第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)

1、2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)第七章第七章 理想不可壓縮流體的理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)第一節(jié)第一節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解 第三節(jié)第三節(jié) 理想流體的旋渦運(yùn)動(dòng)理想流體的旋渦運(yùn)動(dòng)第四節(jié)第四節(jié) 有勢(shì)流動(dòng)有勢(shì)流動(dòng) 速度勢(shì)和流函數(shù)速度勢(shì)和流函數(shù)2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分解為三部分：在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可分解為三部分： 以流體微團(tuán)中某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動(dòng)以流體微團(tuán)中某點(diǎn)的速度作整體平移運(yùn)動(dòng) 繞通過該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)繞通過該點(diǎn)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 微團(tuán)本身的變形運(yùn)動(dòng)

2、微團(tuán)本身的變形運(yùn)動(dòng)線速度線速度旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度線變形速率線變形速率剪切變形速率剪切變形速率第一節(jié)第一節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)（1 1）平移運(yùn)動(dòng)）平移運(yùn)動(dòng) 矩形矩形ABCDABCD各角點(diǎn)具有相同的速度分量各角點(diǎn)具有相同的速度分量u u、v v。導(dǎo)致矩形。導(dǎo)致矩形ABCDABCD平移平移udt, udt, 上移上移vdt, ABCDvdt, ABCD的形狀不變。的形狀不變。2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)（2 2）線變形運(yùn)動(dòng)）

3、線變形運(yùn)動(dòng)dxxuuuABdxxuuuDCdyyvvvAD dyyvvvBC l x x方向的速度差方向的速度差l y y方向的速度差方向的速度差l AB AB、DC DC 在在dtdt時(shí)間內(nèi)伸長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)伸長(zhǎng)dxdtxul AD AD、BC BC 在在dtdt時(shí)間內(nèi)縮短時(shí)間內(nèi)縮短dydtyv2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng) 定義定義: :單位時(shí)間內(nèi)單位長(zhǎng)度流體線段的伸長(zhǎng)或縮短量為流單位時(shí)間內(nèi)單位長(zhǎng)度流體線段的伸長(zhǎng)或縮短量為流體微團(tuán)的線變形速率。體微團(tuán)的線變形速率。 沿沿x x軸方向的線變形速率為軸方向的線變形速率為 xxxudxdtdxdtxu yvyy zwzz

4、沿沿y y軸、軸、z z軸方向的線變形速率為軸方向的線變形速率為zwyvxuzzyyxx 對(duì)于不可壓縮流體，上式等于零，即不可壓縮流體的連續(xù)性方對(duì)于不可壓縮流體，上式等于零，即不可壓縮流體的連續(xù)性方程，表明流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中體積不變。程，表明流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中體積不變。 三個(gè)方向的線變形速率之和所反映的實(shí)質(zhì)是流體微團(tuán)體積在單三個(gè)方向的線變形速率之和所反映的實(shí)質(zhì)是流體微團(tuán)體積在單位時(shí)間的相對(duì)變化，稱為流體微團(tuán)的體積膨脹速率。位時(shí)間的相對(duì)變化，稱為流體微團(tuán)的體積膨脹速率。2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)（3 3）角變形運(yùn)動(dòng)）角變形運(yùn)動(dòng) yyDduuuAyyBduuuCdx

5、xvvvABdxxvvvDCdtxvdxdxdtxvdd tandtyudydydtyudd tan2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)yuxvyxxy21zvywzyyz21xwzuxzzx21角變形速率：角變形速率：兩正交微元流體邊的夾角在單位時(shí)間內(nèi)的變化量。兩正交微元流體邊的夾角在單位時(shí)間內(nèi)的變化量。剪切變形速率：剪切變形速率：yuxvdtdd212/ )(2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)（4 4）旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 且符號(hào)相反且符號(hào)相反 則流體微團(tuán)只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生角變形則流體微團(tuán)只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生角變形dd 大多數(shù)情況下，流體微

6、團(tuán)在發(fā)生角變形的同時(shí)，還大多數(shù)情況下，流體微團(tuán)在發(fā)生角變形的同時(shí)，還要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)沿沿z z軸流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量：軸流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度分量： yuxvdtddz2121旋轉(zhuǎn)角速度：旋轉(zhuǎn)角速度： 過流體微團(tuán)上過流體微團(tuán)上 A A點(diǎn)的任兩條正交微點(diǎn)的任兩條正交微元流體邊在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角速度的元流體邊在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角速度的平均值，稱作平均值，稱作 A A點(diǎn)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速點(diǎn)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度在垂直該平面方向的分量。度在垂直該平面方向的分量。zvywx21xwzuy21Vkjizyx21222zyxdt

7、xvddtyud2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)dzzvdyyvdxxvvvyyyyEydzzvdyyvdxxvvvzzzzEz dydzdzdydxxvvvzyxzxyxxExdzdxdxdzdyyvvvxzyxyzyyEydxdydydxdzzvvvzxzyzxzzEzdzzvdyyvdxxvvvxxxxEx第一項(xiàng)：平移運(yùn)動(dòng)第一項(xiàng)：平移運(yùn)動(dòng)第二項(xiàng)：線變形運(yùn)動(dòng)第二項(xiàng)：線變形運(yùn)動(dòng)第三項(xiàng)：角變形運(yùn)動(dòng)第三項(xiàng)：角變形運(yùn)動(dòng)第四項(xiàng)：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)第四項(xiàng)：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng) 根據(jù)流體微團(tuán)在流動(dòng)中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動(dòng)分為兩類：根

8、據(jù)流體微團(tuán)在流動(dòng)中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動(dòng)分為兩類：有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)。 當(dāng)當(dāng) 021V021V當(dāng)當(dāng) 無旋流動(dòng)無旋流動(dòng) 有旋流動(dòng)有旋流動(dòng) 通常以通常以 是否等于零作為判別流動(dòng)是否有旋或無旋的是否等于零作為判別流動(dòng)是否有旋或無旋的判別條件。判別條件。 V 在笛卡兒坐標(biāo)系中：在笛卡兒坐標(biāo)系中： kyvxvjxvzvizvyvVxyzxyz2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)即當(dāng)流場(chǎng)速度同時(shí)滿足：即當(dāng)流場(chǎng)速度同時(shí)滿足： zvyvyzxvzvzxyvxvxy時(shí)流動(dòng)無旋時(shí)流動(dòng)無旋 需要指出的是，有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)需要指出的是，有旋流動(dòng)和無

9、旋流動(dòng)僅由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動(dòng)軌跡無關(guān)。 如圖如圖a a流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)為旋轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)，其微團(tuán)自身不旋流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)為旋轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)，其微團(tuán)自身不旋轉(zhuǎn)，流場(chǎng)為無旋流動(dòng)；圖轉(zhuǎn)，流場(chǎng)為無旋流動(dòng)；圖b b流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)盡管為直線運(yùn)動(dòng)，但流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)盡管為直線運(yùn)動(dòng)，但流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以該流動(dòng)為有旋流動(dòng)。流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以該流動(dòng)為有旋流動(dòng)。（a a） （b b） 2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)【例例】某一流動(dòng)速度場(chǎng)為某一流動(dòng)速度場(chǎng)為 ， ，其中，其中 是不

10、為是不為零的常數(shù)，流線是平行于零的常數(shù)，流線是平行于 軸的直線。試判別該流動(dòng)是有旋流動(dòng)軸的直線。試判別該流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)。還是無旋流動(dòng)。 【解】：由于：由于021zvyvyzx02121ayvxvxyz所以該流動(dòng)是有旋運(yùn)動(dòng)。所以該流動(dòng)是有旋運(yùn)動(dòng)。ayvx0zyvvaxx021xvzvzxy2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)第三節(jié)第三節(jié) 理想流體的旋渦運(yùn)動(dòng)理想流體的旋渦運(yùn)動(dòng) 本節(jié)主要講述理想流體有旋運(yùn)動(dòng)的理論基礎(chǔ)，重點(diǎn)是速度環(huán)本節(jié)主要講述理想流體有旋運(yùn)動(dòng)的理論基礎(chǔ)，重點(diǎn)是速度環(huán)量及其表征環(huán)量和旋渦強(qiáng)度間關(guān)系的量及其表征環(huán)量和旋渦強(qiáng)度間關(guān)系的斯托克斯定理。斯托

11、克斯定理。 一、渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度一、渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度渦量用來描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。渦量的定義為：渦量用來描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。渦量的定義為：V2渦量是點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。它在直角坐標(biāo)系中的投影為渦量是點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。它在直角坐標(biāo)系中的投影為：zvyvyzxxvzvzxyyvxvxyz也稱為也稱為旋度旋度2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)0渦量是點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。它在直角坐標(biāo)系中的投影為渦量是點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。它在直角坐標(biāo)系中的投影為：zvyvyzxxvzvzxyyvxvxyz稱為稱為無旋流動(dòng)無旋流動(dòng)0稱為稱為有旋流動(dòng)有旋流動(dòng)若

12、若2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)1 1、渦線：、渦線：渦線是在給定瞬時(shí)和渦量渦線是在給定瞬時(shí)和渦量矢量相切的曲線。矢量相切的曲線。渦線渦線 根據(jù)渦通量矢量與渦線相切的條件，根據(jù)渦通量矢量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為：渦線的微分方程為：),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx 在流場(chǎng)的全部或部分存在角速度的場(chǎng)，稱為渦量場(chǎng)在流場(chǎng)的全部或部分存在角速度的場(chǎng)，稱為渦量場(chǎng)。如同在速如同在速度場(chǎng)中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場(chǎng)中同樣也引度場(chǎng)中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場(chǎng)中同樣也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度的概念。入渦線、

13、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度的概念。2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)3 3、旋旋渦強(qiáng)度（渦通量）渦強(qiáng)度（渦通量） 在渦量場(chǎng)中取一微元面積在渦量場(chǎng)中取一微元面積dAdA，其流體微團(tuán)的渦通量為，其流體微團(tuán)的渦通量為 ， 為為dAdA的外法線方向，定義的外法線方向，定義 2ndAdAnAddJn2)cos(2 為任意微元面積為任意微元面積dAdA上的旋上的旋渦強(qiáng)度，也渦強(qiáng)度，也稱渦通量。稱渦通量。2 2、渦管、渦束：渦管、渦束：在渦量場(chǎng)中任取一不是渦在渦量場(chǎng)中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時(shí)刻過該曲線每一點(diǎn)線的封閉曲線，在同一時(shí)刻過該曲線每一點(diǎn)的渦線形成的管狀曲面稱作渦管。的

14、渦線形成的管狀曲面稱作渦管。截面無限截面無限小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦束。旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的流體稱為渦束。渦管渦管2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)任意面積任意面積A A上的旋上的旋渦強(qiáng)度為：渦強(qiáng)度為：dAdAJnAA2 如果面積如果面積A A是渦束的某一橫截面積，就稱為渦束旋渦強(qiáng)度，它是渦束的某一橫截面積，就稱為渦束旋渦強(qiáng)度，它也是旋轉(zhuǎn)角速度矢量的通量。也是旋轉(zhuǎn)角速度矢量的通量。2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)二、速度環(huán)量、斯托克斯定理二、速度環(huán)量、斯托克斯定理1 1、速度

15、環(huán)量：速度環(huán)量：在流場(chǎng)的某封閉周線上，如圖，流體速度矢量沿周在流場(chǎng)的某封閉周線上，如圖，流體速度矢量沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號(hào)線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號(hào) 表示，即表示，即: : )(dzvdyvdxvsdvzyx 速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負(fù)與速度的方向和線積分的繞行方負(fù)與速度的方向和線積分的繞行方向有關(guān)。向有關(guān)。對(duì)非定常流動(dòng)，速度環(huán)量對(duì)非定常流動(dòng)，速度環(huán)量是一個(gè)瞬時(shí)的概念，應(yīng)根據(jù)同一瞬是一個(gè)瞬時(shí)的概念，應(yīng)根據(jù)同一瞬時(shí)曲線上各點(diǎn)的速度計(jì)算。時(shí)曲線上各點(diǎn)的速度計(jì)算。2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)2 2、斯托克斯（、斯托

16、克斯（StokesStokes）定理：）定理：在渦量場(chǎng)中，沿任意封閉周線的速在渦量場(chǎng)中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍曲面面積的旋渦強(qiáng)度，即度環(huán)量等于通過該周線所包圍曲面面積的旋渦強(qiáng)度，即: :JdAAdsdvnAA2 這一定理將旋渦強(qiáng)度與速度環(huán)量聯(lián)系起來，給出了通過速度環(huán)這一定理將旋渦強(qiáng)度與速度環(huán)量聯(lián)系起來，給出了通過速度環(huán)量計(jì)算旋渦強(qiáng)度的方法。量計(jì)算旋渦強(qiáng)度的方法。 【例例1 1】已知二維流場(chǎng)的速度分布為已知二維流場(chǎng)的速度分布為 ， ，試求繞圓，試求繞圓 的速度環(huán)量。的速度環(huán)量。 yvx3xvy4222Ryx【解】【解】 此題用極坐標(biāo)求解比較方便，坐標(biāo)變換為此題用極坐標(biāo)求解比

17、較方便，坐標(biāo)變換為: : cosrx sinry 速度變換為速度變換為 sincosyxrvvvsincosxyvvv22sin3cos4rrv2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)【例【例2 2】 一二維元渦量場(chǎng)，在一圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑一二維元渦量場(chǎng)，在一圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑 的圓區(qū)域內(nèi)，流體的渦通量的圓區(qū)域內(nèi)，流體的渦通量 。若流體微團(tuán)在半徑。若流體微團(tuán)在半徑 處的速度分量處的速度分量 為常數(shù)，它的值是多少？為常數(shù)，它的值是多少？ mr1 . 0smJ/4 . 02rv【解】由斯托克斯定理得【解】由斯托克斯定理得 ：Jrvrdv202smrJv/21 . 024

18、. 02)rdrr(2022sin3cos4 dr)sin3cos4(20222 2202227cos6rdrr2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)第四節(jié)第四節(jié) 有勢(shì)流動(dòng)有勢(shì)流動(dòng) 速度勢(shì)和流函數(shù)速度勢(shì)和流函數(shù)一、有勢(shì)流動(dòng)一、有勢(shì)流動(dòng) 速度勢(shì)速度勢(shì) 不可壓縮流體或可壓縮流體作無旋流動(dòng)時(shí)，總有速度勢(shì)存在，不可壓縮流體或可壓縮流體作無旋流動(dòng)時(shí)，總有速度勢(shì)存在，故無旋流動(dòng)也稱有勢(shì)流動(dòng)。故無旋流動(dòng)也稱有勢(shì)流動(dòng)。yvxvxvzvzvyvxyzxyz0上式是上式是 成為某一函數(shù)成為某一函數(shù) 的全微分的全微分的必要且充分的條件，函數(shù)的必要且充分的條件，函數(shù) 稱為速度勢(shì)函數(shù)。稱為速度勢(shì)

19、函數(shù)。 dzvdyvdxvzyx),(tzyx),(tzyx1.1.有勢(shì)流動(dòng)有勢(shì)流動(dòng)2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)2.2.速度勢(shì)速度勢(shì)dzvdyvdxvdzzdyydxxdzyxzvyvxvzyx勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù) 的微分方程的微分方程),(tzyx3.3.速度勢(shì)的性質(zhì)速度勢(shì)的性質(zhì)（1 1）速度沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量等于速度勢(shì)對(duì)于相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)）速度沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量等于速度勢(shì)對(duì)于相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)zvyvxvzyxzvrvrvzr12022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)（2 2）在有勢(shì)流動(dòng)中，沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點(diǎn)與起點(diǎn)的）在有勢(shì)流動(dòng)中，沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點(diǎn)與起點(diǎn)的速度勢(shì)之差。速度勢(shì)之差。（3 3）在有勢(shì)流動(dòng)中，速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程。）在有勢(shì)流動(dòng)中，速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程。ABBABABAzyxABddzzdyydxxdzvdyvdxv02222222zyx2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)二、流函數(shù)二、流函數(shù)1.1.流函數(shù)存在的條件流函數(shù)存在的條件不可壓縮流體的平面流動(dòng)不可壓縮流體的平面流動(dòng)上式是上式是 成為某一函數(shù)成為某一函數(shù) 的全微分的必要的全微分的必要且充分的條件，函數(shù)且充分的條件，函數(shù) 稱為流