

21、ADF= DFC=90°， DE為 O的切線， DEDC， EDC=90°， ADF= EDC=90°， ADE= CDF， A= C， ADE CDE；（ 2）解： CF：FB=1： 2，設(shè) CF=x， FB=2x，則 BC=3x， AE=3EB，設(shè) EB=y，則 AE=3y， AB=4y，四邊形 ABCD是平行四邊形， AD=BC=3x， AB=DC=4y， ADE CDF， = ， = ， x、 y 均為正數(shù)， x=2y，. BC=6y， CF=2y，在 Rt DFC中， DFC=90°，由勾股定理得： DF=2 y， O的面積為 ?（ DC）2=

22、?DC2=（ 4y） 2=4y2，四邊形 ABCD的面積為 BC?DF=6y?2y=12y2， O與四邊形 ABCD的面積之比為4y2 ：12y2=： 3 11.（ 1）證明：， DPF=180° APD=180°所對的圓周角=180°所對的圓周角 =所對的圓周角 = APC在 PAC和 PDF中， PAC PDF（ 2）解：如圖1，連接 PO，則由，有 POAB，且 PAB=45°， APO、 AEF都為等腰直角三角形在 Rt ABC中， AC=2BC，2222 AB=BC+AC=5BC， AB=5， BC= ， AC=2 ， CE=AC?sin BA

23、C=AC?=2?=2，AE=AC?cos BAC=AC?=2?=4， AEF為等腰直角三角形， EF=AE=4，. FD=FC+CD=（ EF CE） +2CE=EF+CE=4+2=6 APO為等腰直角三角形， AO=?AB=， AP= PDF PAC，PD=（ 3）解：如圖 2，過點 G作 GH AB，交 AC于 H，連接 HB，以 HB為直徑作圓，連接CG并延長交 O于 Q， HCCB， GHGB， C、 G都在以 HB為直徑的圓上， HBG= ACQ， C、 D關(guān)于 AB對稱， G在 AB上， Q、 P 關(guān)于 AB對稱， PCA= ACQ， HBG= PCA PAC PDF， PCA=

24、PFD= AFD， y=tan AFD=tan PCA=tan HBG= HG=tan HAG?AG=tanBAC?AG=， y=x.12. 解答： 解：（ 1）證明：連接 OH，如圖 所示四邊形ABCD是矩形， ADC=BAD=90°， BC=AD， AB=CDHP AB， ANH+BAD=180° ANH=90° HN=PN=HP= OH=OA= ， sin HON= = HON=60°BD與 O相切于點H，OH BD HDO=30° OD=2 AD=3 BC=3 BAD=90°， BDA=30°tan BDA= AB=

25、3HP=3， AB=HP AB HP，四邊形 ABHP是平行四邊形 BAD=90°， AM是 O的直徑， BA 與 O相切于點 ABD與 O相切于點 H， BA=BH平行四邊形ABHP是菱形（ 2） EFG的直角頂點 G能落在 O上如圖 所示，點 G落到 AD上. EF BD， FEC=CDB CDB=90° 30°=60°， CEF=60°由折疊可得：GEF= CEF=60° GED=60° CE=x， GE=CE=x ED=DCCE=3 xcos GED= x=2 GE=2， ED=1 GD= OG=AD AO GD=3

26、=OG=OM點 G與點 M重合此時 EFG的直角頂點G落在 O上，對應(yīng)的x 的值為 2當 EFG的直角頂點G落在 O上時，對應(yīng)的x 的值為 2（ 3） 如圖 ，在 Rt EGF中，tan FEG= FG= x S=GE?FG=x? x= x2如圖，.ED=3 x， RE=2ED=6 2x，GR=GE ER=x（ 62x） =3x 6tan SRG=，SG=（ x 2）SSGR=SG?RG=?（ x 2）?（ 3x 6）= （ x 2）2SGEF=x2，S=S GEFSGR S= x2（ x2） 2=x2+6 x 6 綜上所述：當0x2 時， S=x2；當 2 x3 時， S=x2+6 x 6

27、當 FG與 O相切于點 T 時，延長 FG交 AD于點 Q，過點 F 作 FK AD，垂足為 K，如圖 所示四邊形ABCD是矩形，BC AD， ABC=BAD=90° AQF=CFG=60°OT=，OQ=2AQ=+2 FKA=ABC= BAD=90°，四邊形ABFK是矩形FK=AB=3， AK=BF=3xKQ=AQ AK=（+2）（ 3x） =2 2+x在 Rt FKQ中， tan FQK= FK= QK 3= （2 2 + x）解得： x=3.032，S=x2=×（ 3） 2= 6FG與 O相切時， S 的值為 613解答：（ 1）證明：連結(jié)OC、 O

28、E， OE交 AB于 H，如圖 1， E 是弧 AB的中點， OEAB， EHF=90°， HEF+ HFE=90°，而 HFE= CFD， HEF+ CFD=90°， DC=DF， CFD= DCF，而 OC=OE， OCE= OEC， OCE+ DCE= HEF+CFD=90°， OCCD，直線 DC與 O相切；（ 2）解：連結(jié) BC， E 是弧 AB的中點，弧 AE=弧 BE， ABE= BCE，而 FEB= BEC， EBF ECB， EF：BE=BE： EC， EF?EC=BE2=（r ） 2=r2 ；（ 3）解：如圖 2，連結(jié) OA，弧 AE

29、=弧 BE， AE=BE=r，設(shè) OH=x，則 HE=r x，在 Rt OAH中， AH2+OH2=OA2，即 AH2+x2=r2，在 Rt EAH中， AH2+EH2=EA2，即 AH2+（ r x） 2=（r ） 2， x2 （ r x）2=r2 （ r ） 2，即得 x=r ， HE=r r=r ，在 Rt OAH中， AH=， OEAB，. AH=BH，而 F 是 AB的四等分點， HF=AH=，在 Rt EFH中， EF=r ， EF?EC=r2，r ?EC=r2， EC=r 14. 解：（ 1）連結(jié) O1A、 O2B，如圖，設(shè) O1的半徑為 r ， O2 的半徑為 R， O1與 O

30、2外切與點 D，直線 O1O2過點 D， MO2=MD+O2D=4 +R，直線 l 與兩圓分別相切于點A、 B， O1A AB， O2B AB， tan AM01= ， AM01=30°，在 Rt MBO2中， MO2=O2B=2R， 4 +R=2R，解得 R=4 ，即 O2的半徑為4；（ 2） AM02=30°， MO2B=60°，而 O2B=O2D，. O2BD為等邊三角形， BD=O2B=4 ， DBO2=60°， ABD=30°， AM01=30°， MO1A=60°，而 O1A=O1D， O1AD= O1DA， O

31、1AD= MO1A=30°， DAB=60°， ADB=180° 30° 60°=90°，在 Rt ABD中， AD=BD=4， AB=2AD=8， ADB內(nèi)切圓的半徑 =2 2， ADB內(nèi)切圓的面積 =?（ 2 2） 2=（ 16 8） ；（ 3）存在在 Rt MBO2中， MB= O2B=×4=12，當 MO2P MDB時，=，即=，解得 O2P=8；當 MO2P MBD時，=，即=，解得 O2P=8，綜上所述，滿足條件的O2P的長為 8 或 815. 解：（ 1）連接 PA，如圖 1 所示 POAD， AO=DO AD

32、=2 ， OA= .點 P 坐標為（ 1， 0）， OP=1 PA=2 BP=CP=2 B（ 3， 0），C（ 1， 0）（ 2）連接 AP，延長 AP交 P 于點 M，連接 MB、 MC如圖 2 所示，線段 MB、 MC即為所求作四邊形 ACMB是矩形理由如下： MCB由 ABC繞點 P 旋轉(zhuǎn) 180°所得，四邊形 ACMB是平行四邊形 BC是 P 的直徑， CAB=90°平行四邊形 ACMB是矩形過點 M作 MH BC，垂足為 H，如圖 2 所示在 MHP和 AOP中， MHP= AOP， HPM= OPA， MP=AP， MHP AOP MH=OA= ，PH=PO=1

33、 OH=2點 M的坐標為（2，）（ 3）在旋轉(zhuǎn)過程中 MQG的大小不變四邊形 ACMB是矩形， BMC=90° EGBO， BGE=90° BMC= BGE=90°點 Q是 BE 的中點， QM=QE=QB=QG點 E、 M、 B、G在以點 Q為圓心， QB為半徑的圓上，如圖3 所示 MQG=2 MBG COA=90°， OC=1， OA=， tan OCA= OCA=60° MBC= BCA=60° MQG=120°在旋轉(zhuǎn)過程中MQG的大小不變，始終等于120°.16解：（ 1）如圖 1， AB是 O的直徑， A

34、EB=90° AEBC（ 2）如圖 1， BF與 O相切， ABF=90° CBF=90° ABE= BAE BAF=2 CBF BAF=2 BAE BAE= CAE CBF= CAE CGBF， AEBC，. CGB= AEC=90° CBF= CAE， CGB= AEC， BCG ACE（ 3）連接 BD，如圖 2 所示 DAE= DBE， DAE= CBF， DBE= CBF AB是 O的直徑， ADB=90° BDAF DBC= CBF， BD AF， CG BF， CD=CG F=60°， GF=1， CGF=90°

35、;， tan F=CG=tan60°= CG= ， CD= AFB=60°， ABF=90°， BAF=30° ADB=90°， BAF=30°， AB=2BD BAE= CAE， AEB= AEC， ABE= ACE AB=AC設(shè) O的半徑為r ，則 AC=AB=2r，BD=r ADB=90°， AD=r DC=AC AD=2rr= （ 2） r= r=2+3 O的半徑長為2+3.17解答：解：（ 1）當 k=1 時，拋物線解析式為y=x2 1，直線解析式為y=x+1聯(lián)立兩個解析式，得：x2 1=x+1，解得： x=1 或

36、 x=2，當 x= 1 時， y=x+1=0；當 x=2 時， y=x+1=3，A（ 1，0）， B（ 2， 3）（2）設(shè) P（ x， x2 1）如答圖 2 所示，過點P 作 PFy 軸，交直線AB于點 F，則 F（ x， x+1）22PF=yF yP=（ x+1）（ x 1） = x +x+2S=S+S=PF（ xFxA） +PF（ xB xF） =PF（ xBxA） =PF ABPPFA PFB22S ABP=（ x +x+2） =（ x） +當 x=時， yP=x2 1= ABP面積最大值為，此時點P 坐標為（，） （3）設(shè)直線AB： y=kx+1 與 x 軸、 y 軸分別交于點E、 F，則 E（， 0）， F（ 0， 1）， OE=， OF=1在 Rt EOF中，由勾股定理得：EF=令 y=x2+（ k 1） x k=0，即（ x+k）（ x 1）=0，解得： x= k 或 x=1C（ k，0