信號與系統(tǒng)第4章,甘俊英

1、4.1 引言引言第第4章章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析 連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的時域分析，以沖激函數為基本信號，連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的任意輸入表示成延時沖激函數的加權積分，從而導出了系統(tǒng)零狀態(tài)響應為輸入信號與系統(tǒng)沖激響應之卷積的結論，得到了用卷積積分求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應的方法。 本章以正弦函數(正余弦函數統(tǒng)稱為正弦函數)或復指數函數作為基本信號，以系統(tǒng)對正弦函數或復指數函數的信號響應(稱為系統(tǒng)的頻率響應)為基本響應，系統(tǒng)零狀態(tài)響應可表示為一組不同頻率的正弦函數或復指數函數信號響應的加權和或積分。 4.1 引言引言第第4章章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析連續(xù)時間信號與

2、系統(tǒng)的傅里葉分析 把信號表示為不同頻率正弦分量或復指數分量的加權和稱為信號的頻譜分析，簡稱信號的譜分析。用頻譜分析的觀點來分析系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的頻域分析，或傅里葉分析。 系統(tǒng)的時域分析方法將連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的輸入信號表示成沖激函數積分和的形式，這章介紹方法把輸入信號分解為復指數信號集合，根據線性系統(tǒng)的疊加性求得LTI系統(tǒng)對這些復指數信號零狀態(tài)響應的線性組合。這就是頻域分析法，又稱傅里葉變換分析法。傅里葉分析法將信號等效于一個頻譜函數，系統(tǒng)等效于一個頻率響應，系統(tǒng)對信號起頻譜變換作用。 第第4章章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的傅里葉分析4.1 引言引言 (1) 頻域分析法易

3、推廣到復頻域分析法，同時可以將兩者統(tǒng)一起來；(2) 利用信號頻譜的概念便于說明和分析信號失真、濾波、調制等許多實際問題，并可獲得清晰的物理概念；(3) 連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析為離散時間系統(tǒng)的頻域分析奠定了堅實的基礎。 頻域分析法在系統(tǒng)分析中極其重要，并不僅僅是它簡化了求解微分方程的過程，主要是因為：4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開)()(nTtftf對于任意周期信號，有 4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號有如下特點：（1）它是一個無窮無盡

4、變化的信號，從理論上也是無始無終的，時間范圍為 。（2）當在一個周期內的信號確定后，若將其移動T的整數倍，則信號的波形保持不變。周期信號可以看成是將一個在周期內所定義的信號作周期性延拓而形成，一個周期內的信號可以看成在任意周期截取得到。如果將周期信號第一個周期內的函數寫成 ，則周期信號 可以寫成 （3）周期信號在任意一個周期內的積分保持不變，即有, tf0 tf nnTtftf0 TTbbTaattfttfttf0ddd4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開三角形式傅里葉級數三角形式傅里葉級數 式中各正、余弦函數的系數 稱為

5、傅立葉系數。nnba ,4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開三角形式傅里葉級數三角形式傅里葉級數 根據正交函數展開理論，容易得到傅立葉系數公式如下式中積分可以取任意一個周期，一般情況下，取( ,)0 T(,)TT22 或TttttfTa00d)(10TttnttntfTa00d)cos()(20TttnttntfTb00d)sin()(204.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開三角形式傅里葉級數三角形式傅里葉級數 )cos()sin()cos(000nn

6、nntnAtnbtna100)cos()(nnntnAAtf兩種形式之間系數有如下關系或AaAabnbannnnn00221 2 arctgn, aAaAnbAnnn001 2 cos,sinnnn 轉換成另一種形式為：4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開三角形式傅里葉級數三角形式傅里葉級數 根據上面的傅立葉級數展開，有如下概念：100cos)(nnntnAAtf直流分量：指 中的0A tf基波：指 中的 tf101costA二次諧波：指 中的 tf2022costA依次類推，還有三次諧波、四次諧波、高次諧波等概念。周期信

7、號的傅立葉級數展開說明周期信號可以分解為直流分量、基本分量以及各次諧波分量之和。4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開三角形式傅里葉級數三角形式傅里葉級數 例例4-2-1： 將周期方波信號 展開成三角形式的傅里葉級數。 )(tf0d)(100TttfTaan 0 5 3 1= 4 6 42= 0 )cos1 (2 cos12)cos(12 dsin) 1(2dsin) 1 (2 dsin)(220020002020000，nnnnntnnTtnnTttnTttnTttntfTbTTTTTTTnsin15sin513sin31

8、sin4)(0000tnnttttf 5 3 1，n4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開三角形式傅里葉級數三角形式傅里葉級數 4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開三角形式傅里葉級數三角形式傅里葉級數 周期信號用傅里葉級數表示時，理論上需要無限多項才能逼近原波形。如果用有限項來逼近，則稱為部分和。如果截取 NN 項，此時函數 用 表示 。ftN( )(tf 從圖中可以看出，在不連續(xù)點附近，部分和有起伏，其峰值幾乎與N無關。隨著N的增加，部分和的起伏就向不

9、連續(xù)點壓縮，但是對有限的N值，起伏的峰值大小保持不變而趨于一個常數，它大約等于總跳變值的9，并從不連續(xù)點開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。這種現象叫吉伯斯(J. Gibbs)現象。為了消除Gibbs現象，在取有限項傅里葉級數的時候可加平滑譜窗進行處理。4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開復指數形式傅里葉級數復指數形式傅里葉級數周期信號周期信號 ，周期為，周期為 ，角頻率，角頻率f t ( )T0022fT式中式中 稱為傅立葉系數，是復數。稱為傅立葉系數，是復數。nF該信號可以展開為下式復指數形式的傅立葉級數。該信號可以展開

10、為下式復指數形式的傅立葉級數。f tFnntn( ) ej0 1 0= de )(122j0， nttfTFTTtnn4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開復指數形式傅里葉級數復指數形式傅里葉級數結合三角函數傅里葉級數展開形式，可以得到1jj01jj0)ee( )e2je2j()(0000ntnntnnntnnntnnnFFFbabaatf4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開復指數形式傅里葉級數復指數形式傅里葉級數nnnnnnnnnnFbaFFbaFaF

11、jj00e)j(21e)j(21可以得到傅里葉級數系數與三角函數傅里葉級數系數的關系4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開復指數形式傅里葉級數復指數形式傅里葉級數 復指數形式傅里葉級數中出現的負頻率分量只是一種數學表達形式，沒有確切的物理含義。實際上，復指數形式傅里葉級數的正、負頻率分量總是共軛成對地出現，一對共軛的正、負頻率分量之和才能構成一個物理上的諧波分量，即)cos(2eeeeee0jjjjjj0000nntnntnntnntnntnFFFFFnn 三角形式傅里葉級數和復指數形式傅里葉級數實質上是同一級數的兩種不同表

12、現形式。三角形式傅里葉級數物理含義比較明確，復指數形式傅里葉級數表示式比三角形式傅里葉級數表示式緊湊，便于運算。今后將經常用到復指數形式傅里葉級數。 4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.1 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開復指數形式傅里葉級數復指數形式傅里葉級數例例4-2-2：圖示周期矩形脈沖信號展成復指數形式傅里葉級數000jj022022sin()112( )eded=Sa()22TntntTnnnAAFf ttAtnTTTT 00jj0=-( )eSa()e 2ntntnnnnAf tFT 4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.2 周

13、期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號的頻譜周期信號的頻譜復指數形式的傅立葉級數中，分量的形式是Antnncos()0tnjntnneeFFn00jje在傅立葉分析中，把各個分量的幅度 或 隨頻率或角頻率 的變化稱為信號的幅度譜。FnAn0n而把各個分量的相位 或 隨頻率或角頻率 的變化稱為信號的相位譜。0nnn 傅里葉級數展開，說明周期信號是一系列相互正交的正弦信號或復指數信號分量的加權和。三角形式的傅立葉級數中，分量的形式是：4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.2 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號的頻譜周期信號的頻譜 三角形式的傅

14、立葉級數頻率為非負的，對應的頻譜一般稱為單邊譜，而指數形式的傅立葉級數頻率為整個實軸，所以稱為雙邊譜。 幅度譜和相位譜通稱為信號的頻譜。由此可見，周期信號的頻譜實際上就是它的直流、基波、以及各個諧波分量的幅度和相位隨頻率的分布情況，或者說是它的各種頻率分量的分布情況。知道了信號的頻譜，也就知道了原來的信號本身，信號的頻譜是信號的另一種表示，信號的頻譜提供了從另一個角度來觀察和分析信號的途徑。為了把周期信號具有的分量以及各分量的特征形象地表示出來，可以采用圖示的辦法，相應的也稱為幅度譜和相位譜頻譜圖。4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.2 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅

15、里葉級數展開周期信號的頻譜周期信號的頻譜00000101202-jj-j2j201122( )cos()cos(2) =eeeettttf tAAtAtFFFFF00AF FA1121ejFA1121e-jFA2222ej2j -22e2AF4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.2 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號的頻譜周期信號的頻譜 信號的頻譜是一個非常重要的概念，對系統(tǒng)而言還引申出了頻率響應的概念，并由此發(fā)展了信號與系統(tǒng)分析的另一種非常重要的方法，即頻域分析方法，這些概念和方法的掌握對后續(xù)課程的學習，比如自動控制原理、數字信號處理、通信原理等課程的

16、學習都是至關重要的。 一般來說，一個周期信號的傅里葉系數，或者說它的頻譜跟信號的波形有如下關系：(1)傅里葉級數所取項數愈多，相加后波形愈逼近原信號；(2)當信號是脈沖信號時，其高頻分量主要影響脈沖的跳變沿，而低頻分量主要影響脈沖的頂部，波形變化愈劇烈，包含的高頻分量愈豐富；變化愈緩慢，包含的低頻分量愈豐富；(3)當信號中任一頻譜分量的幅度或相位發(fā)生相對變化時，輸出波形一般要發(fā)生失真。4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.2 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號的頻譜周期信號的頻譜FATnn Sa()02周期矩形脈沖信號的傅立葉系數為 它的頻譜圖如右圖所示

17、若把相位為零的分量的幅度看作正值，而把相位為 的分量的幅度看作負值，那么左圖即可合二為一，如下圖所示4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.2 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號的頻譜周期信號的頻譜一般來說，周期信號頻譜有如下三個顯著的特點。(1) 離散性譜線是離散的而不是連續(xù)的；因此稱為離散頻譜。單邊譜中一條譜線代表了一個諧波分量，而雙邊譜中左右對稱的兩條譜線代表了一個諧波分量。離散頻譜中每個頻率分量在頻譜圖中都是用一根線來表示，所以有時又稱為線譜。(2) 諧波性譜線所在頻率軸上的位置是基本頻率的整數倍，其實諧波性已經說明了離散性。(3) 收斂性譜線幅度

18、隨 而衰減到零n4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.2 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號的頻譜周期信號的頻譜在右圖中，連接各譜線頂點的曲線稱為譜線包絡線，它反映了各分量的幅度變化情況 。如果把按抽樣函數規(guī)律變化的頻譜包絡線看成一個個起伏的山峰和山谷，其中最高峰稱為主峰。通常把包含信號主要頻譜分量的 這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號的有效頻帶寬度或帶寬，即矩形脈沖的頻帶寬度為202B或1fBFAT02上圖的主峰高度 ，包絡主峰兩側第一個零點為4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.2 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號

19、的頻譜周期信號的頻譜4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.2 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號的頻譜周期信號的頻譜4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.2 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號的頻譜周期信號的頻譜4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.2 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號的頻譜周期信號的頻譜4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數4.2.2 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號的頻譜周期信號的頻譜4.2 周期信號的傅里葉級數周期信號

20、的傅里葉級數4.2.2 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號的頻譜周期信號的頻譜周期信號的平均功率為根據傅立葉級數展開有即該式稱為周期信號的帕什瓦爾(Parseval)定理。該式表明周期信號的平均功率等于各個復指數信號分量的平均功率之和，即總平均功率是各個分量平均功率之和。222d)(1TTttfTpnTTtnnTTntnnTTttfTFtFtfTttfTpde )(1de)(1d)(122j22j22200 de )(122j0ttfTFTTtnn de )(122j0ttfTFTTtnnnnnnnTTFFFttfTp2222d )(14.2 周期信號的傅里葉級數周期信號

21、的傅里葉級數4.2.2 周期信號的傅里葉級數展開周期信號的傅里葉級數展開周期信號的頻譜周期信號的頻譜上述帕什瓦爾公式還可以寫成上式右邊兩項分別是周期信號的直流分量、基波和各次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率，因此，它表明了周期信號在時域中的平均功率等于頻域中的直流分量和各次諧波分量的平均功率之和。各平均功率分量 與頻率的關系，稱為周期信號的功率頻譜，簡稱功率譜。顯然，周期信號的功率譜也是離散譜。從周期信號的功率譜中可以看出各平均功率分量隨頻率的分布情況，另外還可以確定在周期信號的有效頻帶寬度內諧波分量所具有的平均功率占整個周期信號的平均功率之比。Fn212201220212nnnnnnnAAF

22、FFFp4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.1 傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義非周期信號的傅里葉變換的導出非周期信號的傅里葉變換的導出 前面我們已經討論了周期信號的傅里葉級數，并得到了它的離散頻譜?，F在我們將由周期信號的傅里葉級數導出非周期信號的傅里葉變換，并從一系列典型信號的傅里葉變換中解釋信號頻譜的概念。 對周期信號 ，如果令 T 趨于無窮大，則周期信號將經過無窮大的間隔才重復出現，周期信號因此變?yōu)榉侵芷谛盘?，即?時，有ftT( )T limTTftf t( )( )4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.1 傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義非周期信號的傅里葉變換的導出非周期信號的傅里葉變

23、換的導出4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.1 傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義非周期信號的傅里葉變換的導出非周期信號的傅里葉變換的導出4.3 傅里葉變換傅里葉變換為了表述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度函數的概念，即22j00de )(20TTtnnnnttffFFFT其中， 或 表示單位頻帶上的頻譜值，即頻譜密度。對上式取極限 ，各變量將相應改為0nF0fFnT TTnn 002d此時，雖然 ，但 趨于一有限函數，記作 ，即 Fn 0TFn)(FttfttfFFTFtTTtnTnTnTde )(de )(lim2limlim)(j22j004.3.1 傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義非周

24、期信號的傅里葉變換的導出非周期信號的傅里葉變換的導出4.3 傅里葉變換傅里葉變換ttfttfFFTFtTTtnTnTnTde )(de )(lim2limlim)(j22j00fFFTFFnfnnT00lim2limlim)(從上式可以看出， 實際上表示了頻率為 分量的復振幅 Fn 與頻率增量 f 的比值，因此可以理解為是一種密度頻譜。即 表達了信號在處的頻譜密度分布情況，這就是信號的傅里葉變換的物理含義。對信號進行傅里葉變換和對信號進行頻譜分析具有同樣含義，所謂求信號的頻譜和求信號的傅里葉變換是一回事。F( )n0F( )4.3.1 傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義非周期信號的傅里葉變換的導

25、出非周期信號的傅里葉變換的導出4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.1 傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義非周期信號的傅里葉變換的導出非周期信號的傅里葉變換的導出tnnntnnntnnnTFFFtf000j00j00je221e22e)(de )(21 e221lim e221lim)(lim)(jj0j000tntnntnnnTTTFFFtftf4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.1 傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義非周期信號的傅里葉變換的導出非周期信號的傅里葉變換的導出4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.1 傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義非周期信號的傅里葉變換的導出非周期信號的傅里葉變換的導

26、出 一般為復函數，可以寫為 F( )FF( )( )() ej)(F)(曲線稱為非周期信號的幅度頻譜曲線稱為非周期信號的相位頻譜幅度譜和相位譜都是頻率 的連續(xù)函數，在形狀上與相應的周期信號頻譜包絡線相同。 非周期信號的頻譜有兩個特點：密度譜、連續(xù)譜 。 4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.1 傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義非周期信號的傅里葉變換的導出非周期信號的傅里葉變換的導出 與周期信號一樣，非周期信號的傅里葉變換，仍應滿足類似于傅里葉級數的狄里赫利條件。不同之處僅僅在于時間范圍從一個周期擴展為無限區(qū)間。傅里葉變換存在的充分條件是在無限區(qū)間內滿足絕對可積條件，即ttfd)( 常用能量信號滿

27、足絕對可積條件，均存在傅里葉變換。而很多功率信號，如周期信號、階躍信號、符號函數等，雖然不滿足絕對可積條件，但引入廣義函數 概念后，仍可以求出傅里葉變換。這樣，我們就可以將傅里葉級數和傅里葉變換結合在一起，使周期信號與非周期信號的分析統(tǒng)一起來。( ) t4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.1 傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義傅里葉級數與傅里葉變換的關系傅里葉級數與傅里葉變換的關系 0000)(1de )(1de )(1de )(1j22j22jntnTTtnTTtnTnFTttfTttfTttfTF4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換1. 單邊指數信

28、號單邊指數信號 0)(e)(，tuAtfatj)j(edeed)e(ede )()(0)j(a0jjjaAaAtAttuAttfFttattatt幅度譜相位譜221)(aF ( ) arctg(a4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換1. 單邊指數信號單邊指數信號 單邊指數信號波形和頻譜如圖所以。一般認為幅度譜下降到倍最大值時的寬度為信號的有效帶寬，所以單邊指數信號的有效帶寬是 ，即單邊指數信號的有效帶寬是同樣地，信號的脈沖寬度和有效帶寬也是成反比的。aB104.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換2. 雙邊指數

29、信號雙邊指數信號 0,e)(atfta220)j(0)j(0j0jjj2= j1j1 dede deedeedeede )()(aaaatttttttfFtatatattatttat幅度譜相位譜222)(aaF ( ) 04.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換2. 雙邊指數信號雙邊指數信號 沿用單邊指數信號頻譜帶寬的定義，即幅度譜下降到 0.1 倍最大值時的寬度為信號的有效帶寬，則雙邊指數信號的有效帶寬是同樣地，信號的脈沖寬度和有效帶寬也是成反比的。aB34.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換3. 符號函數符號

30、函數 符號函數不滿足絕對可積條件，但它卻存在傅里葉變換。我們可以借助于符號函數與雙邊指數函數相乘所得函數的傅立葉變換，然后取極限，從而得出符號函數的頻譜，即f tttt( ) = Sgn ( ) 1010ftta t1( )( )eSgn220j0jj11j2=deed)ee(de )()(attttfFtattatt因為 所以)(lim)(Sgn=)(10tfttfaj2j2lim)(lim)(22010aFFaa4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換3. 符號函數符號函數 符號函數很類似于直流信號，但符號函數的平均值為零，所以符號函數不含直流成分。

31、另外，符號函數只是在原點處有跳變，所以可以理解符號函數含有各種頻率分量，且大部分頻譜集中在低頻附近。還有一點，符號函數不是能量函數，這也解釋了為什么在 附近，符號函數的頻譜幅度趨于無窮大。04.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換4. 矩形脈沖矩形脈沖 2( )( )()()220 2Atf tAG tA u tu ttj2jj222jj22e( )( )ededjsin()2 (ee) Sa()j22tttAFf ttAtAAAFAA( )sin()222Sa()幅度譜相位譜 ( )02020 Sa( Sa(AA4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2

32、常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換4. 矩形脈沖矩形脈沖 矩形脈沖信號波形和頻譜如圖所以。由此可見，矩形脈沖的頻譜是抽樣函數，其大部分能量集中在低頻段。一般認為抽樣脈沖形狀的頻譜的有效帶寬是原點到第一個零點的寬度，即矩形脈沖信號的有效帶寬是即矩形脈沖的脈寬和有效帶寬是成反比的，這是一個很重要的結論12fBB或4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換4. 矩形脈沖矩形脈沖 矩形脈沖信號波形和頻譜如圖所以。由此可見，矩形脈沖的頻譜是抽樣函數，其大部分能量集中在低頻段。一般認為抽樣脈沖形狀的頻譜的有效帶寬是原點到第一個零點的寬度，即矩形脈沖信號的有效帶寬

33、是即矩形脈沖的脈寬和有效帶寬是成反比的，這是一個很重要的結論12fBB或4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換5. 三角形脈沖三角形脈沖 f tAttt( )()10 0j0j0j0jjjd)e1 (d)e1 ( d)e1 (d)e1 (d)e1 (de )()(ttAttAttAttAttAttfFtttttt對上式第一項作一變量替換，令 ，得 tx 0j0j0j0jd)e1 (d)e1 (d)e1 (d)e1 (ttAxxAxxAttAtxxt4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換5. 三角形脈沖三角形脈沖

34、 所以有 )2(Sa)2(sin4A)cos1 (2A= )sin1cos1(1sin12d)cos1 (2 )de)(e1 (d)e1 (d)e1 ()(22220200jj0j0jAttttAtttAttAttAttAFtttt4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換5. 三角形脈沖三角形脈沖 因為三角形脈沖是實偶函數，所以它的頻譜也是實偶函數。跟矩形脈沖信號相比較，同樣時寬的三角形脈沖包含的頻譜分量不如矩形脈沖包含的頻譜分量豐富，這是因為矩形脈沖是突然變化的，包含更多的頻譜分量，而三角形脈沖是線性慢慢衰減到零的。這樣從時域和頻域理解矩形脈沖與三角形

35、脈沖的頻譜關系是一致的。4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換6. 高斯脈沖高斯脈沖 )(e)(2)(tAtft2222)2(0)()(j)(jedcose2= d)sinj(cosedeede )()(AttAtttAtAttfFttttt可見，高斯脈沖的波形及其頻譜具有相同的形狀，均為鐘形。4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換7. 單位沖激信號單位沖激信號 根據狄拉克函數 的定義，可得單位沖激信號的傅里葉變換為 ( ) t1de )()(jttFt如果應用廣義極限的概念以及矩形脈沖信號及其頻譜可以得到相同

36、結果。 4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換7. 單位沖激信號單位沖激信號 單位沖激函數的頻譜在整個頻率范圍內均為1，也就是說，在時域中變化異常劇烈的沖激函數包含幅度相等的所有頻率分量。這種頻譜常常被稱為均勻譜或白色譜，如下圖所示。單位沖激信號的頻譜結構也說明了信號的脈寬和頻帶寬度的關系，時間寬度小到無窮小時，頻帶寬度趨于無窮大，是前面幾種信號的一種極限情況4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換8. 直流信號直流信號 根據極限關系 所以有 即 ( )sinlim kk )(2)2sin(lim22)2sin(

37、lim)(lim2AAAF直流信號不滿足絕對可積條件，可采用取極限的方法導出其傅里葉變換。前面已經求得矩形脈沖的傅里葉變換，當脈沖寬度 時，矩形脈沖便趨于直流信號，因此直流信號的傅里葉變換為矩形脈沖信號在 時的傅里葉變換。根據前面的討論，矩形脈沖的傅里葉變換為FA( )sin()22 Atf=)(4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換8. 直流信號直流信號 可見，直流信號在時域中為恒定值，在頻域中只包含 的頻率分量；同時，由于傅里葉變換是頻譜密度函數，因此，直流信號在 處頻譜密度為無窮大。 004.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變

38、換常用信號的傅里葉變換9. 單位階躍信號單位階躍信號 u t ( )因為所以容易求得單位階躍信號的傅立葉變換為u tt( )( )1212Sgn4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換9. 單位階躍信號單位階躍信號 u t ( )4.3 傅里葉變換傅里葉變換4.3.2 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換 這小節(jié)舉了不少例子說明信號的頻譜分析過程以及信號波形與頻譜的關系，后面還會陸續(xù)介紹一些其他信號的傅里葉變換，這些例子都告訴我們怎么從信號頻譜的角度去理解和分析信號的特點，怎么將從時域和頻譜角度觀測到的現象聯(lián)系并統(tǒng)一起來?？傮w來說，有這樣的規(guī)律，即信

39、號時域寬度寬，頻譜寬度就窄，時域寬度窄，頻譜寬度就寬，時域變化突然，包含的頻譜成分就多，帶寬就寬。兩種極限情況，時域無限窄的沖激脈沖，頻帶無限寬，而時域無限寬的直流信號或其他任何單一頻率的正弦波，頻帶就窄到一個頻率點上。這些結論是根據上面一些簡單具體的例子推導出來的，但對一般信號而言這樣的變化關系也是成立的，只不過一般信號的時域與頻域的數學表達式沒有這些例子這么簡單，而是要復雜許多而已。4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質 傅里葉變換揭示了信號時域特性和頻域特性之間的內在聯(lián)系，傅里葉變換是一種極其重要的信號分析方法，可以說，現代信號處理發(fā)展了各種各樣的其他信號分析方法，但還沒有一種

40、方法能夠取代傅里葉變換方法的地位。 這小節(jié)將介紹傅里葉變換的各種性質。利用傅里葉變換的性質求傅里葉正、反變換可以得到簡捷的方法，從而使運算過程簡化。傅里葉變換的性質有兩重重要含義，一個是這些性質大都包含有豐富的物理含義，另一方面是這些性質揭示了信號時域與頻域的一種關系與變化規(guī)律，所以學習和理解傅里葉變換性質也要從兩個角度進行，一個是數學上的運算關系，還有一個是這些性質的物理意義。只有這兩方面都掌握了，才能算是對傅里葉變換的性質掌握理解了4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.1 線性性質線性性質 由傅里葉變換定義很容易證明上述結論，并且還可以推廣到任意多個信號的線性組合。顯然，

41、傅里葉變換是一種線性運算，滿足齊次性和疊加性。在求單位階躍信號的傅里葉變換時，其實已經用到了線性性質。4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.2 共軛對稱性共軛對稱性該性質說明，對實時間信號，信號的幅頻為偶對稱，相頻為奇對稱，傅里葉變換的實部為偶對稱，虛部為奇對稱。這一特性在信號分析中有廣泛的應用。根據傅里葉變換的定義 XRtttftttfdttfFtjdsin)(jdcos)(e )()(jtttfRdcos)()(tttfXdsin)()(其中)()( RR)()(XX)()(FF所以4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.3 對稱性質對稱性質4.4 傅里葉

42、變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.3 對稱性質對稱性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.3 對稱性質對稱性質例例4-4-1：4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.3 對稱性質對稱性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.4 尺度變換性質尺度變換性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.4 尺度變換性質尺度變換性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.4 尺度變換性質尺度變換性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.4 尺度變換性質尺度變換性質尺度變換性質揭示了時域與頻域之間的

43、重要物理關系，從理論上論證了信號持續(xù)時間與頻帶寬度的反比關系，信號在時域中的擴展等效于在頻域中的壓縮。這意味著，一個窄脈沖占有的等效帶寬比一個寬脈沖占有的等效帶寬要寬得多。為了提高通信速度，縮短通信時間，就得壓縮信號的持續(xù)時間，為此在頻域內就必須展寬頻帶，對通信系統(tǒng)的要求也隨之提高，在通信系統(tǒng)中，時域波形與其頻譜這種矛盾關系是一個重要考慮因素。因此，如何恰當地選擇信號持續(xù)時間和頻帶寬度也是無線電技術中的一個重要問題。4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.5 時移性質時移性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.5 時移性質時移性質4.4 傅里葉變換的基本性質

44、傅里葉變換的基本性質4.4.5 時移性質時移性質的線性函數，意味著較高的頻率分量必須按比例產生較大的相移以實現所有分量在時間上都有相同的延時。 4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.5 時移性質時移性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.5 時移性質時移性質例例4-4-2： 求圖示三個矩形求圖示三個矩形脈沖信號脈沖信號 f (t) 的的頻譜頻譜 F() 令 表示單矩形脈沖信號，則 ft0( )f tftTftftT( )()( )()000根據線性性及時移性，得jjjj0000( )( )e( )( )e( )e1e Sa()(12cos)2TTTTFFF

45、FFT 因為ft0( )的頻譜0( )F為0( )Sa()2F4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.5 時移性質時移性質頻譜如圖所示，其中虛線為單個矩形脈沖信號的頻譜。當脈沖的數目增加時，信號的能量將向=2m/T 處集中，在這些頻率處頻譜幅度增大，而在其他頻率處幅度減小。當脈沖個數無限增多時，這時就成為周期信號，除=2m/T 的各沖激譜線外，其余頻率分量均等于零，從而變成離散譜，這是從非周期信號變成周期信號時頻譜變化的例子。 4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.6 頻移性質頻移性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.6 頻移性質頻移性質

46、4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.6 頻移性質頻移性質例例4-4-3：4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.6 頻移性質頻移性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.7 時域卷積定理時域卷積定理證明：證明：所以4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.7 時域卷積定理時域卷積定理4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.8 頻域卷積定理頻域卷積定理4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.8 頻域卷積定理頻域卷積定理頻域卷積定理說明，兩個時間函數在時域上相乘，其頻譜為它們各自頻譜的卷積，并乘以

47、。顯然，時域卷積與頻域卷積定理是對稱的，這是由傅里葉變換的對稱性所決定的。另外，頻域卷積定理可以理解為用一個信號去調制另一信號的振幅，因此，也稱為調制定理。該定理在頻域分析法中用途廣泛，是研究調制、解調和抽樣系統(tǒng)的基礎。 214.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.9 時域微分性質時域微分性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.9 時域微分性質時域微分性質時域微分性質將時域中的微分運算轉化為頻域中的乘積運算，在頻域分析法中常利用這一性質來分析微分方程描述的LTI系統(tǒng)。 例例4-4-4： 利用時域微分性質求右圖所示信號的傅里葉變換。 )(tf將 連續(xù)微分兩次，

48、分別如圖（b）、（c）所示?？傻?)2() 1(2 ) 1(2)2(d)(d22ttttttf4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.9 時域微分性質時域微分性質)2() 1(2) 1(2)2(d)(d22ttttttf可得由時域微分性質，有則)sin22(sinj2)(2F所以)2sinsin2( j21)(2F4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.9 時域微分性質時域微分性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.9 時域積分性質時域積分性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.9 時域積分性質時域積分性質求右圖信號頻譜例

49、例4-4-5：f t ( ) 可表示為 tutututtf)(對 取一階導數，得 f t ( ) tututtf1d)(d其波形如下圖所示。 ttftfd)(d)(12j1e)2(Sa)(F 0101F根據時域積分性質式 2j11e )2(Saj1)(j)(0)(FFF4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.11 頻域微分性質頻域微分性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.11 頻域微分性質頻域微分性質利用頻域微分性質可以求得一些在通常意義下不易求得的變換關系。例如4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.12 頻域積分性質頻域積分性質4.4

50、傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.12 頻域積分性質頻域積分性質4.4 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質4.4.13 非周期信號的能量譜非周期信號的能量譜 非周期信號的能量是有限的，而平均功率等于零。所以，非周期信號是能量信號，它只有能量頻譜而無功率頻譜。f t ( )對于非周期信號 ， 有 de )(21)(j tFtf022jj2d)(1d)(21d)()(21 dde )()(21dde )(21)(d)(FFFFttfFtFtfttftt上式稱為非周期信號的能量公式或帕什瓦爾(Parseval)公式，說明在時域中求得的信號能量和在頻域中求得的信號能量相等。 4.5

51、 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換 周期信號不滿足絕對可積條件，按理不存在傅里葉變換，但若允許沖激信號的存在，則在某種意義下周期信號也存在傅里葉變換。通過分析，我們將看到周期信號的傅里葉變換是由一串頻域上的沖激信號組成，這些沖激信號的強度正比于傅里葉級數的系數。 前面的討論中，通過把非周期信號看成是周期信號取周期 的極限，從而導出了頻譜密度函數的概念，將傅里葉級數演變?yōu)楦道锶~變換，由周期信號的離散譜過渡到非周期信號的連續(xù)譜。本節(jié)將周期信號與非周期信號的分析方法統(tǒng)一到傅里葉變換上來，研究周期信號傅里葉變換的特點以及它與傅里葉級數之間的聯(lián)系。 T4.5 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉

52、變換4.5.1 復指數信號和正余弦信號的傅里葉變換復指數信號和正余弦信號的傅里葉變換 根據直流信號的傅里葉變換和傅里葉變換的頻移性質，可以容易得到虛指數信號和正余弦信號的傅里葉變換4.5 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.5.1 復指數信號和正余弦信號的傅里葉變換復指數信號和正余弦信號的傅里葉變換 這幾個信號的頻譜如下圖所示te0jt0cost0sin4.5 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.5.1 復指數信號和正余弦信號的傅里葉變換復指數信號和正余弦信號的傅里葉變換 這三個信號的傅里葉變換結果的物理含義是很直觀的。類似于直流信號，首先它們都是只含某一個頻率的頻率分量，所以

53、它們的密度頻譜都是沖激函數。 的頻率為 ，所以的頻譜是 處的沖激，而對信號 或 ，從數學上來說，它們只包含了頻率 ，所以它們的頻譜是 處的沖激。注意傅里葉變換得到的是雙邊密度譜，必須是在頻率軸上對稱的兩個頻率才能合成一個物理上的頻率分量。te0jt0cost0sin00004.5 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.5.2 一般周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換 一般周期信號可以展開成復指數形式的傅里葉級數，而復指數信號存在傅里葉變換，所以，一般周期信號也存在傅里葉變換。設 是以為 周期的周期信號，則其傅里葉級數展開為 )(tfTntnnFtf0je)(其中， 02T22j0

54、e )(1TTtnndttfTF則有上式表明，周期信號的傅里葉變換由無窮多個沖激信號組成，這些沖激信號位于信號的各諧波角頻率 處，其強度為傅里葉系數乘以 。n0Fn24.5 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.5.2 一般周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換 例例4-5-1：已知單位沖激序列函數可表示為T 為周期，且 ，試求其傅立葉變換。TnttnT( )()T 20 單位沖激序列函數可以展開成傅立葉級數ntnnTeFt0j)(其中TttTttTFTTtnTTtnTn1de )(1de )(122j22j00因此，有 ntnTTt0je1)(其傅里葉變換為 4.5 周期信號的傅

55、里葉變換周期信號的傅里葉變換4.5.2 一般周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換 波形和頻譜如下圖所示4.5 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.5.3 傅里葉級數與傅里葉變換的關系傅里葉級數與傅里葉變換的關系 由上式可以看出，周期信號傅里葉變換的頻譜是離散的沖激譜。而在4.2.2節(jié)中周期信號采用傅里葉級數頻譜來表示時，其頻譜也是離散譜，但是幅度有限。由于傅里葉變換反映的是頻譜密度的概念，周期信號在其各諧波頻率點上，具有有限幅度，因而其頻譜密度趨于無窮大，從而變成沖激信號。這也說明了傅里葉級數是傅里葉變換的一種特例。4.5 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.5.3 傅

56、里葉級數與傅里葉變換的關系傅里葉級數與傅里葉變換的關系設周期信號 ，截取其中一個周期得到單周期信號 。)(tf)(0tf這里建立 的傅立葉系數 和 的傅立葉變換直接的關系。)(tfnF)(0tf22j0e )(1TTtnndttfTF其它 , 022),()(0TtTtftf22jj00e )(de )()(TTttdttfttfFTnFTFFnn)()(00004.5 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.5.3 傅里葉級數與傅里葉變換的關系傅里葉級數與傅里葉變換的關系TnFTFFnn)()(0000 上式說明了周期信號傅里葉級數系數和單脈沖信號傅里葉變換之間的關系，也提供了一種求周期

57、信號傅里葉級數系數的方法，即可以利用傅里葉變換的性質求出單脈沖信號的傅里葉變換，再利用上式求周期信號傅里葉級數系數。 據此，還可以得到單脈沖信號與周期化后的周期信號的傅里葉變換之間的關系為nnnnnFTnFF)(2)(2)(00004.5 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.5.3 傅里葉級數與傅里葉變換的關系傅里葉級數與傅里葉變換的關系例例4-5-2：)2(Sa)(1000nTEFTFnnnnnnnEnFF)()2(Sa)(2)(00004.5 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.5.3 傅里葉級數與傅里葉變換的關系傅里葉級數與傅里葉變換的關系nnnnnEnFF)()2(Sa

58、)(2)(00004.6 連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析 前面討論了信號的傅里葉變換，本節(jié)將以傅里葉分析為基礎，討論激勵、系統(tǒng)與響應三者在頻域中的關系。信號作用于線性系統(tǒng)在頻域中求解零狀態(tài)響應的方法稱為系統(tǒng)的頻域分析法，也稱為傅里葉分析法。4.6 連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析4.6.1 系統(tǒng)的頻率響應系統(tǒng)的頻率響應由前面章節(jié)知道，一個連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的數學模型通常用下列常系數線性微分方程來描述，即 對上式兩邊取傅里葉變換，并根據傅里葉變換的時域微分特性，得于是系統(tǒng)響應的傅里葉變換為)(dddd=)(dddd 0101txbtxbtxbtyatyatyammmnn

59、n)()j ()j ()()j ()j (0101XbbbYaaammnnYbbbbaaaaXHXmmmmnnnn( )()()()()()()( )( )( )jjjjjj111011104.6 連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析4.6.1 系統(tǒng)的頻率響應系統(tǒng)的頻率響應其中，函數 定義為H( )HYXbbbbaaaammmmnnnn( )( )( )()()()()()()jjjjjj111011104.6 連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析4.6.1 系統(tǒng)的頻率響應系統(tǒng)的頻率響應4.6 連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析4.6.1 系統(tǒng)的頻率響應系統(tǒng)的頻率響應

60、)()()(XHY當系統(tǒng)的激勵為沖激信號 時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應即為沖激響應 ，即)(t)(th這時有所以上式表明，系統(tǒng)頻率響應是系統(tǒng)沖激響應的傅里葉變換。 和 從時域和頻域兩個方面表征了同一系統(tǒng)的特性。x tt( )( )y th t( )( ) 1X)()(HY)(H)(th4.6 連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析4.6.1 系統(tǒng)的頻率響應系統(tǒng)的頻率響應當系統(tǒng)的激勵為復指數信號 時，系統(tǒng)響應由卷積積分可得)(ejtt)(jjjj)(je)()(ed)(eed)(e)(ttttHHhhty上式表明，當一個復指數信號 作用于線性系統(tǒng)時，其響應仍為同頻率的復指數信號，不同的是響應比激勵